条件概率

第四节条件概率
一、条件概率
二、乘法定理
三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A 为“至少有一次为正面”,事件B 为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.解：分析样本空间}. , , , {TT TH HT HH S
=()P B =事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为
),(A B P 31)(=A B P 则).(B P ≠4341=()P AB =. , 为反面为正面设T H 引例1
一、条件概率
},,{},,,{TT HH B TH HT HH A ==21.42=()
P A
)
()()(B P AB P B A P =同理可得为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.条件事件不能是不可能事件条件事件不能是不可能事件，，概率总大于0.
.
)
()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称
且是两个事件设B A A P AB P A B P A P B A =>定义定义：：条件概率Conditional Probability
例1.家有枣树(Luxun's Jujube Tree)
鲁迅在散文里说道鲁迅在散文里说道：：自家院子里有两棵树,一棵是枣树,另一棵也是枣树;
如果我们还不知道另一棵是什么树,
求另一棵也是枣树的概率.
不妨设另一棵可能是榆树不妨设另一棵可能是榆树((或槐树或槐树,,等等等等),),),则事件则事件“院子里有两棵树院子里有两棵树””为样本空间为样本空间，，其元素构成为
()P A B =S ={(={(枣枣,枣),(),(枣枣,榆),(),(榆榆,榆)}
事件B :已知一棵是枣树已知一棵是枣树，，(即有一棵是枣树即有一棵是枣树););
事件A :另一棵也是枣树另一棵也是枣树..
则二者的交事件为则二者的交事件为：：两棵都是枣树两棵都是枣树。

由条件概率计算公式由条件概率计算公式::
()()P AB P B =1/32/312
=
例2.发牌(Play Poke)
在52张四种花色的扑克(不要小鬼大鬼)里任取一张里任取一张，，已知摸到梅花已知摸到梅花，，求摸到的是梅花九的概率.
不妨设样本空间S :={(从52张扑克里任取1张)}
解
()()()P AB P A B P B =事件B :摸到梅花;事件A :摸到梅花9;
则二者的交事件为A ：摸到梅花9。

由条件概率和古典概率计算公式:
()
()
P A P B =1/5213/52=1
13
=
设甲设甲、、乙两地今天下雨的概率分别为1/3, 1/6，两地今天同时下雨的概率为1/12。

若已知其中一个地方今天下雨了方今天下雨了，，求另一个地方今天下雨的概率求另一个地方今天下雨的概率。

设A 表示“甲地今天下雨”，B 表示“乙地今天下雨”。

则由条件概率公式得例3 东边日出西边雨解()()()P AB P A B P B ==()()()P AB P B A P A ==1,21/121/6
=1.41/121/3=
).
()()()()(112221112121A P A A P A A A A P A A A A P A A A P n n n n n ×××
=−−−⋯⋯⋯⋯则有
且,0)(121>−n A A A P ⋯,
2,,,,21≥n n A A A n 个事件为设推广⋯则有
且为事件设,0)(,,,>AB P C B A ).
()()(,0)(A P A B P AB P A P =>则有设二、乘法公式
).
()()()(A P A B P AB C P ABC P =.)()()(A P AB P A B P =
例1摔镜子设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.
解以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
,321A A A B =因为)()(321A A A P B P =所以)
()()(112213A P A A P A A A P =9(1)10=−.200
3=,"")3,2,1(次落下打破透镜第表示事件以i i A i =).()()()(A P A B P AB C P ABC P =1(1)2−7(1)10−
例2拨电话某人忘了电话号码最后一位数,因而
随意拨号;求他拨号不超过三次便接通的概率.
解k A 令事件从而由对立事件概率与乘法公式得所求事件概率为
1A k =1,2,3
分别表示第k 次拨通电话；对立事件为依题意所求事件A 的对立事件
表示第k 次未拨通电话；
k
A 2A 3
A 即前3次均未拨通可表示为A
A =
29110=−×.
103
=()1()P A P A =−11()P A =−1231()
P A A A =−312()
P A A A 89×7
8).
()()()(A P A B P AB C P ABC P =156********()P A A 分析首次拨通为10个数中选择1个
正确的正确的，，没通即其对立事件没通即其对立事件，，可能性为9/10.
除非失忆除非失忆，，上次拨错的号码不会重
复选择复选择，，第2次拨号会从9个数里选
择1个正确的.
例3抓阄五个阄, 其中一个阄内写着“有
物”字，四个阄内不写字，五人依次抓
取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?
解.
5,4,3,2,1=i 则有11(),5
P A =12()P A A 4154=⋅抓阄是否与次序有关?
,人抓到有字阄人抓到有字阄””的事件表示表示“
“第设i A i 第二人抓到有物阄意味着第一次抓到空阄且第二次抓到了有物阄到了有物阄，，故第二个人抓到有物阄的概率为15=121()()P A P A A =同理3451()()().5P A P A P A ===故抓阄与次序无关!
.
,,,.
)ii (;
,,2,1,,,)i (,,,,,212121的一个划分为样本空间则称若
的一组事件为
的样本空间为试验设定义S B B B S B B B n j i j i B B E B B B E S n n j i n ⋯∪⋯∪∪⋯⋯==≠∅=1. 样本空间的划分
1B 2
B 3B 1−n B ⋯n
B 三、全概率公式与贝叶斯公式
2. 全概率公式The Law of Total Probability
全概率公式
)
()()()()()()(),,,2,1(0)(,,,,,,221121n n i n B P B A P B P B A P B P B A P A P n i B P S B B B E A S E +++==>⋯
⋯⋯则
且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理
∅=j i B B 由∅
=⇒))((j i AB AB )
()()()(21n AB P AB P AB P A P +++=⇒⋯图示A 1
B 2
B 3
B 1−n B ⋯n B 证明)
(21n B B B A AS A ∪⋯∪∪∩==.
21n AB AB AB ∪⋯∪∪=).()()()()()(2211n n B P B A P B P B A P B P B A P +++=⋯化整为零各个击破
说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.
A 1
B 2
B 3
B 1−n B ⋯n B
例1有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品，，已知其中由一厂生产的占30% ，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
设事件A 为“任取一件为次品”,
.
3,2,1,”“=i i B i 厂的产品任取一件为为事件,
321S B B B =∪∪解.
3,2,1,,=∅=j i B B j i
由全概率公式得
,
2.0)(,5.0)(,
3.0)(321===B P B P B P S
30%20%50%2%1%
1%
).()()()()()()(332211B P B A P B P B A P B P B A P A P ++=.
013.02.001.05.001.03.002.0=×+×+×=,01.0)(,01.0)(,02.0)(321===B A P B A P B A P )()()()()()()(332211B P B A P B P B A P B P B A P A P ++=故
称此为贝叶斯公式.
.
,,2,1,)
()()()()(),,,2,1(,0)(,0)(,,,,.121n i B P B A P B P B A P A B P n i B P A P S B B B E A S E n
j j j i i i i n ⋯⋯⋯===>>∑==则
且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理3. 贝叶斯公式Bayes formula
贝叶斯资料贝叶斯公式是“由果溯因”. 知道结果知道结果，，反推何种原因导致此结果的可能性最大.在应用中有极高价值.
证明
)
()
()(A P A B P A B P i i =
,)()()()(1
∑==
n
j j j i i B P B A P B P B A P .
,,2,1n i ⋯=
例1NOKIA 手机配备的存储卡分别由中国手机配备的存储卡分别由中国、、日本日本、、韩国的3家电子元件厂制造家电子元件厂制造，，根据统计有如下数据根据统计有如下数据::制造商次品率配额1.1.中国中国中国：：0.01 0.22.2.日本日本日本：：0.02 0.63.3.韩国韩国韩国：：0.005 0.2
假定三家工厂的产品送到组装车间的仓库后均匀混合，且无明显区分标志且无明显区分标志。

(1)在仓库中随机抽取一只产品在仓库中随机抽取一只产品，，求它是次品的概率求它是次品的概率。

..,,,)2(试求这些概率是多少家工厂生产的概率分别需求出此次品由三为分析此次品出自何厂次品若已知取到的是元件在仓库中随机地取一只解,“取到的是一只次品取到的是一只次品””
表示设A .家工厂提供的家工厂提供的””“所取到的产品是由第表示i )3,2,1(=i B i ,
,,321的一个划分是样本空间则
S B B B 123()0.2,()0.6,()0.2,
P B P B P B ===产品来自某工厂的概率即为工厂的生产份额
2()0.02,P A B =(1) 由全概率公式得()P A =0.010.2=×+(2) 由贝叶斯公式得
)()()()(111A P B P B A P A B P =
015
.02.001.0×=.152=1()0.01,P A B =3()0.005.
P A B =11()()P A B P B +2233()()()()
P A B P B P A B P B +0.020.60.0050.2×+×0.015
=条件概率即为工厂的次品率
123()0.2,()0.6,()0.2,
P B P B P B ===
222()()
()()
P A B P B P B A P A =
=
333()()
()()
P A B P B P B A P A =
=0.020.60.015×=12
,
15
0.0050.20.015×1.
15
=最大最大，，故而这只次品来自第2家工厂即日本工厂
生产的可能性最大生产的可能性最大..
212
(),
15
P B A =因在取得次品后因在取得次品后，，此次品由第2家工厂生产的概率为
由以往的数据分析得到的经验概率, 叫做先验概率(prior probability).如
而在得到信息之后再重新加以修正的条件概率叫做后验概率(posterior probability).如
先验概率与后验概率
1()0.2
P B =15
2
)(1=
A B P
1.条件概率)
()
()(A P AB P A B P =
全概率公式
贝叶斯公式四、小结
)
()()()()()()(2211n n B P B A P B P B A P B P B A P A P +++=⋯n
i B P B A P B P B A P A B P n j j j i i i ,,2,1,)
()()
()()(1
⋯==∑=)
()()(A P A B P AB P =乘法定理
.
)()(,,
)(,
)(,.,)(,,)(大比一般来说中基本事件数
中基本事件数
中基本事件数中基本事件数
则
用古典概率公式发生的概率中表示在缩小的样本空间而概率发生的中表示在样本空间AB P A B P S AB AB P S AB A B P B S A B P AB S AB P A A ==.
)()( .2的区别与积事件概率条件概率AB P B A P
贝叶斯资料
Thomas Bayes
Born:1702 in London,
England
Died:17 Apr. 1761 in
Tunbridge Wells, Kent,
England。