(甘志国)蒙日圆及其证明

蒙日圆及其证明
甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13）
2 2
高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃•打=1（a ■ b ■ 0）的
a b
一个焦点为（-5,0），离心率为〈.
3
（1）求椭圆C的标准方程；
⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
2 2
答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 •
9 4
这道高考题的背景就是蒙日圆•
普通高中课程标准实验教科书《数学 2 •必修• A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍• 以上高考题第（2）问的一般情形是
2 2
定理1 曲线］:电•电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a b
x2 y2 =a2 b2.
定理1的结论中的圆就是蒙日圆.
先给出定理1的两种解析几何证法：
定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）.
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。

= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是
y -y° =k(x -x°)(k =0).
“ 2 2
由＜a2 b2，得
y —y。

=k(x —x。

)
(a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0
由其判别式的值为0，得
%2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0)
因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以
k PA k PB
y °2b 2
~2 2
x 0 —a
由此，得
k PA k PB = -1
x 02 y 02二 a 2 b 2
进而可得欲证成立•
定理1的证法2
点P 的坐标是（_a, b ）,
当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为
或（二a,_b ）. 0时，可得
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0时，可设点 P 的坐标是
（X o ,y °）（x 。

北二a,且 y 。

rb ），所以可设两个切点分别是 A （^,
yj, B^, = 0）.
得直线AB ：竽.•缪=1，切线PA :
a b
xx+*=1,PB: 2 .2 a b
a
榔忙1 •所以: 所以
k PA k PB -
b 2x j
-2~
b 2x 2
~2~
I a % 人 a y 2 丿 a ym
4
b
竺k k
b 4
~4
k oA k oB
a
k PA k PB
2 2
因为点（X, yj （i =1,2）既在曲线丨：冷•占=1上又在直线
a b
2 2
2L 吐 a 2 b 2
Xi
x 2 ^x 2
上，所以
-a 2) =0
gB 工 x 1x 2 .4,
2
2、
b (X 0 -a )
b 4 4
a
4,2,2
a (y ° -
b )
k PA k PB
k PA k PB
2 .2
y ° -b 2
-a
2
X
o
PA_ PB =
2 2 2
y 。

a b
2-1 • A 版》
由此，可得 进而可得欲证成立.
再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理 引理1 （椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学•选修
（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）第76页）从椭圆的一个焦点发出的光 线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上
（如图1所示）.
4
2
2
a (y o
b )
C 2.
2
2a b x °y °
P 作.£PF 2的外角平分线所在的直线 证明 如图2所示，设P 为椭圆丨（其左、右焦点分别是 F I ,F 2）上任意给定的点，过点
1（. 3=/4）.先证明丨和丨相切于点P ，只要证明I
PF ^--|PF ^ |PF i |—|PF | |E F | |F i P • PF | |PF i
PF 2
再过点P 作.F i PF ?的平分线PA （. 1二.2），易得PA _ I ，入射角等于反射角，这就 证得了引理1成立•
引理2过椭圆'（其中心是点0,长半轴长是a ）的任一焦点F 作椭圆-的任意切线I 的 垂线，设垂足是 H ，则0H 二a.
证明 如图3所示，设点F ；F 分别是椭圆-的左、右焦点， A 是椭圆丨的切线I 上的 切点，又设直线 FH,FA 交于点B .
图1
得
PF |
[PF ?，还
由引理1，得乙FAH Z lA^ ：ZBH （即反射角与入射角的余角相等），进而可得厶FAH 也BAH，所以点 H是FB的中点，得 0H是.BFF的中位线•又AF| | AB，所以
1 1
0H 匕（FA AB）匕（FA AF）=a.
引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和
证明由余弦定理可证（这里略去过程）.
引理4设点P是矩形ABCD所在平面上一点，贝U PA2亠PC? - PB2亠PD2•
证明如图4所示，设矩形ABCD的中心是点0 .
由引理3，可得
2 2 2 2 2222
PA PC =2（0A 0P）=2（0B OP ）二PB PD
即欲证成立.
注把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等.
定理1的证法3可不妨设a 0,b 0 •当 a =b时，易证成立•下面只证明a b的情形•
如图5所示•设椭圆的中心是点 0,左、右焦点分别是 F I,F2，焦距是2c，过动点P的
两条切线分别是 PM,PN .
图5
连结OP ,作OG _PM,OH _PN ,垂足分别是G,H •过点F i作FQ_PM ,垂足为D , 由引理2得OD二a .
再作 F i K _0G 于K •记.OF i K - V,得 DG 二 F’K 二ccosr .
2 2 2
由 RtZi ODG，得 OG =OD - DG =a2—c2cos2日.
又作F?E —PN’F Q L _0H ,垂足分别为E,L .在 Rt OEH中，同理可得
OH| |OE||HE =a2-C2si nJ.
(1)若PM _ PN，得矩形OGPH，所以
OP| |OG|--|OH=(a2 -c2 cos2 r) (a2—c2si nJ) =a2 b2
2o2
⑵若OP =a +b，得
OP2 =(a2 -c2 co$ 日)+(a2 -c2sin2。

)= OG2+ OH
o o o
由OG 丄PM，得OP =|0G +GP ，所以GP = OH
同理，有OG = HP，所以四边形OGPH是平行四边形，进而得四边形OGPH是矩
形，所以PM _ PN .
由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2- y2=a2 b2.
定理1的证法4 可不妨设a 0,b 0 .当 a二b时，易证成立.下面只证明a b的情形.
如图6所示.设椭圆的中心是点 0,左、右焦点分别是F1,F2，焦距是2c，过动点P的两
条切线分别是PA,PB，两切点分别为A, B .
及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得
PF 1 2+
PM
2
PF 1 2
+ PF 2
2=2(OF 』2+|Op2)=2(c2+|Op2)
分别作右焦点 F 2关于切线 PA, PB 的对称点 M , N ，由椭圆的光学性质可得三点
F 1, A, M 共线（用反射角与入射角的余角相等 ）•同理，可得三点B, N 共线.
MF^|NF 1.
(1)若 PA _ PB ，得 MPF 「 NPF j =2(. APF 2 BPF 2) =180 ，即三点 M , P,N
共线.
又PM| =|PF 2=|PN ，所以PF 1丄MN ，进而得
2 2 2 2
4a^|MF 1 =|PF , + PM =2(c 2+ OP)
OP|2 =a 2 +b 2
2 2 2
⑵若OP =a
2
+b 2，得
PF 「+ PM|2
=2(c 2
+OP 2
) =2(c 2
+a 2
+b 2
)=4a 2
= MF 12
所以PR _ PM
=2a ，所以
由0是F 1F 2的中点,
同理，可得PF— PN .所以三点M, P,N共线.
1
得.APB r/APF? BPF2( MPF2NPF2) =90，即PA_ PB.
2
由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2 y^a2 b2.
定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)
可不妨设a .0,b .0 .当a =b时，易证成立.下面只证明a .b的情形.
如图7所示，设椭圆的中心是点 O,左、右焦点分别是 F i, F2，焦距是2c，过动点P的
两条切线分别是 PA,PB，切点分别是 A, B .
设点F1关于直线PA, PB的对称点分别为 F1 ,F2，直线Ff 与切线PA交于点G，直线
F1F2与切线PB交于点H .
得 AF^|AF1, BF^|BF1，再由椭圆的定义，得 F1 F2= F2 F2 =2a，所以 OG| = OH| =a.
2 2 2 2
因为四边形PGF’H为矩形，所以由引理4得OF」+0P =OG +OH| =2a2，所以
OP -a2b2，得点P的轨迹方程是x2 y2 =a2 b2.
读者还可用解析几何的方法证得以下结论：
2 2
定理2 (1)双曲线笃-乂y "(a b 0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆
a b
2 2 2 . 2
x y a -b ；
2
(2)抛物线y =2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线
2 2 2
定理3 (1)椭圆务■占=1(a b 0)的两条斜率之积是-—的切线交点的轨迹方
a b a
⑵双曲线
2 2 十. 定理
4
过椭圆 2
廿1(a b 0)外
y 2
—
-y- =1（a 0,b . 0）的两条斜率之积是 —的切线交点的轨迹方程是 b a
2 2 2 2
务 每=2（a b ■ 0）上任一点P （x 。

，y 。

）作椭圆 笃•爲=1的两条 a b
a b
(_a, b),( -a,-b))；
要去掉四个点（_a,b ）, （_a,-b ））；
外的部分（但要去掉四个点（_a,b ）, （_a,-b ））;
-b 2
X
2
⑤当
2时，-即双曲线——
a
2
b
a -
b a -一
2 2
程是二耸=2 ；
a b
切线，则
⑴当X 。

二a 时，所作的两条切线互相垂直;
⑵当X o -二a 时，所作的两条切线斜率之积是
b 2
~ .
a
定理5 （1）椭
圆
=1（a b 0）的两条斜率之积是‘（■ = 0）的切线交点的轨迹
2
即椭圆 X 2
b a -
+—— b 2
2
y n 2
- 1a
=1（但要去掉四个点
b
2
③当’--飞时，】即两条直线
a
b y 二 -X 在椭圆
a
2 X ~2 a 2
丄 b 2
=d （a b 0）外的部分（但
b 2
④当0 ：；■：：：与时，丨
即双曲线
a
2
y
b a
2 2
1在椭圆笃工 b 2
a a
x 2
b 2
=1(a b 0)
①当②当
③当■叮一1 或-1 :::
■b2
-y时，丨即椭圆
a
2
x
2 b2
a
2
丄1 -
/-a - - b
的部分（但要去掉四个点（_a,b）,（_a,_b））.
2 2
⑵双曲线笃y2=1（a b . 0）的两条斜率之积是（=0）的切线交点的轨迹:是:
a b
——-1时，丨即圆x2• y2二a2—b2；
2 2
0时，〕即双曲线x2 _—y- =1 ；
2 b ha2+b2
a
2
⑶抛物线y = 2 px的两条斜率之积是
④当
b
2
-■ ::: 0时，】不存在. a
■ （■ = 0）的切线交点的轨迹-是:
（北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题）已知
. 2 2
l_O:x +y =1 •若直线y=kx+2上总存在点P ，使得过点P 的LI O 的两条切线互相垂
直，则实数k 的取值范围是
解 （一心,-1卩［1「在图8中，若小圆（其圆心为点O ,半径为r ）的过点A 的两条
切线AB, AD 互相垂直（切点分别为E, F ），得正方形 AEOF ，所以OA = J2|OE = J2r ， 即点A 的轨迹是以点 O 为圆心，＜2r 为半径的圆
①当
②当
■ 0时，丨的方程为x = P
图8
2 2
由此结论可得：在本题中，点P在圆x y = 2上•所以本题的题意即直线y=kx，2与
,__ 2 2
圆x y =2有公共点，进而可得答案。