2003考研数学一真题及答案解析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷答案解析
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.
把答案填在题中横线上)
(1))
1ln(1
2)
(cos lim x x x +→=
e
1.
【分析】∞
1型未定式,化为指数函数或利用公式)
()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行
计算求极限均可.
【详解1】)
1ln(1
2
)
(cos lim x x x +→=x
x x e
cos ln )
1ln(1
lim
20+→,
而
212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02
020-=-==+→→→x x x
x x x x x x x ,故原式=.
12
1
e
e =
-【详解2】因为
2121lim )1ln(1
)1(cos lim 2
20
2
0-=-
=+⋅
-→→x
x
x x x x ,所以
原式=.
12
1
e
e
=
-
【评注】本题属常规题型(2)
曲面2
2
y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是
542=-+z y x .
【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n
,因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面2
2
y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n
平行确定.
【详解】令2
2
),,(y x z z y x F --=,则
x F x 2-=',y F y 2-=',1='z F .
设切点坐标为),,(000z y x ,则切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --,其与已知平面
042=-+z y x 平行,因此有
1
1
422200-=
-=-y x ,可解得
2,100==y x ,相应地有.52
020
0=+=y x z 故所求的切平面方程为
0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,即542=-+z y x .
【评注】
本题属基本题型。
(3)设)(cos 0
2
ππ≤≤-=
∑∞
=x nx a
x n n
,则2a =
1
.
【分析】将)()(2
ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 0
2
ππ≤≤-=∑∞
=x nx a
x n n
,
其系数计算公式为⎰
=
π
π0
cos )(2
nxdx x f a n .
【详解】根据余弦级数的定义,有
x
d x xdx x a 2sin 1
2cos 2
20
2
2⎰
⎰
=
⋅=
π
π
ππ=
⎰⋅-π
ππ
2]
22sin 2sin [1
xdx x x
x =⎰⎰
-=
π
ππ
π
π
]
2cos 2cos [1
2cos 1xdx x
x x xd =1.
【评注】本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分的计算.
(4)从2
R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--2132
.
【分析】n 维向量空间中,从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ,因此过渡矩阵P 为:P=[1
21],,,-n ααα [],,,21n βββ .
【详解】根据定义,从2
R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为
P=[1
21],-αα[⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],1
21ββ.
=.213221111011⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-【评注】本题属基本题型。
(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
,y x x y x f 其他,
10,
0,6),(≤≤≤⎩⎨
⎧=则=
≤+}1{Y X P 4
1.【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率
}),({0z Y X g P ≤,一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=
⎰⎰≤0
),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.
【详解】由题设,有
=
≤+}1{Y X P ⎰⎰
⎰⎰
≤+-=1
210
16),(y x x
x
xdy
dx dxdy y x f =
.4
1)126(210
2=
-⎰
dx x x
【评注】本题属基本题型,但在计算二重积分时,应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ,再在其上积分即可.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第(5)小题.
(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.
(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析】已知方差12
=σ
,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据