2.1.4函数的奇偶性1教案教师版

2.1.4 函数的奇偶性(一)【学习要求】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤． 【学法指导】通过学习函数奇偶性概念的形成过程，加深对函数的奇偶性概念的理解；通过从代数的角度给予函数奇偶性严密的代数形式表达，培养严谨、认真、科学的探究精神，并渗透数形结合的数学思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点1.奇函数的定义：设函数y ＝f(x)的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x) ，则这个函数叫做奇函数．2.奇函数的性质：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．3.偶函数的定义：设函数y ＝g(x)的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x∈D，且 g(－x)＝g(x) ，则这个函数叫做偶函数．4.偶函数的性质：如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y 轴 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴 对称，则这个函数为偶函数. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美. 这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．探究点一 奇函数的概念问题1 观察函数f(x)＝x 和f(x)＝1x(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答： 通过观察，得出两函数图象的共同特征为：定义域关于原点对称，图象关于原点对称．问题2 求当x 分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝x 的值，及当x 分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝1x的函数值，从中你能发现什么规律吗？答： 对函数f(x)＝x 有：f(－3)＝－3＝－f(3)，f(－2)＝－2＝－f(2)，f(－1)＝－1＝－f(1)；对函数f(x)＝1x 有：f(－3)＝－13f(3)，f(－2)＝－12＝－f(2)，f(－1)＝－1＝－f(1)．存在的规律是：两个关于原点对称的x 的值，其函数值互为相反数．问题3 你能把问题2中的由具体的函数值得出的规律扩展到一般形式吗？ 答： 对于R 内任意的一个x ，都有f(－x)＝－f(x)．小结 设函数y ＝f(x)的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．问题4 平面直角坐标系中，点P(x ，f(x))关于原点对称的点的坐标是什么？ 答： (－x ，－f(x))．问题5 若点P(x ，f(x))是奇函数y ＝f(x)的图象上的一点，如何说明点P(x ，f(x))关于原点对称的点P′(－x ，－f(x))也在函数y ＝f(x)的图象上？答： 由奇函数的定义知，对于奇函数y ＝f(x)的定义域D 内任意一个x ，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)， 即当x 的值为－x 时，其函数值为－f(x)，所以点P′(－x ，－f(x))也在这个奇函数y ＝f(x)的图象上． 问题6 由问题5的讨论，你能得出奇函数的图象具有怎样的对称性？具有奇函数图象对称性的函数是否为奇函数？ 答： 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 探究点二 偶函数的概念问题1 观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？答： 三个函数的定义域关于原点对称，三个函数的图象关于y 轴对称． 问题2 关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 答： 横坐标互为相反数，纵坐标相等．问题3 怎样说明函数f(x)＝x 2的图象关于y 轴对称？答： 对于R 上任意的一个x ，都有f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x)，即函数f(x)＝x 2的图象上任意一点(x ，f(x))关于y 轴对称的点(－x ，f(x))也在函数y ＝x 2的图象上．所以y ＝x 2的图象关于y 轴对称．问题4 如果函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称，我们就说这个函数是偶函数，类比奇函数的定义，如何定义偶函数？答： 设函数y ＝f(x)的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x), 则这个函数叫做偶函数．问题5 类比奇函数图象的对称性，偶函数的图象有怎样的对称性质？答： 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形； 反之，如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数． 例1 判断下列函数哪些是偶函数：(1)f(x)＝x 2＋1；(2)f(x)＝x 2，x∈[－1,3]；(3)f(x)＝0. 解： (1)由解析式可知函数的定义域为R ， 由于f(－x)＝(－x)2＋1＝x 2＋1＝f(x)， 所以函数为偶函数；(2)由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数； (3)函数的定义域为R ，由于f(－x)＝0＝f(x)， 所以函数为偶函数．小结：利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量． 跟踪训练1 判断下列函数是否为偶函数． (1)f(x)＝(x ＋1)(x －1)；(2)f(x)＝x 3－x 2x －1.解：(1)函数的定义域为R ，因函数f(x)＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1， 又因f(－x)＝(－x)2－1＝x 2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．(2)函数f(x)＝x 3－x 2x －1不是偶函数，因为它的定义域为{x|x∈R 且x≠1}，并不关于原点对称． 例2 判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f(x)＝x ＋x 3＋x 5；(2)f(x)＝x ＋1.解： (1)函数f(x)＝x ＋x 3＋x 5的定义域为R ， 当x∈R 时，－x∈R ，因为f(－x)＝－x －x 3－x 5＝－(x ＋x 3＋x 5)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x ＋x 3＋x 5是奇函数.(2)函数f(x)＝x ＋1的定义域为R ，当x∈R 时，－x∈R ， 因为f(－x)＝－x ＋1＝－(x －1)，－f(x)＝－(x ＋1)． 所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x ＋1既不是奇函数也不是偶函数．小结： (1)对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数．(2)用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立． 跟踪训练2 判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x －2)2＋x2－x； (2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x<－1，0 |x|≤1，－x ＋2 x>1.解： (1)由2＋x2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)x<－1时，f(x)＝x ＋2，－x>1， ∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x ＋2＝f(x)；x>1时，f(x)＝－x ＋2，－x<－1，f(－x)＝－x ＋2＝f(x)．－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．∴对定义域内的每个x 都有f(－x)＝f(x)，因此f(x)是偶函数． 探究点三 函数奇偶性的应用 例3 如图，给出了偶函数y ＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 解 ∵f(－3)>f(－1)，又f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)． ∴f(3)>f(1)．小结 本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)>f(－1)，选用偶函数定义，得f(3)>f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性．跟踪训练3 研究函数y ＝1x2的性质并作出它的图象解： 已知函数的定义域是x≠0的实数集，即{x∈R |x≠0}．由函数的解析式可知：对任意的x 值，对应的函数值y>0，函数的图象在x 轴上方； 函数的图象在x ＝0处断开，被分成两部分； f(－x)＝f(x)，函数为偶函数． 列表、描点，画出函数的图象．由图象可看出，函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列函数中不是偶函数的是 ( D ) A ．f(x)＝－3x 2 B ．f(x)＝3x 2＋|x|C ．f(x)＝＋－2D ．f(x)＝x 2－x ＋12.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，则 ( D ) A ．f(x)－f(－x)>0 B ．f(x)－f(－x)≤0 C ．f(x)·f(－x)>0 D ．f(x)·f(－x)≤0解析： 由f(x)是定义在R 上的奇函数，得f(－x)＝－f(x)，f(x)－f(－x)＝2f(x)，但不知道f(x)的正负，而f(x)·f(－x)＝－f 2(x)≤0是恒成立的，故选D.3.如果偶函数f(x)在区间[－5，－2]上是减函数，且最大值为7，那么f(x)在区间[2,5]上是 ( )A ．增函数且最小值为－7B ．增函数且最大值为7C ．减函数且最小值为－7解析： 因f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于y 轴对称，由对称性可知选B. 课堂小结：1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x ，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．。