考前三个月·浙江专用高考数学文二轮专题复习篇教案：专题六 解析几何 专题六 第二讲

第二讲圆锥曲线的方程与性质

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称椭圆双曲线抛物线

定义

|PF１|＋|PF２|＝２a

（２a＞|F１F２|）

||PF１|—|PF２||

＝２a（２a＜|F１F２|）

|PF|＝|PM|，点F不

在直线l上，PM⊥l

于M

标准方程

错误!＋错误!＝１（a

＞b＞0）

错误!—错误!＝１（a＞

0，b＞0）

y２＝２px（p＞0）图形

几

何

性

质

范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a x≥0

顶点（±a,0）（0，±b）（±a,0）（0,0）

对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称

焦点（±c,0）（错误!，0）

轴

长轴长２a，短轴长２

b

实轴长２a，虚轴长２b

离心率

e＝错误!＝错误!

（0＜e＜１）

e＝错误!＝错误!（e＞

１）

e＝１

准线x＝—错误!

渐近线y＝±错误!x

１．（２0１３·课标全国Ⅱ）设抛物线C：y２＝２px（p>0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝５，若以MF为直径的圆过点（0,２），则C的方程为（）Ａ．y２＝４x或y２＝8xＢ．y２＝２x或y２＝8x

Ｃ．y２＝４x或y２＝１6xＤ．y２＝２x或y２＝１6x

答案C

解析由题意知：F错误!，抛物线的准线方程为x＝—错误!，则由抛物线的定义知，x M＝５—错误!，设以MF为直径的圆的圆心为错误!，所以圆的方程为错误!２＋错误!２＝错误!，又因为圆过点（0,２），所以y M＝４，又因为点M在C上，所以１6＝２p错误!，解得p＝２或p＝8，所以抛物线C的方程为y２＝４x或y２＝１6x，故选Ｃ．

２．（２0１３·课标全国Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则C 的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!x

Ｃ．y＝±错误!xＤ．y＝±x

答案C

解析由e＝错误!＝错误!知，a＝２k，c＝错误!k（k∈R＋），

由b２＝c２—a２＝k２知b＝k.

所以错误!＝错误!.

即渐近线方程为y＝±错误!x.故选Ｃ．

３．（２0１３·山东）抛物线C１：y＝错误!x２（p>0）的焦点与双曲线C２：错误!—y２＝１的右焦点的连线交C１于第一象限的点M.若C１在点M处的切线平行于C２的一条渐近线，则p等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!

答案D

解析抛物线C１的标准方程为：x２＝２py，其焦点F为错误!，双曲线C２的右焦点F′为（２,0），渐近线方程为：y＝±错误!x.

由y′＝错误!x＝错误!得x＝错误!p，故M错误!.

由F、F′、M三点共线得p＝错误!.

４．（２0１３·福建）椭圆Г：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左，右焦点分别为F１，F２，焦距为２c.

若直线y＝错误!（x＋c）与椭圆Г的一个交点M满足∠MF１F２＝２∠MF２F１，则该椭圆的离心率等于

________．

答案错误!—１

解析由直线方程为y＝错误!（x＋c），

知∠MF１F２＝60°，又∠MF１F２＝２∠MF２F１，

所以∠MF２F１＝３0°，MF１⊥MF２，

所以|MF１|＝c，|MF２|＝错误!c，

所以|MF１|＋|MF２|＝c＋错误!c＝２a.即e＝错误!＝错误!—１．

５．（２0１３·浙江）设F为抛物线C：y２＝４x的焦点，过点P（—１,0）的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝２，则直线l的斜率等于________．

答案±１

解析设直线l的方程为y＝k（x＋１），A（x１，y１）、B（x２，y２）、Q（x0，y0）．解方程组错误!.

化简得：k２x２＋（２k２—４）x＋k２＝0，

∴x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝k（x１＋x２＋２）＝错误!.

∴x0＝错误!，y0＝错误!.

由错误!＝２得：错误!２＋错误!２＝４．

∴k＝±１．

题型一圆锥曲线的定义与标准方程

例１（１）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F２在x轴上，离心率为错误!.

过F１的直线l交C于A，B两点，且△ABF２的周长为１6，那么椭圆C的方程为

__________．

（２）已知P为椭圆错误!＋y２＝１和双曲线x２—错误!＝１的一个交点，F１，F２为椭圆的两个焦点，那么∠F１PF２的余弦值为________．

审题破题（１）根据椭圆定义，△ABF２的周长＝４a，又e＝错误!可求方程；（２）在焦点△F１PF２中使用余弦定理．

答案（１）错误!＋错误!＝１（２）—错误!

解析（１）设椭圆方程为错误!＋错误!＝１，由e＝错误!知错误!＝错误!，故错误!＝错误!.

由于△ABF２的周长为|AB|＋|BF２|＋|AF２|＝|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝１6，故a＝４．

∴b２＝8．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．

（２）由椭圆和双曲线的方程可知，F１，F２为它们的公共焦点，不妨设|PF１|>|PF２|，则错误!，所以错误!.又|F１F２|＝２错误!，

由余弦定理可知cos∠F１PF２＝—错误!.

反思归纳圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF１|＋|PF２|>|F１F２|，双曲线的定义中要求||PF１|—|PF２||<|F１F２|.

变式训练１（１）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两个焦点F１，F２，M为双曲线上一点，且满足∠F１MF２＝90°，点M到x轴的距离为错误!.若△F１MF２的面积为１４，则双曲线的渐近线方程为__________．

答案y＝±错误!x

解析由题意得错误!·２c·错误!＝１４，所以c＝４．

又错误!

所以a＝错误!，b＝错误!.所以渐近线方程为y＝±错误!x.

（２）设斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为________．

答案y２＝±8x

解析抛物线y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，过焦点且斜率为２的直线方程为y＝

２错误!，令x＝0得y＝—错误!.

∴△OAF的面积为错误!×错误!×错误!＝４，

∴a２＝6４，∴a＝±8．

∴抛物线方程为y２＝±8x.

题型二圆锥曲线的性质