考前三个月·浙江专用高考数学文二轮专题复习篇教案：专题六 解析几何 专题六 第二讲

第二讲圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称椭圆双曲线抛物线
定义
|PF１|＋|PF２|＝２a
（２a＞|F１F２|）
||PF１|—|PF２||
＝２a（２a＜|F１F２|）
|PF|＝|PM|，点F不
在直线l上，PM⊥l
于M
标准方程
错误!＋错误!＝１（a
＞b＞0）
错误!—错误!＝１（a＞
0，b＞0）
y２＝２px（p＞0）图形
几
何
性
质
范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a x≥0
顶点（±a,0）（0，±b）（±a,0）（0,0）
对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称
焦点（±c,0）（错误!，0）
轴
长轴长２a，短轴长２
b
实轴长２a，虚轴长２b
离心率
e＝错误!＝错误!
（0＜e＜１）
e＝错误!＝错误!（e＞
１）
e＝１
准线x＝—错误!
渐近线y＝±错误!x
１．（２0１３·课标全国Ⅱ）设抛物线C：y２＝２px（p>0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝５，若以MF为直径的圆过点（0,２），则C的方程为（）Ａ．y２＝４x或y２＝8xＢ．y２＝２x或y２＝8x
Ｃ．y２＝４x或y２＝１6xＤ．y２＝２x或y２＝１6x
答案C
解析由题意知：F错误!，抛物线的准线方程为x＝—错误!，则由抛物线的定义知，x M＝５—错误!，设以MF为直径的圆的圆心为错误!，所以圆的方程为错误!２＋错误!２＝错误!，又因为圆过点（0,２），所以y M＝４，又因为点M在C上，所以１6＝２p错误!，解得p＝２或p＝8，所以抛物线C的方程为y２＝４x或y２＝１6x，故选Ｃ．
２．（２0１３·课标全国Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则C 的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!x
Ｃ．y＝±错误!xＤ．y＝±x
答案C
解析由e＝错误!＝错误!知，a＝２k，c＝错误!k（k∈R＋），
由b２＝c２—a２＝k２知b＝k.
所以错误!＝错误!.
即渐近线方程为y＝±错误!x.故选Ｃ．
３．（２0１３·山东）抛物线C１：y＝错误!x２（p>0）的焦点与双曲线C２：错误!—y２＝１的右焦点的连线交C１于第一象限的点M.若C１在点M处的切线平行于C２的一条渐近线，则p等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案D
解析抛物线C１的标准方程为：x２＝２py，其焦点F为错误!，双曲线C２的右焦点F′为（２,0），渐近线方程为：y＝±错误!x.
由y′＝错误!x＝错误!得x＝错误!p，故M错误!.
由F、F′、M三点共线得p＝错误!.
４．（２0１３·福建）椭圆Г：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左，右焦点分别为F１，F２，焦距为２c.
若直线y＝错误!（x＋c）与椭圆Г的一个交点M满足∠MF１F２＝２∠MF２F１，则该椭圆的离心率等于
________．
答案错误!—１
解析由直线方程为y＝错误!（x＋c），
知∠MF１F２＝60°，又∠MF１F２＝２∠MF２F１，
所以∠MF２F１＝３0°，MF１⊥MF２，
所以|MF１|＝c，|MF２|＝错误!c，
所以|MF１|＋|MF２|＝c＋错误!c＝２a.即e＝错误!＝错误!—１．
５．（２0１３·浙江）设F为抛物线C：y２＝４x的焦点，过点P（—１,0）的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝２，则直线l的斜率等于________．
答案±１
解析设直线l的方程为y＝k（x＋１），A（x１，y１）、B（x２，y２）、Q（x0，y0）．解方程组错误!.
化简得：k２x２＋（２k２—４）x＋k２＝0，
∴x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝k（x１＋x２＋２）＝错误!.
∴x0＝错误!，y0＝错误!.
由错误!＝２得：错误!２＋错误!２＝４．
∴k＝±１．
题型一圆锥曲线的定义与标准方程
例１（１）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F２在x轴上，离心率为错误!.
过F１的直线l交C于A，B两点，且△ABF２的周长为１6，那么椭圆C的方程为
__________．
（２）已知P为椭圆错误!＋y２＝１和双曲线x２—错误!＝１的一个交点，F１，F２为椭圆的两个焦点，那么∠F１PF２的余弦值为________．
审题破题（１）根据椭圆定义，△ABF２的周长＝４a，又e＝错误!可求方程；（２）在焦点△F１PF２中使用余弦定理．
答案（１）错误!＋错误!＝１（２）—错误!
解析（１）设椭圆方程为错误!＋错误!＝１，由e＝错误!知错误!＝错误!，故错误!＝错误!.
由于△ABF２的周长为|AB|＋|BF２|＋|AF２|＝|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝１6，故a＝４．
∴b２＝8．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．
（２）由椭圆和双曲线的方程可知，F１，F２为它们的公共焦点，不妨设|PF１|>|PF２|，则错误!，所以错误!.又|F１F２|＝２错误!，
由余弦定理可知cos∠F１PF２＝—错误!.
反思归纳圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF１|＋|PF２|>|F１F２|，双曲线的定义中要求||PF１|—|PF２||<|F１F２|.
变式训练１（１）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两个焦点F１，F２，M为双曲线上一点，且满足∠F１MF２＝90°，点M到x轴的距离为错误!.若△F１MF２的面积为１４，则双曲线的渐近线方程为__________．
答案y＝±错误!x
解析由题意得错误!·２c·错误!＝１４，所以c＝４．
又错误!
所以a＝错误!，b＝错误!.所以渐近线方程为y＝±错误!x.
（２）设斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为________．
答案y２＝±8x
解析抛物线y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，过焦点且斜率为２的直线方程为y＝
２错误!，令x＝0得y＝—错误!.
∴△OAF的面积为错误!×错误!×错误!＝４，
∴a２＝6４，∴a＝±8．
∴抛物线方程为y２＝±8x.
题型二圆锥曲线的性质
例２（１）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y２＝１6x的准线交于A，B两点，|AB|＝４错误!，则C的实轴长为（）
Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４Ｄ．8
（２）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F１，F２，若曲线C上存在点P满足|PF１|∶|F１F２|∶|PF２|＝４∶３∶２，则曲线C的离心率等于（）
Ａ．错误!或错误!Ｂ．错误!或２
Ｃ．错误!或２Ｄ．错误!或错误!
审题破题（１）利用抛物线的几何性质结合方程组求解；（２）由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线，再由离心率的定义即可求解．
答案（１）C （２）A
解析（１）设C：错误!—错误!＝１．
∵抛物线y２＝１6x的准线为x＝—４，联立错误!—错误!＝１和x＝—４得A（—４，错误!），B（—４，—错误!），
∴|AB|＝２错误!＝４错误!，
∴a＝２，∴２a＝４．∴C的实轴长为４．
（２）当曲线C为椭圆时，e＝错误!＝错误!＝错误!；
当曲线C为双曲线时，e＝错误!＝错误!＝错误!.
反思归纳（１）求椭圆或双曲线的离心率的方法：
１直接求出a和c，代入e＝错误!；
２建立关于a，b，c的方程或不等式，然后把b用a，c代换．通过解关于错误!的方程或不等式求得离心率的值或范围．
（２）研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a、b、c或者建立a、b、c的关系式（等式或不等式），然后根据概念讨论相应的几何性质．
变式训练２（１）已知O为坐标原点，双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点为F，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若（错误!＋错误!）·错误!＝0，则双曲线的离心率e为（）
Ａ．２Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案C
解析如图，设OF的中点为T，由（错误!＋错误!）·错误!＝0可知
AT⊥OF，
又A在以OF为直径的圆上，∴A错误!，
又A在直线y＝错误!x上，
∴a＝b，∴e＝错误!.
（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左顶点与抛物线y２＝２px（p>0）的焦点的距离为４，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（—２，—１），则双曲线的焦距为
（）Ａ．２错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４错误!Ｄ．４错误!
答案B
解析由错误!，解得错误!，
由题意得错误!，得错误!，
又知错误!＋a＝４，故a＝２，b＝１，
c＝错误!＝错误!，∴焦距２c＝２错误!.
题型三直线与圆锥曲线的位置关系
例３已知过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点，斜率为２错误!的直线交抛物线于A（x１，y１），B（x２，y２）（x１<x２）两点，且|AB|＝9．
（１）求该抛物线的方程．
（２）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若错误!＝错误!＋λ错误!，求λ的值．
审题破题（１）联立方程，利用焦点弦公式求解；（２）先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C在抛物线上求解．
解（１）直线AB的方程是y＝２错误!（x—错误!），与y２＝２px联立，从而有４x２—５px＋p２＝0，
所以x１＋x２＝错误!.
由抛物线定义得|AB|＝x１＋x２＋p＝9，
所以p＝４，从而抛物线方程是y２＝8x.
（２）由p＝４知４x２—５px＋p２＝0可化为x２—５x＋４＝0，
从而x１＝１，x２＝４，y１＝—２错误!，y２＝４错误!，
从而A（１，—２错误!），B（４,４错误!）．
设错误!＝（x３，y３）＝（１，—２错误!）＋λ（４,４错误!）
＝（４λ＋１，４错误!λ—２错误!），
又y错误!＝8x３，所以[２错误!（２λ—１）]２＝8（４λ＋１），
即（２λ—１）２＝４λ＋１，解得λ＝0或λ＝２．
反思归纳解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：
（１）设方程及点的坐标；
（２）联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程（注意二次项系数是否为零）；
（３）应用根与系数的关系及判别式；
（４）结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．
变式训练３已知平面内一动点P到点F（１,0）的距离与点P到y轴的距离的差等于１．（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l１，l２，设l１与轨迹C相交于点A，B，l２与轨迹C 相交于点D，E，求错误!·错误!的最小值．
解（１）
设动点P的坐标为（x，y），由题意有错误!—|x|＝１．
化简得y２＝２x＋２|x|.
当x≥0时，y２＝４x；当x<0时，y＝0．
所以，动点P的轨迹C的方程为y２＝４x（x≥0）和y＝0 （x<0）．
（２）由题意知，直线l１的斜率存在且不为0，设为k，则l１的方程为y＝k（x—１）．
由错误!得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0．
设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１，x２是上述方程的两个实根，
于是x１＋x２＝２＋错误!，x１x２＝１．
因为l１⊥l２，所以l２的斜率为—错误!.
设D（x３，y３），E（x４，y４），
则同理可得x３＋x４＝２＋４k２，x３x４＝１．
故错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）
＝错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!
＝|错误!|·|错误!|＋|错误!|·|错误!|
＝（x１＋１）（x２＋１）＋（x３＋１）（x４＋１）
＝x１x２＋（x１＋x２）＋１＋x３x４＋（x３＋x４）＋１
＝１＋错误!＋１＋１＋（２＋４k２）＋１
＝8＋４错误!≥8＋４×２错误!＝１6．
当且仅当k２＝错误!，即k＝±１时，错误!·错误!取最小值１6．
典例（１４分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F
（—１,0），且点P（0,１）在C１上．
１
（１）求椭圆C１的方程；
（２）设直线l同时与椭圆C１和抛物线C２：y２＝４x相切，求直线l的方程．
规范解答
解（１）因为椭圆C１的左焦点为F１（—１,0），所以c＝１．
将点P（0,１）代入椭圆方程错误!＋错误!＝１，得错误!＝１，即b＝１，
所以a２＝b２＋c２＝２．
所以椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１．[４分]
（２）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由
错误!
消去y并整理得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0．
因为直线l与椭圆C１相切，
所以Δ１＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）＝0．
整理得２k２—m２＋１＝0．１[7分]由错误!
消去y并整理得k２x２＋（２km—４）x＋m２＝0．
因为直线l与抛物线C２相切，
所以Δ２＝（２km—４）２—４k２m２＝0，整理得km＝１．２[１0分]
综合１２，解得错误!或错误!
所以直线l的方程为y＝错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!. [１４分]评分细则（１）得到b＝１给２分；（２）两个判别式应用中，得到化简后的方程均给１分，判别式等于0没化简不扣分；（３）k、m的值不全扣２分．
阅卷老师提醒（１）对于直线和圆锥曲线相切的问题，除曲线为y２＝ax形式的，一般都利用判别式．
（２）直线和圆锥曲线是高考热点，判别式、弦长公式、设而不求思想是常用工具．
１．（２0１３·四川）抛物线y２＝４x的焦点到双曲线x２—错误!＝１的渐近线的距离是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!
答案B
解析抛物线y２＝４x的焦点F（１,0），双曲线x２—错误!＝１的渐近线是y＝±错误!x，即错误!x±y ＝0，∴所求距离为错误!＝错误!.选Ｂ．
２．（２0１３·湖北）已知0＜θ<错误!，则双曲线C１：错误!—错误!＝１与C２：错误!—错误!＝１的（）
Ａ．实轴长相等Ｂ．虚轴长相等
Ｃ．焦距相等Ｄ．离心率相等
答案D
解析双曲线C１：e＝错误!＝错误!，
双曲线C２：e＝错误!＝１＋tan２θ＝错误!，
∴C１，C２离心率相等．
３．已知方程错误!＋错误!＝１表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．（１，＋∞）
Ｃ．（１,２）Ｄ．错误!
答案C
解析由题意可得，２k—１>２—k>0，
即错误!解得１<k<２，故选Ｃ．
４．（２0１３·江西）抛物线x２＝２py（p>0）的焦点为F，其准线与双曲线错误!—错误!＝１相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案6
解析因为△ABF为等边三角形，
所以由题意知B错误!，
代入方程错误!—错误!＝１得p＝6．
５．（２0１３·湖南）设F１，F２是双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF１|＋|PF２|＝6a且△PF１F２的最小内角为３0°，则双曲线C的离心率为______．
答案错误!
解析不妨设|PF１|>|PF２|，
则|PF１|—|PF２|＝２a，
又∵|PF１|＋|PF２|＝6a，∴|PF１|＝４a，|PF２|＝２a.
又在△PF１F２中，∠PF１F２＝３0°，
由正弦定理得，∠PF２F１＝90°，∴|F１F２|＝２错误!a，
∴双曲线C的离心率e＝错误!＝错误!.
6．（２0１３·辽宁）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝１0，|AF|＝6，cos∠ABF＝错误!，则C的离心率e＝________.
答案错误!
解析如图，在△ABF中，|AB|＝１0，|AF|＝6，且cos∠ABF＝错误!，
设|BF|＝m，
由余弦定理，得
6２＝１0２＋m２—２0m·错误!，
∴m２—１6m＋6４＝0，∴m＝8．
因此|BF|＝8，AF⊥BF，c＝|OF|＝错误!|AB|＝５．
设椭圆右焦点为F′，连接BF′，AF′，
由对称性，|BF′|＝|AF|＝6，
∴２a＝|BF|＋|BF′|＝１４．
∴a＝7，因此离心率e＝错误!＝错误!.
专题限时规范训练
一、选择题
１．（２0１３·广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（３,0），离心率等于错误!，则C的方程是（）
Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１
Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１
答案B
解析由题意知：c＝３，e＝错误!＝错误!，∴a＝２；b２＝c２—a２＝9—４＝５，故所求双曲线方程为
错误!—错误!＝１．
２．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（２，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为３，则|OM|等于（）
Ａ．２错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４Ｄ．２错误!
答案B
解析由题意设抛物线方程为y２＝２px（p>0），则M到焦点的距离为x M＋错误!＝２＋错误!＝３，∴p＝２，∴y２＝４x.
∴y错误!＝４×２＝8，
∴|OM|＝错误!＝错误!＝２错误!.
３．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左，右焦点分别为F１，F２，过F２作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F２H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．３
答案A
解析取双曲线的渐近线y＝错误!x，则过F２与渐近线垂直的直线方程为y＝—错误!（x—c），可解得点H的坐标为错误!，则F２H的中点M的坐标为错误!，代入双曲线方程错误!—错误!＝１可得错误!
—错误!＝１，整理得c２＝２a２，即可得e＝错误!＝错误!，故应选Ａ．
４．设F１、F２分别是双曲线x２—错误!＝１的左、右焦点，若点P在双曲线上，且错误!·错误!＝0，则|错误!
＋错误!|等于（）
Ａ．错误!Ｂ．２错误!
Ｃ．错误!Ｄ．２错误!
答案B
解析如图，由错误!·错误!＝0，可得错误!⊥错误!，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF１QF２为矩形，因为矩形的对角线相等，故有错误!＋错误!
|＝|错误!|＝２c＝２错误!，
所以选Ｂ．
５．已知抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为２的正三角形，则p的值是（）
Ａ．２±错误!Ｂ．２＋错误!
Ｃ．错误!±１Ｄ．错误!—１
答案A
解析依题意得F错误!，设P错误!，Q错误!（y１≠y２）．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得错误!＋错误!
＝错误!＋错误!，∴y错误!＝y错误!，∴y１＝—y２.又|PQ|＝２，因此|y１|＝|y２|＝１，点P错误!.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝错误!＋错误!＝２，由此解得p＝２±错误!，故选Ａ．
6．（２0１３·浙江）如图，F１，F２是椭圆C１：错误!＋y２＝１与双曲线C２的公共焦点，A，B分别是C
，C２在第二、四象限的公共点．若四边形AF１BF２为矩形，则C２的离心率是（）
１
Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
答案D
解析|F１F２|＝２错误!.设双曲线的方程为错误!—错误!＝１．
∵|AF２|＋|AF１|＝４，|AF２|—|AF１|＝２a，
∴|AF２|＝２＋a，|AF１|＝２—a.
在Rt△F１AF２中，∠F１AF２＝90°，
∴|AF１|２＋|AF２|２＝|F１F２|２，
即（２—a）２＋（２＋a）２＝（２错误!）２，
∴a＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．
7．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两条渐近线均和圆C：x２＋y２—6x＋５＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）
Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１
Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１
答案A
解析∵双曲线错误!—错误!＝１的渐近线方程为y＝±错误!x，
圆C的标准方程为（x—３）２＋y２＝４，
∴圆心为C（３,0）．
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx—ay＝0与圆C相切，
∴错误!＝２，∴５b２＝４a２. １
又∵错误!—错误!＝１的右焦点F２（错误!，0）为圆心C（３,0），
∴a２＋b２＝9．２
由１２得a２＝５，b２＝４．
∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．
8．（２0１２·安徽）过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝３，则△AOB的面积为（）
Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!
答案C
解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为（１,0），
又|AF|＝３，
由抛物线定义知：点A到准线x＝—１的距离为３，
∴点A的横坐标为２．
将x＝２代入y２＝４x得y２＝8，
由图知点A的纵坐标y＝２错误!，
∴A（２,２错误!），
∴直线AF的方程为y＝２错误!（x—１）．
联立直线与抛物线的方程错误!
解之得错误!或错误!
由图知B错误!，
∴S△AOB＝错误!|OF|·|y A—y B|＝错误!×１×|２错误!＋错误!|
＝错误!错误!.故选Ｃ．
二、填空题
9．已知F１、F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，过F１的直线交椭圆于A、B两点．若|F２A|＋|F２B|＝１２，则|AB|＝________.
答案8
解析如图所示，由椭圆定义得
|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝２0，
又|AF２|＋|BF２|＝１２，
所以|AF１|＋|BF１|＝8，即|AB|＝8．
１0．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）与双曲线C２：错误!—错误!＝１有相同的渐近线，且C１的右焦点为F（错误!，0），则a＝________，b＝________.
答案１２
解析与双曲线错误!—错误!＝１有共同渐近线的双曲线的方程可设为错误!—错误!＝λ，即错误!—错误!＝１（λ≠0）．
由题意知c＝错误!，则４λ＋１6λ＝５⇒λ＝错误!，则a２＝１，b２＝４．又a>0，b>0，故a＝１，b＝２．
１１．设F１、F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6,４），则|PM|＋|PF１|的最大值为________．
答案１５
解析|PF１|＋|PF２|＝１0，|PF１|＝１0—|PF２|，|PM|＋|PF１|＝１0＋|PM|—|PF２|，易知M点在椭圆外，连接MF２并延长交椭圆于P点，此时|PM|—|PF２|取最大值|MF２|，故|PM|＋|PF１|的最大值为１0＋|MF２|＝１0＋错误!＝１５．
１２．过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点F作圆x２＋y２＝错误!的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
答案错误!
解析设双曲线的右焦点为F′，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝２×错误!＝a，故|PF|＝３a，根据勾股定理得|FF′|＝错误!a.所以双曲线的离心率为错误!＝错误!.
三、解答题
１３．（２0１２·安徽）如图，F １、F２分别是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF２与椭圆C的另一个交点，∠F１AF２＝60°.
（１）求椭圆C的离心率；
（２）已知△AF１B的面积为４0错误!，求a，b的值．
解（１）由题意可知，△AF１F２为等边三角形，a＝２c，
所以e＝错误!.
（２）方法一a２＝４c２，b２＝３c２，直线AB的方程为
y＝—错误!（x—c），
将其代入椭圆方程３x２＋４y２＝１２c２，得B错误!，
所以|AB|＝错误!·错误!＝错误!c.
由S△AF１B＝错误!|AF１|·|AB|·sin∠F１AB＝错误!a·错误!c·错误!＝错误!a２＝４0错误!，解得a＝１0，b＝５错误!.
方法二设|AB|＝t.因为|AF２|＝a，所以|BF２|＝t—a.
由椭圆定义|BF１|＋|BF２|＝２a可知，|BF１|＝３a—t，
再由余弦定理（３a—t）２＝a２＋t２—２at cos 60°可得，t＝错误!a.
由S△AF１B＝错误!a·错误!a·错误!＝错误!a２＝４0 错误!知，
a＝１0，b＝５错误!.
１４．（２0１３·课标全国Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）右焦点的直线x＋y—错误!＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为错误!.
（１）求M的方程；
（２）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则
错误!＋错误!＝１１
错误!＋错误!＝１２
１—２，得错误!＋错误!＝0．
因为错误!＝—１，设P（x0，y0），
因为P为AB的中点，且OP的斜率为错误!，
所以y0＝错误!x0，即y１＋y２＝错误!（x１＋x２）．
所以可以解得a２＝２b２，即a２＝２（a２—c２），即a２＝２c２，
又因为c＝错误!，所以a２＝6，
所以M的方程为错误!＋错误!＝１．
（２）因为CD⊥AB，直线AB方程为x＋y—错误!＝0，
所以设直线CD方程为y＝x＋m，
将x＋y—错误!＝0代入错误!＋错误!＝１得：
３x２—４错误!x＝0，即A（0，错误!），B错误!，
所以可得|AB|＝错误!；
将y＝x＋m代入错误!＋错误!＝１得：
３x２＋４mx＋２m２—6＝0，
设C（x３，y３），D（x４，y４），
则|CD|＝错误!错误!＝错误!错误!，
又因为Δ＝１6m２—１２（２m２—6）>0，即—３<m<３，
所以当m＝0时，|CD|取得最大值４，所以四边形ACBD面积的最大值为错误!|AB|·|CD|＝错误!.。