文献检索 实践作业

《文献检索》实践作业一

此写文章以“enquality Jensen ”为中心。

enquality Jensen ：∑∑==≤n

i i

i n

i i i x f x f 1

1

)()(λλ，其中f 为I 上凸函数，对

∑===>∈n

i i i i n i I x 1

1

,,...3,2,1,0,λλ并且

首先，将此不等式与同期不等式比较，得出结论：同时期的不等式，

enquality Jensen 是最优的；

继而，证明此不等式，由凸函数简单易得，并将之推导过程证明列出； 定义1、设f 为定义在区间I 上，如果任给)1,0(,,21∈∈λI x x 总有

)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，则称f 为区间I 上的（往下）凸函数，

简称为凸函数，由凸函数的定义及数学归纳法便可得到enquality Jensen 。 然后，其广泛应用于数学与统计学中，也证明得出了其它不等式（均值不等式、柯西不等式、Holder 不等式等），也推广得了一些线性泛函的实值函数的线性类上定义的概念。

以Jensen 不等式证明Hölde 不等式及其推广为例： 引理

1：Jensen 不等式

若

()

f x 在

[]

,a b 为凹

函数，则对于任意

(),1,2,,i i a b i n =,0i λ>()1,2,

,i n =,11n

i i λ==∑,则有()11

n n

i i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑，

()1,2,,i n =

用Jensen 不等式证明Hölde 不等式

令()ln f x x =，则()21

0f x x ''=-<，所以()f x 在()0,+∞为凹函数，则对于

任意(),01,2,

,i i x y i n >=,

11

1p q

+=由Jensen 不等式可知 11

ln ln ln i i i i x y x y p q p

q ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭

两边取e 为底的对数可得

11

p q i i

i i x y x y p q

+≥ 令1

1

,p

q

i i i i n

n

p q i

i

i i a b x y a

b

===

=

∑∑

则11

111111

111n

i i

n

n

p q i i

i i i i n n p q

p q i

i i i a b

x y x y p q a b =====+=≥=

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑∑∑

整理后即得到H ölder 不等式：111111n

n

n

p

q

p q i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫

≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑

推广的证明：设0(1,2,

,ij a i n >= 1,2,,)j s =

则有1

11

11j

j n

n

s

s

p p ij ij j j i i a a ====⎛⎫

∏≤∏ ⎪⎝⎭

∑∑，其中111s

j j p ==∑（

证明

令()ln f x x =，则()21

0f x x

''=-<，所以()f x 在()0,+∞为凹函数，则对于

任意()()01,2,

,1,2,

,ij a i n j s >==,1

1

1s

j j

p ==∑

由Jensen 不等式可知 ()11ln ln 1,2,,s s ij ij j j j j x x i n p p ==⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝

⎭∑∑

两边取e 为底的对数可得

()1

1

1

1,2,

,j s

s

p ij

ij

j j j

x x

i n p

==≥∏=∑

令1

j

j p

ij ij n

p ij

i a x a

==

∑可以得到

11

1

11

11

11

1

1

11j j

j n

s

ij

s n

n s

n

s

j p ij

ij

i ij

j j i i j i n j

j

s

p p ij j i a

x x x

p p

a ==========∏==≥∏=

⎛⎫∏ ⎪⎝⎭

∑∑∑∑∑∑∑

整理后得到1

1111j

j n n

s

s

p p ij ij j j i i a a ====⎛⎫

∏≤∏ ⎪⎝⎭

∑∑

取等条件

1

(n

ik

i aik

c c a

==∑为常数，1,2,,)k s =