正弦稳态电路的分析

x
第九章
正弦稳态电路
的分析
本章重点:
1. 阻抗，导纳及的概念
2. 正弦电路的分析方法
3. 正弦电路功率的计算
4. 谐振的概念及谐振的特点
本章难点：如何求电路的参数 主要内容
X arctg
为阻抗角(辐角)；
R
1 1
可见，当X.>0，即L 一时，Z 是感性； 当X<0,即卩L 一时，Z 呈容性。

c
c
(3)阻抗三角形:
1 •阻抗 (1)复阻抗：Z § 9-1
阻抗和导纳
R jX
R=Re[Z] Z cos z 称为电阻;
X=Im[Z]=
⑵RLC 串联电路的阻抗:
称电抗。

Z sin
z
j( L j(X L
丄)
c
X C ) R
jX
式中X L
L 称为感抗；X C
称为容抗;
X X L X C L — c
式中Z
为阻抗的模;
Z R
2 •导纳
x
1
(1)复导纳：丫 一
Z
⑵RLC 并联电路的导纳:
(3)导纳三角形：
3.阻抗和导纳的等效互换
§ 9-2 阻抗(导纳)的串联和并联
1. 阻抗串联：
(1) 等效阻抗：Z e q 乙Z 2川Z n (2) 分压作用：U |K 互U, k 1,2,|||,n
Z
eq
2. 导纳并联
(1) 等效导纳：Y eq 丫1 丫2 |||Y n (2) 分流作用：|[ 丫M 〔,
k 1,2,|||, n
3. 两个阻抗并联:
式中Y
I
一
「.G 2 B 2称为导纳的模;
B
Y
arCtan
G 称为导纳角;
G Re[Y] 丫 cos 丫称为电导; lm[Y] Y sin 丫称为电纳。

Y
G jB
1
c
飞)
j(B c B L )
G jB Y
式中B L
—称为感纳；
L
L
可见，当B 0,即c —时,
L
B c
C 称为容纳; B B c B
L
Y 呈容性；当B 0,即c
1
—,丫呈感性
(1)RLC 串联电路的等效导纳:
⑵RLC 并联电路的等效阻抗:
Y R
R 2 X 2 G j 一
G B G
X
J "
R 2 X 2 B B
B
G
Y
§ 9-3 电路的相量图
相量图可直观地表示相量之间的关系，并可辅助电路的分析和计算，相量图的做法：
⑴ 按比例化出各相量的模(有效值)，并确定各相量的相位，相对地确定相量在复平面图上的位
(2) 若没有给定参考相量时，并联电路以电压相量为参考相量，根据支路的VCR 确定各并联支路
的电流相量与电压相量之间的夹角；然后根据结点上的
KCL 方程，用相量平移求和法则，
画出结点各支路电流相量组成的多变形。

串联电路以电流相量为参考相量，根据VCR 确定有 关电压相量与电流相量的夹角，再根据回路上的KVL 方程，用相量平移求和的法则，画出回 路上个电压相量所组成的多边形。

(3) 串并联电路往往先设并联电压为参考相量，即先并后串。

§ 9-4 正弦稳态电路的分析
用相量法分析正弦稳态电路时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定律可推广用于线性 电路的正弦稳态分析，差别仅在于所设电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式 描述的电路定律，而计算则为复数运算。

§ 9-5 正弦稳态电路的功率
u 、2U cos( t u ) i .2I cos( t i )
P ui UI cos UI cos(2 t 2 u ) 1
⑵平均功率(有功功率)：P — pdt UI cos (W) T
def
⑶无功功率：Q UI sin (var)
⑴等效阻抗：Z
乙
Z 2 乙Z 2
⑵分流作用：l |
Z 2 Z i Z 2
(1)瞬时功率：设
def
⑷视在功率：S UI (VA)
—2 °Q ⑸P , Q S之间的关系：P Seos , Q Ssin , S . P Q arctan
平P
(7)RLC串联电路的功率
P UI cos Z 12cos RI2
Q UI sin Zl2sin ( L —)I2Q L Q C
c
§ 9-6复功率
(2)复功率守恒：电路中有功、无功复功率守恒，但视在功率不守恒，即
S 0 S 0
P
⑶感性负载并电容提高功率因数：C -J7(tg 1 tg )
§ 9-7最大功率传输
(1)负载获得最大功率条件: Z
eq R eq jX eq
(1)复功率F'J I I
UI UI cos jUI sin P jQ 12Z U2Y P UI cos 0 Q UI sin 0
§ 9-8串联电路的谐振
1串联电路的谐振条件: (1) 谐振条件：lm[Z(j )] 0,即 0L
(2) 谐振频率:
2•串联电路谐振的特征： (1)呈电阻性，阻抗最小[Z(j ) R, 0];
⑵电流最大(I U )
R
⑶ 电压谐振，即U L U C QU ( Q ―丄 —1— 丄); R °CR R V C ⑷电路的无功功率为零，即Q 0,cos 0
§ 9-9并联谐振电路
1 •并联谐振条件 (1)谐振条件：Im[Y(j 0)]
0,即 0L
2 •并联谐振的特征
(1)导纳最小(阻抗最大)，呈电阻性[Y(j 0) G,Z(j 0) R, 0]
(2)负载获得最大功率: R nax
2 oc
4R eq
(2)谐振频率:
1
C
1
°
C
⑵ 端电压最大［U( 0) Z(j 0) I S RI S ］； ⑶电流谐振，即I L I C Ql s (Q —
°
C 1 . C ) L
C
°LG G GYL
⑷电路的无功功率为零，即Q Q L Q C 0。

典型习题：
习题 9-11 已知附图电路中，u 220「2cos(250t 20 )V ，R 110
，C 1 20 F,
C 2 80 F, L 1H 。

求电路中各电流表的读数和电路的输入阻抗，画出电路的相量图
解：首先计算X L 和X C 。

X L L 250 1
250
则LC 串联支路的总阻抗Z 为
j(X L X C 1
X C 2)
j(250 200 50) 0
这条支路相当于短路，所以可得电流表的读数为
解:
题9-11图
X C
C
1
6
250 20 10
200
X C 2
C
2
250 80 10 6
50
题解9-11图
(j 200) 400 70 V (j50) 400 70 V
(j250) 400 110 V
相量图如题解9-11图所示
注意：LC 串联支路的总电压为零，即发生了串联谐
振，但各元件上的电压不为零，甚至可 大于输入电压。

有 KVL 得，有 RjL U C 0 即
10l | 10||2
0.5 10 0
( j20)
联立以上求解方程，得
lL 5 j5 5 .2 -45 A I 2 5 j5 5,2 +45 A
相量图如题解9-15所示
各相量为
A 0
U 220 A — 2A
R 110
U 220 20 V h 2 20 A d e I
I
jx
ci
2 20
2 20 2 20
习题9-15已知附图电路中，I s 10A ， 5000rad/s ，R R 2 10 ，C 10 F ， 0.5。

解法一：设支路电流如图所示。

另I
S
10 0 A 为参考相量，容抗为
X C
根据KCL ，有l|s
1 1
C 5000 10 10 l | I ^
10 0 A
20
U
C2
U L
jX c2 jX L
|2
R 2
题9-15图
解法二：应用结点法计算，对结点①列方程G 訓4 iS
—(jX c I s)
j X C I
解得：U1上〒一j0.05 20 10 10
0.2
50 j50V 50.2 45 V
R2
所以电流为: C
RT
50 j50 0.5 10 ( j20)
10
5 j5A j5A
习题9-24求图示一端口的戴维宁(或诺顿)等效电路。

Q 6 0V
j5)1
a □OC
解(a)：先求开路电压OC
o 其中
c
题9-24图
由于开
路,
R3丄j C
R3 —
j C
l| 0 ,故受控电流源l| 0 ,所以有
U s Z
R2Z
R a
j CR a 1
R 3
3
所以电路的等效阻抗Zeq
OC S
所以 U OC
j
C R R 1
汗
R R R
3
R R 2 R J j CR 3(R R ,)
2
j CR 3 1
求短路电流。

把ab 短路，电路等效为题解9-24图(a1)，由KVL,可得
等效电路如题图(a2)所示。

亠
A
6 j5
S
R
3
-I==F R 1
O U
I SC R 2
SC
+
乙q
I OC
O U
al
a2
(R
SC
电路的等效阻抗Z eq
OC SC
题解9-24图 R 2)l Lc
I U SC R 2
S
R 1 R 2
R 2
R 3
(R
1
& R 2)
R 1 R
2 R
j C (R 1 R
2
)
解(b)：求开路电压U OC 。

由 KVL ,可列方程
OC
j 5I 6I
其中
11
6 6 j10 12 j10 OC
(6
%
6
)3 0 V j10
求短路电流。

把ab 短路如题解 9-24图(bl)所示。

由图可知:
(6 j10)I
j5lL 6
6 j5 卫A
6 j5
Il
sc
j 5
j5
题解9-24图
解(c):求短路电流。

把ab 短路如题解9-24图(C1)所示，由图可得
题解9-24图
把电压源短路，求等效电导，有
等效电路为一电流源，如题图(C2)所示。

习题 9-28 附图电路中 i s ,2cos(1dt)A ，Z 1 (10 j50) ，Z 2
解：应用分流公式，可得
I 1 址
j50 1 0 Z 1 Z 2 10 j50 j50 1I 2 l|s I (1
1 j5 .26 78.69 A
乙,Z 2吸收的复功率为
S 乙I ；
(10 j50) 52 250 j1250V A
S2 乙I ；
j50 C- 26)2 j1300V A
等效电路如题解图(b2)所示
H sc
20 0 j10
2jA
1 1 j10
j10
j50 。

求乙,Z 2吸收的复功
率，并验证整个电路复功率守恒，即有 S 0
I S I 1 f
1 Z
2 1
a
b
C2
题9-28图
由于电流源两端的电压分量为
U乙|1 (10 j50)( j5) 250 50 jV
所以电流源发出的复功率为
S Ui S (250 j50) 1 0 250
显然有S S S2,即复功率守恒。

习题9-40求图示电路中Z的最佳匹配值。

j50V A
1 1
T"C
o_Il
+
u
解：把U S短接,
因此输入阻抗
Z in
U S U C U C—>
R1
题解9-40图题9-40图
Z断开，外加电压，求出输入阻抗。

由题解9-40图可得U C
uLj C
U
C
R
U
C (J j C)U c
R
1
R
1
1 & R (1 j CRJ
—j C 1 j CR (1 )2( CR1)2
故Z的最佳匹配值为Z Z
in R1 (1 j CR1)
2 2
(1 ) ( CR1)。