第二章 多元函数微分法及其应用 第四节 多元函数微分法在几何上的应用

第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
解 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
y dy dx dy dx z dz dx x
dy

dx
dz dx


z x
x y yz
yz
,
,
dy dx
dz dx
(1, 2 , 1 )
0,
(1, 2 , 1 )
dz dx
或
第 八 章
(F , G ) T ( y, z )
,
M
(F , G ) (z , x)
M
, ( x , y) M (F , G )
则在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 有
x x0
( F , G ) ( y, z ) ( F , G ) ( y, z )
,
x ( 0 ) 1,
x e cos t , y 2 cos t sin t , z 3 e 3 t ,
y ( 0 ) 2 , z ( 0 ) 3 ,
y1 2 z2 3 ,
切线方程 法平面方程
x0 1
x 2( y 1) 3( z 2 ) 0 ,
由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量的平面上 , 从而切平面存在 . 曲面 在点 M 的切平面的法向量
n
M

T

n { Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )}
- 16 -
z
多 元 函 平面. 数 微 分 法 及 其 应 用


M
T
O M M M
M
M M
y
x
-2-
T
第四节
多元函数微分在几何上的应用
1. 曲线方程为参数方程的情况
第 八 章
x (t ) 设空间曲线 的方程 y ( t ) z (t )
M
(1 )
元 函 在曲面上任取一条通过定点 数 微 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的光滑曲线 分 法 x (t ) 及 其 : y ( t ), 应 z (t ) 用
T
M


曲线在M处的切向量 T { ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 )},
T
M

多 元 函 F ( ( t ) , ( t ) , ( t ) ) 0 数 微 两边在 t t 处求导, 0 分 法 注意 t t0 对应点M , 及得 Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 ) 其 应 Fy ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 用
F ( x, y, z ) 0 光滑曲线 : G( x, y, z ) 0 当 J ( F , G ) 0 时, 可表示为 ( y, z )
, 且有
1, J (z , x)
,
M
J ( x , y) M
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
方程。 解
x t 2 y t 平行于平面 x 2 y z 4 的切线 例4 求曲线 3 zt
设切点对应的参数为 t 0 , 则切向量为
2 s {1, 2 t 0 , 3 t 0 }
由于所求切线平行于已知平面， 所以 s 和已知平面的 法向量 n {1, 2,1} 垂直，即
多 元 函 数 也可表为 微 分 法 x x0 及 其 Fx ( M ) 应 用 Gx ( M )
( x , y ) M
y y0 Fy ( M ) Gy (M )
z z0 Fz ( M ) Gz ( M ) 0
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
例 3 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ， x y z 0 在点 (1 , 2 , 1 ) 处的切线及法平面方程.
r (t) 的矢端曲线, 而在 t0 处的导向量

M
T
r ( t0 ) ( ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 )) 多 元 函就是该点的切向量. 数 微 分 法 及 其 应 用
r (t )
o
-5-
第四节
多元函数微分在几何上的应用
例1. 求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程.
第四节
多元函数微分在几何上的应用
第四节 多元函数微分法在几何上的应用
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一
空间曲线的切线与法平面
二
曲面的切平面与法线
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
一
第 八 章
空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法

Fz ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 ) 0
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
令 T { ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 )}
第 八 章 切向量 T n 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )}
( t0 )( x x0 ) ( t0 ) ( y y0 ) ( t0 )( z z0 ) 0
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
说明: 若引进向量函数 r ( t ) ( ( t ) , ( t ) , ( t ) ) , 则
第 八为 章
2 s n 1 4 t 0 3 t 0 0
即 t0 1 或 t0 1 3 ,
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
切点为 (1, 1,1)或 ( 1 3 , 1 9 , 1 27 )
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
切向量为 {1, 2, 3}或 { 1, 2 3 , 1 3 } 切线方程为
( y y0 ) ( z z0 ) 0

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第四节
多元函数微分在几何上的应用
法平面方程
第 八 章
( F , G ) ( y, z ) M
( x x0 )
( F , G ) ( z , x ) M ( F , G )
( y y0 ) ( z z0 ) 0
第四节
多元函数微分在几何上的应用
切平面方程
第 八 章
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
多 元 通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线称为曲 函 数 面在该点的法线.法线方程 微 分 x x0 y y0 z z0 法 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 应 用
即 x 2 y 3 z 8 0.
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
2. 曲线为一般式的情况
第 八 章
多 元 函 d y 1 ( F , G ) dz 1 ( F , G ) , , 数 d x J ( z , x ) d x J ( x , y ) 微 分 法 曲线上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为 及 其 T 1 , ( x0 ) , ( x0 ) 应 用 1 (F , G ) 1 (F , G )

多 如果(1)式中的三个函数均有连续导数. 且 元 2 2 2 函 [ ( t )] [ ( t )] [ ( t )] 0 数 微 则称此曲线为光滑曲线。 分 法 设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 t t0 t 对应 M ( x0 x , y0 y , z0 z ) 应 用 割线 MM 的方程 :
第 八 章
在
解: 由于
M 0 (0 , R , k ) 2 z
多 对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故 元 函 yR zk x 2 切线方程 数 微 0 R k 分 法 k x Rz R k 0 2 即 及 其 yR0 应 用 法平面方程 R x k ( z k ) 0 2
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x x0 x
第 八 章
第四节

y y0 y
多元函数微分在几何上的应用

z z0 z

M

T T

切线方程
x x0 y y0 z z0
多 元 ( t 0 ) ( t0 ) ( t0 ) 函 数 切线的方向向量: 微 分 T { ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 )} 法 及 其称为曲线的切向量 . 应 也是法平面的法向量, 因此得法平面方程 用
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
切线方程为
第 八 章
x x0 y y0 z z0 ( t0 ) ( t0 ) ( t0 )
下面证明: 上过点 M 的任何曲线Biblioteka Baidu该点的切线都
在同一平面上. 此平面称为 在该点的切平面. 证: 在 上,
o
即
Rxk z k 0 2
2
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x
y
第四节
多元函数微分在几何上的应用
例2 求曲线 : x
第z 1 e 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
3t
0
t
e cos udu ,
u
y 2 sin t cos t ,
在 t 0 处的切线和法平面方程.
解 当 t 0 时， x 0 , y 1, z 2 , ， t
1
1,
由此得切向量 T {1 , 0 , 1 },
所求切线方程为
x1
1 0 1 法平面方程为 ( x 1 ) 0 ( y 2 ) ( z 1 ) 0 ,

y2

z1
,

xz0
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
x1 1 y1 2
y
2 3 1 9

z1 3
z
1 3 1 27
或
x 1
1 3


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第四节
多元函数微分在几何上的应用
二
第 八 章
曲面的切平面与法线
设曲面方程 为 F ( x , y , z ) 0, 如果 F x , F y , F z 连续
2 2 2 F x F y F z 0, 则称该曲面为光滑曲面 多且
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M 处的法向量即
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
n { F x ( x 0 , y 0 , z 0 ), F y ( x 0 , y 0 , z 0 ), F z ( x 0 , y 0 , z 0 )}
特殊地：空间曲面方程形为 z f ( x , y ) 令 F ( x, y, z) f ( x, y) z, 曲面在M处的切平面方程为
f x ( x 0 , y 0 )( x x 0 ) f y ( x 0 , y 0 )( y y 0 ) z z 0 ,
曲面在M处的法线方程为
x x0 f x ( x0 , y0 ) y y0 f y ( x0 , y0 )
M
多 切线方程 元 函 数 微 分 法 及 法平面方程 其 应 用

y y0
( F , G ) ( z , x )
M

z z0
( F , G ) ( x , y )
M
( x x0 )
M
( F , G ) ( z , x ) ( F , G ) ( x , y )
M M