导数导学案

§3.1 变化率与导数（１）

学习目标

1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景； 2．会求函数在某一点附近的平均变化率；

学习过程

一、新课导学

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?

问题2：高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

新知：平均变化率：_______________=_______

试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即

x ∆= 或者2x = ，x ∆就

表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变

化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它

们的比值y

x ∆∆，则上式就表示为 ，

此比值就称为平均变化率.

反思：所谓平均变化率也就是 的增量

与 的增量的比值.

※ 典型例题

例1已知函数2

()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，1.1]； （2）[1，2]

变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点

(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y

x

∆∆=

小结

1.函数()f x 的平均变化率是

2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率

※ 学习探究二

问题3：计算运动员在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什

么问题吗？

新知：

1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2．导数的概念

从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:

0000()()lim lim

x x f x x f x y

x

x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记

作'

0()f x 或0

'|x x y =，即

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

说

明

：

00000 1. ()2. ()3. ()4. f x x x f x x f x ''∆'与的值有关.不同的 ,其导数值一般也不相同.

与的具体取值无关。可以不存在。

瞬时变化率与导数是的两个名称.同一概念※ 典型例题

f(x)=3x+5, 2＇

例2求f （）

:)()31,2.

s s t t t =+= 练习 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位的关系为: 求时的瞬时速度v

例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0

c ）为

2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h

时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

小结

利用导数的定义求导，步骤为：

第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；

第二步：求平均变化率

0()

f x x y x x

+∆∆=

∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x y

f x x

∆→∆'=∆.

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）

A ．0()f x x +∆

B ．0()f x x +∆

C ．0()f x x ∆

D ．00()()f x x f x +∆- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．9

6t t

+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆

4. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____

5. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体

的位移为s ∆，那么0lim t s t

∆→∆∆为（ ）

Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度

6. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．1

7. 在0000

()()

()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆中，x ∆不可

能（ ）

A ．大于0

B ．小于0

C ．等于0

D ．大于0或小于0 8.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为