数组

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1、三元组表 按照压缩存储概念，这里只需存储稀疏矩阵中的非零元素。但 是，为了实现矩阵的各种运算，除了存储非零元素的值外，还必 须同时记下它所在的行和列，以此，可用一个三元组（i,j,aij） 惟一地确定矩阵中的一个非零元素，其中i、j分别表示非零元素 所在的行号和列号，aij 表示非零元素的值。下列8个三元组表示 了上述矩阵M的8个非零元素。 （1，1，15） （1，4，22） （1，6，15） （2，2，11） （2，3，3） （3，4，6） （5，1，91） （6，3，28） 若以行为主的顺序将这8个三元组排列起来，再加上一个表示 矩阵M的行数、列数及非零元素的个数的特殊三元组（6，6，8）， 则所形成的表就能惟一确定稀疏矩阵M。 假设以顺序存储结构来表示三元组表（Triple Table），则可 得到稀疏矩阵的一种压缩存储方式，即三元组顺序表，简称三元 组表，其结构描述如下：
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通常为书写算法简单，也可扩大数组，使其成为 m+1 行，n+1列。仅使用数组第1行至第m行，第1列至第n列， 第0行、0列的元素虽然存在，但空着不使用，也可另作 他用，这样做的目的为的是让和数组元素与矩阵元素对 应。 在C语言中，一个二维数组可以用其分量为一维数组 的数组来定义。同样，一个三维数组可以用其数据元素 为二维数组的线性表来定义，依次类推，可得到n维数 组的递归定义。
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这些特殊矩阵的共同特点是非零元素的分布有明显的规律，因而都可 以压缩到一维数组中，并找到每个非零元素在与之等价的一维数组中的 对应的位置。 对于对称矩阵，可以为每对对称元素仅分配一个存储空间，这样，n2 个元素被压缩到n(n+1)/2个元素的空间（包括对角线上的元素）。通常 可采用以行为主的顺序来存储其下三角中的元素。假设以一维数组 s[n(n+1)/2 ]作为n阶对称矩阵A的存储结构，则s中任意元素s[k]与矩 阵元素aij 的下标之间存在着一一对应的关系：
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(b) 以行为主序的三维数组内存 表示
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以上所给出的寻址公式都是以行为主进行分配的。在以列 为主的顺序分配中，数组元素地址的计算公式读者可仿照以 行为主的计算公式自行推导。值得注意的是C语言中数组的 各维下界均固定为0，而其他语言不一定为0，因此计算公式 略有变化。

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4.2.1 特殊矩阵及其压缩存储
对称矩阵、三角矩阵和三对角矩阵等都属于特殊矩阵。若一个n阶方阵 A中的元素满足 aij=aij (1≤ i,j ≤ n) 则称A为对称矩阵；当一个方阵的主对角线上方或下方的所有元素皆为 0时，该矩阵称为三角矩阵；除了主对角线和紧靠在主对角线上、下方的 对角线上的元素外，其他所有元素均为0的矩阵是三对角矩阵。图4.4所示 是这两种特殊矩阵的形式。
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从本质上讲，数组是下标-值偶对（Index Value Pairs）的集合，其 中每个元素都由一个值（Value）和一组下标（Index）组成。在数组中， 对于一组有意义的下标，都存在一个与其相对应的值，这种下标与值一 一对应的关系乃是数组结构的特点。例如在C程序设计语言中有一个m行， n列的二维数组a，可以表示为：
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4.1.2 数组的主要运算
通常，线性表的长度是可以变的，而数组的大小（所包含元素的 个数）却是固定的，因此，对数组而言，主要的运算是以下几 种： 1) ArrayInit (&a,n,b1,b2,…,bn) 若维数n和各维长度b1,b2,…,bn 合法，则构造相应的数组a，并 返回1。 2) ArrayDestory (&a) 销毁已存在的数组a。 3) ArrayAsssign (&a, e, i1,i2…,in) 若各维下标i1,i2, …,in不越界，则将e的值赋给数组元素 a[i1][i2] …[in]。

在高级语言中，普遍是用二维数组来表示矩 阵的。这样，利用上一节所介绍的地址计算公式， 就可以快速地访问矩阵中的每个元素。
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然而，实际应用中也常常会遇到一些阶数很 高的矩阵，它们或者有许多值相同的元素或者有 大量的零元素。为了节省空间，可以对这类矩阵 进行压缩存储。所谓压缩存储的含义是：为多个 值相同的元素只分配一个存储空间；对零元素不 分配空间。 如果值相同的元素或零元素在矩阵中的分布 有一定的规律，则称这类矩阵为特殊矩阵，反之， 称为稀疏矩阵。下面分别介绍这两类矩阵的压缩 存储。
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因为在A[i,0]之前有i行（第0行至第i-1行），而每行有n个元素。在知 道了A[i,0]的地址之后，就不难得到任意元素A[i][j]的存储地址了。若 每个元素占l个存储单元，则对应公式为： LOC(i,j)= b +(i×n+j)×l 推广到一般的二维数组：a[c1..d1][c2..d2]，若按以行为主的顺序存储 在内存中，假设每个元素占l个单元，则任意元素aij的物理地址计算公式 为： LOC(aij)=LOC(a c1 c2)+[(i- c1)×( d2 - c2 + 1)+(j- c2)]×l 同理对于一般三维数组：A[c1..d1][c2..d2][c3..d3]，则任意元素aijk的 物理地址为： LOC(i,j，k)=LOC(a c1 c2 c3)+[(i-c1)×(d2 -c2 +1)×(d3-c3 +1)+(jc2)×(d3-c3+1)+(k-c3))×l 三维数组的逻辑结构和以行为主序的分配示意图如图4.3所示。其中第 一维表示行号，第二维表示列号，第三维表示平面号。
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下面讨论多维数组的分配。计算机内存是一维物理结构，为了在一 维的内存中表示多维的数组，可以用一个等价的一维数组来代替多维数 组，即把多维数组变换成一维数组的形式。 例如，一个二维数组b[2][3], 逻辑上它是一个2行3列的矩阵：
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综上所述，不难得出如下结论：为了算出数组元素在内存 中的地址,除了要知道数组元素的存储顺序外,还必须知道该 数组各维的长度、数组中第1个元素在存储器的存储地址以及 每个元素的长度。

例：假设有一个实型二维数组a[5][4],其在内存的首地址 是2000，求数组元素a[3][2]的内存地址。 由于C语言中的数组是行为主的存储方式，实型数组每个元 素占4个字节，故根据公式有：LOC(3,2)= LOC(0,0)+(i×n+j)×l = 2000+(3×4+2)×4 = 2056
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4) ArrayValue (a, &e, i1,i2…,in ) 若各维下标i1,i2…,in不越界, 则数组元素a[i1][i2]…[in]的值赋 给变量e。 5) ArrayCope (a, &b) 若数组a已存在，按数组a构造数组b，并将a元素的值复制到b。
第
4
章
数组及其应用
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4.1数组及其数组的顺序分配
4.1.1 数组的概念
数组（Array）是我们熟悉的数据类型，几乎在所有的高级语言 中都可使用数组，数组中各元素必须具有统一的类型。在各种高级 语言中数组一旦被定义，每一维的大小及上下界都不能改变，每一 个数据元素均由唯一的一组下标来标识。因此，在数组上不能做插 入、删除数据元素的操作，通常只能做如下两种操作： (1)取值操作：给定一组下标，读其对应的数据元素。 (2)赋值操作：给定一组下标，存储或修改与其相对应的数据元素。 高级语言中的数组在计算机内是用一批连续的存储单元来表示的，称为 数组的顺序存储结构。实际中用户还可以根据需要选择数组的其他 存储方式。
a中每一个元素都和一个二维空间的二元组（i,j）（0≤i≤m-1,0≤j≤n-1） 相对应。类似地，每一个元素都和一个n维空间的n元组相对应的数组是 n维数组。
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线性表（a1 ，a2 ，… an ）可以看作是一个一维数组，若元素 类型定义为elementype，则该数组可以记作elementype a[n]。而二维 数组a[m][n]可以看作由m个长度为n的线性表（每一行为一个线性表） 或者是由n个长度为m的线性表（每一列为一个线性表）所组成的。因 此，可以说数组是线性表的一个推广，而线性表是数组的一种特殊情 况，其情况如下所示。
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总而言之，对于其他特殊矩阵，如三角矩阵和三对 角矩阵等的压缩存储与对称矩阵的压缩存储非常类似。 三角矩阵的存储一般采用以行为主的顺序，而三对角 矩阵的存储可采用以列为主的顺序，也可采用对角线 的顺序。不论采用哪种顺序，都应能找到一维数组元 素和矩阵元素之间的一一对应关系为基本原则。
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称一维数组s[(n+1)/2]为n阶对称矩阵A的压缩存储，其存储对应关 系如图4.5所示。从图中可以看到，对于任意给定的一组下标（i,j）， 均 可 在 s 中 找 到 矩 阵 元 素 aij ； 反 之 ， 对 所 有 的 k (k=0,1,2,…,n(n+1)/2)，都能确定s[k]中的矩阵元素在矩阵中的位置 （i,j）。

这里还特别提起注意的是，在C语言中数组的顺序分配允 许有两种方法：静态存储分配和动态存储分配，简称静态数 组和动态数组。这两种分配方法在本书中都会用到。

静态数组是指在程序运行期间数组大小是静态的，不能改 变的，数组大小在程序种预先给出，在程序编译时建立。动 态数组是指在程序执行过程中，动态建立和撤消的数组。
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4.1.3 数组的顺序存储结构
图4.1 一维数组的存储表示 在计算机中，如果用一批连续的存储单元来表 示数组，则称为数组的顺序分配。数组的这种存储 方式是采用计算地址的方法来实现的。 一维数组比较简单，其地址计算公式和线性表 的顺序分配一样，假设数组a[n]的每个元素占一个 存储单元，其第一个元素的首地址用b表示，如图 4.1所示，则数组a[n]中第i个元素a[i]（0≤i≤n1）的存储地址为 LOC(i)=b+i 一般情况下，如果有数组每个元素占l个单元， 则任意元素a[i]的地址可由下列更一般的公式计算： LOC(i)=b+i×1
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但在计算机内存中，它只能按一维的形式存放在一组连续组连续的 存储单元里，一般有两种实现方法： （1）按行顺序存储，称为以行为主（Row Major Order）order)的 顺序分配。在PASCAL、COBOL、BASIC、C等语言等语言中都采用这种分 配方式。 （2）按列顺序存储，称为以列为主（Column Major Order） order)的顺序分配，这种方法为FORTRAN语言所用。 图4.2展示了数组 b的顺序分配。 顺序分配的数组是一种随机存取的结构，只要给定数组元素的下标 便可找到它的存储器中的位置。下面仅以以行为主的顺序分配方式为 例进行讨论。 设有一个二维数组a[m][n]，其每个元素占一个存储单元。假设b为 第一个元素a[0][0]的存储首地址，则任意元素a[i][j]的地址可由下 式确定： LOC(i,j)= b + i×n+ j

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4.2矩阵的压缩存储

矩阵(Matrix)在科学计算与工程计算中有着 广泛的应用。在此，我们关心的不是矩阵本身， 而关心在计算机中如何表示矩阵，以便使矩阵的 各种运算能有效地进行。人们一般用m×n表示一 个具有m行n列的矩阵。该矩阵共有m×n个元素。
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4.2.2 稀疏矩阵
在实际应用中，往往会遇到这样一种矩阵，其中大多数元素 的值为0，而只有少数非零元素。这些非零元素在矩阵中的分布没有 一定的规律，通常称这种矩阵称为稀疏矩阵（Sparse Matrix）。至 于非零元素少到多少才算稀疏并无确切定义，在实际中一般考虑所选 的压缩存储是否节省了存储空间。例如，下面所示的矩阵M和它的转 置矩阵N，在36个元素中只有8个非零元素，显然它们都是稀疏矩阵。