线性代数第1讲数学归纳法

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关键词：

数学归纳法

数学归纳法又称有限归纳法. 它是证明数学命题的一种常用方法.

：

1=n 时，公式（1）的左边 = 1，右边 .1)11(12

1=+⨯⨯= 公式（1）成立. 现假设k n =时公式（1）已成立，即

.)1(2

1321+=++++k k k 当1+=k n 时，

.)1()321()1(321++++++=++++++k k k k 由归纳假设)(12

13+2+1+=++k k k ，因此 ]1)1([)1(2

1)2()1(2

1)1()1(2

1)1(321+++=++=+++=

++++++k k k k k k k k k 即当1+=k n 时，公式（1）也成立，因而命题得证.

现在，如果我们把公式（1）的左端记为)(1n S , 此时公式（1）可写为

?n 321S 2222)n (2=++++= 结论是：

)2(6)

12)(1(3212222)(2++=++++=n n n n S n

公式（2）是如何想出来的？正确否？怎么证？

因为它涉及正整数n ，一般是用数学归纳法来回答此问题.

.304321,14321,521,112222222222=+++=++=+=

如果我们多算几项并列成下表：

3

173153133113937351:S S 2041409155301451:S 36

28211510631:S 8

7654321:n )n (1)n (2)n (2)n (1 似乎可以看出有下面的规律：

,3

12)(1)(2+=n S S n n （这里只是对 8,,3,2,1 =n 成立）从而 )2(6)12()1(312)(1)(2++=+=n n n S n S n n

8,,3,2,1 =n 是成立的. 但对任意正整数n 是否都成立？ 2）对任何正整数n 都对.

)(2n S 知道了，能否利用归纳、类比的方法进一步探索出

)(3n S 与)(1n S 的联系呢？这就是由个别（或特殊）去发现 一般的思维方法. 先作如下观察：

.)4321(1004321,

)321(36321,)21(921,112333323332333+++==+++++==+++==+=

似乎已经看出有如下十分有趣的规律：

虽然公式（3）当

定它对于一切正整数都对. 此时我们就会想到用数学归纳法来证明公式（3）的正确性.

我们已验证（3）对4,3,2,1=n 成立. 设 k n =时公式（3）

已成立，即有,][2)(1

)

(3

k k

S S

=

则

当1

+

=

k

n 时

，

有

.

][

)]

2

)(1

(

2

1[

)

2

(

)

1

(

41

]

)

1

(

4

[)

1(

4

1)

1

(

4

)

1(

)1

(

]

[)

1

(

2

)1

(

1

22

2

2

23

2

23

2

)(

1

3)(3)1(3

+

+=+

+

=++=

+++

=+

++

=

++=++=

k

k k

k

S

k k

k k k k

k

k

k k

k

S

k S

S

亦即式（

3）当

1

+

=

k

n 时仍成立

.

由于已知式（3

）当

1

=n

时成立，故知公式（

3

）对一切正整数n

均成立

.

注意

有时归纳基础可能不从

1

开始

.

例

试证

:

当

3

≥n

时，

.2

2

n

n

>

证 这时归纳基础要从

3

=n 开始，当3=n 时,823=

而,632=×

,68> 故有.3223⨯> 即命题对3=n 成立 （此为归纳基础）.

假定k n =时有

.22k k > 然后讨论1+=k n 时的情形. .222221k k k k +=⋅=+由假定,22k k >因此

.2222k k k k +>+

由于3≥k 时,22>k 故

.)1(22222+=+>+k k k k

于是.)1(221+>+k k 命题得证.

高斯（Fredrich Gauss 1777 – 1855）是当时德国最伟大的数学家. 在德国，10马克是最通行的货币, 其上印有数学王子高斯的头像和 他在研究天文问题时所发现的正态分布曲线图,一个民族对于在科 学上做出重大贡献的数学家如此尊敬和爱戴, 令世人盛赞.