地球物理正演方法

整理得二次场方程
二次场方程组
可转换成积分方程,求解
是散射电流,仅在异常体中才存在 表明:二次场可以认为是由异常体中的散射电流Js引起的.
建立二次场方程的积分方程
二次电场可通过将散射电流源Js乘以适当的并矢格林函数G(r,r/), 并对异常体所占的体积做积分而得,
如假设异常体内的电导率为常数σ2,则可得到实测电场表达式为
密度不均匀介质弹性波标量波动方程
激发问题
在各向同性均匀介质,平面波入射假设条件下,标量波动方程
传播问题
在二维情况下,
初始条件 σzz|z=0=ux=0,σzx|z=0=uz=0 (自由表面)边界条件
2,区域离散化
采用正方形网格元进行网格划分, 步长h;m,n为当前网格节点的横 向及垂向编号;l时间取样号
求解正 演问题
物理模拟 数学 模拟法
相似原理
投资大,选材难, 结果真实, 最简捷方便 ,仅适 用少数简单模型 效率高,机时少, 周期短,费用低.
地球物 理模拟
解析方法 数值 模拟法
正演主要工具
概念:将描述各种地球物理场的 方程或表达式及初,边值条件通 过数值方法求出它们的数值解.
数学模拟方法求解地球物理正演问题的一般步骤: 第一步,地质建模: 据研究对象和问题建立地球模型 或地质结构模型; 第二步,数学建模: 据使用的物理手段和地球模型建 立相应的数学模型; 第三步,模拟计算: 选择计算方法,编制计算程序, 进行数值计算.
用Cramer准则解线性方程组,求得系数a,b,c的表达式.代回原方程可 得三角元内任一点位势的一阶近似式
三角元内任一点位势的一阶近似式
系 数 为
A为三角元的 面积 ,且有
3,单个元内位势能
写成矩阵形式有
至此,对单个元的近似已经完成
4,三角元连接组合求取总势能
整个区域的势能为单个三角元势能之总和.根据最小势能准则,使整个 研究区域势能极小化,就是使所有三角元组合后的势能极小化 两个元组合方法:设一对元在连接前的顶点位势可写成以下列向量
源自文库
上式是一非齐次的第二类矢量弗雷德霍姆(Fredholm)积分方程式
并矢格林函数 Q(x',y',z') P(x,y,z) ● r r'
●
g是对应全空间 的标量格林函数
P/(x,y,-z)
数值积分,求解
将异常体剖分成N个线性尺寸为的立 方体单元.并假设在每个单元内电场是 常数,则积分可用求和式来逼近,再经 一系列推导得到分块矩阵方程式
式中,u表示地球物理场的一种,如声场.电磁场的某一分 量等;f(x,t)为源函数;x为空间的一个点;t为时间;系数h和 g对不同场有不同的物理意义.
位场: 位场:在场源外区域满足拉普拉斯方程的物理场称为,如 重力场,磁场和稳定电流场 波场: 波场:在场源外区域满足波动方程或扩散方程的物理场, 如电磁场,弹性波场
模型的物性参数一 般也应按一定的比例改变; 观测装置要微型化. 缩小模型响应能代表野外实际模型响应 模拟准则:使实际模型场与模拟场具有相同的幅值和规律
一,电磁场物理模拟的基本原理 1.频率域电磁场的模拟准则
野外条件下地 电体参数方程 模型条件下地 电体参数方程
室内模型模拟系统尺寸与野外比例关系为1/l——几何结构比例尺
常用数值 计算方法
积分方程法
涉及较复杂的数学推导,仅需在异常区求 出未知场,经济,易于处理三维模拟问题 F域计算
用离散傅立叶变换求空间导数,可在 大空间网格上得到精确波场值
快速离散傅里叶变换法 拟谱法(伪,虚)谱法 射线追踪法
易刻化运动学特性
一,有限差分法 基本原理:差分原理.即,用各离散点上函数的差商来 近似替代该点的偏导数(微商),把要解的边值问题转 化为一组相应的差分方程.然后,解出差分方程组 (线 性代数方程组)在各离散点上的函数值,便得到边值问 题的数值解. 一般步骤: 一般步骤:
2.时间域电磁场的模拟准则
3.模拟模型的种类-4种
导电性溶 液 或固体 作为均匀 介质
导电性 更好的 覆盖
4,物理模报实验装置
5.模型材料
超声波模拟 几何相似性
L为几何尺度,λ为波长
物理相似性
速度比和密 度比相似
纵,横波速度 比的相似性
谢谢大家!
地球模型建立的要求: 模型应能够反映主要地质构造和岩石,矿物特征, 具有代表性或普遍性(共性),针对性(目的性), 特殊性(特殊问题) 模型不宜太复杂,否则无法建立相应的数学模型; 或者计算结果太复杂,难以分析,辨认地质特征与地 球物理场特征之间的联系.
内节点
2,区域网格剖分
3,微分方程离散化,构组差分方程
k i-1,k
i
i,k-1 i,k i+1,k
i,k+1
ux,uxx,…和uz,uzz,…分别表示u对x和z的一阶,二阶导数等
含源分区均匀岩石中位函数二维差分方程
无源分区均匀岩石中位函数二维差分方程
4,线性方程组的形成与求解
式中[A]是方程组的系数矩阵.其与 物性参数(如电阻率)分布有关; {u}是电位u的列向量,其分量为所 有节点上的电位; {F}是常向量. 当给定电阻率分布(空间分布,模型结构)及边界条件后,解 线性方程式便可求得电位的空间分布
(1)区域离散化网格剖分:确立合适网格步长,边界节点定位 步长选择很重要——决定计算精度,速度 (2)微分方程离散化——构建差分方程 边界条件离散化——构建边界条件差分方程 初始条件离散化——构建初始条件差分方程 (4)线性方程组形成与求解
位场计算举例: 位场计算举例: 1,位场所满足的方程
有源 无源 模拟二维地电断面电场 边界节点 式中,u表示电位,f表 示源项.
计算速度快
常用数值 计算方法
�
将比例关系代入野外方程得模型参数描述的野外方程
按照模拟准则,要使模拟结果与实际一致,野外和模型磁场满足的波动 方程应完全相同,对比可以写出
模拟准则——参数比例尺
上式两边为响应参数k2r2,亦称综合参数,右端=1,表明:具有相同综合 参数的每个系统必定产生相同的电磁响应 ,与ω,,σ及l的具体数值 无关.因此,模拟准则简化为
有限差分法采用了直接解方程的办法,有限元法采用了F(u)极小化逼近势场
常用微分方程及其泛函 Poisson方程 : 泛函: 非其次Helmhotz方程 : 泛函: 标量波动方程 : 泛函: 频域电磁波似稳电磁场方程 : 泛函:
有限元法解二维Laplace方程举例 1,介质剖分——采用单纯形单剖分元
差分方程式
利用差分方程式,由上至下,由左至右并随时标l增加计算 空间任一点(m,n)的波场um,n,l+1便得到波传播图像, um,0,l是地面直达波和反射波场的合成记录.
有限差分计算必须满足的条件如下: (1)时间取样率t(t=lt)满足t≤h/c (2)震源信号的主周期T<10h/c,否则有严重的频散. (3)由于地下介质无限,而计算网格有限,计算网格 的边界必须是吸收边界. (4)震源必须作专门处理,即在源点加入f(t) 信号. 有限差分计算的优点与不足: 优点:简明快速 不足:边界刻划能力弱.因只能使用矩形网格,对复杂 的地质构造不能准确地模拟,如,反射地震中常见的倾 斜界面,电法勘探中的局部不规则电性不均匀体等.
基本方程式的有限差分格式 (2D) )
有限差分波动方程模拟结果演示实例
地质模型
炮集1 快 照 炮集1
1
2
3 4 5 6 7
蝴蝶结
模型边界产生的 假象
山顶激发波动方程正演模拟记录
炮集2 快照 炮集2
1
蝴蝶结
2
4
3
5 6 7
山谷激发波动方程正演模拟记录
二,有限单元法 突出优点:界面刻画能力强.对与复杂介质结构有关的 偏微分方程边值问题的数值计算适应性强. 其一般只对基本方程中的空间微分算子作逼近,而与时 间微分有关的计算仍然多采用有限差分法. 基本原理:变分原理或最小势能原理 认为:对与势场能量有关的泛函极小化等效于直接解 相应的场的方程 对Laplace方程 势场能量表达式 ***满足Laplace方程的势场,同时也是满足势场能量 F(u)取极小的场.
所谓单纯形,在平面上为三角形,三维空间为四面体 由于三角元以公共边界及顶点连接成网,势的分布在穿过单元 时保持连续.
2,将势场u展成某种简单函数和系数的线性组合 假定,单元内势可用线性(一阶)方程表示,有 V=a+bx+cy 沿三角元边缘势V可以由相应两角点势值线性内插而 来,如果两个三角元共用一条边,则位势在跨单元时 保持连续. 为求各系数,设三个顶点上势为V1,V2,V3
正演方法
云美厚
河南理工大学资源与环境学院
基础
地球物 理学的 问题
正演 问题 反演 问题
目的
按事物一般原理(或模型)及相关的条 件(初始条件,边界条件)来预测事物 的结果(可由观测可得 据地球物理场的实际观测值(有时也用 理论计算值)定量或定性解释推断地球 内部结构(地质体形态和岩层物性).
应用地球物理学的基本方程式——阻尼标量波动方程
计算精度:主要决定于步长h.一般说来,网格划分越细,即h
值越小,计算值与理论值越接近. 矛盾:减小步长h将成倍增加计算节点数目,增加计算机内存需 求和计算时间.降低了效率,增加了费用
解决计算速度与精度矛盾的较好方法:采用变步长,即在
近区将网格分得密些,远区影响较小,可分得稀些.
弹性波场计算举例 1,反射地震中波传播方程
地球模型建立的要求: 模型应能够反映主要地质构造和岩石,矿物特征, 具有代表性或普遍性(共性),针对性(目的性), 特殊性(特殊问题) 模型不宜太复杂,否则无法建立相应的数学模型; 或者计算结果太复杂,难以分析,辨认地质特征与地 球物理场特征之间的联系.
有限差分法 有限元法
计算速度快 边界刻化好
微分方程法,适于模拟复 杂的地质情况
总 场 σ表示地下任一点处的实际电导 率值,且有
σ2(r)
σ1
r表示矢径
V
σ=
σ1,异常体外 σ2,异常体内
定义:一次场 一次场为均匀地球场,并以上角标p表示,则一次场也满足无源 一次场 麦克斯韦方程组,有
一次场方程组——可求解
其是电导率为σ1的均匀介质内的场
定义:二次场为实测场(总场)与一次场之差,并用上角标s表示
下角标dis表示组合前不连接的三角元.对应这两个元的未组合能量写为矩阵
未组合能量
两个三角元连接前,后满足以下关系
下角标con注记已联接,对应连接后的总能量变为
连续近似的势能分布被表示为与元顶点位势向量有关的二次型
5,方程求解计算
记k为网格节点(连接后多个三角形的顶点)的编号,则 Laplace方程的 有限元近似解要将连接网中的势能极小化.——变成了求极值问题 则势能极小化为
求边值问题,研究区域边界上位势(或其导数)是已知的(边界条件). 在对网格节点编号时先编区域内部的号,后对边界点编号,分区处理 可简化方程,以下角标f表示区域内节点,下角标p表示边界上节点
整理得 解线性矩阵方程式,求取研究区域内各节点的位势Vf,有唯一解. 其精度取决于三角元的尺度
三,积分方程法
不足:积分方程方法涉及较复杂的数学推导 优点:仅需在异常区求出未知场 模拟一个或少数几个小异常体的响应时,该方法比较经济 多用于3D数值模拟 假设大地电磁场的源是来自高空的 垂直入射到地面的平面电磁波,则 频域中无源麦克斯韦方程组
矩阵[M]的每个元素本身就是一个3X3阶矩阵:
Γmn是相对有限单元体积电流的并矢格林函数 解方程,求出异常体内每个单元中心处的电场值之后,再加上一次场值可求 内 得异常体外任一点处的电场 .对总电场方程应用法拉第定律,可计算任意点 外 的磁场H(r)
物理模拟方法
基本原理:相似原理 方法:按比例复制地质模型 (通常比例尺为1:100和1:100万之间) ;
有限差分法 计算方法选择很重 微分方程法 要:不同方法适应 边界刻化好 有限元法 性不同,计算效率, 易于处理有源问题 机时,周期,费用 积分方程法 等各不相同,要综 快速离散傅里叶变换法 F域计算 合考虑各种因素合 理选用计算方法. 拟谱法(伪,虚)谱法 有针对性地灵活运 用计算方法 射线追踪法 易刻化运动学特性