方法技巧篇2 整式的加减

方法技巧篇二

第二章 整式的加减

一、浅谈求代数式的值

(1)直接代入求值法

例 当0=x 、2

1=x 、2=x 时，分别求代数式的122+-x x 的值．

(2)化简代入求值法

例 已知51-=x ，3

1-=y ，求代数式）2222252()325(xy y x xy xy xy y x -+---的值．

(3)整体代入求值法

*例1 已知012=-+x x ，求代数式7223-+x x 的值．

解法1：因式分解法

解法2：降次法

例2 代数式6432+-x x 的值为9，则63

42+-x x 的值为( ) A ．7 B ．18 C ．12 D ．9

*例3 已知51=+x x ，求221

x

x +的值． 解法1：平方法

解法2：配方法

*例4 已知53-+=bx ax y 中，当3-=x 时，7=y ，则当3=x 时，y 的值是( )

A ．-3

B ．-7

C ．-17

D ．7

二、说理题解法举例

例1 做游戏，猜数字：让对方任想一个数，让他做如下运算：①乘5，②再加上6，③再乘4，④再加上9，⑤再乘5，把得数告诉你，然后(你只要从中减去165，再除以100)你就可以说出他原来的数．用数字验证：比如，某人想的一个数是7，那么，第一步，7×5得35，第二步，35+6得41，第三步,41×4得164，第四步，164+9得173，第五步，173×5得865．他告诉你：865，于是你就算出(865-165)÷100=7．你自己也可举例，结果总对，你知道其中的奥妙吗？

例2 在数学自习课上，张老师出了一道整式求值题，张老师把所要求值的整式

-+-)367(233b a b a a )310363(3233-++--a b a b a a

写完后，让小刚同学任意说出一组a ，b 的值，再计算结果．当小刚说完：“2011,2010=-=b a ”后，小莉很快说出了答案“3”．同学们都感到其名其妙，觉得不可思议，张老师满意地说：“这个答案准确无误”．亲爱的同学，为何能小莉快速得出结果？

例3 小明和小亮在同时计算这样一道求值题：

“当3-=a 时，求整式-27a ]4)14(5[2a a a +--)12(2+--a a 的值．”小亮正确求得结果为7，而小明在计算时，错把a =-3看成了a =3，但计算的结果却也正确，你相信吗？你能说明为什么吗？

三、探索规律题的解法

1．观察题目中的不变量与变量，不变量照写，变量用序号来表示（序号为n ）

例 研究下列算式，你会发现什么规律？请你把找出的规律用含正整数n 的公式表示．

224131==+⨯，239142==+⨯，2416153==+⨯，2525164==+⨯，…

2．将所给的条件进行适当的变形，再找规律

例 观察等式：142122+=+，1123222+=+，1244322+=+，405422=++1，…，你会发现什么规律？请你把发现的规律用含正整数n 的公式表示．

3．借助于图形观察找规律

例1 柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见下图:

第一层有2×3听罐头，

第二层有3×4听罐头，

第三层有4×5听罐头．

…．

根据这堆罐头排列的规律，第n(n 为正整数)层有__________

听罐头（用含n 的式子表示）．

例2 图⑴是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层，将图⑴倒置后与原图⑴拼成图⑵的形状，这样我们可以算出图⑴中所有圆圈的个数为2)1(...321+=

++++n n n ．

图⑴ 图⑵ 图⑶

图⑷

如果图⑴中的圆圈共有12层：

(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按圈⑶的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是______；

(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按圈⑷的方式填上一串连续的整数-23，-22，

- 21，…，求图⑷中所有圆圈中各数的绝对值之和．

4．借助于表格进行观察

例用正方形的普通水泥砖（图中白色小正方形）和彩色水泥砖（图中灰色小正方形）按如图的方式铺人行道，像这样，第n个图形需要彩

色水泥砖多少块？

四、用字母表示数的思想

用字母表示数是代数的一个重要特点，是整个中学数学最基本的知识，是从算术过渡到代数的桥梁．用字母表示数能够把数量关系一般地、简明地表示出来，它是列代数式的基础．深刻理解用字母表示数的意义，掌握它的方法及规律，是学好代数的关键．

例l 如图是某个月份的日历，像图中那样，用一个十字框在图中

任意圈住五个数，如果中间的数用a表示，则圈住的五个数字的和

可用含a的代数式表示为______.

例2 如图是2002年6月份的日历，现有一长方形在日历任意框

4个数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系：

例3 小红对小丽说：“有一种游戏，其规则是；你任想一个数，把这个数乘2，加上6．再把结果乘2，再减去8，再把结果除以2，最后再减去你所想的数的2倍．你不用告诉我你所想的数是什么，我就能知道结果．”请你说明小红为什么知道结果？

五、观察、比较、归纳、猜想的数学思想

例1 观察按下列顺序排列的等式：

3

9=

+

4

⨯，31

+

9=

⨯，…

9=

+

4

5

⨯，41

1

+

⨯，11

9=

1

2

2

3

⨯，21

+

1

9=

猜想：第n个等式（n为正整数）可以表示成______．