专题：椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计

马鞍山二中 文恫兵

一、 教学目标

知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；

2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方

法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的

学习精神。

二、 教学重点与难点

教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、 教学流程设计 （一）创设情境

复习：怎样定义直线与圆相切？ 设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比, 都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一 元二次方程中的判别式等于零来解决。 （二）探究新知 基础铺垫：

X 1 2 3

问题1、已知椭圆C ：—

8

1与直线1只有一个公共点

设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 x 2 2, y 2。先由

特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。

（2 ）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消 元，得到一元二次方程，判别式 0。切线斜率确定，切线不确定。

（3 ）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元

二次方程，判别式

0。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由

（2） （ 3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二 次方程，判别式 0。

（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切 点得到椭圆切线的一般方法。 问题一般化：

2 2

X y

猜想：椭圆C : r 牙1与直线I 相切于点P （X o , y 。），则切线I 的方程?

1 请你写出一条直线1的方程；

2 若已知直线I 的斜率为k 1，求直线I 的方程;

3 若已知切点P （2,1）,求直线I 的方程；

（4）若已知切点 ,求直线I 的方程。

a b

（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）

设计意图：类比经过圆上一点P（X o，y o）的切线的方程为X o X y°y r2进行猜想，培

养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1,所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。

探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？

例：已知圆的方程是X2 + y2 = r2，求经过圆上一点P(X°, y°)的切线的方程。

经过圆上一点P(X o, y o)的切线的方程为X o X y o y r2，且直线OP垂直于切线, 所以，k°p k切线=-1，

1•点与圆

设点P(X o，y o)，圆(X a)2 (y b)2r2则

2 2 2

点在圆内(X。a) (y o b) r，

点在圆上(x o a)2 (y o b)2 r2，

点在圆外(X。a)2(y o b)2r2

由圆C方程及直线I的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为△，则

I与圆C相交0，

I与圆C相切o，

I与圆C相离o

类比到圆中:

2

r与直线I相切于点P(x o,y o)，且点P(x o,y o)在第一象限，若直线I与X轴、y轴分别交于点B、A.

2

B(-,0)，所以k AB 直;

X o y o

(4) |AB| |AP| | BP| 2 |AP| |BP| 取“=”b2

¥ 也可理解为a趋于b时，k AB趋于凶) a y o y o

2. | OP |2 2r，当且仅当| AP| | BP| r 时,

结论(i)过点P的切线方程为

(2) Q OP AB k OP k AB 时，椭圆圆，所以k op k AB X o X

1

；

2

a

2

y o y r ；

(可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b

(3)过点P的切线方程为X o X y o y

2 与X轴、y轴分别交于点B、A , A(0, —)，

y o

已知圆C : x2y2

(椭圆中k AB

由2014年浙江咼考题最后一道题 2 [2014 •浙江卷]如图，设椭圆C ：笃

a 2

爲 1(a b 0),动直线l 与椭圆C 只有一个公共 b 点P,且点P 在第一象限.

(1 )已知直线I 的斜率为k ，用a ，b , k 表示点P 的坐标； (2)若过原点 O 的直线丨1与I 垂直，证明：点 P 到直线丨1的距离的最大值为 a -b . 2 x 如图，设椭圆C : p a

b 2 1(a b 0)，动直线I 与椭圆C 只有一个公共点 P ,且点P 在

第一象限. (1 )已知直线I 的斜率为k ，用a , b , k 表示点P 的坐标; y = kx + m (1)解：设直线I 的方程为y = kx + mk

= o. 由于I 与C 只有一个公共点，所以 4a 4k 2m 2 a 2 km P 的坐标为一『+ a 2k 2， 一 a 2k 2 b 2

,

a 2k

b 2 得m 2 a 2k 2 b 2

(*)，解得点 又点P 在第一象限，故m 所以点P 的坐标为P(

2 b 2= 1, 4a 2(m 2 b 2)(b 2 a 2k 2) o ，化简 b 2m b 2 + a 2k 2

. Ja 2k 2~b 2 Ja 2k 2 b 2

(2)设点P(x o , y o ),且点P(x o ,y o )在第一象限，用点P 的坐标X o , y o 表示椭圆的切线 方

程；

⑵解：P(X o ,y °)，则由(1 )知x 0 a 2

k _a 2k _b 2，yo b 2 则可设过点 P 切线I 的方程为y y o k(x X o )消参得 X o y o

a 2k 2

b 2 a 2k 皆

k 学代

a y o

入 y y o k(x x o )得 y y o 化为整式

2 2

x y 。

1 a b

2 .2 a y o y b x °x 2 2

. 2 2

a y o

b X o 两边同除以 ^(x a y o 2 2 . 2 2 a y o b X o 2 2

a b ),

a 2

b 2

得椭圆的切线方程 所以，过切点P(x o ,y o )的椭圆的切线方程 X o ) 2 2 a b (因 P 在椭圆上，所以

X o X y o y

2

a

X o X a

2 1,与圆的切线方程做类比， 形式相仿。 b 2 yov 1

b 2 1.