二阶线性递推数列的通项公式的求法(1)

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常见递推数列通项的九种求解方法(1)

常见递推数列通项的九种求解方法(1)高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。

是一类考查思维能力的好题。

要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：an1解决方法累加法af(n)（fn可以求和）n例1、在数列an中，已知a1=1，当n2时，有anan12n1n2，求数列的通项公式。

解析：anan12n1(n2)a2a11aa332a4a35上述n1个等式相加可得：anan12n1∴ana1n21ann2评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】1、已知a11，anan1n（n2），求an。

2、已知数列an，a1=2，an1=an+3n+2，求an。

，a11，求数列{an}的通项公式。

3、已知数列{an}满足an1an2n14、已知{an}中，a13,an1an2n，求an。

11某5、已知a1,an1an(nN),求数列an通项公式.226、已知数列an满足a11,an3n1nan1n2,求通项公式an？7、若数列的递推公式为a13,an1an23n1(nN某)，则求这个数列的通项公式8、已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

9、已知数列an满足a111，an1an2，求an。

2nn，2，3，）10、数列an 中，a12，an1ancn（c是常数，n1，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求an的通项公式．11、设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)；当n4时，f(n)（用n表示）．n(n1）n(3n1)31答案:1.an2.an3.ann214.an2n15.an2222n1313n16.an7.an123n18.an3nn19.an10.(1)2(2)ann2n22n2n2n211.(1)5(2)2类型二：an1f(n)an（f(n)可以求积）累积法解决方法例1、在数列an中，已知a11,有nan1n1an，(n2)求数列an 的通项公式。

数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。

递推数列求通项公式-高考数学一题多解

递推数列求通项公式-高考数学一题多解一、攻关方略数列学习中难度较高的一个内容是递推数列，由递推关系求通项公式是一种十分重要的题型，解题方法丰富多彩，注重分析递推式的结构特点，合理构造得到等差或等比等常见数列是解题的重要策略．下面对一些常见的由递推关系求通项公式的求法做一些归纳．第一类：型如()1n n a a f n +=+的一阶递推式，可改写为()1n n a a f n +-=的形式，左端通过“累加”可以消项；右端()f n 是关于n 的函数，可以求和．故运用“累加法”必定可行，即()()()112132111()n n n n k a a a a a a a a a f k --==+-+-+⋅⋅⋅+-=+∑．第二类：型如1()n n a g n a +=的递推式，可改写为1()n na g n a +=的形式．左端通过“迭乘”可以消项；右端通常也可以化简，故运用“迭乘法”必定可行，即3211121(1)(2)(1)(2)n n n a a a a a a n n g g a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-≥．第三类：型如1n n a pa q +=+（1p ≠，0q ≠）的递推式，可由下面两种构造法求通项公式．构造法一：由1n n a pa q +=+及1n n a pa q -=+，两式相减得()11n n n n a a p a a +--=-，得{}1n n a a +-是首项为21a a -，公比为p 的等比数列，先求{}1n n a a +-的通项公式，再利用“累加法”求{}n a 的通项公式．构造法二：若1p =，则显然是以1a 为首项、q 为公差的等差数列；若1p ≠，0p ≠，0q ≠，则构造数列{}n a λ+，满足()1n n a p a λλ++=+．运用待定系数法，解得1q p λ=-，则1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11q a p +-，公比为p 的等比数列．第四类：型如1nn n pa a a q+=+（0p ≠，0q ≠，0n a ≠）的递推式，运用取倒数，构造数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，满足111n n q a pa p +=+，运用换元法，即令1n n b a =，得11n n q b b p p +=+，从而转换为第三类．第五类：型如1rn n a pa +=（0p >，0r ≠，1r ≠）的递推式，运用两边取对数法得1lg lg lg n n a r a p +=+，令lg n n b a =，转化为1lg n n b rb p +=+型，即第三类，再运用待定系数法．第六类：型如1n n a pa qn r +=++（1p ≠，0p ≠，0q ≠）的递推式，可构造数列{}n a n λμ++，满足()1(1)n n a n p a n λμλμ++++=++，运用待定系数法解得1q p λ=-，21(1)r qp p μ=+--，从而由等比数列求通项公式；进一步推广，若递推式中包含n 的二次项、三次项，则构造的数列中也同样包含对应次数项．第七类：型如1()n n a pa f n +=+（1p ≠，0p ≠）的递推式，可在等式两边同除以1n p +，构造数列nn a p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，满足111()n n n n n a a f n p p p +++=+，令n n n a b p =，则转化为11()n n n f n b b p ++=+，即第一类，再利用“累加法”求通项公式．第八类：型如满足：11a m =，22a m =，21n n n a pa qa ++=+（p 、q 是常数）的递推式，则称数列{}n a 为二阶线性递推数列，可构造数列{}1n n a a λ+-，满足()11n n n n a a a a λμλ+--=-，则,,p q λμλμ+=⎧⎨=-⎩即λ，μ为方程20x px q --=的两个根，此方程称之为特征方程，则数列{}n a 的通项公式n a 均可用特征根求得（即转化为第七类进一步求解）．第九类：型如1n n n ra sa pa q++=+（0p ≠，0q ≠，0r ≠，0s ≠）的递推式，利用不动点法，其中rx sx px q +=+的根为该数列的不动点，若该数列有两个相异的不动点μ，则n n a a v μ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列；若该数列有唯一的不动点μ，即方程等根时，1n a μ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，这就是不动点求递推数列通项公式的方法．除上述9种类型之外还有换元法、数学归纳法（归纳一猜想一论证）等．给出相类似的递推式必有相应的破解之道，这是模型思想的运用，对所给的递推式借助于变形、代换、运算等方法转化为等差数列、等比数列这两类基本数列（模型）而求解．切变形、代换、运算的手段都是构造法的体现，真可谓：递推数列变化无穷，变形、代换方法众多．模型思想是根主线，合理构造顿显坦途．【典例】（2021·全国甲卷T17）已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．选①②作条件证明③：（一）待定系数法解法一：【解析】待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b-=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.解法二：【解析】待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d =-，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a ==．所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n +-=所以是等差数列.选②③作条件证明①：（二）定义法解法一：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b-=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43ab =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a =-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.解法二：求解通项公式因为213a a ===也为等差数列，所以公差1d =()11n d =-=，故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，直接(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a1d =11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.【针对训练】（2022年全国高考乙卷）1．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <2．设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．3．已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.4．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．（2022全国甲卷）5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．6．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．7．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．8．对负整数a ，数43a +、77a +、283a a ++依次成等差数列．(1)求a 的值；(2)若数列{}n a 满足()112n n n a aa n *++=-∈N ，1a m =，求{}n a 的通项公式；(3)在（2）的条件下，若对任意n *∈N ，有2121n n a a +-<，求m 的取值范围．9．设0b >，数列{}n a 满足1a b =，()1121n n n nba a n a n --=≥+-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，121n n a b +≤+．10．设数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a -=-+（2n ≥），数列{}n b 满足：1(1)3n n n b a +=-⋅．求数列{}n b 的通项公式．参考答案：1．D【分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【详解】[方法一]:常规解法因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误；178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.[方法二]：特值法不妨设1,n a =则1234567835813213455b 2,b b ,b b ,b b ,b 2358132134========，47b b <故D 正确.2．（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+．证明如下：当1n =时，13a =成立；假设()n k k *=∈N 时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立；［方法二］：构造法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由123,5a a ==得212a a -=．134n n a a n +=-，则134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--．令1n n n b a a +=-，且12b =，所以134n n b b -=-，两边同时减去2，得()1232n n b b --=-，且120b -=，所以20n b -=，即12n n a a +-=，又212a a -=，因此{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+．［方法三］：累加法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由134n n a a n +=-得1114333n n n n n a a n +++-=-，即2121214333a a -=-⨯，3232318333a a -=-⨯，……1114(1)(2)333n n nn n a a n n ---=--⨯≥．以上各式等号两边相加得1123111412(1)33333n n n a a n ⎡⎤-=-⨯+⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦ ，所以1(21)33n n n a n =+⋅．所以21(2)n a n n =+≥．当1n =时也符合上式．综上所述，21n a n =+．［方法四］：构造法21322345,387a a a a =-==-=，猜想21n a n =+．由于134n n a a n +=-，所以可设()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，其中,λμ为常数．整理得1322n n a a n λμλ+=++-．故24,20λμλ=--=，解得2,1λμ=-=-．所以()112(1)13(21)3211n n n a n a n a +-+-=--=⋅⋅⋅=-⨯-．又130a -=，所以{}21n a n --是各项均为0的常数列，故210n a n --=，即21n a n =+．（2）由（1）可知，2(21)2n nn a n ⋅=+⋅［方法一］：错位相减法231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.［方法二］【最优解】：裂项相消法112(21)2(21)2(23)2n n n n n n n a n n n b b ++=+=---=-，所以231232222n n n S a a a a =++++ ()()()()2132431n n b b b b b b b b +=-+-+-++- 11n b b +=-1(21)22n n +=-+．［方法三］：构造法当2n ≥时，1(21)2n n n S S n -=++⋅，设11()2[(1)]2n n n n S pn q S p n q --++⋅=+-+⋅，即122n n n pn q p S S ----=+，则2,21,2pq p -⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得4,2p q =-=．所以11(42)2[4(1)2]2n n n n S n S n --+-+⋅=+--+⋅，即{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，而1(42)22S +-+⋅=，所以(42)22n n S n +-+⋅=．故12(21)2n n S n +=+-⋅．［方法四］：因为12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，令12n n b n -=⋅，则()()231()0,11n nx x f x x x x x x x-=++++=≠- ，()121211(1)()1231(1)n n nn x x nx n x f x x x nxx x +-'⎡⎤-+-+=++++==⎢⎥--⎢⎥⎣⎦' ，所以12n b b b +++L 21122322n n -=+⋅+⋅++⋅ 1(2)12(1)2n n f n n +==+-+'⋅．故234(2)2222nn S f =++'+++ ()1212412(1)212n n n n n +-⎡⎤=+⋅-++⎣⎦-1(21)22n n +=-+．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列{}n a 的部分项从而归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式134n n a a n +=-，代换得134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--，设1n n n b a a +=-，从而简化递推式，再根据构造法即可求出n b ，从而得出数列{}n a 的通项公式；方法三：由134n n a a n +=-化简得1114333n n n n n a a n +++-=-，根据累加法即可求出数列{}n a 的通项公式；方法四：通过递推式求出数列{}n a 的部分项，归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，求出,λμ，从而可得构造数列为常数列，即得数列{}n a 的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，构造得到数列{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，利用分组求和法分别求出数列{}{}12,2n n n -⋅的前n 项和即可，其中数列{}12n n -⋅的前n 项和借助于函数()()231()0,11n nx x f x x x x x x x-=++++=≠- 的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．3．（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+，所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===，所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列，于是122,5,31n b b b n ===-．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=．由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知，数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ．所以11213(1)11222b a a -==++=+=，322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-．（2）[方法一]：奇偶分类讨论20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++ 1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++ 110()102103002b b +⨯=⨯-=．[方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+，所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列{}n a 的前20项和为：201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++ 1091091013102330022⨯⨯=⨯++⨯+⨯=．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.4．（1）2n n a =；（2）100480S =.【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）方法一：通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S .【详解】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）［方法一］：规律探索由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为(0,1]，则10b =；23,b b 对应的区间分别为(0,2],(0,3]，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7]，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为(0,8],(0,9],,(0,15] ，则89153b b b ==== ，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为(0,16],(0,17],,(0,31] ，则1617314b b b ==== ，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为(0,32],(0,33],,(0,63] ，则3233635b b b ====L ，即有52个5；6465100,,,b b b L 对应的区间分别为(0,64],(0,65],,(0,100] ，则64651006b b b ====L ，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．［方法二］【最优解】：由题意，2n m ≤，即2log n m ≤，当1m =时，10b =．当)12,21k k m +⎡∈-⎣时，,m b k k *=∈N ，则()()()()1001234573233636465100S b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++ 0122438416532637480=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．［方法三］：由题意知)1,2,2k k m b k m +⎡=∈⎣，因此，当1m =时，10b =；[2,4)m ∈时，1m b =；[4,8)m ∈时，2m b =；[8,16)m ∈时，3m b =；[16,32)m ∈时，4m b =；[32,64)m ∈时，5m b =；[64,128)m ∈时，6m b =．所以1001234100S b b b b b =+++++ 0(11)(222)(666)=++++++++++ 0122438416532637480=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以数列{}n b 的前100项和100480S =．【整体点评】（2）方法一：通过数列{}n a 的前几项以及数列{}m b 的规律可以得到12100,,,b b b 的值，从而求出数列{}m b 的前100项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列{}m b 的通项公式，从而求出数列{}m b 的前100项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．5．(1)证明见解析；(2)78-．【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．6．（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【分析】（1）由已知212n nS b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n n b b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【详解】（1）[方法一]：由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n ∈N 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅ n n n b S S S S S ①于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥ n n b S S S S n ．②由①②得1nn n b S b -=．③又212n nS b +=，④由③④得112n n b b --=．令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]：由212n nS b +=，得22=-n n n S b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠．又因为111--=⋅⋅=⋅ n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ．故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知212n n S b +=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+．下面用数学归纳法证明．当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S 331(1)1222k k k k ++⋅==+++．综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n nb n ∴=+-⨯=+,22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【整体点评】（1）方法一从212n nS b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从n b 的定义，替换相除得到1nn n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n nS b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；7．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++ ，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ，230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 012111012222333---++++ 111233---+n n n n ．设0121111101212222Γ3333------=++++ n n n ，⑧则1231111012112222Γ33333-----=++++ n n n ．⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ132********--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭- n n n n nn n ．所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ．故2nn S T <．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++ ，①231112133333n n n n nT +-=++++ ，②①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(14323n n nn T =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1043234323n nn n n n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1-=++++=- n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦，则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='- n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.8．(1)2a =-(2)()()()1212n nn a m n -=⋅-+-⋅-(3)163m <【分析】（1）根据等差中项的性质可出关于a 的等式，结合a 为负整数可得出a 的值；（2）推导出数列()2n n a ⎧⎫⎪⎪⎨-⎪⎪⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（3）由2121n n a a +-<对*n ∈N 恒成立结合参变量分离法可得出1243n m +<，求出1243n +的最小值，可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）解：由题意可得()21414383a a a a +=++++，整理可得2280a a --=，a 为负整数，解得2a =-.（2）解：因为()1122n n n a a ++=-+-，等式两边同时除以()12n +-可得()()11122n nn n a a ++-=--，所以，数列()2n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是首项为2m -，公差为1的等差数列，故()()122n n a m n =-+--，因此，()()()1212n n n a m n -=⋅-+-⋅-.（3）解：由2121n n a a +-<对*n ∈N 恒成立得()()()()()()22122212222222n n n n m n m n +--⋅-+-<⋅--⋅⋅+-对n *∈N 均成立．()2220n --> ，不等式两边同除()222n --，得()()()482222m n m n +-⋅<+-⋅-，得1243n m +<对n *∈N 恒成立，当1n =时，1243n +取最小值163，163m ∴<．9．（1）11(1)011n n n b a nb b b b b =⎧⎪=⎨->≠⎪-⎩且（2）证明见解析【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列a n 的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．【详解】（1）()1121n n n nba a n a n --=≥+- 1111(2)n n n n n a b b a --∴=+⨯≥当1b =时，11(2)1n n n n n a a -=+≥-，∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项，以1为公差的等差数列，1(1)1n n n n a ∴=+-⨯=，即1n a =，当0b >，且1b ≠时，11111(2)11n n n n n a b b b a -⎛⎫-+=+≥ --⎝⎭即数列11n n a b ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11111(1)a b b b +=--为首项，公比为1b 的等比数列，111111(1)(1)n n n n a b b b b b b -⎛⎫∴+=⨯= ⎪---⎝⎭即(1)1n n nnb b a b -=-，∴数列{}n a 的通项公式是()111011n n n b a nb b b b b =⎧⎪=⎨->≠⎪-⎩且（2）证明：当1b =时，不等式显然成立当0b >，且1b ≠时，(1)1n n nnb b a b -=-，要证对于一切正整数n ，121n n a b +≤+，只需证1(1)211n n n nb b b b+-⨯≤+-，即证()11121011n nn n b b nb b b b +--≤+⨯>--）()1111n n b bb +-+⨯- ()1111n n b b b +-=+⨯-()()11211n n n b b b b +--=+⨯++⋯++()()22121121n n n n n n b b b b b b b -++--=++⋯+++++⋯++()12211111n n n n n b b b b b b bb b --⎡⎤⎛⎫=++⋯+++++⋯++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(222)2n n b nb ≥++⋯+=∴不等式成立，综上所述，对于一切正整数n ，有121n n a b +≤+，【点睛】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．10．223n n b =-⋅．【分析】利用辅助法，对于数列{}n a 的递推公式，两边同时除以2n ，根据数列构造法，可得答案.【详解】∵12n n n a a -+=，两边同时除以2n 得1111222n n n n a a --+⋅=．令2n n n a c =，则1112n n c c -=-+．两边同时加上23-得1212323n n c c -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭．∴数列23n c ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以123c -为首项，12-为公比的等比数列．∴112211133232n n n c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴211332n n c ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭．∴2122(1)33n n n n n a c ==⋅+⋅-⋅．又∵1(1)3n n n b a +=-⋅，∴12(1)233n n n n b a =⋅--=-⋅，。

求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)

怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)，令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解．例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法：（一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，．（Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。

二阶线型递推数列通项公式的一种求法

本文提出了一种二阶线型递推数列通项公式的求解Байду номын сангаас法，该方法通过斐波那契数列的引入，使得求解过程更加通俗易懂。首先，我们分析了斐波那契数列的性质，发现其满足后一项等于前两项之和的规律。基于此，我们构造了两个数列，并通过取适当的系数s和t，使得这两个数列的和就是斐波那契数列。进一步地，我们将此方法推广到一般的二阶线型递推数列，给出了通项公式的求解步骤。此外，本文还通过具体的示例，展示了该方法在实际问题中的应用，验证了其有效性和可行性。相较于引入特征方程的传统方法，本文提出的方法更加直观易懂，有助于学生更好地理解和掌握二阶线型递推数列的求解技巧。

数列特征根和不动点法解题原理

数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。

1. 原理。

- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。

- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。

- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。

- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。

2. 例题。

- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。

- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。

- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。

- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。

- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。

- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。

- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。

- 所以a_n=-1 + 2^n。

- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。

- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。

- 解得x_1=x_2=1。

- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。

- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。

- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。

- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。

- 所以a_n=n。

二、数列不动点法。

1. 原理。

- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。

二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解

2 3
n
）
圯由a1=1，a2=
5 3
得
圯圯 a1=α+β·
2 3
=1
：圯圯圯 a2=α+β·（
2 3
2
）=
5 3
圯
αβ==3-3，
∴an=3-3（
2 3
n
）。
知识链接：形式幂级数又称作母函数。其一般的形式如
∞
∞
∑ ∑ n
∞
n
下：G（x）= anx ，我们给定数列{an}n=0，它所造出的G（x）= anx
参考文献汪晓梦极限思想的形成发展及其哲学意义中共合肥市委党校学报陈纪修于崇华金路数学分析北京高等教育出版社同济大学数学系高等数学第六版北京高等教育出版社本文得到江西省高等教育教学改革课题项目编号一资助
○ 数学教学与研究 2009年第33期（上卷）
周刊
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
尤田
（泗阳致远中学，江苏泗阳 223700）
n=0
n=0
则称为数列的母函数。关于母函数的运算我们要先记住：
（1）
1
23
=1+x+x +x +…
1-x
（2）
1
2
=1+2x+3x +…
2
（1-x）
（3）
1
=1+nx+
n（n+1）
2
x+
n（n+1）（n+2）
3
x +…
n
（1-x）
2！
3！
r
（4）（1+x） =1+rx+

二阶线性递推数列通项公式的矩阵求法

以口 ” 幢Ｉ｜
时
，●ＪＦ、ｌＩ口 ” ¨ ＝ ‰ Ｈ
陋＋
＋ｒ
”
（７＂Ｉ＝１，２，３，…）
（２）
记ｋ·＝㈦），１３ｘ＝㈡１２２，Ａ＝（；孙Ｂ。＝㈦，Ｅ＝（：０）’
则（２）式可用矩阵表示如下：
Ｂ。＋１＝ＡＢ。＋Ｂｏ
（行＝１，２，３，…）
（３）
由递推方法知：
Ｂ。＝Ａ“一１Ｂｌ＋（Ａ“一２＋Ａ”一３＋…＋Ａ＋Ｅ）Ｂｏ
则Ａ＝Ｔ（苫三）Ｔ～，即Ａ”＝Ｔ（苫三）Ｔ。
故Ｂ。＝Ｔ（ＡｉｌＡ≥。）Ｔ一１ｂ，＋Ｔ（Ａ７—２＋一．０＋Ａｌ＋１Ａ；一：＋．．？＋Ａ：＋。）Ｔ一－Ｂ。
垒＂。一１Ｔ～Ｂ１＋可ｏＴ～Ｂｏ
（２）△＝０时，方阵Ａ有两个相等的特征根Ａｌ＝Ａ２垒Ａ
取丁＝（：０）’ｃ其中ｆ＝一磊，
·［收稿日期］ｚ００４—０２—１２【作者简介】汪伟（１９６７一），男。安徽安庆人，安徽工贸职业技术学院基础部讲师。
7.期刊论文周怀君.Zhou Huaijun 求数列通项公式的方法探究 -西北成人教育学报2005,""(3)
数列是高中数学的重要内容之一,在历年高考试题中占有一定的比例,而确定数列的通项公式则往往成为解决此类问题的关键,本文通过举例介绍几种求数列通项公式的方法,与同仁们商榷.
8.期刊论文方均斌.FANG Jun-bin 关于周期数列的通项公式 -温州师范学院学报(自然科学版)2005,26(2)
10.期刊论文杨洁明周期数列的通项公式 -中国科教创新导刊2007,""(20)
本文主要讨论规律性较强的周期数列,并采用由特殊列一般,由简单到复杂的处理方法,应用泰勒展式,幂级数求和及多项式相等的定义等方面的知识 ,解决了较复杂的周期数列通项公式的问题.

递推数列

递推数列一、知识点介绍定义1 对于任意N n ∈,由递推关系()n k n k n k n a a a f a ,,,21Λ-+-++= 确定的数列{}n a 称之为递推数列，或称递归数列.若f 是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列.数学竞赛中的数列问题主要涉及到递推数列，并且常常是非线性递推数列.定义2 若数列{}n a 从第k 项以后任一项都是其前k 项的线性组合，即n k k n k n k n a a a a λλλ+++=-+-++Λ2211 ①其中k N n λλλ,,,21Λ∈是常数，0≠k λ，则称{}n a 为k 阶线性递推数列，①称为{}n a 的递推方程.与递归方程相应的代数方程()02211≠+++=--k k k k k x x x λλλλΛ ②称为k 阶线性递归数列{}n a 的特征方程.例如，公比为q 的等比数列是一阶线性递归数列，递归方程为n n qa a =+1()0,0,1≠≠∈q a N n .等差数列是二阶线性递归数列,递归方程为()N n a a a n n n ∈-=++122.著名的斐波那契数列也是二阶线性递归数列,递归方程为()112≥+=++n a a a n n n ,初始条件为121==a a .1.一阶递归数列一阶递归数列的一般形式为： ()()()()()，为常数0.11≠⎩⎨⎧=+=+n p a a a n q a n p a n n其特例为：（1）()01≠=+p pa a n n ，这就是等比数列.（2）()0,01≠≠+=+q p q pa a n n . 当1=p 时数列为等差数列.当0,0,1≠≠≠q p p 时,可用待定系数法求解.令()λλ-=-=+n n a p a 1,求得p q -=1λ，从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--+p q a p p q a n n 111，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+p q a n 11是首项为p q a --11，公比为p 的等比数列.（3）()()01≠+=+p n q pa a n n . 两边同除以1+n p ,得()111++++=n n n n n pn q p a p a ,令n n n p a b =,则()11+++=n n n pn q b b ,由此可用累加的方法求出n b ,从而求出n a .(4) ()()01≠+=+q q a n p a n n .解决这类问题的思想方法,通常也是利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列.二、递推数列例1 如图，ΛΛ,,,21n A A A 顺次在x 轴上，ΛΛ,,,,21n B B B 顺次在曲线x y =上，且11B OA ∆，221B A A ∆，……，n n A B A 1-n ∆，……为正三角形，求n OA .分析 22111,B A A B OA ∆∆Θ，332B A A ∆，……，都是正三角形，∴点1B 的横坐标为112121x OA =，点2B 的横坐标为)(21121x x x -+. 利用点1B ，2B ，3B ，……在曲线x y =上的条件，可以推出,,,321x x x ……，利用直线1+k k B A 的参数方程⎩⎨⎧+=+=οο60sin 60cos t y y t x x k k （其中k k x x t -=+1）. 可推出k n =到1+k 的递推关系，则可用数学归纳法证明n x 的公式.解法1 ∵点)23,2x (111x B 在曲线x y =上，∴22311x x =，由此可得)21(31321⨯==x .直线21B A 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=οο60sin 60cos 32t y t x )(12x x t -=， ∴t t 2132432+=，即34,038232==--t t t ， 32312343212⨯⨯==+=+=t x x . 类似地433143⨯⨯==x . 猜想)1(31+=n n x n .下面用数学归纳法证明.直线1+k k B A 的参数方程为⎩⎨⎧=+=οο60sin 60cos t y t x x k （k k x x t -=+1）， ∴t x t k 21432+=，即04232=--k x t t . 如果设)1(31+=k k x k ，则0)1(34232=+--k k t t ，)1(32+=k t ， ∴t x x k k +=+1)1(32)1(3+++=k k k =)2)(1(31++k k . 故1+=k n 时，命题)1(31+=n n x n 也正确.∴n 为一切自然数时，)1(31+=n n x n 都成立，即)1(31+=n n OA n . 解法2 同解法1，2,3221==x x . 依题意得n B 的坐标为)60tan 2,2x (11n οn n n x x x -+++. 又点n B 在曲线x y =上，所以23211+++=⋅-n n n n x x x x ，所以 )(2)(3121n n n n x x x x +=-++①以n 置换1+n ，得)(2)(3121--+=-n n n n x x x x ②①-②并整理，得)2)((31111-+-++--n n n n n x x x x x ()112-+-=n n x x ③因为011>--+n n x x ，所以，有322x 11n =+--+n n x x ④式④是二阶线性递归方程，可写成 32)()(11=----+n n n n x x x x . 所以数列{}n n x x -+1是以32为公差的等差数列，又3412=-x x ，所以 )1(32)1(32341+=-+=-+n n x x n n ， ∑+=--=111)1(32n k n k x x ，]1)1(21[3232-++=n n x n )1(31+=n n . 即)1(31+=n n OA n . 说明本例给出的数学问题转化为数列问题，给定一个数列一般有两种方式：一是给出通项公式)(n n f a =；二是给出前一项或有限项，再给出第n 项与前几项,,21--n n a a …的关系式（这一关系称为递推关系）.于是，可用每项都递归到前几项的方法，逐个地求出各项.人们从问题的特例出发，借助于递推关系，猜出问题的一般结论，并通过递推关系，运用数学归纳法，证明自己猜想的思维方法，称为递推观点，这里不仅有归纳思维（从特殊到一般的合情推理），而且有利用递推关系来进行推理的逻辑思维.问题里的递推关系有的是明显的，但也有的是隐含的，由于它既是进行归纳思维的工具，又是数学归纳法论证部分的关键，因此根据题意分析出递推关系，是应用递推观点解题的首要任务，其次要善于应用递推关系的变形引入辅助数列，从而猜出一般规律.例2 设xa cot 1=，x n x a a n n )1sin(cos 1--=-，试求数列{}n a 的通项n a .分析 x a cot 1=，x x x x x a a sin cos cot sin cos 12-=-=x xx x x sin 2cos sin sin cos 22=-=， x x a a 2sin cos 23-=x x x x x x sin 3cos 2sin sin cos 2cos =-=，xx a a 3sin cos 34-=xx x x x x x sin 4cos sin sin 3sin cos 3cos =-=，……至此已猜出xnxa n sin cos =.这一猜想是否正确，有待于证明.证根据分析，已猜出xnx a sin cos n =，下面应用数学归纳法证明当1=n 时，x xxa cot sin cos 1==，命题成立.设k n =时，命题成立，即xkx a k sin cos =.当1+=k n 时，x k x a a k k )11sin(cos 1-+-=+xx kx x kx sin sin sin cos cos -=xx k sin )1cos(+=,∴1+=k n 时，命题也成立. 故n 为一切自然数时，xnx a n sin cos =成立.例3 已知数列{}n a 中，21=a ，341+=+n n a S ，求n a .分析本题的递推关系，不是1n +a 与n a 的关系式，因此必须把341+=+n n a S 改变形式.利用n n n S S a -=++11导出1+n a 与n a ，1-n a 之间的关系，引入适当的辅助数列，使问题获解.解 ∵)34(34111+-+=-=-++n n n n n a a S S a )(41--=n n a a∴)2(2422111--+-=-=-n n n n n n a a a a a a .令n n n a a c 21-=+，则12-=n n c c ，而52121=-=a a c ，（∵211234a a a S +=+=,∴93312=+=a a ）∴{}n c 是以51=c 为首项，公比2=q 的等比数列.故 125-⋅=n n c ，∴ 11252-+⋅=-n n n a a . 两边同除以12+n ，得 452211=-++n n n n a a . 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是以121=a 为首项，45为公差的等差数列.从此可得 45)1(12-+=n a nn . ∴)15(2)45451(22-=-+=-n n a n n n例4 若数列{}n a 满足01=a ，12=a ，且nn n a a a 22312n =+-++，求?=n a解由已知递推式，得()nn n n n a a a a 22)2(112=---+++,令nn n a a b 21-=+，则nn n b b 21=-+，所以∑∑=-=-==--n k nk k k k n b b b b 221112)(,()∑-=+-==-nk nk n a a b 21121222，即 1221-=-+nn n a a ，两边同除以n 2，得n n n n n a a 2112211-=--+，所以 ∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-+11111121122n k n k k k kk k a a , ∑∑-+==-=-1-n 1k 111121122n k k n n a a )211()1(01----+=n n 121)2(-+-=n n .所以 12)2(1+-=-n n n a .例5 在数列{}n a 中，11=a ，31n +=+n na a a .求n a .解由31n +=+n na a a 取倒数，得nn n n a a a a 31311+=+=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++21132111n n a a . 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是以3为公比的等比数列，其首项为232112111=+=+a ，故nn a 3213232111n ⋅=⋅=+-. 所以131n -=n a .例6 若数列{}n a 满足51=a ，且3131+--=+n n n a a a ，,,2,1Λ=n 求n a . 解令1n +=n b a ，则111+=++n n b a ，2233)1(1)1(311+-+=++--+=++n n n n n b b b b b ,2412231+-=-+-+=+n n n n n b b b b b ,412111-=+n n b b . 再令nn b C 1=，则41211-=+n n C C .变形为)21(21211+=++n n C C .数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n C 是以211+C 即43为首项，以21为公比的等比数列，由等比数列通项公式，有1214321-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+n n C ，11223212143+--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n C ，所以nn n b 2321-=+，nn n n n n a 23322123211-+-=+-=++. 三、用特征根法求二阶线形递推数列通项求二阶线性齐次递推数列通项的一般方法.为了研究的方便,我们把递推式11-++=n n n qx px x 写成如下形式：011=---+n n n qx px x（Ⅰ）其中p 、q 为非零实常数. 定义1 方程02=--q pr r （Ⅱ）称为（Ⅰ）对应的特征根.定义2 如果一个数列满足递推公式（Ⅰ），则称这个数列为（Ⅰ）的一个解.定理1 若r 是（Ⅱ）的一个根，则}{nr 是（Ⅰ）的一个解.证明：因为r 是（Ⅱ）的一个根，所以02=--q pr r ，两边同乘以1-n r ，得011=---+n nn qr pr r .所以}{nr 是（Ⅰ）的一个解.定理 2 若}{nr 为（Ⅰ）的一个解,则{}ncr 也是（Ⅰ）的一个解,其中c 为任意常数;若{}nr 1与{}n r 2是（Ⅰ）的解,则{}n n r c r c 2211+也是（Ⅰ）的解.其中1c 、2c 为任意常数.证明：若{}nr 为（Ⅰ）的一个解，则011=---+n nn qrpr r两边同乘以c ，得011=---+n n n qcrpcr cr.所以, {}ncr 也是（Ⅰ）的一个解. 若{}n r 1与{}n r 2是（Ⅰ）的解,则011111=---+n n n qr pr r①012212=---+n n n qr pr r②21c c ⨯+⨯②①，得()()(221112211122111+-+-+-++n n n n n r c rc q rc rc p rc rc所以{}nn r c r c 2211+也是（Ⅰ）的解.定义3 含有两个任意常数1c 、2c 的解{}n nr c r c 2211+称为（Ⅰ）的通解；当给出两个初始值b x a x ==21,（b a ,为常数）以后，可以确定常数1c 及2c ，得到满足（Ⅰ）的一个解，这个解称为（Ⅰ）的一个特解.二阶递推数列的递推公式的通解含有两个任意常数，k 阶递推数列的递推公式的通解含有k 个任意常数，即通解所含任意常数的个数与递推数列的阶数相同.下面再来介绍特征根法.由递推公式（Ⅰ）的初始值b x a x ==21,（b a ,为常数）确定的二阶线性递推数列的通项可以这样来求：先写出（Ⅰ）对应的特征方程02=--q pr r ，然后根据特征根的三种情况，分别构造出（Ⅰ）的通解.（1）若方程（Ⅱ）的判别式042>+q p ，则特征方程有两个相异的实根1r 、2r ，这时所求通项由n n n r c r c x 2211+=给出，其中1c 、2c 由初始值b x a x ==21,确定.根据定理1、定理2与定义3，很容易得出这个结论.（2）若方程（Ⅱ）的判别式042=+q p ，则特征方程有两个相同的实根r r r ==21，这时，所求的通项由n n n nr c r c x 21+=给出，其中1c 、2c 由初始值b x a x ==21,（b a ,为常数）确定.因为r r r p 221=+=，所以()02212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+p r r q pr r nr n n . 所以 ()()01212=-+-+++n n n qnr r n p r n . 即{}n nr 也是（Ⅰ）的一个解.所以, {}nn nr c r c 21+是（Ⅰ）的通解.(3) 若方程（Ⅱ）的判别式042<+q p ,则特征方程02=--q pr r 有一对共轭虚根.设()θθθi rei r x ±=±=sin cos 2,1. 这时,所求的通项由()θθn c n c r x n n sin cos 21±=给出,其中21,c c 由初始值b x a x ==21,（b a ,为常数）确定.因为通项可写为θθin n in n n e Br e Ar x -+=的形式,令221i c c A -=,221i c c B +=. 其中21,c c 为任意常数,则θθin n in n n e r i c c e r i c c x -++-=222121()θθn c n c r n sin cos 21+=.上面的讨论可以列成下表：)θn 到此，我们可得到用特征根法求二阶线性递推数列通项的步骤：（i ）由递推式011=---+n n n qx px x 写出对应的特征方程02=--q pr r ；（ii ）求特征方程的根；（iii ）按特征根的不同情况，写出通项的一般表达式；（iv ）用初始值b x a x ==21,确定待定常数21,c c ，得出所求的通项.特征根法的特点是具有普遍性，同时又简便，易于掌握.由递推式求通项，转化为特征方程的根.四、非线性递归数列化归为线性递归数列的常见技巧在数学竞赛中，常常遇到一些具有一定难度的非线性递归数列，对这类问题有时不妨将其化归为线性递归数列，然后用特征根方法求解.1 因式分解例11 已知数列{}n a 中，1,2,1321-===a a a ，n n n n a a a a 1124+++=116-+-n n a a na 9+216n n a a --.求n a .分析：该递归数列是非线性齐次递归数列，不能直接用特征根方法.注意到递归式是二次齐次式，可通过因式分解将其化为一次齐次式.解：因为1111264-++++-=n n n n n n a a a a a a 2169nn n a a a -+- ()()113232-+--=n n n n a a a a ，则()3232321112311112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----+++n a a a a a a a a a n n n n n n Λ. 故n n n a a a 3212+-=++.其特征根方程为322+-=x x ,解得3,121-==x x .设()n n B A a 3-+=，代入初始值有()()⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=-+.121,45231321B A B A B A所以，()n n a 312145-+=. 2 递推作差例12 已知数列{}n a 中，1321===a a a ，1213+=+++n n n n a a a a .求21212322+-+-n n n a a a .分析：该递归数列是非齐次非线性的，思考将其转化为齐次线性递归数列.为消去常数，可递推一步作差消去常数使其齐次化，再通过换元使其线性化.解：1213+=+++n n n n a a a a ①13214+=++++n n n n a a a a② ①②-得2132314+++++++-=-n n n n n n n n a a a a a a a a ,即n n n n n n n n a a a a a a a a 3322114++++++++=+.故()()n n n n n n a a a a a a +=++++++23241. 从而，24321++++++=+n n n n n n a a a a a a . 令nn n n a a a b +=++21，则2+=n n b b . 又211321=+=a a a b ，24=a ，312432=+=a a a b ，所以，21531====Λb b b ，31642====Λb b b .因此，当n 为奇数时，2121=+=++n n n n a a a b ，则.212n n n a a a -=++当n 为偶数时，3121=+=++n n n n a a a b ，则.312n n n a a a -=++ 故21212322+-+-n n n aa a ()()1221212122222-+-++---=n n n n n n a a a a a a 122122222+-+-=n n n n a a a a()12212222+-+-=n n n n a a a a212=⨯=.例13 设数列{}n a 和{}n b 满足0,100==b a ，且⎩⎨⎧-+=-+=++47836711n n n n n n b a b b a a ②①()Λ,2,1,0=n .证明：()Λ,2,1,0=n a n 是完全平方数.分析：这是一个二元非齐次线性递归数列，可先将二元降为一元，再递归作差将非齐次线性递归数列化为齐次线性递归数列，朝着用特征根方法的方向转化.证明：由式①得6731n n n a a b -+=+. 代入式②得467378673112--+⨯+=-++++n n n n n a a a a a .即 61412--=++n n n a a a ③ 用1+n 代换③中的n 得614123--=+++n n n a a a . ④③④-整理得n n n n a a a a +-=+++1231515. ⑤因10=a ，由00=b 及673010a a b -+=，得41=a . 由式②得4478001=-+=b a b .又由41=b 及673121a a b -+=，得492=a .式⑤的特征根方程是1151523+-=x x x ，即()()011412=+--x x x .解得.347,347,1321-=+==x x x 设()()nn n C B A a 347347-+++=. 将49,4,1210===a a a 代入解得41,21===C B A . 故()()n n n a 347413474121-+++=. 又()232347±=±，则()()2134********+-++=n n n a()[]()[]{}232324122+-++=n n ()[]()()([{232323223241n n n -+-+++= ()()232213221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=n n . 由二项式展开式得()()n n 32213221-++∑==-n k k k n k n C 023221()∑-+=-n k k k k n k n C 0231221 ∑⨯=≤≤-nm m m n m n C 202232212+≤≤-∈∑=N C nm m m n m n 202232.因此，n a 为完全平方数.说明：形如“p a A a A a A a n k k n k n k n ++++=-+-++Λ2211()()也为常数为常数，p ,,2,1k i A i Λ=”的递归数列或通过变形可化为该类型的递归数列，常常采用递归作差法.例如：1、数列{}n a 满足()N n a a a a nn n ∈-+==+236457,1210.证明：（1）对任意N n ∈，n a 为正整数；（2）对任意N n ∈，11-+n n a a 为完全平方数.2、已知数列{}()0≥n a n 满足00=a ，对于所有非负整数n ，有()51113021+++=+n n n n a a a a .求{}n a 的通项公式.3 取对数例14已知数列{}n a 中，5,121==a a ，且满足121211++=--+n nn n n aa a a a①求n a .分析：该递归数列是非线性的分式型且分母比分子复杂，可先平方取倒数，再因式分解、换元，然后取对数化归为齐次线性递归数列.解：式①平方后取倒数得212212211111--+++=n n n n n a a a a a 11111212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n a a . 从而,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-+11111121221n n n a a a . 令112+=nn a b ，则11-+=n n n b b b ，2526,221==b b .易知0>n b .对11-+=n n n b b b 两边取常用对数得11lg lg lg -++=n n n b b b .令nn b F lg =，于是，11-++=n n n F F F ，2526lg ,2lg 21==F F ，这就是斐波那契数列，其特征根方程为012=--x x .解得251,25121-=+=x x . 设nn n B A F ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251.由2526lg ,2lg 21==F F ，进一步求得n F .从而，nF n b 10=，即nF na 10112=+.所以，1101-=nF n a .说明：取对数往往适用于乘积式递归数列，但必须为正项数列.不妨试试下题：已知数列{}n a 中，+∈R a n ，且,10,121==a a ()Λ,4,3103122==--n aa a n n n.求n a . 4 待定系数法例15 设数列{}n a 和{}n b 满足0,100==b a ，且⎩⎨⎧-+=-+=++47836711n n n n n n b a b b a a ②① ()Λ,2,1,0=n .证明：()Λ,2,1,0=n a n 是完全平方数.（同例13）证明：由式①得6731nn n a a b -+=+.代入式②得467378673112--+⨯+=-++++nn n n n a a a a a .即 61412--=++n n n a a a .（同例13）设()()p a p a p a n n n ---=-++1214（p 待定）.展开比较系数知21=p .故⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++2121142112n n n a a a . 令21-=n n a c ，则nn n c c c -=++1214，27,4,21110===c a c .其特征根方程是01142=+-x x .解得347,34721-=+=x x . 所以，()()nnn B A c 347347-++=.由27,2110==c c ，得41==B A .故()()213474134741+-++=nn n a .以下同例13.说明：形如形如“p a A a A a A a n k k n k n k n ++++=-+-++Λ2211()()也为常数为常数，p ,,2,1k i A i Λ=”的递归数列，常常采用待定系数法，构造形如“{}()为常数u u a n +”或“{}()为待定常数、v u v un a n ++”的齐次线性递归数列.例16 已知数列{}n a 满足121==a a ，且()+++∈++=N n a a a nn n n 218312.求n a .分析：该递归数列是非线性递归数列，不能采用递推一步作差的方法化归为线性递归数列，可以利用待定系数的方法将其转化为线性递归数列.解：设222++⋅-n n A a ()()nnn n A aA a2182311⋅-+⋅-=++()待定A .展开比较系数知201-=A .则222201++⋅+n n a⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=++n n n n a a 2201182201311.令nn n a b 2201⋅+=，则n n n b b b 18312+=++.易知56,101121==b b .由特征根方程法有()nnn B A b 36-+⋅=.将56,101121==b b 代入得51,121-==B A .从而，()53126n n n b --=.所以，()20253126n n n n a ---=.说明：形如“nn k k n k n k n ma A a A a A a ++++=-+-++Λ2211()()也为常数为常数，m ,,2,1k i A i Λ=”的递归数列，常常采用待定系数法构造形如“{}()为常数u um a n +”的齐次线性递归数列.5 不动点方法例17 已知无穷数列{}n a 满足,,10y a x a ==()Λ,2,11111=++=--+n a a a a a n n n n n . （1）对于怎样的实数x ，y ，总存在正整数0n ,使当0n n ≥时，n a 恒为常数？（2）求数列{}n a 的通项公式. 分析：这是一个分式型递归数列，很容易想到不动点方法，通过变形转化为()+-+∈=Nn b b b n n n 11.在迭代的过程中可以发现指数与斐波那契数列有关，由此作为切入点，将非线性转化为线性问题.解：由递归方程()x xx x f =+=212，得不动点1±=x .由不动点方法111111111111+++-++=+-----++n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a 111111----+++--+=n n n n n n n n a a a a a a a a ()()()()111111++--=--n n n n a a a a 111111+-⋅+-=--n n n n a a a a .令11+-=n n n a a b ，则()+-+∈=N n b b b n n n 11.易知110+-=x x b ，111+-=y y b .注意到()23221-----==n n n n n n b b b b b b。

二阶线型递推数列通项公式的求法

二阶线型递推数列通项公式的求法要求二阶线性递推数列的通项公式，我们首先需要知道递推数列的前两项。

假设数列的前两项分别为a1和a2，则通项公式的一般形式为：an = c1 * r1^n + c2 * r2^n其中，c1和c2是常数，r1和r2是系数。

为了求解通项公式，我们需要确定常数c1、c2以及系数r1、r2的值。

步骤一：求解特征方程特征方程是通过将递推数列的前两项代入通项公式得到的方程，形如：r^2 - sr + t = 0其中，s和t是根据数列的前两项计算出来的。

步骤二：求解特征根根据特征方程求出特征根r1和r2步骤三：求解常数通过代入递推数列的前两项和特征根到通项公式中，可以得到一组线性方程组，通过解此方程组求解出常数c1和c2的值。

下面，我们以一个具体的例子来说明上述步骤。

假设数列的前两项为a1=1，a2=3，并且已知特征根r1=2，r2=4步骤一：求解特征方程将a1=1，a2=3代入通项公式，得到：a1=c1*r1+c2*r21=c1*2+c2*4a2=c1*r1^2+c2*r2^23=c1*2^2+c2*4^2通过变换方程，我们可以得到以下方程组：2c1+4c2=14c1+16c2=3通过解这个方程组，我们可以求出常数c1和c2的值。

步骤二：求解常数解以上方程组，我们得到c1=1/4，c2=1/8步骤三：整理通项公式将得到的常数值代入通项公式，得到最终结果：an = (1/4) * 2^n + (1/8) * 4^n至此，我们求解了二阶线性递推数列的通项公式。

需要注意的是，上述步骤是求解特定情况下的二阶线性递推数列通项公式的方法，实际情况中，特征方程的形式可能会有所不同，需要灵活运用代数知识来求解。

递推数列的特征方程法探究

递推数列的特征方程法探究作者：蔡军军来源：《中小学教学研究》2014年第04期数列问题在高考中有着非常重要的地位，其中数列求通项公式，通常作为各省市的高考压轴题出现。

而递推数列的通项公式求解，往往令师生最为头疼。

那么，什么是递推数列，包含哪些类型.一般而言，数列求通项公式，都有哪些方法策略？下面，我对这几方面做些研究、探索不足之处，敬请同行批评指正。

一、递推数列的分类递推数列，顾名思义是指可以通过递推找出其规律的数列。

用通俗的一句话来解释“递推”就是：知道他的过去，就知道他的现在.知道他的过去和现在，就知道他的将来。

根据递推式不同，一般可将递推数列分为以下4类：■二、递推数列的特征方程法引理（一）一阶线性递推数列引理1.已知数列{an}满足a1=b，an+1=pan+q（p≠0且p≠1，p，q是常数），称方程x=px+q为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x0，则①当x0=a1时，数列{an}为常数列；②当x0≠a1时，数列{an-x0}是以p（p≠0）为公比的等比数列.简证：设特征方程x=px+q，得根为x0=■，又an+1=pan+q （1）x0=px0+q （2），由（1）-（2）得，an+1-x0=p（an-x0），若a1=x0=■，则a1=a2=a3=……=an=■，即数列{an}为常数列；若a1≠x0，则■=■=p（非零常数），即数列{an-x0}是以p为公比的等比数列，证毕。

（二）二阶线性递推数列引理2.已知数列{an}满足an+2=pan+1+qan（p≠1，p，q是常数），a1=a，a2=b，称方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x1，x2。

则①当x1≠x2时，数列{an}的通项为an=c1x1n+c2x2n，其中c1，c2由初始值决定；②当x1=x2时，数列{an}的通项为an=（c1+c2n）x1n，其中c1，c2由初始值决定。

简证：设特征方程x2=px+q有两个根为x1，x2，则x1+x2=px1·x2=-q，故由an+2=pan+1+qan得，an+2=（x1+x2）an+1-（x1·x2）an，即an+2-x1an+1=x2（an+1-x1an）。

特别解析特征方程法求解递推关系中的数列通项

特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项一、一阶线性递推式设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式;定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +===时当,其中}{n b 是以c 为公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是以c 为公比的等比数列,故;11-=n n c b b当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n 证毕例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列. 于是：.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位;当1a 取何值时,数列}{n a 是常数数列解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数,即则必须.53601ix a +-== 二、二阶线性递推式定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特征方程;若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,其中A,B 由βα==21,a a 决定即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A 、B 的方程组；当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ,其中A,B 由βα==21,a a 决定即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A 、B 的方程组;例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列{}n a 的通项公式;解法一待定系数、迭加法由025312=+-++n n n a a a ,得)(32112n n n n a a a a -=-+++, 且a b a a -=-12;则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,32为公比的等比数列, 于是：11)32)((-+-=-n n n a b a a ;把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入,得：a b a a -=-12, )32()(23⋅-=-a b a a , ••• ,21)32)((---=-n n n a b a a ;把以上各式相加,得：])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-; a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--;解法二特征根法：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x ;32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A ; 又由b a a a ==21,,于是：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b BA a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a三、分式递推式定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra qpa a n n n ++=+1其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,,那么,可作特征方程hrx q px x ++=. 1当特征方程有两个相同的根λ称作特征根时,若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在；2当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第2部分,则有：∴.N ,)51(521∈-=-n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n nn λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a1若,51=a 求;n a 2若,31=a 求;n a 3若,61=a 求;n a 4当1a 取哪些值时,无穷数列}{n a 不存在解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第1部分解答.1∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a 2∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(11令0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在,当n ≤4,N ∈n 时,51751--=+=n n b a n n λ. 3∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ 4、显然当31-=a 时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第1小题的解答过程知,51=a 时,数列}{n a 是存在的,当51=≠λa 时,则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2.∴当11351--=n n a 其中N ∈n 且N ≥2时,数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无穷数列}{n a 都不存在.定理3证明：分式递推问题：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra q pa a n n n ++=+1其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r ha r qr ph -≠≠≠1,0,,那么,可作特征方程hrx qpx x ++=.1当特征方程有两个相同的根λ称作特征根时,若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在.2当特征方程有两个相异的根1λ、2λ称作特征根时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第1部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ, 则λλ-++=-=++h ra q pa a d n n n n 11hra hq r p a n n +-+-=λλ)( h d r h q r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2 ①∵λ是特征方程的根,∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ ②将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ ③ 当01=d ,即λ+=11d a =λ时,由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时,由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+ ④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r hp -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp rd d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n rp rb b n n λ故数列}{n b 是以r p r λ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ其中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时,.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ当存在,N 0∈n 使00=n b 时,λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时,无穷数列}{n a 是不存在的. 再证明定理的第2部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ,∴其中必有一个特征根不等于1a ,不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ,将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ ⑤由第1部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根,故.,21rp r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ ⑥∵特征方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ,而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q将上两式代入⑥式得当,01=c 即11λ≠a 时,数列}{n c 是等比数列,公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有当01=c 即11λ=a 时,上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ证毕注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.求数列通项公式的方法很多,利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a b a c a d+⋅+=⋅+......① 其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.定义1:方程ax bx cx d+=+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ. 定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αααβββ++---=⋅---.定理2: 若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121n n c a a d a αα+=+-+-.例109·江西·理·22各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++. 1当14,25a b ==时,求通项n a ;2略. 例2 已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a . 例 3 已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+,求数列{}n a 的通项n a例4已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+,求数列{}n a 的通项n a2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+② 其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈. 定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.定理3:若12λλ≠,则1122n nn a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩. 定理4: 若12λλλ==,则12()nn a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩. 例5已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a 例6已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a例7:已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===-,求通项n a .。

高中数学特征方程求递推数列通项公式

特征方程求递推数列通项公式一、一阶线性递推数列通项公式若数列{}n a 已知11,(1),n n a a ca d c +=+≠求数列{}n a 的通项n a推导：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=-=-++则，令d t c =-)1(，即cd t -=1，得)1(11c d a c c d a n n --=--+，知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+c d a n 1是以c 为公比的等比数列， 11()n n d d a a c -∴-=-得11+()n n d d a a c -=-. 例1.1已知数列}{n a 满足：,4,N ,2311=∈--=+a n a a n n 求.n a111111112,N,4,3114+(),333433132,+()32232311122331113111=(),(),N223223n n n n n n n n n n n n n a a n a a a a a a a a a a n λλλλλ++++--=--∈==-+∴=--===-+⎧⎫+-⎨⎬⎭⎩+-∴=-+-∈方法一：，即，是以为初项，为公比的等比数列方法二：作特征方程132,.32x x x =--=-则11331+(+)()223n n a a -=-，当41=a 时，101311,.22a x a ≠+=数列3{+}2n a 是以31-为公比的等比数列. 于是：11113311113111+(+)()(),(),N.22323223n n n n n a a a n ---=-=-=-+-∈二、二阶线性递推数列通项公式推导：若数列{}n a 满足,11-++=n n n qa pa a 设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11)(-++-=n n n sta a t s a , 令⎩⎨⎧==-q st pt s ①（1）若方程组①有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s ,1111112221()()n n n n n n n n a t a s a t a a t a s a t a +-+-+=+⎧⎨+=+⎩,即{}n n a t a 11++、{}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列性质可得1111211)(-++=+n n n s a t a a t a , 1212221)(1-++=+n n n s a t a a t a ,∵,21t t ≠由上两式消去1+n a 可得()()()nn n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+=.（2）若方程组①有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11s t -=，则())(2112111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a =…)(11211a t a s n +=-，211121111s a s a s a s a nn n n -=-∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列性质可知()21112111.1s a s a n s a s a nn --+=，所以n n s n s a s a s a s a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=．通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去t 即得02=--q ps s ，显然1s 、2s 就是方程q px x +=2的两根，称此方程为二阶线性递推数列11-++=n n n qa pa a 的特征方程。

(完整版)特征根法求数列通项

特征根法求解数列递推公式类型一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列（二阶线性递推式）形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①（1）若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）（2）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=类型二、形如1n n n Aa B a Ca D++=+的数列（分式递推式）对于数列1n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② （1）若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数）代入12,a a 的值可求得c 值。

数列求通项公式的方法完整版

求数列通项公式的8+1种方法大连汤忠军本文从8+1个角度去阐述如何求出数列的通项公式，角度不同，思路不同，希望大家认真仔细体会。

后期还会有如何求前n 项和的方法总结。

方法一、观察法这个地方就不做赘述，可以明显观察出来。

但是这地方我需要提醒大家的是，在解答题中，你所观察出来的通项公式并不能代替做题过程或者说解答过程，这个是最为忌讳的。

这类题目，往往都会以选择题或者填空题的形式出现，不会出现解答题的，考生并不需要给出解答过程。

比如说，,,,,,...(1)22nn b a b a b a a b a b a +-=+-方法二、已知前n 项和n S ,求na 利用公式，111,(1),(2)n n n a S n a S S n -==⎧=⎨-≥⎩对于上述公式我给出以下几个备注。

NOTE ：①凡是出现了下标是1n -，必须需要保证2n ≥，因为对于数列而言，不可能会有负项或者零项；②对于上述公式而言，必须要验证你所算出来的1a 是否满足当2n ≥时的通项公式n a ，如果满足，合二为一；如果不满足，分段（开）写。

例1、设数列{}n a 的前前n 项和为n S ，且满足221n S n n =+-，求{}n a 的通项公式。

例2、设数列{}n a 满足111,(2,)n n n a a S S n n N +-==-≥∈，求{}n a 的通项公式。

例3、各项均为正数的数列{}n a 的前前n 项和为n S ，满足11S >且6(1)(2),n n n S a a n N +=++∈,求{}n a 的通项公式。

方法三、累加法适用类型：形如：1()n n a a f n +=+这种递推关系时。

例1、在数列{}n a 中，已知111,(2)n n a a a n n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

例2、在数列{}n a 中，113(2)n n n a a n --=+≥，求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式的十种方法-例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：已知aa =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

有关二阶线性递归(推)数列的理论及应用

有关二阶线性递归(推)数列的理论及应用摘要】本文旨在对现行中学教材中的一般递推数列进行研究，用二阶线性递推的理论探讨其求数列通项及数列和的一般方法。

【关键词】二阶线性递推数列；齐次式；特征方程；特征根Of the second-order linear recursion (push) the theory of series and its applicationZong Yumei【Abstract】The purpose of this paper to the existing secondary school textbook series of the general recursive study, using the theory of second-order linear recursive order to investigate the series, and several passed out and the general approach.【Key words】second-order linear recursive sequence; homogeneous type; characteristic equation; eigenvalue1关于递推数列的通项问题对于数列a1,a2,a3......,an (1)如果存在两个固定的数(实数或复数)p1p2使对任意n都有an＝２+p1an+1+p2an=0(2)则称数列(1)为二阶线性递推数列。

我们知道，如果要求出数列（１）,只需知道前两项即a1，a2再根据(2）式可求出a3,同理可求出a4,a5……从而可以找到an的表达。

满足以下两个条件：（1）当n=1,2,3,……k,得a1，a2，a3，……ak；（2）对任意n，由该表达式可以得到数列(1)的项，则这个表达式就解决了符合(2）式的数列(1）的问题。

除此之外，如果存在n和2个常数c1和c2的函数：an＝f（n，c1，c2）而两个常数满足方程：f（1，c1，c2）＝a1f（2，c1，c2）=a2那末，也就找到了an的一般表达式。

二阶线性递推数列的通项公式的求法

二阶线性递推数列的通项公式的求法课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法课程内容：真题再现：1.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）求证：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．2.在数列{}n a 中，11,a =21a =，11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式问题呈现：第一题中的第三问是难点，当2n时，211458n n n n S S S S ++-+=+，易得21114()4()()n n n n n n S S S S S S +++--=---，即2114n n n a a a ++=-，实际上就是已知2114n n n a a a ++=-，求{}n a 的通项公式。

第2题更是典型的已知11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式这两题的共同特点是：已知数列*1221,,(,0),n n n a a a b a pa qa n N pq ++===+∈≠求{}n a 的通项公式，即二阶线性递推数列的通项公式的求法。

这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。

实质，此类题型来源于我们的课本习题课本例题呈现：例13 已知数列{}n a ，212132,2,5--+===n n n a a a a a （3n ≥），求数列的通项公式。

专题二递推公式求数列的通项

专题二数列的通项递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决（即构造等差、等比的辅助数列），因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。

常见的求法有：1、公式法：由等差，等比定义，写出通项公式（一般求m a d q 、、，再用通项或变形公式）2、累加法：)(1n f a a n n =-+型；累乘法：)(1n f a a nn =+型；迭代法 3、待定系数法：1()n n a pa f n +=+型；q pa a n n +=+1型（p q 、为常数，且1,0p p ≠≠）特别提醒：一阶递推q pa a n n +=+1,我们通常将其化为111n n q q a p a p p +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭{b n }的等比数列（常考查）4、不动点法：1n a +与n a 的递推公式中，不含()f n 。

5、特征根的方法：n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

6、对数变换法：rn n pa a =+1)0,0(>>n a p7、换元法：对含a n 与S n 的题，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 消去n S ，转换为n a 的推公式，再用前面的方法特别提醒：对含a n 与S n 的题，在求和的问题时，也可以用这样的方法消去n a ，得到关于n S 的递推公式，同样采用上述求通项地方法求出n S8、周期数列：n T n a a +=9、数学归纳法：（以后学）说明：① 仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

② 其中方法3、4、5、6、7都属于构造辅助数列：构造{}()n f a 为等差（等比）数列，求出()n f a ，然后就可以求出n a 了。

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二阶线性递推数列的通项公式的求法
课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法课程内容：真题再现：
1.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*
n ∈N ．已知11a =，232a =，354
a =，且当2n
时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
（1）求4a 的值；
（2）求证：112n n a a +⎧
⎫-
⎨⎬⎩
⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．
2.在数列{}n a 中，11,a =21a =，11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式问题呈现：第一题中的第三问是难点，当2n
时，211458n n n n S S S S ++-+=+，易得
21114()4()()n n n n n n S S S S S S +++--=---，即2114n n n a a a ++=-，实际上就是已知211
4
n n n a a a ++=-，求{}n a 的
通项公式。

第2题更是典型的已知11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式
这两题的共同特点是：已知数列*
1221,,(,0),n n n a a a b a pa qa n N pq ++===+∈≠求{}n a 的通项公式，即
二阶线性递推数列的通项公式的求法。

这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。

实质，此类题型来源于我们的课本习题课本例题呈现：
例13 已知数列{}n a ，212132,2,5--+===n n n a a a a a （3n ≥），求数列的通项公式。

（人教版高中数学必修5第二章数列复习参考题B 组第6题）解法
1：（归纳猜想）由已知可得：11,
a =23452,19,44,145,a a a a ====猜想
11*1
[7313(1)]()4
n n n a n N --=⨯+⨯-∈(用数学归纳法证明略)
解法2：（构造法）
将2132--+=n n n a a a 变形，]23
)[2(3)2(21211------+-=+-=-n n n n n n a a a a a a λ
λλλ 若,23
λ
λ-=
-即1-=λ或者3,则{}1n n a a λ+-是一个等比数列,公比为2-λ.1-=λ时，
1{}n n a a ++是一个首项为7,公比为3的数列, 1
173n n n a a --+=⨯①
3λ=时，1{3}n n a a +-是一个首项为-13,公比为1-的等比数列
11313(1)n n n a a -+-=-⨯-②
由①②两式消去1n a +得：11*1
[7313(1)]()4
n n n a n N --=
⨯+⨯-∈
解法3：（待定系数转化法）2132--+=n n n a a a ，设112()n n n n a a a a λμλ----=-，其中,λμ是待定的常数，则
12()n n n a a a λμλμ--=+-。

得{
2
3λμλμ+==，比较系数显然λμ与是方程2230x x --=的两根，即方程2
23
x x =+的两根。

{
23
λμλμ+==⇒
{
{
3=11
=3λλμμ=-=-或，
得： 1121123(3)+3(+)
n n n n n n n n a a a a a a a a -------=--=或，以下与解法
2
相同可得
11*1
[7313(1)]()4
n n n a n N --=⨯+⨯-∈
我们发现解法2与3本质相同，都是构造等比数列，再利用方程思想得到通项公式。

这种解法可以推广到一般：揭示结论：
设数列12,,a a a b ==21(*)n n n a pa qa n N ++=+∈,(0pq ≠) ，求n a
设：212(),n n n n a a a a λμλ+++-=-,λμ是待定系数，整理得：21(),n n n a a a λμλμ++=+-比较系数得：
,p q λμλμ+==-，所以,λμ是方程20x px q --=的两根。

I.当0∆≥时，设其实根为,αβ，从而有
{
λαμβ
==或
{
λβμα
==得211()n n n n a a a αβα+++-=-或
211()n n n n a a a βαα+++-=-。

所以，数列11{},{}n n n n a a a a αβ++--分别是β和α的等比数列
故得：1
121()n n n a a a a ααβ-+-=-③
1121()n n n a a a a ββα-+-=-④
当αβ≠时，由③-④消去1n a +得11
2121()()n n n a a a a a a αβββα
-----=-
令212112(),a a a a c c βαβαβα
---=
=--，则11
12,n n n a c c αβ--=+常数12,c c 由1,2a a 确定
当αβ==
2p 时，由③得1121()n n n a a a a ααα-+-=-，两边同除1
n a +得12112n n n n a a a a αααα++--=。

数列{}n n
a α
是公差为212,a a αα-首项为1a α的等差数列。

得：12122(1),n n a a a a n αααα-=+-得令121122a a a c ααα-=-，21
22
a a c αα
-=，得12()n
n a c nc α=+，常数12,c c 由12,a a 共同决定。

所以，遇到此类题求通项公式只需考查方程递推方程21n n n a pa qa ++=+的特征方程2
x px q =+，运用特征根方程特点解题，是非常简单的。

结论运用
对于文中所涉及的第一小题（2015广东文19）的第三小问我们便可以运用此法解答.题目中已经求出递推方程
2114n n n a a a ++=-，所以其特征方程为214x x =-，解得方程只有两个相等的实根即：1
2αβ==，所以
121
()()2
n n a c nc =+，11,a =2
32a =可得：122121()12
1(2)()12
c c c c +⋅=+⋅=⎧⎨⎩∴10,c =22c = ∴12
n
n n
a -=
第（2）小题的递推公式11n n n a a a +-=+（2n ≥），其特征方程为2
1x x =+.
解得112x =
,212
x =.可
设11
1211(
(22
n n n a c c --+=+ 11,a =.
2
1a =
，可得：12
11c c +==⎧⎪⎨⎪⎩
解得1c =
2c =代入n a
可得11)()]22n n
n a +=
- 由此可见遇到此类求通项公式的题,用特征根方程通过待定系数法解决此类问题是很简单的.回头梳理整个通项
公式的探究过程,我最大的感触是不要轻易放过教材中的任何一道题目.教材是专家经验的积累、智慧的结晶，所以每道例题、习题都有其存在价值。

教材永远都是题目的本源，教会学生利用好教材，善于积累将会起到事半功倍的效果。

第八讲多面体与球的组合体问题。