3.3.2简单的线性规划问题(2)
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
课件8：3.3.2 简单的线性规划问题
解：设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，
x＋y≤10， 由题意知x0≥.30x，＋0.1y≤1.8，
y≥0.
目标函数 z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即
可行域．
作直线 l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x＋0.5y ＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点且与直线 x＋0.5y＝0 的距离最大，这里 M 点是直线 x＋y＝ 10 和 0.3x＋0.1y＝1.8 的交点． 解方程组x0＋.3xy＋＝01.01，y＝1.8， 得xy＝＝46，，
解：设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg，利润 z 万元，
9x＋4y≤360， 4x＋5y≤200， 则依题意可得约束条件：3x＋10y≤300， x≥0， y≥0.
利润目标函数为 z＝7x＋12y.
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图)．
作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直 线l经过可行域上的点M时，此时z＝7x＋12y取最大值．
【答案】6
9 5
题型三 线性规划的实际应用 例3：某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损 率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要 求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两 个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解方程组x7＋x＋2y1＝0y3＝，17， 得 M(1,1)． 故当 x＝1，y＝1 时，zmin＝8.
2x＋y≥4， 变式训练 1：设 x，y 满足x－y≥－1， 则 z＝x＋y( )
线性规划2(用)
y
故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。
M x
o
例题分析
例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
o
4
8
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫 做这个问题的最优解。
x
例1、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮(火车的货用车厢称为车皮)甲种肥料的主要原料是 磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主 要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、 硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最 大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；
（在包括边界的情况下） 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出 该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当 放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条 对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续 放缩，直至取到整点为止。 3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网 格法、找整点、平移直线、找出整数最优解
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域； 4）在可行域内求目标函数的最优解 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
3.3.2简单的线性规划问题
解决问题 （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产 品分别生产x 品分别生产x、y 件，由已知条件 可得二元一次不 等式组：
x &≥0 y≥0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 画出不等式组所表示的平面区域：
解：设需要截第一种钢板x张，第二种 设需要截第一种钢板x 钢板y 钢板y张，则目标函数为z=x+y 则目标函数为z=x+y
2x+y≧ 15 ≧ x+2y ≧ 18 x+3y ≧ 27 x ≥0,x∈N ∈ y ≥0,y∈N ∈
18 16 14 12 10 8 6 4 2
将目标函数化为： 将目标函数化为： y=-x+z,显然 越少， 显然z y=-x+z,显然z越少， 钢板数和越少。 钢板数和越少。
【教学重点】 教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解； 利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】 教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答， 把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的 关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数， 关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数， 利用图解法求得最优解。 利用图解法求得最优解。
y
M
o
3/7
5/7
6/7 x
M点是两条直线的交点，解方程组 点是两条直线的交点， 点是两条直线的交点
7 x + 7 y = 5 14 x + 7 y = 6
所以z 所以 min＝28x＋21y＝16 ＋ ＝
x 点的坐标为： 得M点的坐标为： 点的坐标为 y
3.3.2 简单的线性规划问题 课件
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
一元二次不等式所表示的平面区域及求最值问题
3.3.2（二）
x＋2y－5>0， 2．设实数 x，y 满足不等式组2x＋y－7>0，
x≥0，y≥0
且 x，y 为整
数．则 3x＋4y 的最小值是
(B )
A．14
B．16
C．17
D．19
本 讲
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，
栏
目
开
关
点 A(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故 3x＋4y 的最小值是 3×4＋4×1＝16.
x∈Z，y∈Z
时，求 z＝5x＋
4y 的最大值及最优解．
本 讲 栏 目 开
解 若不考虑 x∈Z，y∈Z，则当直线经过点 A95，2130时， z＝1815，∵x∈Z，y∈Z，∴z∈Z.
关
令 z＝18，则 5x＋4y＝18.
∵4y 为偶数，18 为偶数，∴5x 为偶数，∴x 为偶数． 结合可行域可知 x＝2，从而 y＝2. 经检验(2,2)在可行域内．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.3.2（二）
3．在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近
的乡镇．现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用．每
辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙
本 讲
型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台．若每辆车至
栏 目
故当 x＝20，y＝24 时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)
答案 20 24
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.2（二）
例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张 钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
高中数学 同步教学 简单的线性规划问题
x (1)
2
率的 2 倍,
因为 kQA= 7 ,kQB= 3 ,所以 z 的取值范围是[ 3 , 7 ].
48
42
方法技巧 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
常 见 代 数 式 的 几 何 意 义 :(1) x2 y2 表 示 点 (x,y) 与 原 点 (0,0) 的 距
4.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足 线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确. 故填④. 答案:④
变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.
解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1 表示可行域内任意一点(x,y)与点 D(-1,0)距离的平方减去 1,
如图所示,过 D 作 AB 的垂线 DP,垂足为 P,所以|DP|= | 1 0 4 | = 5 = 5 2 ,
(2)简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤 可概括为“画、移、求、答”,即: ① 画 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 可 行 域 和 直 线 ax+by=0( 目 标 函 数 为 z=ax+by); ②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或 最小值; ④答:给出正确答案.
3.3.2简单的线性规划问题2
[规范作答] 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张． 2x＋y≥15， x＋2y≥18， 可得 x＋3y≥27， x≥0，y≥0.
且 x、y 都是整数，
求目标函数 z＝x＋y 取最小值时的 x、y.2 分 作可行域如图所示，6 分
18 x＝ 5 ， x ＋ 3 y ＝ 27 ， ∵ ∴ 2x＋y＝15， y＝39， 5 平移直线
18 39 ∴A 5 ， 5
18 39 z＝x＋y，可知直线经过点 5 ， 5 ，此时
x＋y
18 39 57 18 39 ＝5， 但 5 与 5 都不是整数， 所以可行域内的点 A 5 ， 5 不
是最优解.8 分
方法一：平移求解法 首先在可行域内打网格，其次描出
下取得最大值时的最优解只有一个， 则实数 a
的取值范围是________． 解析：
x＋y－3≥0 作出线性约束条件2x－y≤0 y≤a
表示的平面
区域， 如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数 a的取值范 围是[2，＋∞)． • 答案： [2，＋∞)
∴A′(3,3)是最优解． 所以，甲、乙两种药片各用 3 片配餐最好．
•
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1) 处取得最大值，则a的取值范围为________．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①可行域已知； • ②目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在(3,1)处取得最大 值． • 解答本题可先画出可行域，利用数形结合求解．
• 1 ． 用图解法解决线性目标函数的最优解问题的 一般步骤 • (1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把 可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可 以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大 的平面区域． • (2)移：运用数形结合的思想，把线性目标函数看 成直线系，把目标函数表示的直线平行移动，最 先通过或最后通过的顶点便是所需要的点． • (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
课件7：3.3.2 简单的线性规划问题
3．在可行域内求目标函数的最优解． 4．根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解， 即结合实际情况求得最优解． 另外，线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的 顶点处取得，也可能在可行域的边界上取得，即满足条 件的最优解有无数多个．要准确理解z的几何意义．
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解：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，
约束条件是x2＋ x＋2yy≤ ≤450000 ， x≥0，y≥0
目标函数是f＝3x＋2y，要求出适当的x，y，使f＝3x＋2y取 得最大值． 如下图作出可行域．
设3x＋2y＝a，a是参数，将它变形为y＝－ 32x＋a2 ，这是斜
率为－
3 2
，随a变化的一族直线．当直线与可行域相交且
A．(1,1) B．(3,2)
C．(5,2) D．(4,1) 【解析】对直线y＝x＋b进行平移，注意b越大，z越小． 【答案】A
3．若实数x，y满足
x－y＋1≤0， x＞0，
则
y x
的取值范围
是( )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
x－y＋1≤0，
x＞0，
【答案】C
4．不等式组
x－y＋5≥0 x＋y＞0
，表示的平面区域是(
)
x＜3
【解析】注意直线的虚实知，选C. 【答案】C
课堂小结： 要完成一项确定的任务，如何统筹安排，尽量做到用最少 的资源去完成它，这是线性规划中最常见的问题之一；资 源数量一定，如何安排使用它们，使得效益最好，这是线 性规划中常见的问题之二．解决这类问题的思路和方法： 1．准确建立数学模型，根据实际问题中的已知条件，找出 约束条件和目标函数，应分清已知条件中，哪些属于约束 条件，哪些与目标函数有关，并列出正确的不等式组． 2．由二元一次不等式表示的平面区域画出可行域．
高中数学3.3.2-2简单的线性规划问题(第二课时)复习试题
课时作业(二十七)1．如果实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么2x －y 的最大值为()A ．2B ．1C ．－2D ．－3答案 B解析 如图所示可行域中，2x －y 在点C 处取得最大值，即在C(0，－1)处取得最大值，最大值为1.2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0且x ＋y 的最大值为9，则实数m＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 C解析 如图，设x ＋y ＝9，显然只有在x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求，解得此时x ＝4，y ＝5，即点(4，5)在直线x －my ＋1＝0上，代入得m ＝1.3．已知x ，y ∈Z ，则满足⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤5，y ≥0的点(x ，y)的个数为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 D解析 画出不等式组对应的可行域，共12个点．4．若实数x 、y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x>0，则yx 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 在平面内作出x 、y 满足的可行域，设P(x ，y)为可行域内任一点，则直线PO 的斜率k PO ＝y x ，由数形结合得，k PO >1，故yx 的取值范围是(1，＋∞)，选C.5．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x －y ，则使z 取得最小值的点的坐标为( )A ．(1，1)B ．(3，2)C ．(5，2)D ．(4，1)答案 A解析 对直线y ＝x ＋b 行平移，注意b 越大，z 越小．6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( ) A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32]答案 A解析 利用线性规划的知识求解．作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，又直线y ＝3x －z 的斜率为3.由图像知当直线y ＝3x －z 经过点A(2，0)时z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过点B(12，3)时，z 取最小值－32.∴z ＝3x －y 的取值范围为[－32，6]．故选A.7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50答案 B解析 设黄瓜的种植面积为x 亩，韭菜的种植面积为y 亩，则由题意知其满足的条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，化简得⎩⎨⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y.目标函数z ＝x ＋0.9y 的几何意义是直线x ＋0.9y －z ＝0在x 轴上的截距，由图可知当直线经过点B(30，20)时，目标函数z ＝x ＋0.9y 取得最大值． 8．已知以x ，y 为自变量的目标函数ω＝kx ＋y(k>0)的可行域如下图阴影部分(含边界)，若使ω取最大值时的最优解有无穷多个，则k 的值为( ) A ．1B.32C ．2D ．4答案 A解析 目标函数可变形为y ＝－kx ＋ω，又∵k>0，结合图像可知，当ω最大时，－k ＝k DC ＝4－22－4＝－1.即k ＝1.9．已知x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y2的最小值为( ) A.10 B ．2 2 C ．8 D ．10答案 D解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A(－3，0)与可行域上点(x ，y)间距离的平方．显然|AC|长度最小，所以|AC|2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10.故选D.10．点P(1，a)到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3>0表示的区域内，则a ＝________． 答案 3 解析|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3.又点P 在3x ＋y －3>0表示区域内，∴3＋a －3>0，∴a>0，∴a ＝3.11．在坐标平面内，点的纵、横坐标都是整数时，称该点为整点，则由不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的区域内整点的个数是________．答案 9解析 首先画出不等式组表示的平面区域(如图)，再用打网格法找出区域内整点，部分靠近边界的点代入验证，共9个点．12．记不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D.若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________． 答案 [12，4]解析 作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a(x ＋1)过定点C(－1，0)，由图并结合题意可知k BC ＝12，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a(x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4.13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围． 解析 (1)作出可行域如图，计算得点A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．z ＝x 2＋(y －5)2，表示可行域内任一点(x ，y)到点M(0，5)的距离的平方． 过点M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上，故|MN|＝|0－5＋2|1＋（－1）2＝32＝322， ∴|MN|2＝(322)2＝92，∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －（－12）x －（－1），表示可行域内的点(x ，y)与定点Q(－1，－12)连线的斜率的2倍． 连接QA ，QB.∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是[34，72]．14．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解析 设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点． 解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7>0，∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．所以，投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．15．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a 的钢条2根，长度为b 的钢条1根；或截成长度为a 的钢条1根，长度为b 的钢条3根．现长度为a 的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？解析 设按第一种切割方式需钢条x 根，按第二种切割方式需钢条y 根，根据题意得约束条件是⎩⎨⎧2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x>0，x ∈N ，y>0，y ∈N ，目标函数是z ＝x ＋y ，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．由⎩⎨⎧2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得⎩⎨⎧x ＝3.6，y ＝7.8. 此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数， 所以点(3.6，7.8)不是最优解．经过可行域内的整点且使z 最小的直线是y ＝－x ＋12，即z ＝12，满足该约束条件的(x ，y)有两个：(4，8)或(3，9)，它们都是最优解． 即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，可满足要求．1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx 的最大值为________．答案 2解析 画出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P(x ，y)与原点的连线的斜率．A(1，2)，B(3，0)，∴0≤yx≤2.2．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是()A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)答案D解析 所求问题转化为求动点(x ，y)与定点(－1，1)连线的斜率问题．不等式组表示的可行域如图所示．目标函数ω＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点(－1，1)的连线的斜率，由图可见，点(－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到，故－12≤ω<1.3．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，y ≤n ，x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是________． 答案 n>2解析先根据⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n>2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其部分．4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( ) A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元答案 D解析 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，获得利润为z ，则有下列关系：则有⎩⎨⎧ y>0， 3x ＋y ≤13， 2x ＋3y ≤18.目标函数z ＝5x ＋3y ，作出可行域后(如图所示阴影区域)求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元，故选D.。
课件6：3.3.2 简单的线性规划问题
)
x≤4，
A．2
B．5
C．8Biblioteka D．10(3)变量 x，y 满足约束条件xx＋－y2≥y＋0，2≥0， mx－y≤0，
若 z＝2x－y 的最大值为 2，则
实数 m 等于( ) A．－2
B．－1
C．1
D．2
【解析】 (1)画出可行域如图中阴影部分所示． 由 z＝2x－y 得 y＝2x－z，平移直线 2x－y＝0，当直线过 A 点时，z 取得最小 值． 由xy＋ －yx＝ ＝11， ， 得xy＝＝01，， ∴A(0,1)． ∴当 x＝0，y＝1 时，zmin＝2×0－1＝－1，故选 A.
探究 1 设投资甲、乙两个项目的资金分别为 x、y 万元，那么 x、y 应满足 什么条件？
【提示】
x＋y≤60， x≥23y， x≥5， y≥5.
探究 2 若公司对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每 投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，设该公司所获利润为 z 万元，那么 z 与 x，y 有何关系？
选项 A，B，D，故选 C. 【答案】 C
【提示】 根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的 利润，可得 z 与 x，y 的关系为 z＝0.4x＋0.6y.
探究 3 x，y 应在什么条件下取值，x，y 取值对利润 z 有无影响？
【提示】
x＋y≤60， x，y 必须在线性约束条件x≥23y，
x≥5， y≥5
值，直接影响 z 的取值．
(2)v＝x－y 5表示可行域内的点 P(x，y)到定点 D(5,0)的斜率，由图可知，kBD 最大，kCD 最小，又 C(3,8)，B(3，－3)，
所以 vmax＝3－－35＝32，vmin＝3－8 5＝－4.
3.3.2简单的线性规划问题
Z max=17 Z min=-11
1 o A (-2,-1)
x5y 3
C
3
x
5x 3y 15
3x+5y=0
练习 变式1.若求z=x-2y的最大值和最小值呢？
5yxx3y1, 15,
z x2y y 1 x z
y5
x 5y 3.
求z的最大值与最小值。
约束条件
(线性约束条件)
这里的约 束条件是 关于x,y 的一次不 等式，又 叫线性约 束条件.
线性规划定义
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条
件的解(x，y)叫可行解； 2x+y=3
2x+y=12
可行域 ：由所有可行解组
22
∴ -z/2最小时，z最大
y x 1 x y 0
-z/2最大时，z最小
B (1.5,2.5) x 2y 0
故过点C时，z最大，
过点B时，z最小.
1
zmax=3
x5y 3 C
zmin=-3.5
o
3
x
5x 3y 15
注：一般，目标函数的最A优解是唯一的（在可行域的顶点处取得） ，有时是不唯一的（在可(-行2,域-1)的边界取得）。
成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
(1,1)
(5,2)
线性目标函数
线性规划相关名称
所表示的几何 意义——在y 轴上的截距或
线性目 标函数
线性约 束条件
与其相关。
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zmax = 2,
y2 (2)求z = 的取值范围. x 1
zmin = 5 . 5
O
A
2
x
kBN 1, k AN 2.
z ≥ 1 ，或 z ≤ 2
题型三 线性规划的实际应用问题
例 某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产
品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产 品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200 元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司 至少要生产A类产品50件，B类产品140件， 所需租赁费最少为多少元．
y－b y ②x表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率， 表示点(x，y)与点(a，b)连线 x－a 的斜率.
y)与点(a，b)的距离；
x 2 y 2 ≥ 0, 练习：已知x、y满足条件 x ≥ 0, y ≥ 0. 1
y B
N M
(1)求 ( x 1)2 ( y 1)2 的最值；
• 由题目可获取如下信息：甲、乙两种设 备生产A，B两类产品的情况如表所示： 产品 A类产品 B类产品 租赁费 (件)(≥50) (件)(≥140) (元 )
设备 5 10 200 甲设备 6 20 300 • 乙设备 根据题意列出约束条件，建立目标函数 求解．
[解题过程] 设甲种设备需要生产 x 天，乙种设备需要生产 y 天，该 公司所需租赁费为 z 元，则 z＝200x＋300y，
2 2 PQ2 ＝ (0 － 1) ＋ (2 － 1) ＝2， max
PQ2 min＝(
|1－1＋1| 2 1 2 2 ) ＝2 ， 1 ＋－1
1 3 ∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝2＋1＝2.
点评
当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义 来解题，
常见代数式的几何意义： ① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离， x－a2＋y－b2表示点(x，
的
交点 A(4,5)时， 目标函数 z＝200x＋300y 取到最小值为 2 300 元，故所需租
(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有
哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.
(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y， 并列出相应的不等式组和目标函数. (3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解). (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值). (5)检验：根据结果，检验反馈.
题型二 求非线性目标函数的最值
x－y＋1≤0， 例 4 实数 x，y 满足x≥0， y≤2.
y (1) 若 z＝x，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.
引申探究
y－1 1.若 z＝ ，求 z 的取值范围. x－1
y－1 z＝ 可以看作过点 P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率. x－1
∴z的取值范围是(－∞，0].
2. 若 z ＝ x2 ＋ y2 － 2x － 2y ＋ 3. 求 z 的最大值、 最小值 z＝x2＋.y2－2x－2y＋3 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，
而(x－1)2＋(y－1)2 表示点 P(1,1)与 Q(x，y)的距离的平方 PQ2，
5x＋6y≥50 10x＋20y≥140 则满足的关系为 x≥0，y≥0 x，y∈N
6 x＋ y≥10 5 x＋2y≥14 ，即 x≥0，y≥0 x，y∈N
，
作出不等式组表示的平面区域如图所示(整点)，
6 x＋5y＝10 当 z＝200x＋300y 对应的直线过两直线 x＋2y＝14