3.3.2简单的线性规划问题(2)

5x＋6y≥50 10x＋20y≥140 则满足的关系为 x≥0，y≥0 x，y∈N
6 x＋ y≥10 5 x＋2y≥14 ，即 x≥0，y≥0 x，y∈N
，
作出不等式组表示的平面区域如图所示(整点)，
6 x＋5y＝10 当 z＝200x＋300y 对应的直线过两直线 x＋2y＝14
的
交点 A(4,5)时， 目标函数 z＝200x＋300y 取到最小值为 2 300 元，故所需租赁费最少为 2 300 元．
解线性规划应用问题的一般步骤
(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有
哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.
(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y， 并列出相应的不等式组和目标函数. (3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解). (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值). (5)检验：根据结果，检验反馈.
题型二 求非线性目标函数的最值
x－y＋1≤0， 例 4 实数 x，y 满足x≥0， y≤2.
y (1) 若 z＝x，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.
引申探究
y－1 1.若 z＝ ，求 z 的取值范围. x－1
zmax = 2,
y2 (2)求z = 的取值范围. x 1
zmin = 5 . 5
O
A
2
x
kBN 1, k AN 2.
z ≥ 1 ，或 z ≤ 2
题型三 线性规划的实际应用问题
例 某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产
品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产 品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200 元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司 至少要生产A类产品50件，B类产品140件， 所需租赁费最少为多少元．
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y－b y ②x表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率， 表示点(x，y)与点(a，b)连线 x－a 的斜率.
y)与点(a，b)的距离；
x 2 y 2 ≥ 0, 练习：已知x、y满足条件 x ≥ 0, y ≥ 0. 1
y B
N M
(1)求 ( x 1)2 ( y 1)2 的最值；
• 由题目可获取如下信息：甲、乙两种设 备生产A，B两类产品的情况如表所示： 产品 A类产品 B类产品 租赁费 (件)(≥50) (件)(≥140) (元 )
设备 5 10 200 甲设备 6 20 300 • 乙设备 根据题意列出约束条件，建立目标函数 求解．
[解题过程] 设甲种设备需要生产 x 天，乙种设备需要生产 y 天，该 公司所需租赁费为 z 元，则 z＝200x＋300y，
y－1 z＝ 可以看作过点 P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率. x－1
∴z的取值范围是(－∞，0].
2. 若 z ＝ x2 ＋ y2 － 2x － 2y ＋ 3. 求 z 的最大值、 最小值 z＝x2＋.y2－2x－2y＋3 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，
而(x－1)2＋(y－1)2 表示点 P(1,1)与 Q(x，y)的距离的平方 PQ2，
2 2 PQ2 ＝ (0 － 1) ＋ (2 － 1) ＝2， max
PQ2 min＝(
|1－1＋1| 2 1 2 2 ) ＝2 ， 1 ＋－1
1 3 ∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝2＋1＝2.
点评
当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义 来解题，
常见代数式的几何意义： ① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离， x－a2＋y－b2表示点(x，