分数阶微分方程_课件
分数阶偏微分方程

分数阶偏微分方程《我眼中的分数阶偏微分方程》哎呀,分数阶偏微分方程,这听起来是不是超级高大上又超级难懂的东西呀?我一开始听到这个名字的时候,脑袋都大了呢!就像突然看到一座超级超级高,而且云雾缭绕看不清楚顶的大山,心里就想,这啥玩意儿啊,我肯定搞不懂的啦。
我有个超级聪明的表哥,他就跟我说起过这个分数阶偏微分方程。
我就问他:“表哥,这分数阶偏微分方程是不是就像那种特别难解的迷宫呀?进去了就出不来的那种。
”表哥笑了笑说:“小笨蛋,也没那么恐怖啦。
你看啊,普通的偏微分方程就像是在规则的路上走路,一阶二阶的,就像是不同的速度或者方向的变化。
可是分数阶偏微分方程呢,就像是在那种弯弯绕绕,还有些坑坑洼洼,不是整数倍规则的路上走。
”我似懂非懂地挠挠头。
表哥又接着说:“你想象一下,假如你在一个奇怪的花园里,普通的方程就像按照整步数去走那些方方正正的小路,分数阶偏微分方程就像是按照分数步数去走那些弯弯曲曲的小径,而且这些小径还可能一会儿宽一会儿窄呢。
”有一次在学校里,我和我的小伙伴们也说起这个分数阶偏微分方程。
我的好朋友小明说:“这肯定是那些超级厉害的大科学家才会去研究的东西,和我们有啥关系呀?”我就反驳他说:“你可不能这么想呢。
就像那些超级先进的飞机,一开始也是那些科学家研究各种复杂的东西才造出来的呀。
说不定以后这个分数阶偏微分方程能帮我们做出超级厉害的东西呢。
”我同桌小红也凑过来说:“我觉得这就像一个神秘的宝藏,虽然我们现在还不太懂怎么去找它,但是那些大数学家们就像勇敢的探险家,一直在探索这个宝藏的秘密呢。
”我又想到有一次看科学纪录片,里面那些科学家们在实验室里,对着一堆密密麻麻的数字和符号,就像是在解一个超级大的谜题。
我想,他们研究分数阶偏微分方程的时候,是不是也这样呢?就像在黑暗里找一根很细很细的针,但是他们却从不放弃。
我就和小伙伴们说:“咱们虽然现在可能搞不懂那些复杂的公式,但是我们可以从现在开始努力学习数学呀。
分数阶微分方程课件00_ECE-5930-syllabus (12)

Columns 9 through 11 0 >> 0 0 3 6
Computation of fractional derivatives
Hany Farid:
%%% FRACTIONAL DERIVATIVES (12.14.00) %%% Hany Farid (farid@ | /~farid) %%% clear; set( gcf, 'Renderer', 'zbuffer' ); dim! ramp ! ramp ! f! f! F! = 256; = [-dim:dim-1]; = pi * ramp/dim; = exp( -(ramp.^2)/(0.5) ); ! = f - mean(f);! ! ! = fftshift( fft( f ) ); ! !
(2) There is a routine at MATLAB File Exchange:
Eα,β (Z ), α = 1.1 : 0.1 : 1.9, β = 1
for each routine make a qualitative check
Columns 9 through 11 0.0013 0.0009 0.0007
Computation of the Mittag-Leffler function
(1) Directly using the definition:
Numerical methods of the fractional calculus
(continued II)
function y=mitlef(alpha,beta,z,N) % Evaluation of the Mittag-Leffler function in two parameters: % E_{alpha,beta}(z), using its series expansion. % % PARAMETERS: % alpha - first index (scalar), beta - second index (scalar) % z - row vector of values of the function argument % N - number of terms in the power expansion (scalar) % OPTIONAL, default N=100. if nargin<4, N=100; end m1=max(size(z)); m2=min(size(z)); if m2>1, z=z(1,:); end k=repmat((1:N)',1,m1); t=repmat(z,N,1); t=t.^(k-1); a=repmat(gamma(alpha*((1:N)'-1)+beta), 1, m1); y=sum(t./a);
1996 分数阶微分方程2

*Received by the editors March 1, 1993; accepted for publication (in revised form) May 5, 1994. This research
was supported in part by Office of Naval Research contract K-0370, National Science Foundation grants
An Optimal-Order Estimate for Eulerian-Lagrangian Localized Adjoint Methods for Variable-Coefficient Advection-Reaction Problems Author(s): Richard E. Ewing and Hong Wang Source: SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 33, No. 1 (Feb., 1996), pp. 318-348 Published by: Society for Industrial and Applied Mathematics Stable URL: /stable/2158437 Accessed: 18-06-2016 15:40 UTC
ciently by a conjugate gradient method in multiple dimensions. The ELLAMs also provide
an alternate approach, reducing the dependence of the numerical solutions on the accurate
分数阶微分方程解法

分数阶微分方程解法1、分数阶微积分介绍分数阶微积分是传统微积分的推广和扩展,在这门学科中,函数的导数和积分的阶数可以为分数,有时也可以是负数或复数。
与传统微积分相比,分数阶微积分的应用更加广泛,可以通过它来解释和研究各种复杂的自然现象,例如金融市场的非平稳性、地震的时序性等。
2、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程的微分阶数为分数,例如阶为1.5或2.7的微分方程。
在实际应用中,分数阶微分方程被广泛地用于描述自然现象的动态行为,例如分形、非线性动力学、力学、电动力学和生物学等。
3、分数阶微分方程的解法分数阶微分方程的解法是与传统微分方程不同的。
下面介绍两种常用的解法。
3.1、分式变换法分式变换法是最常用的解分数阶微分方程的方法之一。
它的基本思想是将分数阶微分方程转化为一些常见的函数或微分方程。
例如,我们考虑一个分数阶微分方程:D^βy(t)=f(t),其中D^β表示分数阶导数运算符,y(t)是未知函数,f(t)是已知函数。
现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式:y(t)=1/Γ(α)(d/dt)^α∫_0^t f(u)(t-u)^{α-1}du其中α和β之间的关系可以用以下公式表示:α=β-n这里,n是一个正整数,它满足0<n<=β。
通过这个公式,分数阶微分方程就被转化为常数阶微分方程和分式变换的形式。
3.2、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法也是解分数阶微分方程的有效方法。
它的基本思想是将分数阶微分方程转化为常数阶微分方程,然后通过拉普拉斯变换及其逆变换来得到方程的解。
例如,我们考虑一个分数阶微分方程:D^βy(t)+ay(t)=f(t),其中a是常数,D^β表示分数阶导数运算符,y(t)是未知函数,f(t)是已知函数。
现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式:L{D^βy(t)}+aL{y(t)}=L{f(t)}其中L表示拉普拉斯变换,而L{D^βy(t)}和L{f(t)}分别是D^βy(t)和f(t)的拉普拉斯变换。
分数阶偏微分方程的动力学(黄建华,辛杰,沈天龙著)PPT模板

6.3.4不变测 度
6.3.3遍历性
第6章Lévy噪声驱动的几 类流体方程的动力学
6.4Lévy噪声驱动的 Boussinesq方程的大偏
差原理
6.4.1指数估 计
01
6 . 4 . 3 一 类 03 流体发展 方程的大 偏差原理
02
6.4.2大偏 差原理
ONE
07
第7章α-平稳噪声驱动几类偏微分方程 的遍历性
06
第 6 章 L év y 噪 声 驱 动 的 几 类 流 体 方 程 的 动力学
第6章Lévy噪声驱动的几类流体方程的动力学
6.1Lévy噪声驱动的 随机非牛顿流的鞅解
及Markov可选性
6.2Lévy噪声驱动的 分数阶Boussinesq
方程的适定性
6.3Lévy噪声驱动的 Boussinesq方程的
4.3分数Brown运动驱动的 非牛顿流系统的随机吸引 子
01
4.3.1H*( *,1)情形
02
4.3.2H*( *,*)情形
第4章分数次噪 声驱动的非牛顿 流系统的动力学
4.4分数Brown运动驱动的修 正Boussinesq近似方程的随 机吸引子
4.4.1H*( *,1)情形
4.4.2H* (*,*)情形
第7章α-平稳噪声驱动几类偏微 分方程的遍历性
7.1α-平稳噪声及矩估计
7.2α-平稳噪声驱动的MHD方程的 遍历性
7.3α-平稳噪声驱动的抽象流体发展 方程的遍历性
7.4α-平稳噪声驱动的分数阶耦合 Ginzburg-Landau方程的遍历性
ONE
02
第2章非自治分数阶长短波方程的一致 吸引子
第2章非自治分数阶长 短波方程的一致吸引子
第一讲分数阶微分方程

RL a
Dαx
f
(x)
Dn
(
a
Dαx −n
f
) (x)
=
1 Γ(n − α)
dn dxn
ˆx
a
f (t) (x − t)α−n+1
dt,
(1.6)
即先做 n − α 次分数阶积分, 然后再求 n 次导数. 我们注意到 0 < n − α ≤ 1.
RL a
Dαx
a
D−x α
f (x)
=
Dn
a
Dαx −n
a
D−x α
f (x)
=
Dn
a
D−x n
f (x)
=
f (x).
如果将次序反过来的话, 则有下面的复合公式.
定理 1.4 设 α > 0, 且 n − 1 ≤ α < n, 则
a
D−x α
RL a
Dαx f (x)
=
f (x)
∑n −
[a Dαx−i f (t)]t=a Γ(α − i + 1)
(
a
D−x 1
f
) (x)
=
dn dxn
f
(x),
因此, 当 α 是正整数时, R-L 分数阶导数与整数阶导数的定义是一致的. 所以, R-L 分数阶导数在整数阶导 数之间架起了 “桥”.
1.1.3 Caputo 分数阶导数
R-L 分数阶导数是最先提出来的, 理论分析也相对完善. 但与实际应用却存在一定的困难和障碍 [4, page 4]. 一个比较好的解决方法就是由 Caputo [1, 2] 提出来的 Caputo 分数阶导数.
分数阶微分方程课件

分数阶微分方程第三讲分数阶微分方程基本理论一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状1、出现背景分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论,它与整数阶微积分是统一的,是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受,很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题,其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时,经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题:(1)需要构造非线性方程,并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件;(2)因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型;(3)这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。
基于以上原因,人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程,其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势,因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
2、研究现状在近三个世纪里,对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行,似乎它只对数学家们有用。
然而在近几十年来,分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。
分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注,特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。
随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现,无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。
然而由于分数阶微分是拟微分算子,它的保记忆性(非局部性)对现实问题进行了优美刻画的同时,也给我们的分析和计算造成很大困难。
在理论研究方面,几乎所有结果全都假定了满足李氏条件,而且证明方法也和经典微积分方程一样,换句话说,这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。
分数阶偏微分方程及其数值解

分数阶偏微分方程及其数值解求教如何求偏微分方程并举一简单例子解:由原方程可见:x≠0;因为若x=0,则y=0,不可能初始条件满足y(1)=1。
所以可用x同除两边。
两边同除以x得y'-(y/x)=2x²............①先求齐次方程y'-(y/x)=0的通解:分离变量得:dy/y=dx/x;积分之得lny=lnx+lnc₁=lnc₁x;故齐次方程的通解为:y=c₁x;把c₁换成x的函数u,得y=ux...........②将②对x取导数得y'=u'x+u...........③将②③代入①式得:u'x+u-(ux/x)=2x²;化简得u'x=2x²,即u'=2x,=2xdx,积分得u=x²+c;代入②式即得原方程的通解为:y=x³+cx;代入初始条件得1=1+c,故c=0;于是得特解为:y=x³.总结偏微分方程的解法可分为两大方面:解析解法和数值解法。
其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解,所以实际应用中,多求数值解。
数值解法又可以分为最常见的有三种:差分法、有限体积法、有限元法。
其中,差分法是最普遍最通用的方法。
偏微分方程示例二阶线性与非线性偏微分方程始终是重要的研究对象。
这类方程通常划分成椭圆型、双曲型与抛物型三类,围绕这三类方程所建立和讨论的基本问题是各种边值问题、初值问题与混合问题之解的存在性、唯一性、稳定性及渐近性等性质以及求解方法。
近代物理学、力学及工程技术的发展产生出许多新的非线性问题,它们常常导引出除上述方程之外的称为混合型方程、退化型方程及高阶偏微分方程等有关问题,这些问题通常十分复杂具有较大的难度。
对于偏微分方程问题的讨论和解决,往往需要应用泛函分析、代数与拓扑学、微分几何学等其它数学分支的理论和方法。
另一方面,由于电子计算机的迅速发展,使得各种方程均可数值求解,并且揭示了许多重要事实,因此,数值解法的研究,在已取得许多重要成果的基础上,将会有更快地发展。
分数阶微分方程课件

分数阶微分方程第三讲分数阶微分方程基本理论一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状1、出现背景分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论,它与整数阶微积分是统一的,是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受,很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题,其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时,经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题:(1)需要构造非线性方程,并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件;(2)因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型;(3)这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。
基于以上原因,人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程,其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势,因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
2、研究现状在近三个世纪里,对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行,似乎它只对数学家们有用。
然而在近几十年来,分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。
分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注,特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。
随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现,无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。
然而由于分数阶微分是拟微分算子,它的保记忆性(非局部性)对现实问题进行了优美刻画的同时,也给我们的分析和计算造成很大困难。
在理论研究方面,几乎所有结果全都假定了满足李氏条件,而且证明方法也和经典微积分方程一样,换句话说,这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。
分数阶微分方程的理论分析与数值计算

未来研究方向:结合机器学习算法进行数值预测
单击此处添加标题
简介:分数阶微分方程的未来研究方向将结合机器学习算法进行数值预测,以提高 模型的准确性和预测能力。
单击此处添加标题
挑战:如何将机器学习算法与分数阶微分方程有效结合,以实现更精确的数值预测, 是未来研究的重要挑战之一。
单击此处添加标题
前景:随着机器学习算法的不断发展和优化,结合机器学习算法进行分数阶微分方 程的数值预测将具有广阔的应用前景和发展空间。
分数阶微分方程的理论 分析与数值计算
汇报人:XX
目录
添加目录标题
01
分数阶微分方程的基 本概念
02
分数阶微分方程的解 析解法
03
分数阶微分方程的数 值解法
04
分数阶微分方程的数 值计算软件实现
05
分数阶微分方程的应 用案例分析
06
添加章节标题
分数阶微分方程 的基本概念
分数阶微分方程的定义
阶数:分数阶微分方程中导 数的非整数指数
分数阶微分方程的 定义和性质
分数阶微分方程的 解析解法分类
分数阶微分方程的 解析解法步骤
解析解法的优缺点 和适用范围
分数阶微分方程的解析解法举例
分数阶微分方程的定义和形式 解析解法的步骤和公式 举例说明:Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数 解析解法的优缺点和适用范围
分数阶微分方程的定义和性 质
数值解法的误差估计和收敛 性分析
常用的数值解法及其算法原理
分数阶欧拉方 法:简单易行, 适用于初值问
题
分数阶龙格-库 塔方法:精度 高,适用于复 杂非线性问题
分数阶有限差 分法:将微分 转化为差分, 适用于边界值
(四)分数阶微积分

(四)分数阶微积分我们重点考察R −L 型分数阶微积分的性质,简记RL 0D βt =D βt ,若⽆特殊说明。
a). 线性性D βt [f (t )+g (t )]=D βt f (t )+D βt g (t )D βt λf (t )=λD βt f (t )证明:直接带⼊定义验算即可.设m =[β]+1RL 0D βtf (t )=1Γ(m −β)d m dt m ∫t0(t −τ)m −β−1f (τ)d τb). 积分的叠加性D −αt D −βt f (t )=D −α−βt f (t ) (α,β>0)证明:对整数阶积分结论是显然的,对于分数阶R-L 积分仍然具有叠加性。
由定义知0D −βt f (t )=1Γ(β)∫t0(t −x )β−1f (x ):=g (t )那么D −αt g (t )=1Γ(α)∫t0(t −τ)α−1g (τ)d τ=1Γ(α)Γ(β)∫t 0(t −τ)α−1d τ∫τ0(τ−x )β−1f (x )dx=1Γ(α)Γ(β)∫t 0f (x )dx ∫tx (t −τ)α−1(τ−x )β−1d τ(交换积分次序)=1Γ(α)Γ(β)∫t 0f (x )dx ∫10(t −x )α+β−1(1−ξ)α−1ξβ−1d ξ (Let ξ=τ−xt −x )=B (α,β)Γ(α)Γ(β)∫t0(t −x )α+β−1f (x )dx=1Γ(α+β)∫t0(t −x )α+β−1f (x )dx=0D −α−βt f (t )由此我们也得到了积分满⾜交换性,即D −αt D −βt f (t )=D −α−βt f (t )=D −βt D −αt f (t ) (α,β>0)c). 上式考虑了积分叠加的情形,对于连续函数f (t )考虑混合运算“先积分再微分”.(还记得R-L 定义思路D β=D m D −(m −β))0D αt 0D −βt f (t )=0D α−βt f (t ) (α>0,β>0)证明:先探讨⼀种特殊的情形D λD −λf (t )=f (t ) (λ>0)当λ为整数时结论显然成⽴。
分数阶微积分

6
Fractional Calculus
.T. heorem .1.3 For n ∈ N,we have (n − 1)! = Γ(n).
.P. roof. 用归纳法证明。
n
=
1,
Γ(1)
=
∫∞
0
e−1dt
=
1.
假设 n = k − 1 时成立,那么 n = k 时,
.ΓΓ1)((kk∫0)∞−=t1k)∫−0=∞2et−∫k0t∞−d1ttek=−−12(dekt−−=td1t−).Γt(kk−−1e1−)t|=∞ 0
∫x
a
ϕ(τ )(x
−
τ )m+n−1dτ
=
Jam+nϕ(x).
almost everywhere on [a, b]. Moreover,by the classical theorems on parameter integrals,if ϕ ∈ C[a, b] then also Janϕ ∈ C[a, b], and therefore .JamJanϕ ∈ C[a, b], and Jam+nϕ ∈ C[a, b] too.
a continuous nth derivatives on the interval [a, b].Then,
.
Dnf = DmJam−nf.
5
Fractional Calculus
. p. roof of lemma 1.2. By DnJanf = f ,we have f = Dm−nJam−nf. Applying the operator Dn to both sides of this relation and using the fact that
分数阶微分方程的数值解法

Fractional partial differential equations
Mathematics problem
• Existence ( Fractional sobolev space)
• uniqueness
• Regularity ( Not available yet)
Numerical methods
Part 2: Fractional partial differential equations
Normal Diffusion: Some particles are dissolved in a glass of water. Brownian motion: a big particle collides with a large set of smaller particles which move with different velocities in different random directions
Viscosity (粘性)
Viscous stress (粘性 力)is proportional to the strain rate (形变 率)
Strain rate (形变率) = the time derivative of the strain (形变的时间导数) =gradient of the velocity of the material (速度的导数)
Elastic (弹性) Viscous (粘性)
பைடு நூலகம்
What is stress (应力的定义)
The stress across a surface element (yellow disk) is the force that the material on one side (top ball) exerts on the material on the other side (bottom ball), divided by the area of the surface
分数阶微分方程课件00_ECE-5930-syllabus (1)

Fractional order models and fractional differential equations in science and engineering Igor Podlubny L 178 797-7118 (Office) igor.podlubny@tuke.sk M W F 10:00–11:30 Other hours by appointment. Tu Th 12:30–14:50 ENGR 204 standard calculus and basic numerical methods. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press; 1999. Magin R. Fractional Calculus in Bioengineering. Begell House Inc., Redding; 2006.
ECE 5930 / ECE 6930:
Course outline: page 2/3
Fractional Green's Function. Definition and Some Properties. One-Term Equation. TwoTerm Equation. Three-Term Equation. Four-Term Equation. General Case: n-term Equation. Other Methods for the Solution of Fractional-order Equations. The Mellin Transform Method. Power Series Method. Babenko's Symbolic Calculus Method. Method of Orthogonal Polynomials. Numerical Evaluation of Fractional Derivatives. Approximation of Fractional Derivatives. The "Short-Memory" Principle. Calculation of Heat Load Intensity Change in Blast Furnace Walls. Order of Approximation. Computation of Coefficients. Higher-order Approximations. Numerical Solution of Fractional Differential Equations. Initial Conditions: Which Problem to Solve? Numerical Solution. Examples of Numerical Solutions. The "ShortMemory" Principle in Initial Value Problems for Fractional Differential Equations. Matrix approach to discrete fractional calculus. Numerical solution of nonlinear problems. Applications. SUPPLEMENTAL REFERENCES: 1. Podlubny, I., Heymans, N.: Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives. Rheologica Acta. vol. 45, 2006, pp. 765–771. 2. Podlubny I.: Fractional-order systems and PIλDµ–controllers, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44, no. 1, January 1999, pp. 208-213. 3. Podlubny, I., Petras, I., Vinagre, B.M., O'Leary P., Dorcak L.: Analogue realizations of fractional-order controllers. Nonlinear Dynamics, vol. 29, no. 1–4, 2002, pp. 281–296. 4. Podlubny, I.: Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation. Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 5, no. 4, 2002, pp. 367–386. 5. Podlubny, I.: Matrix approach to discrete fractional calculus. Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 3, no. 4, 2000, pp. 359–386. 6. Carpinteri A, Mainardi F, editors. Fractals and fractional calculus in continuum mechanics. CISM Courses and Lectures no. 378. International Center for Mechanical Sciences. New York: Springer-Verlag Wien; 1997. 7. Churchill RV.Operational mathematics. New York: McGraw- Hill; 1958. 8. Magin RL, Fractional Calculus in Bioengineering, Critical Reviews in Biomedical Engineering, Part I 32(1): 1-104, 2004, Part II 32(1) : 105-193, 2004, Part III 32(1) 9. Mandelbrot BB. The fractal geometry of nature. New York: W. H. Freeman; 2000. 10. Miller KS, Ross B. An introduction to the fractional calculus. New York: John Wiley; 1993. 11. Oldham KB, Spanier J. The fractional calculus. New York: Academic Press; 1974. 12. West BJ, Bologna M, Grigolini P. Physics of fractal operators. New York: Springer; 2003. Web site: http://people.tuke.sk/igor.podlubny/ http://people.tuke.sk/igor.podlubny/USU/ http://people.tuke.sk/igor.podlubny/fc.html Homework
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
分数阶微分方程一、 预备知识1、 分数阶微积分经典定义回顾作为分数阶微积分方程的基础,本书在第二章中对分数阶微积分的定义及性质做了系统的介绍,为了接下来讨论的需要,我们首先对其进行一个简要的回顾。
(1)分数阶微积分的主要思想如上图所示,分数阶微积分的主要思想是推广经典的整数阶微积分,从而将微积分的概念延拓到整个实数轴,甚至是整个复平面。
但由于延拓的方法多种多样,因而根据不同的需求人们给出了分数阶微积分的不同定义方式。
然而这些定义方式不仅只能针对某些特定条件下的函数给出,而且只能满足人们的某些特定需求,迄今为止,人们仍然没能给出分数阶微积分的一个统一的定义, 这对分数阶微积分的研究与应用造成了一定的困难。
1、分数阶微分的定义为了满足实际需要,下面我们试图从形式上对分数阶微积分给出一种统一的表达式。
分数阶微积分的主要思想是推广经典的累次微积分,所有推广方法的共同目标是以非整数参数p 取代经典微积分符号中的整数参数n ,实际上,任意的n 阶微分都可以看成是一列一阶微分的叠加:()()n nnd f t d ddf t dt dt dtdt= (1) 由此,我们可以给出一种在很多实际应用中十分重要的分数阶微积分的推广方式。
首先,我们假设已有一种合适的推广方式来将一阶微分推广为α(01α≤≤)阶微分,即dD dtα→是可实现的。
那么类似地可得到(1)的推广式为:()()n nD f t D D D f t αααα= (2)这种推广方式最初是由..K S Miller 和.B Ross 提出来的,其中D α采用的是R L -分数阶微分定义,他们称之为序列分数阶微分。
序列分数阶微分的其他形式可以通过将D α替换为G L -分数阶微分、Caputo 分数阶微分或其他任意形式分数阶微分来得到。
进一步,如果我们将(2)中的分数阶微分D α替换为不同阶数的分数阶微分可得到序列分数阶微分更一般的表达式:12()()n D f t D D D f t αααα=(3)12n αααα=+++根据问题的需要,D α可以是R L -分数阶微分、G L -分数阶微分、Caputo 分数阶微分或其他任意形式的分数阶微分,从这一点看来,我们可以说序列分数阶微分从形式上给出了分数阶微积分在时域上的一个统一表达式,R L -分数阶微分、G L -分数阶微分和Caputo 分数阶微分都只是序列分数阶微分的一种特殊情况。
故而,下面我们在对分数阶微积分方程进行理论分析的时候可以仅仅针对序列分数阶微积分来给出结论。
3、M-R 序列分数阶微分的Laplace 变换下面我们考虑如下形式的序列分数阶微分的Laplace 变换。
11m m m a t a t a t a t D D D D σααα-=(4)1111m m m at a t a t at D D D D σααα---= (5)101,(1,2,,)mm jj j j m σαα==<≤=∑(6)在R-L 分数阶微分定义下有:1000{();}()[()]t t t L D f t s s F s D f t ααα-==-(7)重复利用上式m 次可得:110000{();}()[()]mmm m k m k m t t t k L D f t s s F s s D f t σσσσσ-----===-∑(8)注:虽然上述序列分数阶微分的Laplace 变换是在R-L 分数阶微分定义下进行证明的,但是该结论对其他几种分数阶微积分也是成立的。
4、泛函理论基础定理1(Schauder 不动点定理)设U 是Banach 空间X 的有界闭子集,如果:T U U →是连续映射,那么T 在U 中存在不动点,即使得Tx x =的点存在。
定义1(Lipschitz 条件)设,X d 是距离空间,T 是从X 到X 的映射,如果存在常数0q >,使得对所有的,x y X ∈,(,)(,)d Tx Ty qd x y ≤则称T 满足Lispschitz 条件,q 成为T 的Lispschitz 常数。
特别的,如果1q <,则T 称为压缩映射。
定理2( Banach 压缩映像原理)设,X d 是距离空间,:T X X →是压缩映射,则T 在X 中恰有一个不动点。
设这个不动点为x ,则对任何初始点0x X ∈,逐次迭代点列1n n x Tx +=,1,2,n =收敛于x ,且关于收敛速度有如下估计式:100(,)(1)(,)n n d x x q q d Tx x -≤- 其中,q 是T 的Lipschitz 常数。
二、 解的存在唯一性理论近年来,分数阶微分方程已经在国内外引起极大的研究兴趣,尤其是关于其解的性质的研究,诸如存在性及唯一性等,其中大多数的研究方法是通过把分数阶初值问题转换成等价的分数阶积分方程,然后运用不动点定理来得到分数阶初值问题解的存在唯一性结果。
已有研究结果主要有以下限制:(1) 函数的定义区间为有限区间[,]a b ; (2) 函数在定义域上需满足Lipschitz 条件;因此,目前人们在这方面所做的工作都是希望设法在放宽上述两个限制条件后给出分数阶微积分方程的解的存在唯一性定理。
下面我们对分数阶微分方程初值问题的现有理论结果作一个简单的介绍,相应的结论都是针对定义在有限区间[0,]T 上的M-R 序列分数阶微分形式,在满足Lipschitz 条件下给出的,当然,由前面的介绍可知,这些结论也可直接推广到其他分数阶微分形式。
1、 线性分数阶微分方程解的存在唯一性定理考虑如下形式的初值问题:且1()(0,)f t L T ∈,即()Tf t dt <∞⎰(11)第一步:假设()0,(1,2,,)k p t k n ≡=,考虑由此得到的退化问题解的存在唯一性。
101100()()()()()(),(0)(9)[()],1,2,,(10)n j nk n t j t n j t t k D y t p t D y t p t y t f t t T D y t b k nσσσ--=-=++=<<<∞==∑定理1 如果1()(0,)f t L T ∈,则方程()()n t D y t f t σ= (12)有满足初值条件(10)的唯一解1()(0,)y t L T ∈。
定理的证明过程如下:步骤一 通过Laplace 变换证明解的存在性;下面我们设法构造一个待求解问题解,对式(12)做Laplace 变换可得:11000()[()]()nn n k n k n t t k s Y s s D y t F s σσσσ-----==-=∑ (13)其中,()Y s 、()F s 分别是()y t 、()f t 的Laplace 变换。
利用初值条件(10)可得:1()()nn k n n k k Y s sF s b s σσ-----==+∑ (14)对上式做Laplace 逆变换可得:11101()()()()()n i tni i n i b y t t f d t σστττσσ--==-+ΓΓ∑⎰ (15) 步骤二 由分数阶微分的线性性和Laplace 变换的性质证明唯一性。
假设有存在两个满足上述初值问题的解1()y t 、2()y t 令12()()()z t y t y t =- ,有分数阶微分方程的线性性可得:0100()0[()],1,2,,n k t t t k D z t D y t b k n σσ-=⎧=⎪⎨==⎪⎩(16) 从而有()0Z s = )(...)(d t f dtddt d dt d dt t f n n = (17)由Laplace 变换的性质可知:()0z t =在(0,)T 上几乎处处成立。
故原方程的解在1(0,)L T 上唯一。
注:上述证明过程中用到的Laplace 变换法是一种常用的分数阶微分方程求解方法,该方法步骤简单,适用范围较广,在实际中有着重要应用,后面将对其进行详细介绍。
第二步:运用第一步的结论证明原初值问题解的存在唯一性。
定理2 如果1()(0,)f t L T ∈且()(1,2,,)j p t j n =是[0,]T 上的连续函数,则初值问题(9)—(10)有唯一解1()(0,)y t L T ∈。
定理的证明过程如下:步骤一 化微分方程为积分方程假设原方程有解()y t 并记0()()n t D y t t σϕ=,那么运用定理1可得:11101()()()()()i n t ni i n ity t t t dt b σστϕσσ--==-+ΓΓ∑⎰ (18) 将上式代入到原微分方程表达式(9)可得:()(,)()()t t K t dt g t ϕτϕτ+=⎰ (19)其中111()1()()(,)()()()n n k n n t n k k n n kt t K t p p t σσστττσσσ-----=--=+ΓΓ-∑(20)111111()()()()()()i i k nn nn i n k i i k i k i i kt t g t f t p t b p t b σσσσσσ-----===+=--ΓΓ-∑∑∑ (21)步骤二 证明变换后的积分方程有唯一解用不动点定理易证结论成立。
步骤三 说明原微分方程有唯一解 由定理1易得。
2、 一般形式的分数阶微分方程的存在唯一性定理考虑如下形式的微分方程:0()(,)n t D y t f t y σ= (22)100[()]k t t k D y t b σ-==, 1,2,,k n =(23)其中,(,)f t y 的定义域为平面(,)t y 上的一个子区域G ,且存在G 上的子区域(,)R h K 满足:0t h <<,1111()()i ni i it ty t b K σσσσ--=-≤Γ∑ (24)定理3 设(,)f t y 为G 上的连续实值函数,且在G 上关于y 满足Lipschitz 条件,即1212(,)(,)f t y f t y A y y -≤- (25)从而(,)f t y M ≤<∞,对任意(,)t y G ∈ 且 11(1)n n Mh K σσσ-+≥Γ+ 那么,方程(22)—(23)在区域(,)R h k 有唯一的连续解。
定理的证明过程如下:步骤一 化微分方程为等价积分方程; 对方程(22)按n D α,1n D α-,,1D α逐次进行分部积分可得:11101()()(,(,()))()()i n tni i i n b y t t t f f y d σστττττσσ--==+-ΓΓ∑⎰ (26) 步骤二 证明上述等价积分方程解的存在性; 构造函数序列0()y t ,1()y t ,2()y t,如下:101()()i ni i i b y t t σσ-==Γ∑(27)111101()()(,())()()i n tni m m i i i b y t t t f y d σσττττσσ---==+-ΓΓ∑⎰ (28) 首先,我们可以证明对任意的0t h <≤及任意的m 有()(,)m y t R h k ∈。