幂级数的收敛半径与收敛域
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
高等数学§6.3.4幂级数
当 x 2 ， 原 级 数 化 为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ， 发 散 ； 当 x 2 ， 原 级 数 化 为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ， 发 散 。
故 收 敛 域 为 ( 2 , 2 ) 。
n a n n l n 1 n ) (
∴ 收 敛 半 径 R 1 1 。
当 t 1 时 ， 新 级 数 成 为 ( 1 ) n ， n 2 l n n
∵ 1 1 ， li 1 m 0 ， ∴ ( 1 ) n 收 敛 。
ln n ln n 1 )n ( ln nn 2 ln n
n0
点 x1适x合 1x0使 幂 级 数 收 敛 ， 则 由 （ 1） 中 的 结 论 ，
幂 级 数 在 点 x0 应 收 敛 ， 这 与 所 设 矛只 要 幂 级 数 a n x n在 点 x 0 0
n 0
处 收 敛 ， 则 幂 级 数 在 以 原 点 为 中 心 ， x 0为 半 径 的
2
dt
arctan
x,。x[1,1]
例 3 ． 在 区 间 ( 1 ,1 ) 内 求 幂 级 数 x n 的 和 函 数 。
n 0 n 1
解 ： 设 S ( x ) x n ， x ( 1 , 1 ) ， 且 S ( 0 ) 1 。 n 0 n 1 x ( x ) x n 1 ， S n 0 n 1 [ x ( x ) ] ( x n S 1 ) x n 1 ， n 0 n 1 n 0 1 x x ( x ) 0 x 1 1 S t d l 1 x ) n t ， (
即 1 t 1 ， 从 而 1 x 1 1 ， 0 x 2 ，
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
什么是幂级数的收敛半径和收敛域
什么是幂级数的收敛半径和收敛域
幂级数是一种形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的无穷级数，其中$a_n$为常数，$x$为变量。
对于幂级数，我们需要研究它的收敛性以及收敛的范围。
其中，收敛半径和收敛域是重要的概念。
收敛半径是指幂级数收敛的最大范围，收敛域是指幂级数收敛的所有取值范围。
对于一个幂级数$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$，我们可以利用以下公式求出它的收敛半径$R$：
$$R =lim_{n rightarrow
infty}left|frac{a_n}{a_{n+1}}right|$$
其中，$a_n$表示幂级数中$x^n$的系数。
需要注意的是，当$R$为无穷大时，幂级数收敛于整个实数轴；当$R$为0时，幂级数只在$x=0$处收敛；当$R$为有限值时，则有一个收敛域$(-R, R)$。
对于收敛半径为$R$的幂级数，我们可以通过以下方式求出它的收敛域：
1. 当$x=-R$时，幂级数可能收敛，也可能发散；
2. 当$x=R$时，幂级数可能收敛，也可能发散；
3. 当$-R<x<R$时，幂级数必定收敛。
需要注意的是，当$x=-R$或$x=R$时，我们需要进一步进行比较测试来确定幂级数的收敛性。
总之，幂级数的收敛半径和收敛域对于理解和分析幂级数的性质和应用至关重要。
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1 幂级数
§1 幂级数1．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：（1）∑nnx ；（2）∑⋅n n n x 22；（3）∑n x n n )!2()!(2；（4）nn x r ∑2)10(<<r ；（5）∑−−−)!12()2(12n x n ； （6）∑+−+n n n x n )1()2(3；（7）∑+++n x n)1211("； （8）∑n nx 22解：（1）由于∞→n lim1=nn ，所以收敛半径1=R ，即收敛区间为)1,1(−，但当1±=x 时，有∑±n n)1(均发散，所以级数∑n nx 在1±=x 时也发散，于是这个级数的收敛区域为)1,1(−（2）由于∞→n lim21212=nn n ，所以收敛半径2=R ，但当2±=x 时，22212)2(n n n =±，由于级数∑21n收敛，所以级数∑⋅n n n x 22在2±=x 也收敛，于是这个级数的收敛区域为]2,2[−（3）由于n n a a 1+22[(1)!](2)![2(1)]!(!)n n n n +=⋅=+)12)(22()1(2+++n n n ，所以∞→n lim 411=+n n a a ，收敛半径4=R ，但当4±=x 时，这个级数为∑±n n n )4()!2()!(2，通项记为n u ，则有 nu 2(!)4(2)!n n n =22(!)2(2)!n n n ==)12(5312642−⋅⋅⋅⋅n n""12+>n ，于是∞→n lim n u +∞=，所以当4±=x 时级数∑nx n n )!2()!(2发散，从而可知这个级数的收敛区域为)4,4(−（4）由于∞→n lim02=nn r ，所以收敛半径+∞=R ，这个级数的收敛区域为),(+∞−∞ （5）由于∞→n limnn a limn →∞=0)!12(1=−nn ，所以收敛半径+∞=R ，于是这个级数的收敛区域为),(+∞−∞（6）由于∞→n limnn a limn →∞=3)2(3=−+nn n n ，所以收敛半径31=R ，因而级数∑+−+nn n x n)1()2(3的收敛区间为311<+x ，即)32,34(−−， 当34−=x 时，级数为∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+nn n n 31)2(3112(1)3n n n n ⎡⎤⎛⎞=−+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑收敛，当32−=x 时，级数为∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+n n 321，而由于n n⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+321～)(1∞→n n ，且∑n 1发散，故此时原级数发散，于是可得级数∑+−+n n n x n )1()2(3的收敛区域为⎟⎠⎞⎢⎣⎡−−31,34（7）因为nn n 1⋅n n1211+++≤"n n 1⋅≤，又∞→n lim11=⋅nn ，所以∞→n lim 11211=+++n n "，从而收敛半径1=R ，又当1±=x 时,n n n )1)(1211(lim ±+++∞→"0≠，可见级数∑+++n x n 1211("在1±=x 时发散，故这个级数的收敛区域为)1,1(−（8）因为∞→n lim=+nn a a 1∞→n lim 22221)1(n nn n x x ⋅++lim n →∞=212+n x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞+=<=1,1,211,0x x x 所以收敛半径1=R ，收敛区域为]1,1[−2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：（1）""+++++++12531253n x x x x n ；（2）""+++++nnx x x x 3232； （3）""++⋅++⋅+⋅nx n n x x )1(32212解：（1）因为∞→n limnna lim n →∞=112112=++n n ，且1±=x 时，∑∞=+0121n n 与∑∞=++−01212)1(n n n 都是发散级数，所以幂级数的收敛区域为)1,1(−，设其和函数为)(x f ，于是当1<x 时，逐项求导数可得)('x f ""+++++=n nx x x 2421211x −=， 所以，)(x f dt t x∫−=0211x x −+=11ln 21（1<x ）（2）由于∞→n limnn a =∞→n lim11=⋅nn ，且当1±=x 时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛区域为)1,1(−，设其和函数为)(x f ，则∈∀x )1,1(−)(x f 2323nx x x nx =+++++=""∑∞=−⋅11n n nxx ()x g x =⋅，∑∞=−=11)(n n nx x g ，因为当1<x 时，dt t g x ∫)(dt ntx n n ∫∑∞=−=01111n n xx x∞===−∑，所以 =)(x g '1(xx −21(1)x =−，从而)(x f 2)1(x x −=（1<x ） （3）因为∞→n lim=+n n a a 1∞→n lim)1()2)(1(+++n n n n 12lim =+=∞→nn n ，且当1±=x 时，这个级数发散，所以幂级数的收敛区域为)1,1(−，设其和函数为)(x f ，则)(x f 1(1)n n n n x ∞==+∑，∈∀x )1,1(−，因而=∫dt t f x 0)(=+∫∑∞=dt tn n x n n01)1(∑∫=+11)1(n xn dt t n n1nn x nx ∞==∑22)1(x x −=（1<x ） 所以)(x f '22])1([x x −=422)1()1(22)1(x x x x x −−+−=3)1(2x x −=（1<x ） 3．证明：设)(x f ∑∞==n nn x a 在R x <内收敛，若∑∞=++011n n n R n a 也收敛，则=∫dx x f R 0)(∑∞=++011n n n R n a 应用这个结果证明：==+∫t dx x ln 1110∑∞=−−011)1(n n n .证：因为当R x <时，)(x f ∑∞==n nn x a 收敛，则有 =∫dt t f x 0)(∑∫∞=0n xnn dt t a 101n n n a x n ∞+==+∑，)),((R R x −∈已知当R x =时, ∑∞=++011n n n R n a 收敛,从而可知,∑∞=++011n n n x n a 在R x =左连续,于是 =∫dx x f R 0)(−→Rx lim ∑∞=++011n n n x n a 101n n n a R n ∞+==+∑应用这个结果,取=)(x f ∑∞=−−−111)1(n n n x ,当1<x 时,有=)(x f x+11, 又级数 ∑∞=−−11)1(n n n 收敛, 所以==+∫t dx x ln 1110∑∞=−−011)1(n n n . 4．证明: (1) =y ∑∞=04)!4(n n n x 满足方程 y y =)4(;(2) =y ∑∞=02)!(n n n x 满足方程0'"=−+y y xy 证：(1) 因为∞→n limnn a limn →∞=0)!4(1=nn ,故这个幂级数的收敛区间为),(+∞−∞,所以它可以在区间),(+∞−∞逐项微分任意次, 从而'y 411(41)!n n x n −∞==−∑, ''y 421(42)!n n x n −∞==−∑，'''y 431(43)!n n x n −∞==−∑, =)4(y ∑∞=−−144)!44(n n n x 4(1)1[4(1)]!n n x n −∞===−∑∑∞=04)!4(n nn x =y (2) 因为∞→n lim0)!(1=nn ,故这个幂级数的收敛区间为),(+∞−∞,所以它可以在区间),(+∞−∞逐项微分任意次,注意到=y ∑∞=02)!(n nn x 2111(!)n n x n ∞==+=+∑∑∞=−−221])!1[(n n n x 可得'y 1111!(1)!n n x n n −∞==+=+−∑∑∞=−−21)!1(!n n n n x ，''y 22!(2)!n n x n n −∞==−∑，所以 =−+y y xy '"122]])!1[(1)!1(!1)!2(!1[−∞=∑−−−+−n n x n n n n n 122(1)!(1)(1)!![]0![(1)!]n n n n n n x n n ∞−=−−+−−==−∑ 5．证明:设f 为幂级数(2)在),(R R −上的和函数,若f 为奇函数,则级数(2)仅出现奇次幂的项, 若f 为偶函数,则级数(2)仅出现偶次幂的项.证: 因为)(x f ∑∞==n nn xa ,(R x <),所以有)(x f −∑∞=−=)1(n n n nx a ,(R x <),当)(x f 为奇函数时，有)(x f ()0f x +−=(R x <),从而0)1(=−+n n n a a ),1,0("=n 而此式当且仅当02=k a ),2,1,0("=k ，故这时必有)(x f ∑∞=−−=11212n k k x a,(R x <),当)(x f 为偶函数时，有−)(x f ()0f x −=(R x <),从而0)1(=−−n nn a a ),1,0("=n 而此式当且仅当012=−k a ),2,1("=k ，故这时必有)(x f ∑∞==122n k k x a ,(R x <)6．求下列幂级数的收敛域：（1）∑+nn n ba x )0,0(>>b a ；（2）nn x n ∑+2)11( 解：(1) 记n n n b a a +=1，则∞→n lim =+1n n a a },max{b a ，所以收敛半径=R },max{b a ，由于R x =时，∞→n lim nn b a R +⎪⎩⎪⎨⎧≠==ba ba ,1,21，故这个幂级数在R x ±=处发散，从而此幂级数的收敛区域为),(R R −（2）因为 ∞→n limnna lim n →∞=n n n 2)11(+1lim 1nn e n →∞⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠, 所以收敛半径为e R 1=，又因为e x 1±=时，有∞→n lim 01()11(2≠±+nn e n ，所以这个幂级数在e x 1±=处发散，故这个幂级数的收敛区域为1,1(ee −7．证明定理3.14，并求下列幂级数的收敛半径：（1）∑−+n n n x n])1(3[；（2）"++++32bx ax bx a )0(b a << 定理3.14 对于幂级数∑∞=0n nn xa ，设=ρn n n a ∞→lim ，R 为收敛半径，则当（i ）+∞<<ρ0时，R ρ1=；（ii ）=ρ0时，R +∞=；（iii ）=ρ∞+时，0R =证：对任意x ，n nn x a x a n n =，因此n n n a ∞→lim lim n →∞=)(x a n n x ρ=，于是根据正项级数Cauchy 判别法的推论2知：当x ρ1<时，∑∞=0n nnxa 收敛，从而∑∞=0n nn xa 收敛；当x ρ1>时，可知nn x a )(∞→n 不趋于零，于是n n x a )(∞→n 不趋于零，从而可知∑∞=0n nn xa 发散，因此（i ）当+∞<<ρ0时，幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R ρ1=；（ii ）当=ρ0时，对任何x 皆有x ρ1<，所以R +∞=；（iii ）当=ρ∞+时，则除0=x 外，对任何x 皆有x ρ1>，所以可知0R =解：（1）对于∑−+nn n x n])1(3[，因为上极限∞→n lim nnn n])1(3[−+lim n →∞=4=，所以R 41=（2）对于"++++32bx ax bx a )0(b a <<，因为n n n a ∞→lim 1n ==，所以1R = 8．求下列函数的收敛半径及其和函数：（1）∑∞=+1)1(n n n n x ；（2）∑∞=++1)2)(1(n nn n n x 解：（1）因为∞→nlim1=，所以收敛半径1R =，当1±=x 时级数∑∞=+1)1(1n n n 与∑∞=+−1)1()1(n nn n 都收敛，故这个幂级数的收敛区域是]1,1[−，设 )(x g ∑∞=+=1)1(n nn n x x 11(1)n n x n n +∞==+∑，则当1<x 时，)('x g ∑∞==1n n n x ，)("x g ∑∞=−=11n n x x −=11，从而可得 )('x g ∫−=x dt t011)1ln(x −−=， 因此)(x g ∫−−=x dt t 0)1ln(xt t 0)1ln(−−=∫−−+xdt tt01 )1ln(x x −−=)1ln(x x −++x x x +−−=)1ln()1( 故∑∞=+1)1(n nn n x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤−+−−=0,01,10,11,1)1ln(1x x x x x x x（2）因为∞→nlim1=，所以收敛半径1R =，当1±=x 时级数为∑∞=++±1)2)(1()1(n nn n n 收敛，故这个幂级数的收敛区域是]1,1[−，设 )(x f ∑∞=++=12)2)(1(n nn n n x x 21(1)(2)n n x n n n +∞==++∑ )1(<x则当1<x 时，)('x f ∑∞=++=11)1(n n n n x x x x +−−=)1ln()1(，因此)(x f ∫+−−=xdt t t t 0])1ln()1[(22432)1ln()1(21x x x x +−−−−= )1(<x设∑∞=++1)2)(1(n nn n n x 的和函数是)(x s ，则当10<<x 时 )(x s 1(1)(2)n n x n n n ∞==++∑2)(x x f =4321)1ln(2)1(22+−−−−=x x x x ， 因为该幂级数在1±=x 时收敛，从而它在收敛域的端点1±=x 处右，左连续，所以当1=x 时，)(x s 41=；当1−=x 时，)(x s 4521ln 2+=；当 0=x 时，()0s x =故和函数为)(x s ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=−=+=<<+−−−−=0,01,4521ln 21,4110,4321)1ln(2)1(22x x x x x x xx9．设",,,210a a a 为等差数列)0(0≠a ，试求： （1）幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径；（2）数项级数∑∞=02n nna 的和数。
微积分人大3版 7.5
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∞
二、幂级数的性质
幂级数的和与差： 幂级数的和与差：
设幂级数 ∑a n x n =f(x)及 ∑bn x n =g(x)，收敛半径分别
n −1
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xn 例 3 求级数 ∑ n 的收敛区间。 n =1 n 解：因为 1 (n + 1) n +1 a n +1 1 1 l = lim = lim =0， = lim ⋅ n →∞ a n →∞ n →∞ n + 1 1 1 n n (1 + ) n n n 所以级数的收敛半径为R=+∞ ，收敛区间为(−∞, +∞)。
n =1 首页 ∞ n=1
n =1 ∞
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例 5 求幂级数 ∑nx n −1 的收敛区间及和函数，并求
n 级数 ∑ n 的和。 n =1 2
∞ n =1
∞
解：幂级数 ∑nx n −1 的收敛区间为(−1, 1)。
n =1
∞
当x∈(−1, 1)时，
S (x) = ∑nx
n =1 ∞ n −1
n 级数 ∑ n 的和。 n =1 2
∞ n =1
∞
解：因为
∞
a n +1 n +1 lim = lim =1， n →∞ a n →∞ n n
所以级数 ∑nx n −1 的收敛半径为 R =1。
幂级数收敛域怎么求
幂级数收敛域怎么求幂级数是一种特殊的函数，它是由指数函数的各次幂项组成的一种无穷级数。
幂级数在数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在求解幂级数的问题时，收敛域是一个非常关键而又重要的概念。
本文将对幂级数收敛域的求解方法进行详细介绍。
1、收敛域的定义与基本概念首先，我们来了解一下收敛域的定义和基本概念。
对于一个幂级数f(x)=Σ(n=0,∞)a_n(x-a)^n来说，我们称其为x=a时的收敛半径为R，即：R=lim|a_n|^1/n (n->∞)如果R=0，则幂级数在x=a处收敛；如果R=+∞，则幂级数在实数轴上绝对一致收敛，即幂级数在任意x处收敛；如果0<R<+∞，则幂级数在x=a-R到x=a+R之间一致收敛。
然而，在实际问题中，很多幂级数并不是在整个实数轴上都收敛。
因此，我们称在幂级数的收敛域内，幂级数的表达式能够收敛于某个确定的函数。
而反过来，在幂级数的发散域内，幂级数的表达式则可能会发散或无法收敛为某个确定的函数。
2、常用判别法在求解幂级数的收敛域时，常用的方法有以下几种：（1）阿贝尔定理阿贝尔定理给出了如下的结论：若Σ(n=0,∞)a_n(x-a)^n收敛于某个函数f(x)，且当x<a时，a_n(x-a)^n是单调递减的，那么此幂级数在[x,a)上收敛，而在(a,∞)上发散。
此外，如果当x>a时，a_n(x-a)^n也是单调递减的，那么此幂级数在整个实数轴上都会收敛。
（2）比值判别法对于任意一个幂级数Σ(n=0,∞)a_n(x-a)^n来说，我们可以定义其通项公比为：q_n=|a_{n+1}(x-a)/(a_n(x-a)^n)|比值判别法给出了如下的结论：当lim|q_n|<1时，幂级数收敛；当lim|q_n|>1时，幂级数发散；当lim|q_n|=1时，无法得出幂级数的收敛性，需另外用其他方法进行求解。
（3）根值判别法对于一个幂级数Σ(n=0,∞)a_n(x-a)^n来说，我们可以定义其通项公根值为：r_n=|a_n(x-a)^n|^{1/n}根值判别法给出了如下的结论：当lim|r_n|<1时，幂级数收敛；当lim|r_n|>1时，幂级数发散；当lim|r_n|=1时，无法得出幂级数的收敛性，此时需使用其他方法进行求解。
幂级数的收敛半径与收敛域
⎝
2
n⎠
n =1
n→∞
径为 R = 1 。
∞ ∞ 1 1⎞ 当 x = 2 时， ∑ a n ( x − 1) n = ∑ ⎛ ⎜1 + + " + ⎟ ，级数发散。 n =1 n =1⎝
∞
⑵ ⑷
1 + + " + ⎟( x − 1) ∑⎜ n⎠ ⎝ 2
n =1 ∞
∞
⎛
1
1⎞
n
;
⑶ ∑ (−1) n
n =1
∞ n
∞
x 2n ; n ⋅ 2n
n
∑ (−1)
n =1
n
ln(n + 1) ( x + 1) n ； n +1
3 ⎛ x −1⎞ ⑸ ∑ ⎜ ⎟ ; n =1 n ! ⎝ 2 ⎠
注意也可利用5级数的收敛半径为时级数发散所以定义域为利用逐项求积分与上面习题1得到即可得到58所以的收敛半径也至少为收敛可知利用上述结果就得到591连续4次逐项求导得到利用逐项求积分可得2711利用逐项求导可得628
习 题 10. 3
幂级数
1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。
3 n + (−2) n n x ; ⑴ ∑ n n =1
上式等号可能不成立，例如 ∑ a n x n = ∑ x 2n ，收敛半径为 1，
n =0 n =0
∞
∞
n =0
∑ an x n =
第4章无穷级数3-8(函数项级数 幂级数收敛半径)
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
(2) 如果级数 a n x n 在 x x 0 处发散,则它在满
n 0
足不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证
an x0 0, (1) an x0 收敛, lim n
n
n
n 0
M , 使得 an x0 M
1
时, an ( x x0 ) n绝对收敛;
n 0
时, an ( x x0 ) n发散;
n 0
再讨论x x0 时, an ( x x0 ) n的敛散性可得所求 .
n 0
一般幂级数收敛域的求法---例题
( x 1) n 的收敛域. 例 3 求 n n 1 2 n
3. 收敛半径与收敛域 4. 标准幂级数收敛半径的求法 5. 一般幂级数收敛域的求法
注解
演练例题
例题
内容小结与思考
4.3.1 函数项级数
1.定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
讨论 x n的敛散性.
n 0
n
( x 1)
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
4.3.2 幂级数及其收敛性
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
数学分析14.1幂级数
第十四章 幂级数1幂级数概念：由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地，当x 0=0时，有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛，则对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散，则对满足不等式|x|>|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n nx a发散.证：设级数∑∞=0n n n x a 收敛，从而数列{nn x a }收敛于0且有界，即存在某正数M ，使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ，可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛，∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散，若存在某一x 0，满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛，则∑∞=0nnnxa绝对收敛，矛盾！∴对满足不等式|x|>|x|的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa发散.注：由定理14.1可知，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+∞时，在(-∞,+ ∞)上收敛；当0<R<+∞时，在(-R,R)上收敛；对一切满足不等式|x|>R的x，发散；在x=±R处，不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2：对于幂级数∑∞=0nnnxa，若n n∞n|a|lim→=ρ，则当(1)0<ρ<+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1；(2)ρ=0时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞；(3)ρ=+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证：对于幂级数∑∞=0nnnxa，∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.注：也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ，来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1：求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解：记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1，∴R=1. 又当x=±1时，2nn)1(±=2n 1，由级数∑2n 1收敛，知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2：求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证：记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1，∴R=1. 又当x=1时，级数∑n 1发散；当x=-1时，级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注：级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3：(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ，设ρ=n n ∞n|a |lim →，则 (1)当0<ρ<+∞时，R=ρ1；(2)当ρ=0时，R=+∞；(3)当ρ=+∞时，R=0.证：对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|， 根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.例3：求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解：∵n n ∞n|a |lim →=21，∴R=2. 又当x=±2时，原级数都发散，∴原级数的收敛域为(-2,2).例4：求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解：方法一：∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31，∴R=3.方法二：∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1，即|x|<3时，收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时，原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0，发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4：若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0)，则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证：设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R)，则任一x ∈[a,b]，都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛，由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5：若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证：设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛，对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛，函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界，即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证：∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时，在[-R,0]上一致收敛.例5：考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解：∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21，∴R=2.又当x-1=2时，原级数=∑n 1发散；当x-1=-2时，∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2)，原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6：(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7：幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ，它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一：设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M 与r(<1)， 对一切正整数n ，都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛，根据级数的比较原则知，∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点，知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’，使|x ’|>R ，且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛，则必有一数x ，使得|x ’|>|x |>R ，由阿贝尔定理，∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但，取n ≥|x |时，就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |，由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛，矛盾！∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛，即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a ， 即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得， ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二：对于幂级数∑∞=0n n n x a ，R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ，1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a，2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证！定理14.8：设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ，x ∈(-R,R)，则：(1)f 在点x 可导，且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ；(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积，且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法：由定理14.7知，∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ，使|x|<r<R ，根据定理14.4，它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证！推论1：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数，则在(-R,R)上f 具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即： f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ；f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ；…；f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!；….推论2：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数，则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系：a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ，则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数；记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6：几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上 逐项求导可得：f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得：⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ，从而可得： ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注：可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7：求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解：由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1， 且x=±1时，级数发散，知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1)，则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x)，则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+；g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+； ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(1)∑nnx ；(2)∑⋅n 2n2n x ；(3)∑n 2x (2n)!)(n!；(4)∑n n x r 2(0<r<1)； (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ；(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑；(7)∑+⋯++n x )n1211(；(8)∑n n 2x 2. 解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散，∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时，原级数收敛， ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时，|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞)， ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4，原级数发散. 当x=-31，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2，原级数发散. ∴x+1∈(-31,31)，原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞)，∴R=1. 又当x=±1时，n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0，∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ，211|x | 0，，，∴R=1， 且当x=±1时，原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域)：(1)∑∞=++0n 12n 12n x ；(2)∑∞=1n n nx ；(3)∑∞=+1n nx )1n (n ；(4)∑∞=1n n 2x n . 解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1，又当x=±1时，级数∑∞=+±0n 12n 1发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-，∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1，又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -，∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明：设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛，若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛，则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明：⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证：∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛，补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时，∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛，∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明：(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ；(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ；y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ；y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明：设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数，若f 为奇函数，则原级数仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则原级数仅出现偶次幂的项. 证：∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R)；∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时，成立；当n=2k 时，a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数，即f(-x)=f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时，成立；当n=2k-1时，a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域：(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0)；(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b}，又当|x|=R 时， nn n∞n b a R lim +→=1≠0，∴原级数的x=±R 发散，收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ，∴R=e 1， 又当x=±e 1时，nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0，∴原级数在x=±e 1发散， 收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径：(1)n n n x n](-1)[3∑+；(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4，∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1，∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数：(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ；(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ；(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解：(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x)；f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时，S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1；当x=0时，S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ，0 1x ，10x 1x 1，1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时，S(0)=0；当x=1时，S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ，0 1x ，410x 1x 1，432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时，原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11；g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+；f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +； 又当x=0时，S(0)=0；∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0，1|x |，x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求： (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径；(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解：记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ，则a n =a 0+nd ，a n =a 0+(n+1)d ，R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-，当x=21∈(-1,1)时，S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。
06-幂级数收敛域的求法PPT
8
Z (2) ( - nx ) n ；
n=1
an
解：由于p = lim
n—8
则 R = 0. 故收敛域为{0}.
=lim n = +8,
ns
8n
(3)R n!；
---->>w^
• n=1 n
板书)
解：由于p
=
lim
n—8
“n+l
an
=lim 1 is n +1
0,
则R = +8.
故收敛域为(-8,+8)・
故收敛域为（0,1].
板书
8 2 n-1
例2、求幂级数£ r的收敛域. n=1 2
解：级数缺少偶次幂的项，由达朗贝尔判别
法,
lim 〃n+1（
ns X ）
x2n+1 /
/2 n+1
X, 1
=lim
_
1
当1
uXn（2 <X）1
,即n|一x8|<x421n时-/12/,级n 数收2敛.
当1 / > 1 ,即|x| >41时，级数发散.
n—8
n—8 an
1 ⑴若0 V p V +8 ,则当日I x |< 1,即I x Iv 一时, p
8
级数£ anxn绝对收敛.
n=0
当p\x |> 1,即| x |>一时，级数£8 anxn发散
P
n=0
板书
1
从而收敛半径R =丄. P
---8
板书
(2)若 p = 0,贝lj Vx 了 0, p x = 0 v 1,
一、幂级数收敛半径的确定
第十章 无穷级数5-6
同理,在(| x2|, | x1| )上有一分界点S, 使得(S, 0) 的点为收敛点, (, S )上点为发散点, 且 r =S .
•• •
•
| x2| r | x1|
0
•••
| x1 | r | x2|
n1
anxn n!
anx0nn1!(xx0)n
M
1 n!
x x0
n
由比值法易得
n1
M
1 n!
x x0
n
收敛
x(, )
故由比较审敛法知 a n x n n1 n!
在
(,)内绝对收敛,
故收敛半径 R注意收敛半径为1，并不意味着` lim an1 1 n an
1. 幂级数的收敛半径
根据柯西判别法确定其收敛半径
收敛区间.
解： lim an1
n an
ln im 2(nn1)
1 2
故 r 1 2
n1
(1)n1
xn 2n n
在端点x = 2,
1
n 1 n 发散.
x = 2,
(1) n1 n1 n
收敛.
收敛区间为(2, 2]
注：用根值判别法也可得到 r = 2.
例6. 给定幂级数
x n , 求收敛域
例如
11xn11xn n0 n! n0 n!
n0
2 xn n!
R 11 , R 21 ,R '
(2) 除法所所得收敛半径不定.
(2)幂级数在收敛区间中的内闭一致性
定理4：设幂级数 an x n 的收敛半径为 R>0,则
幂级数求收敛半径
幂级数求收敛半径幂级数是数学中的一个重要概念，它是由形如$sumlimits_{n=0}^{infty}a_nx^n$的无穷级数组成，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
幂级数在数学中的应用非常广泛，如在微积分、数论、物理学等领域中都有着重要的应用。
然而，在实际的计算中，我们经常需要求出幂级数的收敛半径，以确定幂级数的收敛性。
因此，本文将从定义、性质和求解方法三个方面来介绍幂级数的收敛半径。
一、幂级数的定义幂级数是一种无穷级数，它的一般形式为$sumlimits_{n=0}^{infty}a_nx^n$，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
当$x=0$时，幂级数的值为$a_0$，如果$x$的取值在某个区间内收敛，则称幂级数在该区间内收敛。
否则，幂级数在该区间内发散。
二、幂级数的性质1. 幂级数的收敛域是一个区间。
2. 幂级数的收敛半径是一个正实数$r$，它满足$limlimits_{nrightarrowinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right| =r$，当$r=0$时，幂级数在$x=0$处收敛；当$r=+infty$时，幂级数在整个实轴上收敛；当$0<r<+infty$时，幂级数在$xin(-r,r)$内收敛。
3. 幂级数的收敛性与$x$的取值有关，即幂级数在某个点处收敛，并不意味着它在整个区间内都收敛，反之亦然。
三、幂级数的求解方法1. 比值判别法比值判别法是求解幂级数收敛半径的一种常用方法。
具体来说，利用比值判别法可以得到$limlimits_{nrightarrowinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right| =r$，然后根据$r$的大小来确定幂级数的收敛半径。
比值判别法的具体步骤如下：（1）计算$limlimits_{nrightarrowinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right| $。
求下列幂级数的收敛半径与收敛区域
14.11． 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：（1）;∑x nn （2）;22∑nnn x （3）);1!0(,)!2(02)!(=∑∞=xn nn n （4）);10(,02<<∑∞=r nxr nn （5）;)!12()2(12∑---n x n （6）);1()2(3++∑-x nnn（7）111;2n x n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑ （8）∑22nx n2． 应用逐项求导或逐项求积法求下列幂级数和函数（应同时指出它们的定义域）：（1）3521;3521n x x x x n +++++++(2)...; (3232)+++++x x x nn x (3)...)1(. (32212)++++⋅+⋅x x nn n x 3.证明：设0()nn n f x a x ∞==∑在x R <内收敛,若101n n n a R n ∞+=+∑也收敛,则Ran Rn nn dx x f 11)(+∞=⎰∑+=（注意：这里不管nn n a x∞=∑在x R =是否收敛）.应用这个结果证明:10111ln 2(1).1n n dx x n ∞===-+∑⎰ 4.证明：(1)y=∑∞=04)!4(n nn x 满足方程y (4)=y; (2)y=∑∞=02)!(n nn x 满足方程xy ’’+y ‘-y=0 5.证明：设f 为幂级数（2）在（-R,R ）上的和函数，若 f 为奇函数，则级数（2）仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则（2）仅出现偶次幂的项。
6. 求下列幂级数的收敛域：（1）∑+b a xnnn， （a>0,b>0）; (2)∑+x n nn)11(27.证明定理14.3并求下列幂级数的收敛半径：（1）;])1(3[∑-+x nnnn（2）23(0).a bx ax bx a b ++++<<8.求下列幂级数的收敛半径及其和函数：（1）1;(1)n n x n n ∞=+∑ （2）()()1.12nn x n n n ∞=++∑9．设a 0,a 1,a 2,…..为等差数列（a 0≠0）.试求：（1）幂级数x a nn n∑∞=0的收敛半径； （2） 数项级数∑∞=02n nn a 的和数。
1求下列幂级数的收敛半径与收敛域
xn x n 1 x n 1 1 (n!) 2 n!(n 1)! n 2 n!( n 2)! n 0 n2 1 1 1 n 1 x n x 1 2 (n 1)! n 2 ( n 2)! n 0 ( n!) n!
∵
an = n,
lim
(1 2 n)(1 2 n)(1) n 2 n 2 n 2 4 6 ( 2n) (1) n 0 n 1 3 5 (2n 1) 1 3 5 (2n 1) 2 (1 2 n) 同理，x = 4 时，un0 ∴ 当 x = 4，级数散，所以收敛域为(- 4, 4)。 (4).
0 | x | 1 1 | x | 1 2 | x | 1 ∴ R = 1 ，收敛域为[-1,1] 2．应用通项求导或逐项积分方法，求下列幂级数的和函数。 x3 x5 x 2 n 1 (1). x 3 5 n 1
2 § 14.1 习题
§ 14.1 习题
∴
f ( x)
取 f ( x) (1) n 1 x n , 当 | x | <1，有
n 0
f ( x)
又，在 x =1 处， (1) n 1
n 0 1
1 1 x
x n 1 收敛。 n 1
1 dx 1 n ln( 1 ) ln 2 ( 1 ) ∴ x 0 1 x 0 n 1 n 0 4．证明： x 4n (1). y 满足方程 y (4)= y ( 4 n )! n 0 证：对x(-, +)，R = + x 4 n 1 x 4n2 , y' y" n 1 ( 4n 1)! n 1 ( 4n 2)!
幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨
③若ａ１ʂａ２(ｋ１<ｋ２)时ꎬ则条件组[ａ１ꎬｋ１][ａ２ꎬｋ２]]⇒[ａ１ꎬｋ１－ｋ１][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒[ａ１ꎬ０][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１＋ｋ１.由于ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１ꎬ所以推出(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)∗ＮꎬＴＮ＋Ｋ１]⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](简洁式).所以:Ｇ＝(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ(跳跃数).则Ｇ＝ＴＮ＋Ｋ１ꎬＧ＝[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](循环是生机).故而ꎬ当平余式(条件式)运算规则确立后ꎬ素数的递推式也就由此呈现ꎬ但里面并不是单一和纯粹的.平余式运算法则:[ａꎬｂ]相与ｙ＝ａｘ＋ｂ的整数值[ａꎬｂ]＝[ａꎬｂʃａ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａʃｍ]＝[ａꎬｂʃｍ][ａꎬｂ]∗ｍ＝[ａꎬｂ∗ｍ]ꎻ[ａꎬｂ]ｎ＝[ａꎬｂｎ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃ[ａꎬｃ]＝[ａꎬｂ]ʃｃ＝[ａꎬｂʃｃ]ꎻ[ＮꎬＮ－Ｍ][ＫꎬＫ－Ｍ]]⇒[Ｎ∗ＫꎬＮ∗Ｋ－Ｍ](ＮꎬＫ互质).为了减少书写的难度ꎬ以后将形如[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]]⇒[ｅꎬｆ]改写成[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ].平余式运算的逆运算 共数的逆向求解设平余式[ａꎬｂ]ꎬ[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ].假若[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ](ａ与ｃ互质).现已知:[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ](ａꎬｃ互质)ꎬ求[ａꎬｂ].解㊀由平余式公式知ｅ＝ａ∗ｃ⇒ａ＝ｅːｃꎬａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ(０ɤｂ<ａ)⇒ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.由于ｆ是实数ꎬ且０ɤｂ<ａꎬ即ｆ与ａ的余数是唯一且稳定的ꎬ故ｂ值也是唯一的ꎬ所以ꎬ在ａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ中ꎬ定可确定ｂ的值.其中ａ∗Ｎ<ｆ<ａ(Ｎ＋１)ꎬ则ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.即可求出[ａꎬｂ].㊀㊀参考文献:[１]郜洪三.运算能力及其培养[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(２１):８３－８４.[２]彭月英ꎬ李世才ꎬ苗丽.求解 余数问题 的算法研究[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００８(１０):２０９－２１５.[责任编辑:杨惠民]幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨如何培养学生的创新思维刘㊀洋(广东省佛山市广州工商学院三水校区㊀５１０８５０)摘㊀要:幂级数收敛半径和收敛域的探讨课堂ꎬ不仅可以培养学生的逻辑思维能力ꎬ而且还能培养学生的创新思维.高等数学是一门抽象的㊁理论性和逻辑性很强的一门课ꎬ学起来比较枯燥无味ꎬ本文以幂级数收敛半径和收敛域的求解的探讨ꎬ引导学生学会创新思维ꎬ不断激发学生学习数学的兴趣.关键词:幂级数ꎻ收敛半径ꎻ收敛域ꎻ对分课堂中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)０６－００１２－０２收稿日期:２０１９－１１－２５作者简介:刘洋(１９８９－)ꎬ女ꎬ讲师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁幂级数的收敛半径关于此幂级数的收敛半径的求法可直接利用下面的定理.定理１㊀如果ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ其中ａｎꎬａｎ＋１是幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的相邻两项的系数ꎬ那么此幂级数的收敛半径Ｒ＝１/ρꎬρʂ０ꎬ＋¥ꎬρ＝０ꎬ０ꎬρ＝＋¥.{形如幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ将其记为 标准型 幂级数ꎬ可直接利用公式ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ求其收敛半径Ｒ＝１ρꎬ收敛区间为(－ＲꎬＲ).对于 一般型 幂级数在求收敛半径时可通过换元转换为标准型求解ꎬ对于规则缺项幂级数和一类缺项幂级数求收敛半径和收敛区间ꎬ可通过逐项求导(或逐项求积分)和换元转换为标准型求解.本文先引用定理引出结论ꎬ然后讨论不同类型幂级数都可以通过换元化为标准型幂级数进行求解ꎬ最后将其结论进行推广应用.２１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.㊀㊀二㊁不同类型的幂级数收敛半径和收敛域的求法㊀㊀本文对标准型幂级数求它们的收敛半径和收敛域的求解进行研究.幂级数的形式多样ꎬ不同类型幂级数的求解方法各异ꎬ但本文主要把不同类型幂级数通过换元的方法化为标准型幂级数后ꎬ再进行求解.１. 标准型 ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的求法步骤㊀(１)求ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ则Ｒ＝１ρꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(２)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).例１㊀求幂级数ｘ－ｘ２２＋ｘ３３－ ＋(－１)ｎ－１ｘｎｎ＋ 的收敛半径与收敛域.解㊀此级数可记为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１ｘｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｘ＝－１ꎬ级数成为－１－１２＋１３－ －１ｎ－ ꎬ此级数发散ꎻ对于端点ｘ＝１ꎬ级数成为交错级数１－１２＋１３－ ＋(－１)ｎ－１１ｎ＋ ꎬ此级数收敛.因此ꎬ此级数收敛域是(－１ꎬ１].２. 一般型 化为 标准型 的求法通过换元将 一般型 化为 标准型 ꎬ利用标准型求解.例２㊀求幂级数ð¥ｎ＝０(ｘ－５)ｎｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ－５ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝０ｔｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝ｌｉｍｎң¥ｎｎ＋１＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ新级数的收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｔ＝－１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０(－１)ｎｎꎬ满足莱布尼茨定理的交错级数ꎬ故此时新级数收敛ꎻ对于端点ｔ＝１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０１ｎꎬ即ρ＝１２<１是Ｐ－级数ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是[－１ꎬ１)即－１ɤｔ<１ꎬ则－１ɤｘ－５<１ꎬ解得４ɤｘ<６.综上ꎬ原级数的收敛域为[４ꎬ６)ꎬ收敛半径Ｒ＝１.３. 有缺型 化为 标准型 的求法通过逐项积分或逐项求导或换元将 有缺型 化为标准型 ꎬ利用标准型求解.例３㊀求幂级数ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｘ２ｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ２ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｔｎꎬ因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥３ｎ＋１３ｎ＝３ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１３ꎬ新级数的收敛区间为(－１３ꎬ１３).对于端点ｔ＝－１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)＝－１－１－１－ ꎬ故此时新级数发散ꎻ对于端点ｔ＝１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１＝１－１＋１－１＋ ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是(－１３ꎬ１３)即－１３<ｔ<１３ꎬ则－１３<ｘ２<１３ꎬ解得－１３<ｘ<１３.综上ꎬ原级数的收敛域为－１３ꎬ１３æèçöø÷ꎬ收敛半径Ｒ＝１３.㊀㊀三㊁归纳总结一般规律定理２㊀形如ð¥ｎ＝０ａｎｆｎ(ｘ)的幂级数ꎬ称为广义幂级数.(其中ｆ(ｘ)为ｘ函数)其收敛半径和收敛域的求法如下:步骤㊀(１)令ｔ＝ｆ(ｘ)ꎬ则得新级数为ð¥ｎ＝０ａｎｔｎꎻ(２)求收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥ａｎａｎ＋１ꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(３)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).由于求收敛域和收敛半径题目类型多样ꎬ为更好更快地解决问题ꎬ需要按 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型求解.在上述过程中我们以 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型的三个例题通过换元化为 标准型 来具体说明求收敛域和收敛半径的求解方法ꎬ最后总结出一般的规律.本文利用现有的有用信息定理１ꎬ举例讲解例１ꎬ让学生自己去理解体会标准型幂级数求解收敛半径和收敛域的步骤ꎬ进一步探索和想出可供选择的信息进行考虑不同类型的幂级数的求解方法.本文中幂级数收敛半径和收敛域的求解方法按不同的类型化归同一种类型求解的对分课堂ꎬ不仅激发了学生学习数学的兴趣ꎬ而且还培养了学生的创新思维.㊀㊀参考文献:[１]吕端良ꎬ王云丽.广义幂级数收敛域的求法[Ｊ].科技信息ꎬ２０１３(１７):１５２.[２]蒋国强ꎬ一类幂级数收敛半径的统一求法[Ｊ].高等函授学报(自然科学版)ꎬ２００３(０３):２０－２１.[责任编辑:杨惠民]３１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
微积分北京大学出版社课后详解
)
∞ ⎞ (2n)!⎛ 1 ⎜− 1 ⎟ 当 x = − 时，级数为 ∑ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ 2 n=1 ( n !) ⎝
2 n−1
2n 2 n−1 ∞ 4π n ( 2n) e−2n (1 + o (1) ) ⎛ 1 ⎞2n−1 2n) ! ⎛ 1 ⎞ ( −2 un = − = − = ； ∵ ∑ ⎟ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎜ π n (1 + o (1) ) n =1 ( n!) ⎝ 2 ⎠ ( 2π nnne−n (1+ o (1))) ⎝ 2 ⎠
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （4） ∑ (−1) n
n =0 ∞
3n n x ； n!
解
收敛半径 R = lim
n →∞
an 3n ( n + 1) ! = lim ⋅ n +1 = ∞ ， an +1 n→∞ n ! 3
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （5） ∑ 解
∵ ∑ nx
n =1
∞
n −1
= ∑( x
n =1
∞
n '
)
′ ′ ′ 1 ⎞ 1 ⎛ ∞ n⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ = ⎜∑ x ⎟ = ⎜ ， ⎟ = ⎜ −1 + ⎟ = 1 − x ⎠ (1 − x)2 ⎝ n =1 ⎠ ⎝ 1 − x ⎠ ⎝
∴ ∑ nx n =
n=0
∞
x (1 − x ) 2
（4） ∑ (−1) n
n =0
∞
x 2 n +1 ； 2n + 1
5
解
令 S ( x) =43;1 ( −1 ≤ x ≤ 1) ， 2n + 1
幂级数及其收敛性PPT课件
11
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幂级数
(3) (n!)2 xn
n1 (2n)!
(n 1)!2
R 1
解
பைடு நூலகம்
l i m| an1 | n an
lim n
2(n 1) ( n! )2
! lim (n 1)2 n (2n 1)(2n 2)
1
(2n)!
4
收敛半径R 4.
12
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幂级数
|x| |x0|
|an xn|
|an x0n
xn x0n
|
|an x0n| |
x x0
|n
M
|
x x0
|n
当|
x
| 1 时, 等比级数
M|
x
|n 收 敛,
x0
n0
x0
|an xn| 收 敛, 即级数 an xn(|x| |x0|) 绝对收敛;
n0
n0
(2) 假设当x x0 时发散, 但有一点 x1 适合 |x1| |x0|
(3)当 时, R 0.
证 对 级 数 |an xn|, 由正项级数的比值判别法,
n0
l i m|an1 n |an
x x
n1| n|
l i m|an1| n |an|
|x|
7
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幂级数
l i m|an1 n |an
x x
n1| n|
l
i
| m
an1|
|
x|
n |an|
(1) 如 果lim| an1 | ( 0) 存 在, 则
当 x = 4 时, 级数为正项级数 (n!)2 4n n1 (2n)!
第4章无穷级数3-7(函数项级数 幂级数收敛半径)
n 0
an1 ( 3)若 lim , n an un1 an1 则 lim lim x ( x 0) n un n an
则 lim un 0, 故 an x n发散. R 0. 定理证毕.
(2) 幂级数对一切x 都收敛,R ,
收敛域( , ).
问题
如何求幂级数的收敛半径?
4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法
n a x 如果幂级数 定理2 n 的所有系数a n 0 , n 0
a n1 设 lim n a n
1 则 (1) 当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
当 x 1时, lim sn ( x )不存在.
n
1 , 当 x 1时 n 收敛于 x . 1 x n 0 当 x 1时 发散,
2. 阿贝尔(Abel)定理
(1) 如果级数 a n x n 在 x x 0 ( x 0 0) 处收敛,则
n 0
函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) s( x ) 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
n
(x在收敛域上)
注意: (1) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数 项级数的收敛问题.
( 2)
n 1
n
1 a n 1 lim 0, 解 lim n n 1 n a n
R ,
收敛域( , ).
5. 一般幂级数收敛域的求法
对于 an ( x x0 )n有两种方法求其收敛域.