《同角三角函数基本关系》链接高考
高中数学《同角三角函数的基本关系》课件
一 同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解 由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一 同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以 看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数 的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一 同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于 点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一 同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解 由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25
第四章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2025年高考数学备考
第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sinHs ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）同角三角函数关系的应用2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.诱导公式的应用2020北京T9；2019全国卷ⅠT7同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用学生用书P0751.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（2）商的关系：tan α＝sinHs （α≠π2＋k π，k ∈Z ）.（3）公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α；sin α＝±1－cos 2；sin 2α＝sin 2sin 2＋c 2＝ta 2tan 2r1，cos 2α＝cos 2si 2＋cos 2＝①1tan 2r1；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.注意利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.2.诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α（k ∈Z ）π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α②－sin α－sin α③sin αcos α④cos α余弦cos α⑤－cos αcos α⑥－cos αsin α⑦－sin α正切tan α⑧tan α－tan α⑨－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限.1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝（A）A.－1213B.－513C.513D.213解析因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－1－sin2＝－1213.2.[2023贵州联考]已知tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝（D）A.－1B.－3C.－12D.12解析因为tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝1＋1tan＝1－12＝12.3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（C）A.sin（θ－π2）＝cosθB.cos（3π2＋θ）＝－sinθC.sin（3π2－θ）＝－cosθD.cos（θ－π2）＝－sinθ解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B 错误；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.4.sin1050°＝－12.解析sin1050°＝sin（－30°）＝－12.5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝34.解析因为tan（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝cos＋sinsinr2cos＝1+tan tanr2＝1+22+2＝34.学生用书P076命题点1同角三角函数关系的应用例1（1）[2024山东模拟]若tanθ＝2，则1＋sinθcosθ＝（B）A.73B.75C.54D.53解析易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝1+sinvos1＝si2＋cos2＋sinvossin2＋cos2＝tan 2＋tanr1 tan2r1＝22+2+122+1＝75.（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝－55.解析由tan ＝sin cos＝12，sin 2＋cos 2=1，且θ∈（0，π2），解得sin cos 故sin θ－cos θ方法技巧同角三角函数基本关系的应用技巧（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sinHs ，可以解决sin α，cos α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.（2）利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.（3）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinHs 可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.训练1[多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cos θ＝713，则下列结论正确的是（BD ）A.θ∈（－π，－π2） B.cos θ＝1213C.tan θ＝512 D.sin θ－cos θ＝－1713解析由sin θ＋cos θ＝713可得，cos θ＝713－sin θ，则（713－sin θ）2＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝1213或sin θ＝－513.由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513，cos θ＝1213，故B 正确；由sin θ＝－513＜0，cos θ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈（－π2，0），故A 错误；tan θ＝sinHs ＝－512，故C 错误；sin θ－cos θ＝－513－1213＝－1713，故D 正确.故选BD.命题点2诱导公式的应用例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f （x ）＝15sin （x ＋π3）＋cos （x －π6）的最大值为（A ）A.65B.1C.35D.15解析因为cos （x －π6）＝cos[（x ＋π3）－π2]＝sin （x ＋π3），所以f （x ）＝65sin （x ＋π3），所以f （x ）的最大值为65，故选A.（2）[北京高考]若函数f （x ）＝sin （x ＋φ）＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为π2（答案不唯一）.解析易知当y＝sin（x＋φ），y＝cos x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cos x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.方法技巧应用诱导公式的一般思路（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；（2）统一角，统一名；（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.训练2（1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（π6－θ）＝13，则cos（5π6＋θ）＋2sin（5π3－θ）的值为－1.解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（π6－θ）＝－3cos（π6－θ）＝－1.（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－－3π2）cos（3π2－）cos（π2－）sin（π2＋）·tan2（π－α）的值为－916.解析原式＝－sin（3π2＋）cos（3π2－）sinvos·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，sinvos·tan2α＝－cosLin得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－45，∴tanα＝34.故原式＝－tan2α＝－916.命题点3同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用例3（1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，则tan（2π3－α）＝（A）B. D.解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）tan（α＋π3）＝sin（＋π3）Hs（＋π3）＝－tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）故选A.（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝－43.解析解法一因为sin（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（－π4）cos（－π4）＝－43.解法二因为θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos （θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝sin （－π4）Hs （－π4）＝－cos[π2＋（－π4)]sin[π2＋（－π4)]＝－cos （＋π4）sin （＋π4）＝－43.方法技巧利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；（3）化简求值.注意（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.（2）化简过程是恒等变换.训练3[2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M （2，4）在角α终边上，则sin 3（π－）＋cos 3（－）sin 3－2cos 3＝（B ）A.23B.32C.－35D.－53解析由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin 3＋cos 3si 3－2cos 3＝tan 3r1tan 3－2＝8+18－2＝32.故选B.1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cos θtan 2θ＝（D ）C. D.解析由sin θ－cos θ1－2sin θcos θ＝13，∴sin θcos θ＝13，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θ·cos θ＝53.∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cos θ解法一易得sin θcos θ∴tan θ∴tan 2θ＝－52]5 D.解法二易得sin θcos θ＝13，∴sin 2θ＝23，∵sin θ－cos θ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）∴π2＜2θ＜π，∴cos 2θ∴tan 2θ D.2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋（－1）k β”是“sin α＝sin β”的（C）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件.3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cos3－sin，则sin（2α＋π2）＝（D）A.23B.13C.89D.79解析因为tanα＝cos3－sin，所以sin Hs＝cos3－sin，即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13，所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79，故选D.学生用书·练习帮P2921.若θ∈（π2，πA）A.sinθ－cosθB.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ）D.sinθ＋cosθ解析）＝1－2sinBos＝（sin－cos）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π2，π），所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（B）A.－45B.45C.－35D.35解析因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x 对称，所以＋2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα＝45（k∈Z），故选B.3.[2024江西联考]已知sin （α＋π3）＝－14，则cos （α＋5π6）＝（B ）A.－14B.14解析因为sin （α＋π3）＝－14，所以cos （α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin （α＋π3）＝14，故选B.4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cos α）＝（D ）A.25B.35C.45D.65解析sin α（sin α＋cos α）＝sin 2＋sinvos sin 2＋cos 2＝tan 2＋tan tan 2r1＝22+222+1＝65.故选D.5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan （π2－θ）＝43，则cos （θ＋π2）＝（C）A.－45B.－35C.35D.45解析tan （π2－θ）＝sin （π2－）Hs （π2－）＝Hs sin＝43，即3cos θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－35，cos θ＝－45，∴cos （θ＋π2）＝－sin θ＝35.故选C.6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos （α＋10°）＝13，则tan （170°－α）＝（A）A.－22B.22C.－2D.2解析因为α为第一象限角，且cos （α＋10°）＝1＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以sin （α＋10°）＝1－cos 2（+10°）＝tan （α＋10°）＝sin （r10°）cos （r10°）＝22，则tan （170°－α）＝tan[180°－（α＋10°）]＝－tan （α＋10°）＝－22.故选A.7.[多选]在△ABC 中，下列结论正确的是（ABC ）A.sin （A ＋B ）＝sin CB.sin＋2＝cos2C.tan （A ＋B ）＝－tan C （C ≠π2）D.cos （A ＋B ）＝cos C 解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin （A ＋B ）＝sin （π－C ）＝sin C ，A 正确.sin＋2＝sin （π2－2）＝cos 2，B 正确.tan （A ＋B ）＝tan （π－C ）＝－tan C （C ≠π2），C正确.cos （A ＋B ）＝cos （π－C ）＝－cos C ，D 错误.故选ABC.8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC 中，3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），cos A ＝－3cos （π－B ），则△ABC 为直角三角形.解析在△ABC 中，由3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），得3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝3A ∈（0，π），∴A ＝π6，又cos A ＝－3cos （π－B ），＝3cos B ，即cos B ＝12，又B ∈（0，π），∴B ＝π3，∴C ＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC 为直角三角形.9.已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），则tan θ＝－43；2sinBosr2si 21－tG＝24175.解析因为sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以sin θcos θ＝－1225＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0.由sin ＋Hs ＝15，si 2＋c 2=1，得25sin 2θ－5sin θ－12＝0，解得sin θ＝45或sin θ＝－35（舍去），所以sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43.（或sin θ－cos θ＞0，（sin θ－cos θ）2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，则sin θ－cos θ＝75，由sin ＋cos ＝15，sin －cos ＝75，得sin ＝45，cos ＝－35，所以tan θ＝－43）解法一2sinvosr2sin 21－tan＝2sin （cos ＋sin ）1－sin cos＝2sinvos （cos ＋sin ）cos －sin＝－2425×15－75＝24175.解法二2sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sinvosr2sin 2sin 2＋cos 2＝2tanr2tan 2tan 2r1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinvosr2sin 21－tan＝8251－（－43）＝24175.10.设f （x ）＝a sin （πx ＋α）＋b cos （πx ＋β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f （2024）＝1，则f （2025）＝（D）A.1B.2C.0D.－1解析f （2024）＝a sin （2024π＋α）＋b cos （2024π＋β）＝a sin α＋b cos β＝1，f （2025）＝a sin （2025π＋α）＋b cos （2025π＋β）＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＝－a sin α－b cos β＝－（a sin α＋b cos β）＝－1.故选D.11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cos （χ3＋2π3）＝（C）B. C.12 D.－12解析任取数字2023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cos（χ3＋2π3）＝cos（123π3＋2π3）＝cos（41π＋2π3）＝cos（π＋2π3）＝－cos2π3＝cosπ3＝12，故选C.12.已知－π＜α＜0，且满足.从①sinαcosα＋sinαtanα＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.（1）求cosα－sinα的值；（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求Hs＋sinHs－sin的值.解析方案一选择条件②.（1）由cosα＋sinαcosα＋sinα）2＝15，则2sinαcosα＝－45＜0.又－π＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＞0，所以cosα－sinα＝1－2cosLin＝（2）由题意得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以cos＋sin＝ 3.cos－sin＝－cos＋sin－cos－sin方案二选择条件③.（1）因为tanα＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sinα＝－2cosα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，所以sinαcosα所以cosα－sinα（2）由题可得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以Hs＋sinHs－sin＝ 3.（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sinα＜0，与sinα①不符合题意.）。
高考复习数学第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
角度 sin α，cos α 的齐次式问题 [例 2] 已知tatnanα－α 1＝－1，求下列各式的值． (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα； (2)sin2 α＋sin αcos α＋2.
解：由已知得 tan α＝12. (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－ ＋31＝－53.
D．±2
5 5
所以 cos α＝－23，
则 α 为第二或第三象限角，
所以 sin α＝±
1－cos2
α＝±
5 3.
5
所以
tan
α＝csions
αα＝±－323
＝±
5 2.
答案：C
6．sin 2 490°＝________；cos－523π＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12. cos－523π＝cos 523π＝cos16π＋π＋π3＝cosπ＋π3＝ －cos π3＝－12. 答案：－12 －12
(2)sin2 α＋sin αcos α＋2＝sins2inα2＋α＋sincoαsc2oαs α＋2＝
tan2 α＋tan tan2 α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
角度 sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
[例 3] 已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝15.
1．已知 a∈(0，π)，且 cos α＝－153，则 sinπ2－α· tan α＝( )
由 x∈(－π，0)，知 sin x<0，又 sin x＋cos x>0，
所以 cos x>0，所以 sin x－cos x<0，
6.3 同角三角函数的基本关系式课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第六章三角函数
解法二 ：直接用商的关系，找出 sinα与 cosα的关系．
因为 tanα＝csionsαα＝－3，则 sinα＝－3cosα，
所
以
1
sin2α－2cos2α
＝
sin2α＋cos2α sin2α－2cos2α
＝
（－3cosα）2＋cos2α 来自－3cosα）2－2cos2α
＝
170ccooss22αα＝170.
5
2
2，
展开得 sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝54，
即 1＋2sinαcosα＝54，故 sinαcosα＝18.
(2)利用配方公式可得
sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α ＝1－2(sinαcosα)2＝1－2×614＝3312. 故 sin4α＋cos4α＝3321.
2.
3
10．已知 tanα＝3，则 sinα·cosα＝___1_0___．
【解析】 ∵tanα＝3，∴sinαcosα＝sinsi2nαα＋cocsoαs2α＝tatna2nαα＋1＝130.
11．化简： 1＋2sinθcosθ(θ 为第三象限角)＝__－__s_i_n_θ_－__c_o_s_θ___． 【 解 析 】 1＋2sinθcosθ ＝ sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ ＝
A.35
B．－35
C．－45
D.45
【解析】 α 为第二象限角，tanα· 1－sin2α＝csionsαα·|cosα|＝csionsαα
(－cosα)＝－sinα＝－45，故选 C.
8．若 sinx－cosx＝13，则 sinx·cosx＝( A )
4 A.9
B．－49
同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考复习
)
√2
A.6
(2)已知 sin
√2
B.
6
2√5
α= 5 ,则
2
C.3
5π
+)
2
5π
cos ( -)
2
sin (
tan(π+α)+
=
2
D.
3
.
答案 (1)D
5
5
(2) 或2
2
解析 (1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tan +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
.
5
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用
tan
sin
α=cos
≠ π +
π
,∈Z
2
可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
【例 1】 (1)若
1
同角三角函数的基本关系与诱导公式-高考数学复习
3
θ＝ ，
5
cos
π
θ＜0，所以可得θ∈（ ，π），
2
sin θ cos
θ）2＝1－2
sin θ＋ cos
4
θ＝－ ，tan
5
1
θ＝ ，可得
25
sin θ cos
1
θ＝－ ，
5
sin θ cos θ
49
θ＝ ，所以
25
sin θ－ cos
sin θ
7
θ＝ ，联
5
3
θ＝－ ，故B错误，C正确.
4
目录
高中总复习·数学
可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母
1用 sin 2α＋ cos 2α替换，再将分子与分母同除以 cos 2α，化为只
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
目录
高中总复习·数学
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
可以知一求二.
目录
高中总复习·数学
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
解析：由 sin θ＋ cos
θ cos
1
θ＝ ，∴
6
sin 4θ＋ cos 4θ＝（
2 3
θ＝
，平方得1＋2
3
）
sin θ cos
4
θ＝ ，∴
3
sin
sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单
（4） sin α＝tan α cos
【高考调研】高考数学总复习 4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式配套课件 理 新人教A版
第 2 课时 同角三角 函数的基本关系式及诱导公式
2013•考纲下载
1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：sin2α ＋cos2α＝1，csionsαα＝tanα，掌握已知一个角的三角函数值求其他 三角函数值的方法．
2．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(π2±α，π±α 的 正弦、余弦、正切)，经历并体验用诱导公式求三角函数值，感 受诱导公式的变化规律．
思考题 4 已知 tanα＝2，求sinαc＋ os2cαosα2的值．
【解析】 方法一 原式可化为sin2α＋cocos2sα2α－＋si2ns2iαnαcosα 分子、分母同除以 cos2α tan2α1＋－2tatann2αα＋1＝－3.
方法二 原式可化为 csoinsα2α＋－csoisnα2α2＝cosα－sisninαα＋ccoossαα＋2 sinα ＝scionsαα＋－csoinsαα＝t1a－nαt＋an1α＝－3. 【答案】 －3
tanα －tanα
1．(课本习题改编)sin2 490°＝________；
cos(－335π)＝________.
答案
－12
1 2
2．若 tanα＝2，则2sisninαα＋－2ccoossαα的值为
A．0
3 B.4
C．1
5 D.4
答案 B 解析 2sisniαnα＋－2ccoossαα＝2ttaannαα＋－21＝42－ ＋12＝34.
高考数学同角三角函数的基本关系式与诱导公式
探究点一 同角三角函数的基本关系及应用
[思路点拨]根据同角三角函数的关系式即可求解,需注意x为第几象限角; [解析] 因为x∈,所以sin x=-=-,所以tan x==-.故选B.
B
(2)[2022·福建莆田一中月考] 已知α是三角形的内角,且tan α=-,则sin α+cos α的值为 .
例5 (1)[2021·山东菏泽模拟] 已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0, tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )A. B. C. D.
课堂考点探究
探究点三 诱导公式与同角关系的综合应用
[思路点拨]将已知条件利用诱导公式化简,再建立方程求出tan α,然后运用同角三角函数关系求出sin α;[解析] 由已知得消去sin β,得tan α=3,∴sin α=3cos α,代入sin2α+cos2α=1,化简得sin2α=,又α为锐角,则sin α=.
-
[总结反思](1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系=tan α和平方关系1=sin2α+cos2α.(2)注意根据角的终边所在的象限选取正确的符号.
课堂考点探究
角度2 切弦互化例2 (1)已知sin αcos α=,则tan α+=( )A.2 B. C.-2 D.-
6. 已知A=+(k∈Z),则A= . 7.已知α为第二象限角,则= .
课前基础巩固
[解析]当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A=-=-2.
[解析] ===-1.
角度1 公式的灵活运用例1 (1)已知x∈,cos x=,则tan x的值为 ( ) A. B.- C. D.-
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教版
为( B )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
5．(2021·唐山模拟)已知sin52π＋α＝35，那么tan α的值为( C )
A．－43
B．－34
C．±43
D．±34
6．(2021·苏州模拟)化简：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosα α＝________. 解析：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosαα＝sin1＋α＋cossinααtcaonsαα＝cos α.
3 4
π，B＝56π，不符合题意，舍去．
综上，C＝172π.
[答案]
7 12π
三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的发掘以及三角形内 角和定理的应用.
(二)创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题
[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上
有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝23，则|a－b|＝( B )
1 A.5
B．
5 5
25 C. 5
D．1
本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重 考查了逻辑推理与数学运算核心素养．
[题组突破]
1．已知曲线f(x)＝32x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则
2sinsiαn2cαo－s αc＋osc2αos2α＝( C )
1 A.2
B．2
函数名不变 符号看象限
函数名改变，符 号看象限
1．若sin6π－α＝13，则cos3π＋α＝( C )
A．－79
B．－13
1 C.3
D．79
2．化简scions25απ－＋π2α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1．(2)cos α2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k ·2π(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．和积互化变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.2．弦切互化变形：sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1，cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1，sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．()(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.()答案(1)×(2)×(3)×2．小题热身(1)已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝()A ．－35B ．35C ．－45D ．45答案A解析因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，故cos(π＋α)＝－cos α＝－35.故选A.(2)(人教B 必修第三册7.2.3练习B T2改编)已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝()A ．54B ．－54C ．53D ．－53答案A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.故选A.(3)下列三角函数的值中(k ∈Z )，与sin π3的值相同的个数是()①πk πk πcos (2k ＋1)π－π6；⑤sin (2k ＋1)π－π3.A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于①，πsin (k ＋1)π＋π3，当k 为奇数时，sin (k ＋1)π＋π3＝sin π3；当k为偶数时，sin (k ＋1)π＋π3＝－sin π3，不满足题意．对于②，k πcos π6＝sin π3满足题意．对于③，k πsin π3，满足题意．对于④，cos (2k ＋1)π－π6＝cosπ6＝－sin π3，不满足题意．对于⑤，sin (2k ＋1)π－π3＝sin π3，满足题意．故选C.(4)(人教A 必修第一册习题5.3T5改编)－α)的结果为________．答案sin α解析原式＝sin αcos α·cos α＝sin α.考点探究——提素养考点一同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)考向1“知一求二”问题例1已知角α的终边在第三象限，且tan α＝2，则sin α－cos α＝()A ．－1B ．1C ．－55D ．55答案C解析由角α的终边在第三象限，则sin α<0，cos α<0，2，cos 2α＝1，解得cos α＝－55，sin α＝－255，所以sin α－cos α＝－255＋55＝－55.故选C.【通性通法】利用同角基本关系式“知一求二”的方法注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．【巩固迁移】1．(2024·广东梅州模拟)已知cos α＝13，且α为第四象限角，则tan α＝()A ．－22B ．±22C ．±23D ．23答案A解析∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.故选A.考向2“弦切互化”问题例2已知tan θ＝2，则1sin 2θ－cos 2θ的值为()A ．34B ．23C ．53D ．2答案C解析由题意，得1sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θsin 2θ－cos 2θ＝tan 2θ＋1tan 2θ－1＝22＋122－1＝53.故选C.【通性通法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．【巩固迁移】2．(2023·苏州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋sin αcos α＝()A ．35B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.考向3sin α±cos α，sin αcos α之间关系的应用例3(2023·广东潮州模拟)已知π2<x <π，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．答案75解析由(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ＝125，得2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，因为π2<x <π，所以sin x >cos x ，故sin x －cos x ＝75.【通性通法】“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．【巩固迁移】3．(2023·山东聊城模拟)已知α－π2，sin α＋cos α＝55，则tan α的值为________．答案－12解析∵sin α＋cos α＝55，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝15，∴sin αcos α＝－25，∴sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝95＝(sin α－cos α)2，又sin αcos α<0，α－π2，α－π2，sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝355，∴sin α＝－55，cos α＝255，∴tan α＝－12.考点二诱导公式的应用例4()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案B解析原式＝－tan αcos α(－cos α)cos(π＋α)[－sin(π＋α)]＝tan αcos 2α－cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.故选B.(2)已知＝23，其中α________．答案－23解析－2π3＋＝－23.【通性通法】1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；(2)互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【巩固迁移】4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f (α)________．答案12解析因为f (α)＝－sin αcos αcos α－cos αsin α＝cos α，所以cos π3＝12.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用例5(1)已知＝13，且α则cos ()A ．13B ．－13C ．223D ．－223答案C解析由sin π＝13，而α，∴5π6－α－π6，＝223.故选C.(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝12，则tan θ＝________．答案－3解析因为sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以tan θ＋1tan θ－1＝12，解得tan θ＝－3.【通性通法】利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【巩固迁移】5．已知cos167°＝m ，则tan193°＝()A ．1－m2B ．1－m 2m C ．－1－m 2m D ．－m 1－m 2答案C解析tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－sin167°cos167°＝－sin167°m，因为cos167°＝m ，所以sin167°＝1－m 2，所以tan193°＝－1－m 2m.故选C.6．已知cos α＝－513，且α________．答案1312解析∵cos α＝－513，α∴sin α＝1－cos 2α＝1213，∴coscos(α＋＝cos α－cos α(－sin α)＝1sin α＝1312.课时作业一、单项选择题1．(2023·广西桂林模拟)sin9330°的值为()A ．22B ．－12C ．12D ．－22答案B解析sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－12.故选B.2．(2023·吉林长春质检)已知＝13，θ∈(0，π)，则tan θ＝()A ．22B ．24C ．－22D ．－24答案C解析依题意，得cos θ＝13，则cos θ＝－13.由于θ∈(0，π)，所以sin θ＝1－cos 2θ＝223，所以tan θ＝sin θcos θ＝－2 2.故选C.3．已知＝13，则cos ()A ．223B ．－223C ．13D ．－13答案D解析∵π4＋α＝π2，∴cos π2＋＝－13.故选D.4．(2023·江西南昌模拟)已知sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝()A ．－31010B ．－1010C ．31010D ．1010答案A解析∵sin(θ＋π)＝0，∴3cos θ－sin θ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－31010.故选A.5．若tan θ＝－2，则cos 2θ－sin 2θ＝()A ．－45B ．35C ．－35D ．45答案C解析解法一：由题意知tan θ＝－2，θ＝sin θcos θ＝－2，2θ＋cos 2θ＝1，解得cos 2θ＝15，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－(1－cos 2θ)＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.故选C.解法二：已知tan θ＝－2，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.故选C.6．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34答案B解析由题意，得sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3，所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.故选B.7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为()A ．3－π2B ．π2－3C ．π－3D ．3π2－3答案A解析tan α＝－2cos32sin3＝－又0<3－π2<π2，α为锐角，所以α＝3－π2.故选A.8．已知sin α＋cos α＝15，则tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝()A ．－17524B ．17524C ．－2524D ．2524答案C解析由题意知sin α＋cos α＝15，有2sin αcos α＝－2425，所以tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝tan α＋12sin α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αcos α·12sin α(sin α＋cos α)＝12sin αcos α＝－2524.故选C.二、多项选择题9．已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ－π3，θ的值可能是()A ．－π6B ．－π3C ．π3D ．5π6答案AD解析∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵θ－π3，θ＝－π6或θ＝5π6.故选AD.10．在△ABC 中，下列结论正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sinB ＋C 2＝cosA2C ．tan(A ＋B )＝－tanD ．cos(A ＋B )＝cos C 答案ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确；sinB ＋C2＝cos A2，B 正确；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C 正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．故选ABC.11．给出下列四个结论，其中正确的是()A ．sin(π＋|α|)＝－sin α成立的条件是角α是锐角B ．若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13C ．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝－1tan αD ．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1答案CD解析由诱导公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|sin α，α≥0，α，α<0，所以A 错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以B 错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝cos α－sin α＝－1tan α，所以C 正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1，故sin n α＋cos n α＝1，所以D 正确．故选CD.三、填空题12．已知＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________．答案－3解析∵＝32，∴－sin φ＝32，∴sin φ＝－32，∵|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝sin φcos φ＝－ 3.13．(2023·河南平顶山联考)已知tan θ＝2，则1＋sin θcos θ的值为________．答案75解析∵tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1＝22＋2＋122＋1＝75.14．(2023·全国乙卷)若θtan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________．答案－55解析因为θ则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.15．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a ，则()A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案D解析根据“数字黑洞”的定义，任取数字串2024，经过第一步之后变为404，经过第二步之后变为303，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a ＝123，所以cos π6＝－32.故选D.16．(多选)已知角α满足sin αcos α≠0，则表达式sin(α＋k π)sin α＋cos(α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值为()A ．－2B ．－1C ．2D ．1答案AC解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC.17．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－14，则下列角β中，可能与角α广义互余的是()A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案AC解析若α与β广义互余，则α＋β＝π2＋2k π(k ∈Z )，即β＝π2＋2k π－α(k ∈Z )．又由sin(π＋α)＝－14，可得sin α＝14若α与β广义互余，则sin β＝2k π－cos α＝±1－sin 2α＝±154(k ∈Z )，故A 正确；若α与β广义互余，则cosβ＝2k π－sin α＝14(k ∈Z )，而由cos(π＋β)＝14，可得cos β＝－14，故B 错误；由A ，B 可知sin β＝±154，cos β＝14，所以tan β＝sin βcos β＝±15，故C 正确，D 错误．故选AC.18．已知f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α，α为第二象限角．(1)若f (α)＝3，求43sin 2α＋cos 2α的值；(2)若cos 2αf (α)＝12，求cos(2023π＋α)＋cos 解(1)因为α为第二象限角，所以|cos α|＝－cos α，f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|＝－2tan α.若f (α)＝3，则－2tan α＝3，所以tan α＝－32，所以43sin 2α＋cos 2α＝43sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝43tan 2α＋1tan 2α＋1＝43×＋1＋1＝1613.(2)cos 2αf (α)＝cos 2α×(－2tan α)＝－cos 2α×2sin αcos α＝－2sin αcos α.因为cos 2αf (α)＝12，则－2sin αcos α＝12，所以sin αcos α＝－14.又α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0.所以cos(2023π＋α)＋cos(π＋α)＋cosα＋sinα＝(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2×14＝6 2 .。
2023年高考数学(文科)一轮复习——同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13.2.求值：cos 2 023π6＝________. 答案 －32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫337π＋π6＝－cos π6＝－32.3.若cos α＝33，则tan α＝________. 答案 ±2解析 因为cos α＝33， 所以sin α＝±1－cos 2 α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝±63 .故tan α＝sin αcos α＝±2.4.(易错题)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.答案 －23解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.5.(2022·昆明诊断)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝15，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 答案 15解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝15. 6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝________. 答案 －113解析 由2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，得2sin α＝3cos α.所以tan α＝32，从而sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝ sin 2α－sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－1tan 2α＋1＝－113.考点一 诱导公式的应用1.化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝________.答案 －1sin α解析原式＝cos α（－cos α）tan2αsin α（－sin α）（－sin α）＝－1sin α.2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________.答案1 3解析由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.∵sin α＝1 3，∴sin β＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝1 3.3.(2022·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________.答案－3 3解析sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33.感悟提升 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.考点二同角三角函数基本关系及其应用角度1切弦互化例1 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于()A.1517B.－1517C.817 D.－817(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝( )A.－65B.－25C.25D.65答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815， 所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289， 又α是第四象限角，所以sin α＝－817. (2)因为tan θ＝－2，所以sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2 θ＋sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ＝tan 2 θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25. 角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化例2 若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( )A.－23B.23C.－43D.43 答案 A解析 由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A.感悟提升 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.训练1 (1)(2022·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α等于( ) A.34B.－34C.43D.－43(2)(2022·成都联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( ) A.－32B.－52C.52D.±32(3)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________. 答案 (1)D (2)B (3)43或34解析 (1)因为cos α＝－35且α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.(2)∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18， ∴A 为钝角，∴cos A －sin A ＜0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝－52.(3)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925， ∴sin αcos α＝1225， ∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34. 考点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53 B.23 C.13 D.59(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________.答案 (1)A (2)0解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去). 又因为α∈(0，π)， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53.故选A. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.训练2 (1)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________； (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.答案 (1)－43 (2)－33解析 (1)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2 θ， 得6sin θcos θ＝－8cos 2 θ， 又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0， 所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.1.sin 1 050°等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32答案 B解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°) ＝－sin 30°＝－12.2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2 α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A.3 B.－3C.1D.－1答案 B解析 由角α的终边在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( ) A.－513 B.513C.－125D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213， 所以cos α＝1－sin 2 α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125. 4.已知sin α－cos α＝54，则sin 2α＝( ) A.－916 B.－716 C.716 D.916答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝－916.5.已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.6.若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为 ( )A.103B.53C.23D.－2 答案 A解析 由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13，则1cos 2 α＋2sin αcos α＝sin 2 α＋cos 2 αcos 2 α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103. 7.若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A.sin θ－cos θB.cos θ－sin θC.±(sin θ－cos θ)D.sin θ＋cos θ答案 A 解析 1－2sin （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|， 又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.8.(2022·太原调研)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α等于( ) A.－53 B.－35 C.35 D.53 答案 A解析 由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53. 9.(2022·合肥模拟)已知tan(π－α)＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＝________.答案 13解析 由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，则sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－2＋1－2－1＝13.10.已知k ∈Z ，则sin （k π－α）cos [（k －1）π－α]sin [（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）的值为________. 答案 －1解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos [（2n －1）π－α]sin [（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）cos （－π－α）sin （π＋α）cos α＝－sin α（－cos α）－sin α cos α＝－1. 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin [（2n ＋1）π－α]cos [（2n ＋1－1）π－α]sin [（2n ＋1＋1）π＋α]cos [（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）cos αsin αcos （π＋α）＝sin αcos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1.11.已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案 －74 34解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________. 答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.13.已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A.－32 B.32 C.－12 D.12答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角为k π＋π4(k ∈Z )，因为角α和β的终边关于直线y＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z ).又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋5π6＝12. 14.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角).15.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 023)的值为________.答案 －3解析 因为f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，所以f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，所以f (2 023)＝a sin(2 023π＋α)＋b cos(2 023π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a cos α－b cos β＝－3.16.已知2θ是第一象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z .所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z .所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。
同角三角函数的基本关系式与诱导公式-高考数学复习课件
2
sin2
1
cos2
α＝ · 2
＋ · 2
2
3 sin ＋cos
4 sin ＋cos2
2 tan2
1
1
2
22
1
1
7
＝ · 2
＋ · 2
＝ × 2 ＋ × 2 ＝ .
3 tan +1
4 tan +1
3
2 +1
4
2 +1
12
考点三
例3
(
sin α± cos α， sin α cos α之间的关系问题
[知识梳理]
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1 .
sin
π
(α≠ ＋ k π， k ∈Z)
2
2. 商数关系：tan α＝ cos
.
知识点二 诱导公式
公式
一
余弦
正切
三
四
π＋α
－α
π－α
－ sin α
－ sin α
sin α
2 k π＋α
角
1
θ＝ ，
25
∴ sin θ－ cos θ＝ 1 − 2sincos ＝ 1 −
∴ sin
4
θ＝ ，
5
∴tan
4
θ＝－ ，∴A，B，D正确.
3
cos
3
θ＝－ ，
5
24
−
25
＝
49
7
＝ ，
25
5
方法总结
对于 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α这三个式子，知一可
2024年新高考版数学专题1_5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
综合篇
考法一 三角函数定义的应用 1.已知角α终边上一点P的坐标,求三角函数值:先求出点P到原点的距离r, 然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需对参数进行讨论. 2.已知角α的终边所在直线的方程(角α的终边为射线,此处给的是直线方 程),求三角函数值:一般地,由于不确定终边所在象限,故在终边上任取一 个异于原点的点时应分两种情况,然后利用三角函数的定义求解;若直线 的倾斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值.
r
r
x
2)三角函数值在各象限内的符号
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:tan
α=
sin α cos α
α
2
k
,
k
Z
.
三、三角函数的诱导公式
公式
角
正弦
Hale Waihona Puke 一2kπ+α
sin α
(k∈Z)
二
π+α
-sin α
三
-α
-sin α
四
π-α
sin α
五
-α
cos α
2
六
2 +α
cos α
七
3
2 π+α
-cos α
八
3
2 π-α
-cos α
余弦 cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α sin α -sin α
正切 tan α
tan α -tan α -tan α
口诀 函数名不变,符 号看象限
高考 数学
2024版新教材高考数学总复习：第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】
sinα
2
2
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin α＋cos α＝1，
＝tanα.
cos α
π
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式( ±α，π±α的正
2
弦、余弦、正切)．
必备知识·夯实双基
知识梳理
sin α+cos α
解析：
＝
sin α−cos α
sin α
+1
cos α
sin α
−1
cos α
sin α+cos α
3
α＝2，则
的值为________．
sin α−cos α
tan α+1 2+1
＝
＝ ＝3.
tan α−1 2−1
sin kπ+α
4．(易错)已知A＝
sin α
+
{2，－2}
是________．
＝
所以f(－1 860°)＝cos (－1 860°)＝cos 1 860°
1
＝cos (5×360°＋60°)＝cos 60°＝ .
2
＝cos α，
题后师说
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
2．常见的互余和互补的角
互余的角
互补的角
巩固训练1
4π
5
7π
(1)若cos (α＋ )＝－ ，则sin ( －α)＝(
3
5
sin π−α cos 2π−α tan −α+2π
(2)已知f(α)＝
第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式(解析版)
第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式【基础知识回顾】1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z )．2．诱导公式3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．4、三角形中的三角函数关系式 sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ； cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ； tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ； sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.1、α是第三象限角，且sin -2α=，则tan α=（ ）A ．BC ．-3D ．3【答案】B【解析】因为α是第三象限角，且sin -2α=，所以1cos 2α=-，所以sin tan cos ααα==B 。
2、已知()()sin 22sin 3cos 5πααα-=+-，则tan α（ ） A ．6- B ．6C ．23-D ．23【答案】B 【解析】化简()()sin sin 22sin 3cos 2sin 3cos 235tan tan παααααααα-===+-++所以t 6an α=，故选B 。
3、若cos 165°＝a ，则tan 195°等于( ) A.1－a 2B.1－a 2aC ．－1－a 2aD ．－a1－a 2【答案】 C【解析】 若cos 165°＝a ， 则cos 15°＝cos(180°－165°) ＝－cos 165°＝－a ， sin 15°＝1－a 2，所以tan 195°＝tan(180°＋15°) ＝tan 15°＝sin 15°cos 15°＝－1－a 2a.4、若cos ⎝⎛⎭⎫α－π5＝513，则sin ⎝⎛⎭⎫7π10－α等于( ) A ．－513B ．－1213C.1213D.513【答案】 D【解析】 因为7π10－α＋⎝⎛⎭⎫α－π5＝π2， 所以7π10－α＝π2－⎝⎛⎭⎫α－π5， 所以sin ⎝⎛⎭⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π5＝513.5、在△ABC 中，下列结论不正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sin B ＋C 2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2 D ．cos(A ＋B )＝cos C 【答案】 D【解析】在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π， 则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确． sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，B 正确． tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2，C 正确． cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6、化简：tan(π－α)cos(2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos(－α－π)sin(－π－α)的值为（ ）A.2-B. 1-C. 1D. 2【答案】：B【解析】：原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos(π＋α)·[－sin(π＋α)]＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1考向一 三角函数的诱导公式例1、已知α是第三象限角，且f (α)＝sin(π－α) ·cos(2π－α) ·tan(α＋π)tan(－α－π) ·sin(－α－π)．(1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．【解析】：f (α)＝sin α·cos α·tan α(－tan α)·sin α＝－cos α．(1) ∵ cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sinα＝15，∴ sinα＝－15． ∵ α是第三象限的角， ∴ cosα＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265．∴f (α)＝－cosα＝256．(2) f (α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－12．变式1、（1）化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α【答案】 C 【解析】 原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α. .（2）设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. 【答案】3【解析】 因为f (α)＝ （－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 变式2、 已知sin (3π＋θ)＝13，则cos ()π＋θcos θ[cos （π－θ）－1]＋cos ()θ－2πsin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ()θ－π－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝__ __．【答案】18【解析】 ∵sin (3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ()－cos θ－1＋cos ()2π－θ－sin⎝⎛⎭⎫3π2－θcos()π－θ＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．考向二 同角函数关系式的运用例2 (1)若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为_ __．(2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为__ __．【答案】（1）－105.（2）32.【解析】 (1)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0，∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.(2)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.变式1、若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝ ___．【答案】103.【解析】 (1)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13，1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝⎛⎭⎫1321－23＝103.变式2、已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．【答案】 －105【解析】 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．所求式是关于sin α，cos α的齐次式时，分子分母同除以cos α，可化成tan α的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3、已知cos(75°+α)=13，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值． 【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0， 所以sin(75°+α)= 因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=-， 所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=变式1、已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .【答案】 0【解析】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°， (15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α) ＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)] ＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.变式2、已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 【答案】 0【解析】∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ， 13sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.1、若 ，则 (A)(B) (C) 1 (D) 【答案】A【解析】由，得或，所以 ，故选A ．2、(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ等于( )A ．－65B ．－25 C.25 D.65【答案】 C【解析】 方法一 因为tan θ＝－2， 所以角θ的终边在第二或第四象限，所以⎩⎨⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎨⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25. 方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=6425482516253tan 4α=34sin ,cos 55αα==34sin ,cos 55αα=-=-2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.3、已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13【答案】 C【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1， 化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)．4、已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝ .【答案】 －24175【解析】 由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0，∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.5、已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，给出下列结论：①π2<α<π； ②sin αcos α＝－1225；③cos α＝35；④cos α－sin α＝－75.其中所有正确结论的序号是( ) A ．①②④ B ．②③④ C ．①②③ D ．①③④【答案】 A【解析】 ∵sin α＋cos α＝15，等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125，解得sin αcos α＝－1225，故②正确；∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α<0，故①正确，③错误； cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α ＝1－2×⎝⎛⎭⎫－1225＝4925， 解得cos α－sin α＝－75，故④正确．6、设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2(2π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－32＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，则f ⎝⎛⎭⎫17π3＝ . 【答案】－512【解析】∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2， 又cos 17π3＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π3 ＝cos π3＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512. 7、(1)(2022·郑州模拟)已知sin θ＝45，求sin (π－θ)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ的值．【解析】∵sin θ＝45，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925，则sin (π－θ)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ(－sin θ)(－cos θ)cos θ＝sin 2θcos 2θ＝169. (2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．【解析】∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)， ∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0， 把sin x ＋cos x ＝－713，两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169，即2sin x cos x ＝－120169，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169，即sin x －cos x ＝1713，联立⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213， ∴cos x －2sin x ＝－2213.。
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《同角三角函数基本关系》链接高考
三年模拟练
1.(★☆☆)已知4sin 5
α=并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A.4
3- B.3
4- C.3
4 D.4
3
2.(2018安徽六安一中高一下期中检测，
★★★，数学运算)已知2tan sin 3,0,2π
ααα⋅=-<<则sin α等于（ ）
A.2
B.2-
C.1
2 D.1
2-
3.(★★☆)若1tan ,2α=则sin 3cos sin cos αα
αα-=+___.
4.(★★☆)已知1
tan ,3α=-计算： ⑴sin 2cos ;5cos sin αα
αα+-
⑵21.2sin cos cos ααα
+ 5.(2017山东师大附中高一期末，★★★，逻辑推理)已知sin α()1cos 05
ααπ+=<<.求： (1)11sin cos αα
+的值; (2)tan α的值.
五年高考练
考点1 同角三角函数基本关系式的运用
1.(2018课标全国I 文，11改编，5分，★★☆，逻辑推理)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()()1,,2,,A a B b 且
cos ,6
α=则||a b -=（ ） A.15
D.1
2.(2016课标全国III ，5改编，5分，★★☆，数学运算)若3tan ,4
α=则2cos 4sin cos ααα+=（ ） A.6425
B.
4825 C.1
D.1625
3.(2017课标全国I ，15改编，5分，★★☆，数学运算)已知0,,tan 2,2παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭则cos cos sin sin 44π
π
αα+=___.
4.(2015四川，13，5分，★★☆，逻辑推理)已知sin 2cos 0,αα+=则22sin cos cos ααα-的值是___.
参考答案
三年模拟练
1.
答案：A 解析：2249sin ,cos 1sin ,525ααα=∴=-=又α是第二象限角，3cos ,5
α∴=- 则sin 4tan .cos 3ααα=
=-故选A. 2.
答案：B
解析：由2tan sin 3αα⋅=得22sin 3,cos αα=即22cos 3cos 20,αα+-=解得1cos 2
α=或()cos 2.α=
-舍
又0,
2πα-<<因此sin α==故选B. 3.
答案：见解析
解析：因为1tan ,2α=所以13sin 3cos tan 352.1sin cos tan 13
12
αααααα---===-+++ 4.
答案：见解析
解析：⑴因为1tan ,3α=-所以sin 2cos tan 25.5cos sin 5tan 16
αααααα++==-- ⑵因为1tan ,3
α=-所以22221sin cos 2sin cos cos 2sin cos cos αααααααα+==++ 2tan 110.2tan 13
αα+=+ 5．
答案：见解析
解析：⑴因为1sin cos ,5αα+=①所以221sin 2sin cos cos ,25
αααα++=
1242sin cos 1,2525αα∴=-=-所以12sin cos ,25αα=- 因此11sin cos 5.sin cos sin cos 12
αααααα++==- ⑵1242sin cos 10,2525
αα=-=-<且0,sin 0,cos 0,απαα<<∴>< 所以sin cos 0.αα->由()22249sin cos sin 2sin cos cos ,25
αααααα-=-+= 得7sin cos ,5αα-=②解①②得43sin ,cos ,55αα==-因此sin 4tan .cos 3
ααα==- 五年高考练
1.
答案：B
解析：依题意得：tan ,1a a α==且tan ,2
b α=因此|||tan |.a b α-= 由30cos α=得251sin 1,66
α=-=因此5|tan |,α=所以5||,a b -=故选B.
2.
答案：A
解析：当3tan 4
α=时，2222cos 4sin cos cos 4sin cos sin cos αααααααα++==+
23
1414tan 644,9tan 125116
αα+⨯
+==++故选A. 3.
答案：见解析 解析：因为0,,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
所以sin 0,cos 0,αα>>又sin tan 2,cos ααα== 所以sin 2cos ,αα=又22sin cos 1,αα+=
所以sin αα==
则cos cos sin sin 44π
π
αα+== 4.
答案：见解析
解析：由sin 2cos 0αα+=得2tan 2.2sin cos cos αααα=--= ()()222222212sin cos cos 2tan 15 1.sin cos tan 1521ααααααα⨯-----====-++-+。