同步人教A高中数学必修二培优课件：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

2-1.2空间中直线与直线之间的位置关系

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一、预习教材・问题导入

根据以下提纲，预习教材P44〜P47，回答下列问题. (1)在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？

提示：平行或相交.

(2)若把立交桥抽象成直线，它们是否在同一平面内？有何特

征？

提示：不在同一平面.既不相交也不平行.

(3)观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧

所在直线，是否也具有类似特征? 提示：是・

二、归纳总结・核心必记

1.空间直线的位置关系

(1)异面直线：不同在

任何一个

平面内的两条直线.

(2)异面直线的画法(衬托平面法)

如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.

①②③

(3)空间两条直线的三种位置关系

3.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a9 by经过空间任意一点O

作直线/ //a, b f //b,则异面直线。与方所成的角(或夹

角)就是直线/与，所成的锐角(或直角).

(2)范围：0。V〃W90。•特别地,当0=90。时,。与方互相

垂直，记作。丄方

三、综合迁移・深化思维

(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?

提示：不一定.可能平行、相交或异面.

(2)两条垂直的直线必相交吗?

提示：不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直.

(3)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行

吗？

提示：不一定.这两条直线可能平行、相交或异面.

探究点一空间两条直线的位置关系

［思考探究］观察下图中电线杆所在直线、电线所在直线的位置关系.

(1)怎样理解异面直线?

名师指津：对异面直线的理解：

①异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.

②注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面, 使其同时经过0、b两条直线.

同时经过这两条棱所在的直线，故4B 与BiG

是异面直线.

例如，如图所示的长方体中，棱4B 和B1C1

Cl 所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面

\D

(2)怎样认识异面直线所成的角？名师指津：对异面直线所成角的

认识: ①任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的,

根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与心,b1所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关.，②转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算•

(3) 如何从公共点个数或是否共面的角度对空间两条直线 分类?

名师指津：①若从有无公共点的角度来看，可分为两类:

平行直线9 异面直线.

②若从是否共面的角度看，也可分为两类:

「不共面直线：异面直线.

［典例精析］ ⑴若空间中四条两两不同的直线S 〔2,厶， 有且仅有一个公共点 ------ 相交直线9

直线 无公共点

相交直线，

平行直线，

仏丄!3,厶丄则下列结论一定正确的是

A.Z］丄?4

B.h//l4

C.人与仃既不垂直也不平行

D.人与人的位置关系不确定

(2)如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正

方形的棱柱)ABCD-A1B i C1D1中,E, F分别是AB lf

A BCi的中点，则以下结论中不成立的是 ____________ •

①EF与垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面;

④EF与AiG异面.

［解析］⑴构造如图所示的正方体 ABCD-AiBiC^ 取人为AD t 仏为AA I ，b 为 A J B J ,当取Z4为〃iCi 时,h//l 4,当取仃为BB I 时，厶丄仃，故抖F 除A, B,

C,选D ・

(2)连接AiB, •:E 、F 分别是BCi 的中点,:・EF 是 AA/C I 的中位线，•••EF 〃旳Ci ，故①②③正确.④错误.

［答案］(1)D (2)©

Ai

I2

A B

D G

［类题通法］

1.判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.

2.判定两条直线是异面直线的方法

(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.

(2)重要结

论：连接平面内一点与平面外一点的U

直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号

语言可表示为A年心BWa, lUa,

B^l ^AB与Z是异面直线(如图).

［针对训练］

1.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是

()

B.异面 D •平行

解析：如图，有相交或异面两种情况.

答案：C

2.若a, b 9 c 是空间三条直线，a//b 9 a 与c 相交，贝!|方与

A.相交 C.异面或相交

k

L

的位置关系是

解析：在正方体B f C f D f中，设直线D C f为直线b,直线A，B'为直线a,满足allb,与a相交的直线c 可以是直线C,也可以是直线•显然直线C'与〃相交，BB f与方异面，故方与c的位置关系是异面或相交.

答案：异面或相交

探究点二公理4及等角定理

［思考探究］观察下图中的ZAOB与ZA Z O' B'・