差分方程方法

第三章 差分方程方法

3.1 差分方程的平衡点及其稳定性

设有未知序列{}n x ，称

0),,,;(1=++k n n n x x x n F

(3.1)

为k 阶差分方程。若有)(n x x n =，满足

0))(,),1(),(;(=++k n x n x n x n F

则称)(n x x n =是差分方程(3.1)的解，包含k 个任意常数的解称为(3.1)的通解，

110,,,-k x x x 为已知时，称其为(3.1)的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后

的解称为(3.1)的特解。

形如

)()()(11n f x n a x n a x n k k n k n =+++-++

(3.2)

的差分方程，称为k 阶线性差分方程。)(n a i 为已知系数，且0)(≠n a k 。

若差分方程(3.2)中的0)(=n f ，则称差分方程(3.2)为k 阶齐次线性差分方程，否则称为k 阶非齐次线性差分方程。

若有常数α是差分方程(3.1)的解，即0),,,;(=ααα n F ，则称α是差分方程(3.1)的平衡点，又对差分方程(3.1)的任意由初始条件确定的解)(n x x n =，都有

)(∞→→n x n α，则称这个平衡点α是稳定的。

若110,,,-k x x x 已知，则形如),,,;(11-+++=k n n n k n x x x n g x 的差分方程的解可以在计算机上实现。下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。

一阶常系数线性差分方程

b x x n n =++α1，

(3.3)

（其中b ,α为常数，且0,1-≠α）的通解为

)1()(++-=a b C x n n α

(3.4)

易知)1(+αb 是方程(3.3)的平衡点，由(3.4)式知，当且仅当1<α时，)1(+αb 是稳定的平衡点。

二阶常系数线性差分方程

r bx x x n n n =++++12α，

(3.5)

其中r b a ,,为常数，当0=r 时，它有一特解0*

=x ；当0≠r ，且01≠++b a 时，它有

一特解)1(*++=b a r x 。不管是哪种情形，*

x 是方程(3.5)的平衡点。设方程(3.5)的特征方程

02=++b a λλ

的两个根分别为1λλ=，2λλ=，则

①当1λ，2λ是两个不同实根时，方程(3.5)的通解为n n n C C x x )()(2211*λλ++=； ②当λλ=2,1是两个相同实根时，方程(3.5)的通解为n n n C C x x λ)(21*++=； ③当)sin (cos 2,1θθρλi +=

是一对共轭复根时，方程(3.5)的通解为

)sin cos (21*θθρn C n C x x n n ++=

易知，当且仅当特征方程的任一特征根

1

二阶方程的上述结果可以推广到k 阶线性方程，即k 阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根),,2,1(k i i =λ均满足：

1

下面讨论一阶非线性差分方程

)(1n n x f x =+

(3.6)

的平衡点的稳定性。其平衡点*

x 由代数方程)(x f x =解出，为分析平衡点*

x 的稳定性，将方程(3.6)的右端)(n x f 在*

x 点作泰勒展开，只取一次项，(3.6)近似为

)())((***'1x f x x x f x n n +-=+

(3.7)

(3.7)是(3.6)的近似线性方程，*

x 也是(3.7)的平衡点。关于线性方程平衡点稳定的条件上

面已给出，而当1)(*

'≠x f 时，方程(3.6)与(3.7)平衡点的稳定性相同。于是得到，当

1)(*'x f 时，对于方程(3.6)，

*x 是不稳定的。

3.2 市场经济中的蛛网模型

在自由贸易的集市上你注意过这样的现象吗？一个时期由于猪肉的上市量远大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其它农副业。过一段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨，原来的饲养户看到有利可图，又重操旧业。这样下一个时期会重视供大于求、价格下降的局面，在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此循环下去。

在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越低。而下一时段商品的数量由生产者的供应关系决定，商品价格越低生产的数量就越小。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人们群众的正常生活。

现在我们用差分方程建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。

记第n 时段商品数量为n x ，价格为n y ， ,2,1=n 。这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是一年，肉类则是1个饲养周期。

在n 时段商品的价格n y 取决于数量n x ，设

)(n n x f y =。它反映消费者对这种商品的需求关系，称

需求函数。因为商品的数量越多价格越低，所以在图3-1中用一条下降曲线f 表示它，f 为需求曲线。

在1+n 时段商品的数量1+n x 由上一时段价格n y 决定，用)(1n n y g x =+表示，它反映生产者的供应关系，称为供应函数。因为价格越高生产量才越大，所以在图3-1中供应曲线g 是一条上升曲线。

设图3-1中两条曲线f 和g 相交于),(000y x P 点，在0P 点附近取函数f 和g 的线性近似，即

需求函数)(f ：)(00x x y y n n --=-α，0>α (3.8)

供应函数)(g ：)(001y y x x n n -=-+β，0>β

(3.9)

由式(3.8)，(3.9)消去n y 得一阶线性差分方程

01)1(x x x n n αβαβ++-=+，.,2,1 =n

(3.10)

因此0x 是其平衡点，即0P 是平衡点，对n 递推不难得到

011])(1[)(x x x n n n αβαβ--+-=+，.,2,1 =n

图4-1 需求函数和供应函数