微分几何第二章 (2)

2.1 平面曲线-例子
例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率． 解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)， 参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有 x' = – asint, x'' = – acost, y' = bcost, y'' = – bsint. 代入曲率公式得 ab k (t ) . 3/ 2 a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t
2.1 平面曲线-曲率计算公式
定理. 设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t))，则其曲 率为 | x(t ) y(t ) x(t ) y(t ) | k (t ) . 3/ 2
x(t ) 2 y(t ) 2
如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则 曲线的参数表示为 r = (x, y(x))，其曲率为 | y | k ( x) . 3/ 2 1 ( y) 2 平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率 为零．
练习题 1．求曲线 x = t2, y = t3 的相对曲率． 2．求曲线 y = 2px2 的相对曲率．
2.1 平面曲线-在一点附近的结构
设曲线 C: r = r(s)．则 当 k (s) 不为 0 时，曲线近似于抛物线． 当 k (s) = 0，但 k ∙ (s) 不为 0 时，曲线近似 于一条近似立方抛物线．（看证明）
定理. 在一般参数下，相对曲率为 xy xy kr . 3/ 2 ( x) 2 ( y) 2 特别地，当用自然参数时，相对曲率为
kr = x ∙ y ∙ ∙ – y ∙ x ∙ ∙ ；
如果曲线由 y = y(x) 给出，则相对曲率为 y kr . 3/ 2 1 ( y) 2
2.1平面曲线
内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏 雷内公式等 重点：曲率与相对曲率的计算
2.1 平面曲线-伏雷内标架
设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数， 则其切向量 a (s) = r ∙ (s) 是一个单位 向量， 即 a (s) ∙ a (s) = 1． 两边求导数得 a (s) ⋅ a ∙ (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a ∙ (s)，这说明 a ∙ (s) 是 曲线的法向量． 令 b = a ∙ / | a ∙ |，则对于每一个 s， [r(s) ; a (s), b (s)] 构成平面曲线 C 上 的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的伏雷内标架．
练习题 1．求曲线 y = sinx 的曲率． 2．求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率．
2.1 平面曲线-标准伏雷内标架
前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架 [r(s) ; a (s), b (s)]．但伏雷内标架不一定是平 面正标架（即它们关于平面上的标准基的分 量的行列式不一定为正数）．但我们总可以 在曲线上选取一单位法向量 n(s)，使 [r(s) ; a (s), n(s)] 构成正标架，这个标架叫平面曲 线的标准伏雷内标架．
2.1 平面曲线- b 的指向
由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯 曲的那一侧．
a(s)
C
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α ( s s) α ( s ) β ( s) s
2.1 平面曲线-伏雷内公式
由 b 的定义有 a ∙ (s) = |a ∙(s)| b (s)． 令 k(s) = |a ∙ (s)|，则有 a ∙ (s) = k (s)b (s). 我们把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率． 定理. （伏雷内公式）我们有 a ∙ = kb , b ∙ = – ka . 以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．
n
a
b
a
2.1 平面曲线-相对曲率与伏雷内公式
因 a ∙ // n，所以可令 a ∙ (s) = kr (s) n(s)．我 们称 kr 为曲线的相对曲率． 注意：相对曲率可正可负． 定理. 我们有下述形式的伏雷内公式： a ∙ = krn , n ∙ = – kra .
2.1 平面曲线-相对曲率计算公式