微分几何第二章 (2)
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微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念ppt课件
所 决 定 的 平面面在上该叫点做 . 的 定义9 (法方向、法线) 曲 面 在 正 常 点切 处平 垂面 直
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
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12
从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
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19
例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
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从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
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例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
微分几何课后答案
r r r r r r r r r 量，且 r (t ) · n = 0 。两次求微商得 r ' · n = 0 ， r ' ' · n = 0 ，即向量 r ， r ' ， r ' ' r r r r 垂直于同一非零向量 n ，因而共面，即（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r r r r r r r r r r r 反之, 若（ r r ' r ' ' ）=0，则有 r × r ' = 0 或 r × r ' ≠ 0 。若 r × r ' = 0 ，由上题
}
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ，
解 r ' ={
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
y − a sin t a cos t − a sin t
r
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x − a cos t − a sin t − a cos t
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
29
微分几何主要习题解答
τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何2-2
第二章 曲面：局部理论
上一条弧长参数曲线， 假设 α ( s ) 为曲面 M 上一条弧长参数曲线，满足
α (0) = P, α ′(0) = V .
那么由之前的计算得到 ΙΙ P (V , V ) = κ N ⋅ n . 它给出了曲线 α 的曲率向量 κ N 在曲面 M 的单 位向量上的投影， 处的法曲 位向量上的投影，我们称它为α 在点P 处的法曲 率，记为 κ n 。
第二章 曲面：局部理论
定理（Euler公式 公式） 定理（Euler公式）令 e1 , e2 为曲面 M 在点 P 的 单位主方向， 单位主方向，分别对应主曲率 k1 和 k2 。假设 切向量 V = cos θ e1 + sin θ e2，其中 θ ∈ [0, 2π ) 。 则 ΙΙ(V , V ) = k cos 2 θ + k sin 2 θ .
α ( s) , α (0) = P, α ′(0) = V .
则它在点 P 的主法向量 N 为 ± n( P) ，曲率
±κ = κ N ⋅ n = T ′ ⋅ n = −T ⋅ (n α )′(0) = −V ⋅ DV n( P).
第二章 曲面：局部理论
对任意切向量 V ∈ TP M ， n 的方向导数 DV n( P) ∈ TP M 仍然是切向量。由此定义的映射 仍然是切向量。 命题
xu ⋅ n v . xv ⋅ n v
类似第一基本形式，我们得到曲面的第二基本形 类似第一基本形式，我们得到曲面的第二基本形 式的二次微分形式
l m du ΙΙ = (du, dv) = −dx ⋅ d n m n dv
第二章 曲面：局部理论
是单位正交标架， 如果 { xu , xv } 是单位正交标架，则矩阵 ΙΙ P 就是 但是一般情形下， 形状算子 S P 。但是一般情形下，S P 有矩阵表示
第四版微分几何第二章课后习题答案
证明 螺面的第一基本形式为
I=2
du
2 +2 dudv+(
2
u
+1)
dv
2
,
旋转曲面的第一
2
基本形式为 I= (1
t
2
) dt 2 t 2 d , 在旋转曲面上作一参数变换
t1
t=
2
u
1 , 则其第一基本形式为 :
=arctgu + v ,
2
2
u (1
1u )
du 2
2
2
u u1
(u 2
1)(
1 2 du
| r x || r y |
2
a x0 y0
22
22
1 a x0 1 a y0
6. 求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线的微分方程 . 解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为 δu: δv , 则有 Eduδ u + F(du δv + dv δu)+ G d v δ v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲线的 正交轨线的微分方程为 Eδ u + F δv = 0 . 同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为 Fδ u + G δv = 0 .
r
2 u
1， F
ru rv
0，
G
2
rv
2
u
b 2 ，∴
I=
2
du
2
(u
b 2 ) dv 2 ，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为 I = du 2 sinh 2 udv 2 的曲面上，求方程为 u=v 的曲线的 弧长。
微分几何习题(第二章)
(2) 求 C 的 Frenet 标架Y
证明Y (1) 由于 |a˜′(s)| = |$(s)| = 1. 故 s 是曲线 C˜ 的弧长参数Y
˜j(s)
=
da˜ ds
=
$(s),
˜j˙(s)
=
d˜j ds
=
d$ ds
=
−τ(s)N(s),
故有
κ˜(s) = τ(s),
N˜ (s)
=
˜j˙(s) κ˜ (s)
√
√
√
−
1+ 2
s
,
1− 2
s
,
2 2
,
Frenet 标架为 {a(s); j(s), N(s), $(s)}. 数据从上Y
√
τ(s)
=
⟨N′(s), $(s)⟩
=
√ 41
2 −
s2 .
习题 9 VTlO.iSzWY 设 T (X) = Xi + P 是 E3 的一个合同变换. det i = −1. a(t) 是 E3 的正则曲线Y 求 曲线 a˜ = i ◦ a 与曲线 a 的弧长参数、曲率、挠率之间的关系Y
s(t) = t |a′(θ)|dθ,
0
j
=
da ds
=
da dt
ds dt
=
a′(t) |a′(t)|
,
j˙
=
1 |a′(t)|
dj dt
=
1 |a′(t)|4
a′(t), a′(t) a′′(t) − a′(t), a′′(t) a′(t)
a′(t) ∧ a′′(t) ∧ a′(t)
=
a′(t) 4
上述倒数第二个等式用到了第一章习题 9 的结果-
微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式ppt课件
第二章
曲面论
.
1
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
.
2
02.05.2020
称为曲面的第二类基本 量.
注 第二基本形式的几何意 义：II2.但不是正定的 .
计算公式：
(1
)
用定义计算：
L r u n u ,M r u n v ,N r vn v
(2)n
ru rv
ru rv
ru rv EGF2
L (ruu,ru,rv) , M (ruv,ru,rv) ,N (rvv,ru,rv) .
的第二 . 基本形式
解：r r { { R R s cc s o in i , , R s o R c n so c s s i, o n 0 , s i R } c n s} os
E r 2R 2co 2 ,sFr r 0,Gr 2R2,
n r r
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
LrnRco2s,
Mrn 0,
Nrn R,
球面的第二基本形式为：
I I (R co 2d s2R2 d ).
.
9
例2 计算抛物 z面 a(x2 y2)的第一和第二基 .
解：pz2ax，qz2a， y
x
y
r x 2z 22a， s x 2 zy0 ， t y 2z 22a.
曲面论
.
1
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
.
2
02.05.2020
称为曲面的第二类基本 量.
注 第二基本形式的几何意 义：II2.但不是正定的 .
计算公式：
(1
)
用定义计算：
L r u n u ,M r u n v ,N r vn v
(2)n
ru rv
ru rv
ru rv EGF2
L (ruu,ru,rv) , M (ruv,ru,rv) ,N (rvv,ru,rv) .
的第二 . 基本形式
解：r r { { R R s cc s o in i , , R s o R c n so c s s i, o n 0 , s i R } c n s} os
E r 2R 2co 2 ,sFr r 0,Gr 2R2,
n r r
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
LrnRco2s,
Mrn 0,
Nrn R,
球面的第二基本形式为：
I I (R co 2d s2R2 d ).
.
9
例2 计算抛物 z面 a(x2 y2)的第一和第二基 .
解：pz2ax，qz2a， y
x
y
r x 2z 22a， s x 2 zy0 ， t y 2z 22a.
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式复习课
t1 2
等距
A(t0 )
u, v ) (C ) r P(
B ( t1 ) ( S ) : r r (u, v )
r [u(t ), v(t )]
s AB
t0 t1
du dv du dv E 2F G dt dt dt dt dt
2.曲面上曲线的弧长
du dv du dv s E 2F G dt t0 dt dt dt dt 3.曲面上两方向的夹角
t1
2
2
cos
Eduu F (duv dvu) Gdvv Edu2 2Fdudv Gdv 2 Eu 2 2Fuv Gv 2
作业
P81：
1, 3, 4, 5, 9, 10
2.6 保角变换
定义 曲面( S )与( S )之间的一个变换， 则称这个变换 如果使曲面上对应曲线 的交角相等， 为保角变换 (或保形变换或共形变换 ). 定理 两个曲面之间的变换是 保角变换 它们第一基本形式成比 例. 2 “ ” 若第一基本形式成比例 ， 证： 则 (u, v ) 0, I I .
又 x OP cosv 2 R tanu cosv y OP sinv 2 R tanu sinv
z
u
平面的参数表示为： . P ( x, y, z ) x 2 R tanu cosv y O y 2 R tan u sin v , 易计算出： . P ( x, y,0) v . P ( x , y,0) z0 x 球面的第一基本形式为 ： I ds2 4R2 (du2 sin2 u cos2 udv2 ), 平面的第一基本形式为 ： 2 4R 2 2 2 2 2 I ds ( du sin u cos udv ), 4 cos u 1 的一个保角变换. I I . 球极投影是球面到平面 4 cos u
等距
A(t0 )
u, v ) (C ) r P(
B ( t1 ) ( S ) : r r (u, v )
r [u(t ), v(t )]
s AB
t0 t1
du dv du dv E 2F G dt dt dt dt dt
2.曲面上曲线的弧长
du dv du dv s E 2F G dt t0 dt dt dt dt 3.曲面上两方向的夹角
t1
2
2
cos
Eduu F (duv dvu) Gdvv Edu2 2Fdudv Gdv 2 Eu 2 2Fuv Gv 2
作业
P81：
1, 3, 4, 5, 9, 10
2.6 保角变换
定义 曲面( S )与( S )之间的一个变换， 则称这个变换 如果使曲面上对应曲线 的交角相等， 为保角变换 (或保形变换或共形变换 ). 定理 两个曲面之间的变换是 保角变换 它们第一基本形式成比 例. 2 “ ” 若第一基本形式成比例 ， 证： 则 (u, v ) 0, I I .
又 x OP cosv 2 R tanu cosv y OP sinv 2 R tanu sinv
z
u
平面的参数表示为： . P ( x, y, z ) x 2 R tanu cosv y O y 2 R tan u sin v , 易计算出： . P ( x, y,0) v . P ( x , y,0) z0 x 球面的第一基本形式为 ： I ds2 4R2 (du2 sin2 u cos2 udv2 ), 平面的第一基本形式为 ： 2 4R 2 2 2 2 2 I ds ( du sin u cos udv ), 4 cos u 1 的一个保角变换. I I . 球极投影是球面到平面 4 cos u
微分几何答案解析(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何2-4
第二章 曲面：局部理论
定义： 定义：给定正则参数曲面 M ，向量函数
W :M →
（1） W ( P ) ∈ TP M ,
3
上一个（ 向量场， 称为 M 上一个（切）向量场，如果它满足
∀P ∈ M ;
（2）对于曲面任意的正则参数表示 x : U → M 函数 W o x : U →
3
都是连续可微的。 都是连续可微的。
第二章 曲面：局部理论
定义 曲面 M 上的可微切向量场 W 关于切向 量 V ∈ TP M 的协变导数为 协变导数为
∇V W = ( DV W )T = DV W − ( DV W ⋅ n) n .
给定 M 上曲线 α : I → M ，如果
∇α ′(t )W = 0, ∀t ∈ I ,
平行。 则称向量场 W 沿参数曲线 α 平行。
du dv cos θ = E , sin θ = G . ds ds
Darboux标架中 Darboux标架中
n× T = − sin θ e1 + cos θ e2 .
第二章 曲面：局部理论
曲率向量 dT dθ de1 de2 κN = = (− sin θ e1 + cos θ e2 ) + cos θ + sin θ , ds ds ds ds
第二章 曲面：局部理论
将单位球面Christoffel Christoffel记号的计算结果带入 解：将单位球面Christoffel记号的计算结果带入 方程(eq 1)中得到 (eq方程(eq-1)中得到 a′(t ) = sin u0 cos u0b(t )
b′(t ) = − cot u0 a (t ).
第二章 曲面：局部理论
微分几何曲面局部理论
那么对于 P 点附近的任意一个正则参数表示 x (u , v )
有
nu nv 0.
由连通性可以得出 n 是常向量，即曲面是平面。
■
第二章 曲面：局部理论
例1 M是半径为 ，a 中心在原点的的球面，则
在局部参数表示下Gauss映射为
n 1 x(u, v). a
它的形状算子满足
S P (x u ) n u 1 a x u, S P (x v ) n v 1 a x v .
也都是渐近线。
第二章 曲面：局部理论
事实上，如右图所示，在点 P
处的沿圆柱螺线单位切向量的
法截线在点 P 为拐点。因此，
圆柱螺线是圆柱螺面上的渐近 线。
具体计算为作业。
第二章 曲面：局部理论
假设 ( s为) 曲面 上M 一条弧长参数曲线，满足
(0)P , (0)V.
那么由之前的计算得到 P(V,V)Nn.
第二章 曲面：局部理论
定义 曲面 M在点 处P 的主曲率满足 则称为点 P 为曲面 的M 脐点。 特别的，k1 k2 称 0为平P 点。
k1 k2
如果 K ，0 且 不P是平点，则称 为抛P 物点； 如果 K ，0 则称 为P椭圆点； 如果 K ，0 则称 为P双曲点。
第二章 曲面：局部理论
曲面在任意点 P 的两个主方向是正交的，于是
我们可以选择了切平面 T p M的一个正交基底恰
好由主方向向量构成。
第二章 曲面：局部理论
定理（Euler公式）令 e 1 , e为2 曲面 在M 点 的单P 位
主方向，分别对应主曲率 和 k 。1 假设k 2 切向
量
Vco，s其e1中sine2。 [0,2)
微分几何第二章曲面论曲面的概念
VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在 点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴 几何量的重要代表，反映了曲面在一点处 的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。 法截面与曲面交于一条曲线，该曲线 称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指 曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面 上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单 位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类 型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集 合称为该点的法截线族。法截线族在 微分几何中具有重要的研究价值，与 曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可 展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改 变距离的情况下完全展开到一个平面上。也 就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度 量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。
微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式
2.4 曲面域的面积
D
v v ) P3 (u u, v v ) ru u
P1 (u u, v ) P ( u, v ) PP 1 r ( u u, v ) r ( u, v ) ( ru 1 )u ru u. ( u 0时) PP2 r (u, v v ) r (u, v ) (rv 2 )v rv v. (v 0时) PP 1 PP 2 d ru u rv v ru rv dudv
曲纹坐标方程有关，不 需要知道曲线的形状 .
2.2 曲面上两方向的交角
( S )在点P (u, v )处的两个切方向 定义 已给曲面 称相应的切向量 (d ) du : dv和( ) u : v， dr rudu rv dv和r ruu rvv 之间的夹角 为这两个切方向 (d )和( )之间的夹角 .(0 ) 计算公式 dr r dr r cos , dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) cos 2 dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) 2
则ds Edu 2Fdudv Gdv .
2 2 2
称为曲面的第一基本形 式. 记作I .
即
其中
I Edu 2Fdudv Gdv 2 2 E ru , F ru rv , G rv
2
2
称为曲面的第一类基本 量. 对于曲面S : z z( x, y )， 有r { x, y, z( x, y)} ， z z 于是rx {1,0, p}， ry {0,1, q}， 其中p ，q ， x y 2 2 2 2 E rx 1 p , F rx ry pq, G ry 1 q .
微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式
1 p q 1 p q 1 p q 例1 求球面r { R cos cos , R cos sin , R sin } 的第二基本形式. 解：r { R cos sin , R cos cos ,0} r { R sin cos , R sin sin , R cos } 2 2 2 2 E r R cos , F r r 0, G r R2 , r r n EG F 2 e1 e2 e3 1 2 R cos sin R cos cos 0 R cos R sin cos R sin sin R cos
(其中 为平面到曲面( S )上的点P的离差). QP n， 下面计算 . QP n (QP PP) n QP n PP n PP n 1 2 [r ( s s) r ( s)] n [r s ( r )(s ) ] n 2 1 1 2 2 1 ( n r n )(s ) n r ( s ) n rds2 (s 0时) 2 2 2
定理 (梅尼埃定理 ) 曲面曲线(C )在给定点P的 曲率中心C就是与曲线(C )
具有共同切线的法截线 (C 0 ) 上同一点P的曲率中心C 0 在
法截线
曲线(C )的密切平面上的投影.
即
kn k cos R Rn cos
S (C 0 ) R (C ) n C C 0 密切平面 法截面
(1 4a x )dx 8a xydxdy (1 4a y )dy . r 2s t 2 II dx dxdy dy 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2
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2.1 平面曲线- b 的指向
由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯 曲的那一侧．
a(s)
C
பைடு நூலகம்
α ( s s) α ( s ) β ( s) s
2.1 平面曲线-伏雷内公式
由 b 的定义有 a ∙ (s) = |a ∙(s)| b (s)． 令 k(s) = |a ∙ (s)|，则有 a ∙ (s) = k (s)b (s). 我们把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率． 定理. （伏雷内公式）我们有 a ∙ = kb , b ∙ = – ka . 以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．
2.1 平面曲线-曲率计算公式
定理. 设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t))，则其曲 率为 | x(t ) y(t ) x(t ) y(t ) | k (t ) . 3/ 2
x(t ) 2 y(t ) 2
如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则 曲线的参数表示为 r = (x, y(x))，其曲率为 | y | k ( x) . 3/ 2 1 ( y) 2 平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率 为零．
练习题 1．求曲线 y = sinx 的曲率． 2．求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率．
2.1 平面曲线-标准伏雷内标架
前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架 [r(s) ; a (s), b (s)]．但伏雷内标架不一定是平 面正标架（即它们关于平面上的标准基的分 量的行列式不一定为正数）．但我们总可以 在曲线上选取一单位法向量 n(s)，使 [r(s) ; a (s), n(s)] 构成正标架，这个标架叫平面曲 线的标准伏雷内标架．
练习题 1．求曲线 x = t2, y = t3 的相对曲率． 2．求曲线 y = 2px2 的相对曲率．
2.1 平面曲线-在一点附近的结构
设曲线 C: r = r(s)．则 当 k (s) 不为 0 时，曲线近似于抛物线． 当 k (s) = 0，但 k ∙ (s) 不为 0 时，曲线近似 于一条近似立方抛物线．（看证明）
n
a
b
a
2.1 平面曲线-相对曲率与伏雷内公式
因 a ∙ // n，所以可令 a ∙ (s) = kr (s) n(s)．我 们称 kr 为曲线的相对曲率． 注意：相对曲率可正可负． 定理. 我们有下述形式的伏雷内公式： a ∙ = krn , n ∙ = – kra .
2.1 平面曲线-相对曲率计算公式
2.1平面曲线
内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏 雷内公式等 重点：曲率与相对曲率的计算
2.1 平面曲线-伏雷内标架
设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数， 则其切向量 a (s) = r ∙ (s) 是一个单位 向量， 即 a (s) ∙ a (s) = 1． 两边求导数得 a (s) ⋅ a ∙ (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a ∙ (s)，这说明 a ∙ (s) 是 曲线的法向量． 令 b = a ∙ / | a ∙ |，则对于每一个 s， [r(s) ; a (s), b (s)] 构成平面曲线 C 上 的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的伏雷内标架．
2.1 平面曲线-例子
例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率． 解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)， 参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有 x' = – asint, x'' = – acost, y' = bcost, y'' = – bsint. 代入曲率公式得 ab k (t ) . 3/ 2 a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t
定理. 在一般参数下，相对曲率为 xy xy kr . 3/ 2 ( x) 2 ( y) 2 特别地，当用自然参数时，相对曲率为
kr = x ∙ y ∙ ∙ – y ∙ x ∙ ∙ ；
如果曲线由 y = y(x) 给出，则相对曲率为 y kr . 3/ 2 1 ( y) 2