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折半查找只适用于有序表，且限于顺序存储结构， 在链式存储上是无法进行折半查找的。
15
讨论：对顺序查找除了折半改进法外，还有无其他改进算法？ 答案： 有，例如分块查找法
三、分块查找（索引顺序查找）
思路：先让数据分块有序，即分成若干子表，要求 每个子表中的数据元素值都比后一块中的数值小（但 子表内部未必有序）。 然后将各子表中的最大关键字构成一个索引表， 表中还要包含每个子表的起始地址（或头指针）。
9
算法实现：
int Binsearch ( int x[]，int k) //在长度为n的有序表x[n]中查找关键字为k的元素 { low=1； high=n；//置初值 while (low<=high) { mid=(low+high)/2； if (k==x[mid]) return (mid); else if ( k>x[mid]) low=mid+1；//向右找 else high=mid-1；//向左找 } return (-1)； // low>high，查找不成功返回-1 }
4
一、线性查找（ 又称顺序查找）
顺序查找：按顺序逐一比较，查找关键字。
对顺序结构如何线性查找？
对单链表结构如何线性查找？ 对树结构如何顺序查找?
见下一例子
wk.baidu.com
从头指针开始 “顺藤摸瓜”
用各种遍历算法
5
对顺序结构查找算法的实现技巧： 把待查关键字key存入表头或表尾（俗称“哨兵”），这 样可以加快执行速度。
4)不成功的查找次数不超过树的高度.
13
例1：试构造具有9个节点的折半查找判定树，并求成功的 平均查找次数ASL.
解：构造的判定树如下图所示：
平均查找次数:
1 2 * 2 3* 4 4 * 2 ASL= 9
2 1 3
5 7 6 8
25 = 9
4
9
可以看出：折半查找判定树除最下层节点个数可能不满外， 其余各层节点个数都是满的。
//不要用:for(i=1; i<=n; i+ +) } // Search_Seq 那样太慢 //找不到=不成功，返回值必为 i=0； 找得到=成功，返回值i正好代表所找元素的位置。
return i;
优点：减少了对循环次数的判断比较
6
讨论：怎样衡量查找效率？
——用平均查找长度（ASL）衡量。 其意义：为确定数据元素在表中的位置所进行的和关键字比较次 数的期望值
如何计算ASL------平均每个数据的查找时间？
分析： 查找第1个元素所需的比较次数为1； 查找第2个元素所需的比较次数为2； …… 查找第n个元素所需的比较次数为n；
总计全部比较次数为：1＋2＋…＋n = (1+n)n/2 因为是计算某一个元素的平均查找次数，还应当除以n， （假设查找任一元素的概率相同） 即： ASL＝（1＋n）/2 ，时间效率为 O(n)
全部比较总次数为1×20＋2×21＋3×22＋4×23…＋m×2m—1
＝
j 1
n
j 2 j 1
11
请注意：ASL的含义是“平均每个数据的查找时间”，而上式 是n个数据查找时间的总和，所以：
1 n n 1 j 1 ASL j 2 log 2 (n 1) 1 log 2 n n j 1 n
第1块
第2块
第3块
查找步骤分两步进行：
① 对索引表使用折半查找法（因为索引表是有序表）； ② 确定了待查关键字所在的子表后，在子表内采用顺序 查找法（因为各子表内部是无序表） 分块查找算法要点：块间折半查找，块内顺序查找
17
课堂练习：
题 1：对序列（ 8， 10， 15， 26， 35， 47， 59， 63） 进行折半查找15，要经过 A、2 B 、3 C、4 B 次比较。 D、5
例：
22 12 13 8 9 20 33 42 44 38 24 48 60 58 74 49 86 53
16
特点：块间有序，块内无序
分块查找过程举例：
块内最大关键字 各块起始地址
22 12 13 8 9 22 1
索引表
48 7 86 13
20 33 42 44 38 24 48 60 58 74 49 86 53
有冲突！ 问题：出现冲突怎么办？
H(25)=25%7=4 H(11)=11%7=4
题2：设有100个结点，用二分法查找时，最大比
较次数是
A、25
D
。
C、10 D、7
18
B、50
四、散列查找（又称哈希/hash查找）
1）哈希表的概念
2）哈希函数的构造方法 3）冲突处理方法 4）哈希表的查找及分析
19
1）哈希表的概念
哈希表：即散列存储结构。 散列法存储的基本思想：建立关键码值与其存储位置的对应 关系，或者说，由关键码的值决定数据的存储地址。 优点：查找速度极快（O(1)）,查找效率与元素个数n无关！
int Search_Seq(KeyType key )
{ S[0] =key; //在顺序表S中，查找关键字与key相同的元素；
若成功，返回其位置信息，否则返回0 for( i=length; S[ i ]!=key; - - i ); //设立哨兵，可免去查找过程中每一步都要检测查找 是否超出边界。当n>1000时，查找时间将减少一半。
1. 数字分析法
2. 平方取中法
3. 除留余数法
4. 折叠法
5. 直接地址法 6. 乘余取整法 7. 随机数法
22
强调：
散列函数没有“万能”通式（故名杂凑）， 要根据元素集合的特性而分别构造。
哈希方法中使用的转换函数称为哈希函数(杂凑函数) 通常关键码的集合比哈希地址集合多，因而经过哈 希函数变换后，可能将不同的关键码映射到同一个哈 希地址上，这种现象称为冲突。
8
折半查找举例： 已知如下11个元素的有序表： （05 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92）, 请查找关键字为21 和85的数据元素。
Low指向待查元素 所在区间的下界 mid指向待查元素所在 区间的中间位置 high指向待查元素所 在区间的上界
解：① 先设定3个辅助标志: low,high,mid， 显然有：mid= (low+high)/2 ② 运算步骤：
3
2.5.1 查找
基本概念：
查 找
查找成功
是一种数据结构
查找表 ——由同一类型的数据元素（或记录）构成的集合。
——查询特定元素(关键字)是否在表中。
——若表中存在特定元素，称查找成功，应输出该记录；
查找不成功 ——否则，称查找不成功（也应输出失败标志或失败位置） 静态查找 ——只查找，不改变集合内的数据元素。 动态查找 ——既查找，又可能要插入一新记录到表中，或者 要删除原有的一个记录。 关键字 ——一个记录可由一个或多个不同类型的数据项组 成，其中用来标识记录的数据项称为记录的关键字。
数据结构课程的内容
1
第二章 数据结构
2.1 基本概念
2.2 线性表
2.3 栈、队列和数组
2.4 树和二叉树
2.5 查找和排序
2
2.5 查找和排序
2.5.1 查找
一、线性查找（顺序查找） 二、对分查找（折半查找） 三、分块查找（索引顺序查找） 四、哈希查找（散列查找）
2.5.2 排序
一、选择排序（简单选择排序） 二、插入排序 （线性插入、对半插入） 三、交换排序（冒泡排序和快速排序）
14
例2：50个有序数折半查找，有多少个节点成功的查找 次数是6，其成功的平均查找次数是多少？ 解：第一层一个节点，第二层2个，第三层4个，第四 层8个，第五层16个，第六层只有19个节点，可知 只有19个节点成功查找次数为6.
243 1 2 * 2 3 * 4 4 * 8 5 *16 6 *19 ASL= = 50 50
(1) low =1,high =11 ,故mid =6 ，待查范围是 [1,11]； (2) 若 S[mid] < key，说明 key[ mid+1,high] ， 则令：low =mid+1; 重算 mid＝ (low+high)/2； (3) 若 S[mid] > key，说明 key[low ,mid-1]， 则令：high =mid–1; 重算 mid ； (4)若 S[ mid ] = key，说明查找成功，元素序号 = mid; 结束条件：（1）查找成功 ： S[mid] = key （2）查找不成功 ： high<low （意即区间长度小于0）
7
小结： 顺序查找的特点： 优点：算法简单，且对顺序结构或链表结构均适用。 缺点： ASL 太大，时间效率太低。 如何改进？
二、对分查找（又称二分查找或折半查找）
如果记录在文件中是按关键字有序排列的，则在进行查找时 可不必逐个比较，而采用较快的跳跃式查找，即对分查找。
先给数据排序（例如按升序排好），形成有 序表，然后再将待查key与正中位置的元素相比， 若key小，则缩小至左半部分内查找；再与其中位 元素比较，每次缩小1/2的范围，直到查找成功或 失败为止。
23
冲突现象举例：
有 6 个元素的关键码分别为：（ 14 ， 23 ， 39 ， 9 ， 25 ， 11）。选取关键码与元素位置间的函数为H(k)=k mod 7 通过哈希函数对6个元素建立哈希表： 0
14 H(14)=14%7=0
6个元素用7个 地址应该足够!
1
2
23 9
3
4
39 25 11
5
6
如查找表：( 05 , 13 , 17, 42, 46, 55, 70, 94 )
1)与关键字的比较次数即为该结点所 在的层次数； 2)对分查找的过程恰好是 走一条从根 结点到被查结点的路径； 3) 折半查找成功的平均查找次数：
节点个数
42 13 5 17 55 46 70 94
层数 各节点成功的查找次数 各节点所在判定树中的 ASL= = 节点个数
讨论：如何进行散列查找？
根据存储时用到的散列函数H(k)表达式，立即可查到结果！ 例如，查找key=9,则访问H(9)=9号地址，若内容为9则成功； 若查不到，应当设法返回一个特殊值，例如空指针或空记录。 明显缺点：空间效率低 如何解决？ 精心设计Hash函数
21
2）哈希函数的构造方法
要求一：n个数据原仅占用n个地址， 虽然散列查找是以空间换时间，但仍 希望散列的地址空间尽量小(散列的 地址集中)。 要求二：无论用什么方法存储，目 的都是尽量均匀地存放元素，以尽量 减少冲突。 常用的哈希函数构造方法有：
例1：若将学生信息按如下方式存入计算机，如：
将2001011810201的所有信息存入V[01]单元； 将2001011810202的所有信息存入V[02]单元； …… 将2001011810231的所有信息存入V[31]单元。
这样一来，欲查找学号为2001011810216的信息，便可直接 访问V[16]！
20
例2 ： 有数据元素序列 (14，23，39，9，25，11)，若规定
每个元素k的存储地址H（k）＝k，请画出存储结构图。 H(k)称为散列函数 解：根据散列函数H（k）＝k ，可知元素14应当存入地址 为14的单元，元素23应当存入地址为23的单元，……， 对应散列存储表（哈希表）如下： 地址 … 9 … 11 … 14 … 23 24 25 … 39 … 25 9 11 14 23 39 内容
10
讨论： 如何计算二分查找的时间效率（ASL）？ 推 导 过 程
经1次比较就查找成功的元素有1个（20），即中间值； 经2次比较就查找成功的元素有2个（21），即1/4处和3/4处； 3次比较就查找成功的元素有4个（22），即1/8，3/8， 5/8，7/8处 4次比较就查找成功的元素有8个（23），即1/16处，3/16处…… …… 则第m次比较时查找成功的元素应该有（2m-1）个。 注：为方便起见，假设表中经m次比较后全部元素刚好是 2m-1 个，此时暂不讨论第m次比较后还有剩余元素的情况。
课堂练习（多项选择）：
应用：折半查找过程与在二叉排序树上进行查找的过程类似。 有了对分查找的判定树，查找效率高（折半查找O（log2n）)
使用折半查找算法时，要求被查文件： Ａ．采用链式存贮结构 Ｂ．记录的长度≤128 Ｃ．采用顺序存贮结构 Ｄ．记录按关键字递增有序
√ √
12
折半查找判定树
因查找文件中各个记录的关键字比较次数与待查记录在文件中的相 对位置有关，若把比较次数相同的记录的关键字放在同一层次，各层之 间用分支相连，可得到一棵二叉树。
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讨论：对顺序查找除了折半改进法外，还有无其他改进算法？ 答案： 有，例如分块查找法
三、分块查找（索引顺序查找）
思路：先让数据分块有序，即分成若干子表，要求 每个子表中的数据元素值都比后一块中的数值小（但 子表内部未必有序）。 然后将各子表中的最大关键字构成一个索引表， 表中还要包含每个子表的起始地址（或头指针）。
9
算法实现：
int Binsearch ( int x[]，int k) //在长度为n的有序表x[n]中查找关键字为k的元素 { low=1； high=n；//置初值 while (low<=high) { mid=(low+high)/2； if (k==x[mid]) return (mid); else if ( k>x[mid]) low=mid+1；//向右找 else high=mid-1；//向左找 } return (-1)； // low>high，查找不成功返回-1 }
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一、线性查找（ 又称顺序查找）
顺序查找：按顺序逐一比较，查找关键字。
对顺序结构如何线性查找？
对单链表结构如何线性查找？ 对树结构如何顺序查找?
见下一例子
wk.baidu.com
从头指针开始 “顺藤摸瓜”
用各种遍历算法
5
对顺序结构查找算法的实现技巧： 把待查关键字key存入表头或表尾（俗称“哨兵”），这 样可以加快执行速度。
4)不成功的查找次数不超过树的高度.
13
例1：试构造具有9个节点的折半查找判定树，并求成功的 平均查找次数ASL.
解：构造的判定树如下图所示：
平均查找次数:
1 2 * 2 3* 4 4 * 2 ASL= 9
2 1 3
5 7 6 8
25 = 9
4
9
可以看出：折半查找判定树除最下层节点个数可能不满外， 其余各层节点个数都是满的。
//不要用:for(i=1; i<=n; i+ +) } // Search_Seq 那样太慢 //找不到=不成功，返回值必为 i=0； 找得到=成功，返回值i正好代表所找元素的位置。
return i;
优点：减少了对循环次数的判断比较
6
讨论：怎样衡量查找效率？
——用平均查找长度（ASL）衡量。 其意义：为确定数据元素在表中的位置所进行的和关键字比较次 数的期望值
如何计算ASL------平均每个数据的查找时间？
分析： 查找第1个元素所需的比较次数为1； 查找第2个元素所需的比较次数为2； …… 查找第n个元素所需的比较次数为n；
总计全部比较次数为：1＋2＋…＋n = (1+n)n/2 因为是计算某一个元素的平均查找次数，还应当除以n， （假设查找任一元素的概率相同） 即： ASL＝（1＋n）/2 ，时间效率为 O(n)
全部比较总次数为1×20＋2×21＋3×22＋4×23…＋m×2m—1
＝
j 1
n
j 2 j 1
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请注意：ASL的含义是“平均每个数据的查找时间”，而上式 是n个数据查找时间的总和，所以：
1 n n 1 j 1 ASL j 2 log 2 (n 1) 1 log 2 n n j 1 n
第1块
第2块
第3块
查找步骤分两步进行：
① 对索引表使用折半查找法（因为索引表是有序表）； ② 确定了待查关键字所在的子表后，在子表内采用顺序 查找法（因为各子表内部是无序表） 分块查找算法要点：块间折半查找，块内顺序查找
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课堂练习：
题 1：对序列（ 8， 10， 15， 26， 35， 47， 59， 63） 进行折半查找15，要经过 A、2 B 、3 C、4 B 次比较。 D、5
例：
22 12 13 8 9 20 33 42 44 38 24 48 60 58 74 49 86 53
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特点：块间有序，块内无序
分块查找过程举例：
块内最大关键字 各块起始地址
22 12 13 8 9 22 1
索引表
48 7 86 13
20 33 42 44 38 24 48 60 58 74 49 86 53
有冲突！ 问题：出现冲突怎么办？
H(25)=25%7=4 H(11)=11%7=4
题2：设有100个结点，用二分法查找时，最大比
较次数是
A、25
D
。
C、10 D、7
18
B、50
四、散列查找（又称哈希/hash查找）
1）哈希表的概念
2）哈希函数的构造方法 3）冲突处理方法 4）哈希表的查找及分析
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1）哈希表的概念
哈希表：即散列存储结构。 散列法存储的基本思想：建立关键码值与其存储位置的对应 关系，或者说，由关键码的值决定数据的存储地址。 优点：查找速度极快（O(1)）,查找效率与元素个数n无关！
int Search_Seq(KeyType key )
{ S[0] =key; //在顺序表S中，查找关键字与key相同的元素；
若成功，返回其位置信息，否则返回0 for( i=length; S[ i ]!=key; - - i ); //设立哨兵，可免去查找过程中每一步都要检测查找 是否超出边界。当n>1000时，查找时间将减少一半。
1. 数字分析法
2. 平方取中法
3. 除留余数法
4. 折叠法
5. 直接地址法 6. 乘余取整法 7. 随机数法
22
强调：
散列函数没有“万能”通式（故名杂凑）， 要根据元素集合的特性而分别构造。
哈希方法中使用的转换函数称为哈希函数(杂凑函数) 通常关键码的集合比哈希地址集合多，因而经过哈 希函数变换后，可能将不同的关键码映射到同一个哈 希地址上，这种现象称为冲突。
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折半查找举例： 已知如下11个元素的有序表： （05 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92）, 请查找关键字为21 和85的数据元素。
Low指向待查元素 所在区间的下界 mid指向待查元素所在 区间的中间位置 high指向待查元素所 在区间的上界
解：① 先设定3个辅助标志: low,high,mid， 显然有：mid= (low+high)/2 ② 运算步骤：
3
2.5.1 查找
基本概念：
查 找
查找成功
是一种数据结构
查找表 ——由同一类型的数据元素（或记录）构成的集合。
——查询特定元素(关键字)是否在表中。
——若表中存在特定元素，称查找成功，应输出该记录；
查找不成功 ——否则，称查找不成功（也应输出失败标志或失败位置） 静态查找 ——只查找，不改变集合内的数据元素。 动态查找 ——既查找，又可能要插入一新记录到表中，或者 要删除原有的一个记录。 关键字 ——一个记录可由一个或多个不同类型的数据项组 成，其中用来标识记录的数据项称为记录的关键字。
数据结构课程的内容
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第二章 数据结构
2.1 基本概念
2.2 线性表
2.3 栈、队列和数组
2.4 树和二叉树
2.5 查找和排序
2
2.5 查找和排序
2.5.1 查找
一、线性查找（顺序查找） 二、对分查找（折半查找） 三、分块查找（索引顺序查找） 四、哈希查找（散列查找）
2.5.2 排序
一、选择排序（简单选择排序） 二、插入排序 （线性插入、对半插入） 三、交换排序（冒泡排序和快速排序）
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例2：50个有序数折半查找，有多少个节点成功的查找 次数是6，其成功的平均查找次数是多少？ 解：第一层一个节点，第二层2个，第三层4个，第四 层8个，第五层16个，第六层只有19个节点，可知 只有19个节点成功查找次数为6.
243 1 2 * 2 3 * 4 4 * 8 5 *16 6 *19 ASL= = 50 50
(1) low =1,high =11 ,故mid =6 ，待查范围是 [1,11]； (2) 若 S[mid] < key，说明 key[ mid+1,high] ， 则令：low =mid+1; 重算 mid＝ (low+high)/2； (3) 若 S[mid] > key，说明 key[low ,mid-1]， 则令：high =mid–1; 重算 mid ； (4)若 S[ mid ] = key，说明查找成功，元素序号 = mid; 结束条件：（1）查找成功 ： S[mid] = key （2）查找不成功 ： high<low （意即区间长度小于0）
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小结： 顺序查找的特点： 优点：算法简单，且对顺序结构或链表结构均适用。 缺点： ASL 太大，时间效率太低。 如何改进？
二、对分查找（又称二分查找或折半查找）
如果记录在文件中是按关键字有序排列的，则在进行查找时 可不必逐个比较，而采用较快的跳跃式查找，即对分查找。
先给数据排序（例如按升序排好），形成有 序表，然后再将待查key与正中位置的元素相比， 若key小，则缩小至左半部分内查找；再与其中位 元素比较，每次缩小1/2的范围，直到查找成功或 失败为止。
23
冲突现象举例：
有 6 个元素的关键码分别为：（ 14 ， 23 ， 39 ， 9 ， 25 ， 11）。选取关键码与元素位置间的函数为H(k)=k mod 7 通过哈希函数对6个元素建立哈希表： 0
14 H(14)=14%7=0
6个元素用7个 地址应该足够!
1
2
23 9
3
4
39 25 11
5
6
如查找表：( 05 , 13 , 17, 42, 46, 55, 70, 94 )
1)与关键字的比较次数即为该结点所 在的层次数； 2)对分查找的过程恰好是 走一条从根 结点到被查结点的路径； 3) 折半查找成功的平均查找次数：
节点个数
42 13 5 17 55 46 70 94
层数 各节点成功的查找次数 各节点所在判定树中的 ASL= = 节点个数
讨论：如何进行散列查找？
根据存储时用到的散列函数H(k)表达式，立即可查到结果！ 例如，查找key=9,则访问H(9)=9号地址，若内容为9则成功； 若查不到，应当设法返回一个特殊值，例如空指针或空记录。 明显缺点：空间效率低 如何解决？ 精心设计Hash函数
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2）哈希函数的构造方法
要求一：n个数据原仅占用n个地址， 虽然散列查找是以空间换时间，但仍 希望散列的地址空间尽量小(散列的 地址集中)。 要求二：无论用什么方法存储，目 的都是尽量均匀地存放元素，以尽量 减少冲突。 常用的哈希函数构造方法有：
例1：若将学生信息按如下方式存入计算机，如：
将2001011810201的所有信息存入V[01]单元； 将2001011810202的所有信息存入V[02]单元； …… 将2001011810231的所有信息存入V[31]单元。
这样一来，欲查找学号为2001011810216的信息，便可直接 访问V[16]！
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例2 ： 有数据元素序列 (14，23，39，9，25，11)，若规定
每个元素k的存储地址H（k）＝k，请画出存储结构图。 H(k)称为散列函数 解：根据散列函数H（k）＝k ，可知元素14应当存入地址 为14的单元，元素23应当存入地址为23的单元，……， 对应散列存储表（哈希表）如下： 地址 … 9 … 11 … 14 … 23 24 25 … 39 … 25 9 11 14 23 39 内容
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讨论： 如何计算二分查找的时间效率（ASL）？ 推 导 过 程
经1次比较就查找成功的元素有1个（20），即中间值； 经2次比较就查找成功的元素有2个（21），即1/4处和3/4处； 3次比较就查找成功的元素有4个（22），即1/8，3/8， 5/8，7/8处 4次比较就查找成功的元素有8个（23），即1/16处，3/16处…… …… 则第m次比较时查找成功的元素应该有（2m-1）个。 注：为方便起见，假设表中经m次比较后全部元素刚好是 2m-1 个，此时暂不讨论第m次比较后还有剩余元素的情况。
课堂练习（多项选择）：
应用：折半查找过程与在二叉排序树上进行查找的过程类似。 有了对分查找的判定树，查找效率高（折半查找O（log2n）)
使用折半查找算法时，要求被查文件： Ａ．采用链式存贮结构 Ｂ．记录的长度≤128 Ｃ．采用顺序存贮结构 Ｄ．记录按关键字递增有序
√ √
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折半查找判定树
因查找文件中各个记录的关键字比较次数与待查记录在文件中的相 对位置有关，若把比较次数相同的记录的关键字放在同一层次，各层之 间用分支相连，可得到一棵二叉树。