三年级奥数：配对求和(5页)

配对求和

引入：被人誉为“数学王子”的高斯在年仅10岁时就以一种非常巧妙的方法很快求出1+2+3+4+5+、、、+99+100的结果。高斯是怎样求出这个和的呢？这就是我们要研究的这种求和的方法。

我们利用高斯的巧算方法得出这样的公式：

总和=（首项+末项）×项数÷2

项数=（末项-首项）÷公差+1

末项=首项+（项数-1）×公差

第一类题型

例题1：

计算：1+2+3+4+5+、、、+98+99+100.

思路点拨：

此数列是一个等差数列，公差是1，我们可以利用“总和=（首项+末项）×项数÷2”的求和公式来解。

解：1+2+3+4+5+、、、+98+99+100

=（1+100）+（2+99）+（3+98）+、、、+（50+51）

=（100+1）×（100÷2）

= 101×50

= 5050

同步精炼：

1、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

2、2+4+6+8+、、、+30

第二类题型

例题1：

计算：2+5+8+11+14+17+20

思路导航：

本题是一个等差数列，公差是3. 2、5、8、11、14、17、20，一共有7个数，如果我们仍像例1那样每两个数组成一个组，就多出一个数，那怎么办呢？我们不妨这样想：

2 5 8 11 14 17 20

+20 17 14 11 8 5 2

22 22 22 22 22 22 22

7个22是154，而154是两组2到20的和，一组2到20的和一组2到20的和就是154÷2=77，由此我们得出这样的规律，当加数是单数时，就可用第一个数即前项与最后一个数（末项）相加，乘以这组数的个数（项数），再除以2，就能求出正确结果了。其实这种方法也适用于加数的个数成双的求和：

解：2+5+8+11+14+17+20

=（2+20）×7÷2

=22×7÷2

=77

同步精炼：

一、计算：

1、 18+19+20+21+22+23

2、100+102+104+106+108+110+112+114

二、试用两种方法计算

1、73+77+81+85+89+93

2、995+996+997+998+999

三、求出下列题的和。

（1）从1到100的所有单数的和。（2）从1到100的所有双数的和。

第三类题型

例题1：

计算：（1）100+95+90+、、、+15+10+5

（2）1+2+3+4+、、、+99+100+99+98+、、、+3+2+1.

思路点拨：

（1）仔细观察，可以发现此数列是一个等差数列，公差是5，我们可以利用求和公式来解。

（2）通过观察发现，如果在数列中加上一个100，原式就可以得到两个相同的等差数列的和。解：（1）100+95+90+、、、+15+10+5

=（100+5）×20÷2

=2100÷2

=1050

（2）1+2+3+4+、、、+99+100+99+98+、、、+3+2+1

=（1+2+3+4+、、、+99+100）×-100

=（1+100）×100÷2×2-100

=101×100-100

=10100-100

=10000

同步精炼：

1、求和

（1）1+3+5+7+、、、+37+39 （2）2+6+10+14+、、、+210+214

2、计算：4+7+10+13+、、、+298+301+298+、、、+13+10+7+4

第四类题型

例题1：

小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。问：这本小说共有多少页？

思路导航：每天看的页数组成等差数列，公差是4，首项是30，末项是70.要求这本小说共有多少页，应先求出小红看了多少天。

解：

天数（项数）=（末项-首项）÷公差+1

=（70-30）÷4+1=11

总页数 =（30+70）×11÷2

=100×11÷2=550

练习：

1、影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。问：这个影剧院共有多少个座位？

2、有一堆木材堆在一起，一共25层，第一层有3根，第二层有4根，下面每一层比上一层多一根，这堆木材共有多少根？

第五类题型

例题1：

计算：

（2+4+6+8+、、、+18+20）-（1+3+5+7+、、、+17+19）

思路点拨：

观察题中被减数与减数，可以看出都是一组公差为2的等差数列，所以先分别求出它们的和，再求差。

解法一：

（2+4+6+、、、+18+20）-（1+3+5+、、、+17+19）

=（2+20）×10÷2-（1+19）×10÷2

=22×10÷2-20×10÷2

=110-100

=10

也可以这样想：把被减数中每一个加数分别减去减数中的每一个加数，再求和。

解法二：

（2+4+6+、、、+18+20）-（1+3+5+、、、+17+19）

=（2-1）+（4-3）+（5-4）+、、、+（18-17）+（20-19）

=10

同步精炼：

计算：

（1）1999-1998+1997-1996+、、、+3-2+1 （2）（1+3+5+、、、+79）-（2+4+6+、、、+78）（3）100-98+96-94+92-90+、、、+8-6+4-2

第一课时课后作业：周杰豪

一、计算

（1）1+11+21+31+、、、+101+111 （2）4+7+10+13+、、、+298+301

（3）1-2+3-4+5-6+、、、-98+99 （4）260-1-2-3-4-、、、-19-20

（5）1+2+3+4+、、、+20 （6）100-98+96-94+92-90+、、、+8-6+4-2