二次型习题

《线性代数》 (第四版)教学课件
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例 4
判断 f ( x1 , x2 , x3 ) 3 x12 6 x1 x3 x2 2 4 x2 x3 8 x3 2 是否为
正定二次型
解 二次型f(x1 x2 x3)的矩阵为
3 0 3 A 0 1 2 3 2 8
1 1 2 A1 2 3 2 3
解 二次型f(x1 x2 x3)的矩阵为
A的各顺序主子式
| A1 |1 0 | A2 |
1 1 1 0 |A 3||A| 50 1 2
故5时 A的各顺序主子式都大于零 二次型f(x1 x2 x3)为正 定二次型
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定理56 设A为正定矩阵 如果A~B 则B也是正定矩阵 定理57(对角矩阵正定性判别法) 对角矩阵
d1 Hale Waihona Puke Baidu d2 D dn
为正定矩阵的充分必要条件是 di0(i1 2 n)
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行列式
|A 3||A|8
a11 a12 a1k a a a2k | Ak | 21 22 (k1 2 n) a k1 a k 2 a kk
称为A的k阶顺序主子式
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定理510(正定性的判别法) 矩阵A(aij)nn 为正定矩阵的充分必要条件是A的所有的 顺序主子式都大于零 即|Ak|0 (k1 2 n) 矩阵A(aij)nn为负定矩阵的充分必要条件是 (1)k|Ak|0 (k1 2 n) 半正定(半负定)的判别法 (1)对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充分必要条件是A 的所有主子式大于(小于)或等于零 (2)对称矩阵A是半正定(半负定)矩阵的充分必要条件是A 的全部特征值大于(小于)或等于零 应注意的问题 一个实对称矩阵A的顺序主子式全大于零或等于零时 A未必是半正定的
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例6 证明 如果A为正定矩阵 则A1也是正定矩阵 证 若A为正定矩阵 则ATA 所以 (A1)T(AT)1A1 即A1也是对称矩阵 根据定理59 A的所有特征值i0 (i1 2 n)
A 1 的所有特征值为 1 0 (i1 2 n) 所以 A 1 仍是正定 i 矩阵
A的各顺序主子式
| A1 | 3 0 | A2 |
3 0 3 0 |A 3||A|30 0 1
因此 f(x1 x2 x3)为正定
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例5
当 取何值时 二次型 f(x1 x2 x3)为正定 其中 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 2 6 x2 x3 x3 2
说明
注意 反之 结论未必成立 例如
1 0 0 A 0 1 0 |A|10 0 0 1
但A不是正定矩阵
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定理58(正定性判别法) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C 使ACTC 即A合同于单位矩阵 推论1(用惯性指标判别正定性) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标pn 推论2 如果A为正定矩阵 则|A|0 定理59 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特征 值都是正数
1 1 2 对应的矩阵 1 1 2 是半负定矩阵 2 2 4
例3 f(x1 x2)x122x22是不定二次型 因为其符号有时正有 时负 例如f(1 1)10 f(2 1)20
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定理56 设A为正定矩阵 如果A~B 则B也是正定矩阵
证 由A~B可知 存在非奇异矩阵C 使CTACB
令xCy |C|0 对任意y0均有x0 因此 yTBy yTCTACy(Cy)TA(Cy) xTAx0 (因A为正定矩阵) 即B是正定矩阵
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§53 二次型与对称矩阵的有定性
根据二次型的标准形和规范形 将二次型进 行分类在理论上具有重要意义 在工程技术和最 优化等问题中有着广泛应用 其中 最常用的是二 次型标准形系数全为正或全为负的情形
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定义54(二次型的有定性) 具有对称矩阵A的二次型 f(x)xTAx 如果对于任何x(x1 x2 xn)T0 都有 xTAx0 (或0) 成立 则称f(x)xTAx为正定(负定)二次型 矩阵A称为正定矩 阵(负定矩阵) 如果对于任何x(x1 x2 xn)T 都有 xTAx0 (或0) 且有x00 使x0TAx00 则称二次型f(x)xTAx为半正定(半负定) 二次型 矩阵A称为半正定(半负定)矩阵
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定义55(顺序主子式) 设n阶矩阵
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a a a nn n1 n 2
举例
1 2 3 A 2 0 1 的顺序主子式为 0 0 2 1 2 | A2 | 4 |A 1|1 2 0
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由定理56及定理57可知 若A为正 定矩阵 则正惯性指标pn 即A~In 反之 若A~In 则A正定 即存在非奇 异矩阵C 使ACTInCCTC 此时|A||C|20
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定理58(正定性判别法) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C 使ACTC 即A合同于单位矩阵 推论1(用惯性指标判别正定性) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标pn 推论2 如果A为正定矩阵 则|A|0
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定理58(正定性判别法) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C 使ACTC 即A合同于单位矩阵 推论1(用惯性指标判别正定性) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标pn 推论2 如果A为正定矩阵 则|A|0
分析
当ATA时 则有
0 0 Ip A~ 0 I r p 0 0 0 0
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例1 二次型 f(x1 x2 xn)x12x22 xn2 是正定二次型 矩阵In是正定矩阵 这是因为 当(x1 x2 xn)T0时 f(x1 x2 xn)0 例2 二次型 f(x1 x2 x3)x122x1x24x1x3x224x2x34x32 是半负定二次型 这是因为 f(x1 x2 x3)(x1x22x3)20 且f(1 1 1)0