证明简单六角布拉维格子的倒格子仍为简单六角布拉维格子

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固体物理阎守胜第二章晶体的结构

单胞与原胞的区别：
原胞只含一个格点，是体积最小的周期性重复单元。单胞可含一个或数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。
2.1.4 几种常见的布拉维格子
1. 简单立方布拉维格子 3个基矢等长并相互垂直。
c b a
a1 aiˆ a2 aˆj a3 akˆ
每个原胞包含1个格点，每个单胞包含1个格点。
简单立方布拉维格子的配位数为6。
1. 群G中任意两元素的“乘积”仍为群G内的元素，这个性质称为群的闭合性。 2. 存在单位元素E，使得对所有元素PG ，有PE EP P
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。
基元由一个Cl-和一个Na+组成。
2、氯化铯结构
由两个简单立方格子套构而成。具有氯化铯结构的化合物有：
CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移 1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶格为简单立方，氯化铯结构属简单立方。
过一格点可以有无数晶列。
晶向的特点：
(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点
(2)晶列上格点分布是周期性的 (3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的 (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
如沿晶向方向的最短格矢为 l1a1 l2a2 l3a3 ，该晶向可记为 l1 l2 l3 。l1 l2 l3 称为晶向指数。
习惯上用三个截距
h1'
、h2'
、h2'
(以
a1
、a2
、a3
为单位）倒数的互质整数比
1 h1'

习题——精选推荐

固体物理练习题其中带* 的为附加题第1讲晶体结构1.1画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。

（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石；（2）体心立方金属、氯化铯。

1.2利用钢球密堆模型，求致密度：（1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。

1.3证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。

又：金属Na在273 K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。

1.4画出正四面体的所有基本对称操作。

1.5写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积1.6金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109º28'。

1.7画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。

1.8指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。

1.9如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明（1）对于体心立方格子，n i全部为偶数或奇数；（2）对于面心立方格子，n i的和为偶数。

1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。

1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为12322a a c =+=-+=a i j a i j a k试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin 区。

1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl（1）证明倒格矢123h k l =++G b b b 垂直于这个晶面；（2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为()2/d hkl π=G ，对于简单立方晶格有22222()/()d hkl a h k l =++。

1.13 证明第一Brillouin 的体积为3(2)/c V π，其中V c 是晶体原胞的体积。

北工大固体物理期末复习

王 XX 整理
第五章（2）
电子运动的半经典模型：电子的速度是在 k 空间能量的梯度有效质量张量能带底和能带顶的有效质量特征能带、速率、有效质量随 k 的变化规律
第四章
自由电子气体模型（两个基本假设、仅有的一个独立参量—电子密度 n）每个电子平均占据的体积，等效球半径单电子本征能量，单电子的动量由边界条件得出 k 的量子化取值 k 空间的态密度 Fermi 能， Fermi 动量，Fermi 速度，Fermi 温度 Fermi 面处的态密度化学势和费米能电子的比热容（包括晶格比热容，知道低温时变化规律）弛予时间电子的漂移速度 Vd , 电导率和热导率
维单原子链色散关系（会推导），长波极限情况，短波极限情况一维双原子链，声、光学支色散关系（会推导），长波极限情况，短波极限情况 q 的取值三维多原子晶体的声学支和光学支，横、纵声学支和光学支，模式数目等
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声子概念
第五章（1）
能带理论的三条假设：绝热近似、单电子近似、周期场近似 Bloch 定理（了解）及能带（三种图示：简约、扩展和周期 BZ） Bloch 波的形式，波矢的取值与物理意义， Bloch 电子的状态由两个量子数标记，第 n 个能
第二章
结合能（定性了解）几种价键及形成晶体的特点（定性了解）离子键和离子晶体共价键和共价晶体金属键和金属晶体氢键、分子键和分子固体
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测试一
1. 2. 3. 4.
原胞是晶体中体积最小的重复单元，填满空间，没有重叠。以一个格点为中心，与邻近格点连线的垂直平分面包围的最小体积原胞—WS 原胞。单胞常用基失 adc 构成的平行六面体作为周期重复排列的最小单元，可含一个或多个原胞。写出对晶格常数为 a 的简立方晶体，与正格矢 Rn=ai+2aj+2ak 正交的倒格子晶面族的晶面指数并求镜面距。求简单六角布拉维格子的原胞体积、倒格矢、画出前两个布里渊区。体积=a1*(a2Xa3)=根号 3a^2c/2

(完整word版)阎守胜答案

固体物理基础习题解答第一章金属自由电子气体模型思考题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-Tk E E BF e gn ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-Tk E E BF e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=Tk i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?[解答] 费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低?[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n:()3/222032πn mE F=,()3/2220310353πn mE EF ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系?[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移)(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式xk Sxx ESv e j Fετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率E S v e k S xF ∇=⎰d 4222τπσ看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗?[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么?[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化?[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布. 11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系? 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系?[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比.13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因?[解答]按照德拜模型, 由(3.133)式可知, 在甚低温下, 固体的比热34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=mB mB T k pTk ce v eD V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1,作变量变换T k x B ω =,得到甚低温下333232T v Ak n p Bπ=,其中⎰∞-=021d xe x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比. 按照§6.7纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由(6.90)式得到证明. 由(6.90)可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x xe x x e x x B 。

固体物理第二章第二节对称性和布拉维格子的分类

对于点对称操作的类型,固体物理中惯用熊夫利符号 (Schoenflies notation)标记;晶体学家惯用国际符号 (Schoenflies notation)标记.在晶体结构分析中,常用后者.
P28-29表2.1给出了32个晶体学点群，为了便于大家看懂，下面给出符号的说明
Cn C1, C2 , C3, C4 , C6
900 1200
900
7个晶系(crystal system)相应的点群 S1, C2h , D2h , D4h , D3d , D6h , Oh
即：Ai G,i 1, 2,3 ,G {Ai}
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素相乘，得到的还是该群的一个元素。
Ai Aj Ak ,i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E
E G, EAi Ai E Ai
我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对称性(symmetry of lattice).
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对称面----称为对称元素
比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x
y
y
cos
z sin
z
y
sin
z
cos
a11 a12 a13 1 0
0

布拉菲点阵的证明【十分有用】

θ ＝０°，６０°，９０°，１２０°，１８０° ４因此晶体的宏观对称操作只能是旋转以上五种角度其转轴分别称为１，６，４，３，２重旋转对称轴这五种旋转对称轴加上反演组成五种象转旋转对称轴 1 , 6 , 4 , 3 , 2 称为１０种对称素每种对称素对应一种对称操作晶体中只可能有这１０种对称素不可能有５重７重旋转对称轴等对称素具体地分析证明由于对称素组合时受到严格的限制这１０种对称素只能组成３２个不同的点群下面简单介绍这３２个点群［１］最简单的点群只有一个元素Ｃ１就标记为Ｃ１它表示没有任何对称性的晶体只有一个旋转轴的点群称为回转群标记为Ｃ２Ｃ３Ｃ４Ｃ６共有四个Ｃｎ表示有一个ｎ重旋转轴包含一个ｎ重旋转轴和ｎ个与之垂直的二重轴的点群称为双面群标记为Ｄｎ这样的点群有Ｄ２，Ｄ３，Ｄ４，Ｄ６四种由上述点群增加反演中心或一些镜面可以组成新的点群Ｃ１群加上中心反演组成Ｃｉ群Ｃ１群加上反映面组成Ｃｓ群Ｃｎ群加上与ｎ重旋转轴垂直的反映面组成Ｃｎｈ群共有四个Ｃｎ群加上ｎ个含ｎ重旋转轴的反映面组成Ｃｎｖ群也有有四个Ｄｎ群加上与ｎ重旋转轴垂直的反映面组成Ｄｎｈ群共有四个Ｄｎ群加上通过ｎ重旋转轴及两根二重轴角平分线的反映面组成Ｄｎｄ群仔细分析表明这里ｎ只能取２和３因此只有Ｄ２ｄ群和Ｄ３ｄ群还可以有只包含旋转反演轴的Ｓｎ点群但其中Ｓ１＝ＣｉＳ２＝ＣｓＳ３＝Ｃ３ｈ只有Ｓ４Ｓ６群归入Ｓｎ群举个实际点的例子对立方体存在绕立方轴转动９０° １８０ ° ２７０°的９个对称操作绕面对角线转动１８０°的６个对称操作绕体对角线转动１２０ ° ２４０°的８个对称操作加上

总结固体物理作业

6 第一章晶体结构1. 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方 52.06/≈π体心立方 68.08/3≈π面心立方 74.06/2≈π 六方密排 74.06/2≈π金刚石34.016/3≈π2. 试证：六方密排堆积结构中633.1382/1≈⎪⎭⎫⎝⎛=a c 。

又：金属Na 在273K 因“马氏体相变”从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a=0.423 nm , 设六角密堆积结构相的c/a 维持理想值，试求其晶格常数。

解（1）a AC AE AO 333332===aa a AO AD OD 32312222=-=-=633.138322221≈⎪⎭⎫⎝⎛===a OD a c（2）体心立方每个单胞包含2个基元，一个基元所占的体积为23cc aV =，单位体积内的格点数为.1Vc六角密堆积每个单胞（晶胞）包含6个基元，一个基元所占的体积为32122223843436/323aa a c a c a a V s =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=因为密度不变，所以 s c V V 11=，即：33222/aa c =nma a c s 377.02/61== nma c s 615.0633.1==3. 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。

解由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子4. 证明：简单六角布拉伐格子的倒格子仍为简单六角布拉伐格子，并给出其倒格子的晶格常数。

2.4 倒格子

欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意整数，则要求： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3
h1,h2,h3为整数
显然,如果令 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1,h2,h3为整数
3
3
3
2. 倒格矢与晶面倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：
2π Gh d h1h2 h3
其中 d h1h2 h3 是正格子晶面族(h1h2h3)的面间距
首先我们证明
倒格矢 Gh h1b1 h2b2 h3b3 和正格子中晶面族 (h1h2h3)正交
可以成为倒易空间的基矢。和 Rn n1a1 n2 a2 n3a3 对比,表明 Gh h1b1 h2b2 h3b3 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。从而 Gh h1b1 h2b2 h3b3 且 bi a j 2 ij ; i 1,2,3; j 1,2,3 也可作为以 a1 , a2 , a3 为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。
因而，面间距 a1 a2 a3 d h1h2h3 n n n O h1 h2 h3 a1 Gh a1 Gh 2 h1 2 h1 Gh h1 Gh h1 Gh Gh
利用 A B C A C B A B C

a3 a1 a1 a2 [ a3 a1 a2 ]a1 [ a3 a1 a1 ]a2

固体物理学答案(朱建国版)

固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编著）》使用2019年11月20日第1章晶体结构 (1)第2章晶体的结合 (12)第3章晶格振动和晶体的热学性质 (20)第4章晶体缺陷 (33)第5章金属电子论 (37)第1章晶体结构1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。

从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f =22a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb =32a 那么，Rf Rb =23aa=631.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。

若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。

1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角ϕ，如下表所示。

序号晶系基矢长度与夹角关系布拉维晶胞类型所属点群 1 斜方任意2,πϕ≠b a 、简单斜方（图中1所示） 1，2 2 正方 2,πϕ==b a简单正方（图中2所示） 4，4mm 3 六角 32,πϕ==b a简单六角（图中3所示） 3，3m ，6，6mm 4长方2,πϕ=≠b a简单长方（图中4所示）有心长方（图中5所示）1mm ，2mm1 简单斜方2 简单正方3 简单六角4 简单长方5 有心长方二维布拉维点阵1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ）并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。

第一章晶体结构

σ (m)
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面倒格子 ↔ 正格子点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角六角立方(简单、体心、面心)

1.1晶格

六角相绿玉单斜相石膏
三角相石英
非晶琥珀
石膏沿特定方向被切开。这一过程被称为解理，容易被切开的面被称为解理面。
切点
切点
最终被切开
离子晶体沿特定方向被解理的示意图。
1.1 晶格（Crystal lattice）
一. 什么是晶格？
X光衍射证实，晶体外形的对称性是其组成原子在空间做有规律的周期性排列的结果。
晶体点阵
二维正方点阵
＋基元
点阵学说最早在1848年由Bravais提出，所以晶体点阵又称布拉菲格子（ Bravais lattice ），也叫空间格点（Space lattice ）。
Auguste Bravais (1811-1863)
描述晶体表面原子排列的二维长方点阵
NaCl结构
CsCl结构
见 kittel p15
六. 体心和面心立方点阵的基矢和原胞
1 a b c j k 2 2 1 a a c a k i 2 2 1 a a a b i j 2 2 a
1 2 3
c
fcc：
a1
Cu Ag Al Au Ca Ni a=3.16 a=4.09 a=4.05 a=4.08 a=5.58 a=3.52 NaCl a=5.63, KBr a=6.59, MgO a=4.43, MnO a=4.43, AgBr a=5.57, KCl a=6.29, (单位：0.1nm)
NaCl结构中的原子排列
几个常用词的理解： Cell 晶胞
Primitive cell
Wigner-Seitz primitive cell
原胞(初基晶胞）

固体物理经典复习题及答案

、简答题1.理想晶体答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间无限重复排列而构成的。

2.晶体的解理性答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。

3.配位数答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。

4.致密度答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。

5.空间点阵（布喇菲点阵）答：空间点阵（布喇菲点阵）：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵（布喇菲点阵），即平移矢量h1d、h2d、h3d 中n1,n2,n3取整数时所对应的点的排列。

空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。

6.基元答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子（离子）组成，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。

7.格点（结点）答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。

8.固体物理学原胞答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。

取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。

固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。

9.结晶学原胞答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n ，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, 是固体物理学原胞的体积。

10.布喇菲原胞答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n ,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, 是固体物理学原胞的体积11.维格纳-赛兹原胞（W-S原胞）答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面（或中垂线）将空间划分成各个区域。

固体物理阎守胜第二章课后答案

还有立方体中心
八面体中心即立方体中心
ww
w.
kh d
课
aw .c
a ˆ y ˆz ˆ x 2 。
后答
案网
om
2.7算出图2.1所示二维蜂房格子的几何结构因子。解： a1
a2
取原包基矢
2 2 a1 3ax ˆ ˆ ˆ b1 x y 3a 3a 3 3 ˆ ˆ a a x a y 2 b 4 y ˆ 2 2 2 3a 2 h 2h h ˆ 2 1 y ˆ Gh h1b1 h2b2 1 x a 3 3 d1 0 3 1 ˆ ay ˆ d2 ax 2 2 2 f 2 i h1 h2 1 iG h d 2 3 S Gh f 1 e f 1 e f i 2 f 1 i 2
d a1 h1 cos d a2 h2 cos d a3 h3 cos

其中 s1 , s2 , s3 是保证 h1 , h2 , h3 为互质数的因子称为互质因子
ww
w.
kh d
课
后答
a1 cos a2 cos a3 cos d d ( s1 cos , s2 cos , s3 cos ) 晶面指数为 d
kh d
a ˆ l1 l2 l3 y ˆ l1 l2 l3 z ˆ l1 l2 l3 x 2 a a a ˆ ˆ ˆ i x j y k z 2 ， 2 。其中l1，l2，l3为整数，以直角坐标系 2 ， a n1 2 l1 l2 l3 a n2 l1 l2 l3 2 a n3 2 l1 l2 l3

2.2.4 晶体的14种Bravais格子简介

Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c，
有格点的分布方式只有一种：分布于惯用元胞的八个顶点上
一种Bravais格子：简单三斜Bravais格子
Pearson 记法 aP, 惯用
元胞如图2.2.2－1中的（a）图所示
背景音乐：
2°单斜（Monoclinic）晶系 Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
分布于惯用元胞的八个顶点上一种bravais格子称为简单六方bravais格子hp平行六面体元胞不能显示出点对称性常选用正六方棱柱体作为惯用元胞如图2221中的j图所示12090记法pearson背景音乐
2.2.4
晶体的十四种Bravais格子简介
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们的几何
外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，足以让所有的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不
背景音乐：
5°六方（Hexagonal）晶系或六角晶系
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 90 0 ， 120 0 有格点的分布方式只有一种：分布于惯用元胞的八个顶点上一种Bravais格子，称为简单六方
Bravais格子 Pearson 记法 hP，平行六面体元胞不能显示出点对称性，常选用正六方棱柱体作为
方Bravais格子。另一方面，惯用元
胞也可选用简单六方Bravais格子的平行六面体元胞，只是除顶点外格点还分布于体内（2/3，1/3，1/3）处和（1/3，2/3，2/3）处,如图2.2.2 －1中的（k）图所示。因此,简单三角Bravais格子通常又称为六方菱面体背景音乐：

倒易点阵和布里渊区一定义二倒易点阵和晶体点阵的关系三倒

1.4 倒易点阵和布里渊区(Reciprocal lattice; Brillouin zones)一. 定义二. 倒易点阵和晶体点阵的关系三. 倒易点阵的物理意义四. 倒易点阵实例五. 布里渊区一. 定义：假设是一个晶格的基矢，该点阵的格矢为：原胞体积是：现在定义另一晶格的3个基矢：，它们与的关系满足：123,,a a a 123()a a a Ω=⋅⨯ 123123n R n a n a n a =++ 123,,b b b 123,,a a a 2i j ij a b πδ⋅== 2,i j π=0,i j ≠,1,2,3i j =则称这两种格子互为正倒格子。

若基矢的格子为正格子，则的格子就是倒格子。

反之亦然。

123,,a a a 123,,b b b 位移矢量就构成了倒易点阵。

上面变换公式中出现的因子，对于晶体学家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极大的方便。

倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。

123hkl G hb kb lb =++ 2π4. 正点阵晶面族与倒易点阵格矢相互垂直，123(,,)h h h 123h h h G 123h h h 123123G =++ h b h b h b 且有：1231232h h h h h h d G π= 证明：先证明倒格矢与正格子的晶面系正交。

如图所示，晶面系中最靠近原点的晶面（ABC ）在正格子基矢的截距分别为：123,,123123h h h G h b h b h b =++ 123()h h h 123()h h h 123,,a a a 123123,,a a a h h h3 3)ah6. 同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性设α为正格子的一个点群对称操作，即当R n 为一正格矢时，αR n 也为正格矢，同样α－1R n 也是正格矢。

固体物理学要点

固体物理复习要点第一章,第二章的前三节,第三章的1,2,4节,第五章第四节除外,第六章的前四节第一章1、晶体有哪些宏观特性答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的;说明晶体宏观特性是微观特性的反映2、什么是空间点阵答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统,这些格点的总和称为点阵;3、什么是简单晶格和复式晶格答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成,且每个原子周围的情况完全相同,则这种原子所组成的网格称为简单晶格;复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成,相应原子分别构成和格点相同的网格,称为子晶格,它们相对位移而形成复式晶格;4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别;答：1固体物理学原胞简称原胞构造：取一格点为顶点,由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量,以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞;特点：格点只在平行六面体的顶角上,面上和内部均无格点,平均每个固体物理学原胞包含1个格点;它反映了晶体结构的周期性;2结晶学原胞简称晶胞构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向,它具有明显的对称性和周期性;特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点,面上及内部亦可有格点;其体积是固体物理学原胞体积的整数倍;5、晶体包含7大晶系,14种布拉维格子,32个点群试写出7大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子; 答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系;6．在晶体的宏观对称性中有哪几种独立的对称元素写出这些独立元素;答：7.密堆积结构包含哪两种各有什么特点答：1六角密积第一层：每个球与6个球相切,有6个空隙,如编号1,2,3,4,5,6;第二层：占据1,3,5空位中心;第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式;六角密积是复式格,其布拉维晶格是简单六角晶格;基元由两个原子组成,一个位于000,另一个原子位于2立方密积第一层：每个球与6个球相切,有6个空隙,如编号为1,2,3,4,5,6;第二层：占据1,3,5空位中心;第三层：占据2,4,6空位中心,按ABCABCABC······方式排列,形成面心立方结构,称为立方密积;8.试举例说明哪些晶体具有简单立方、面心立方、体心立方、六角密积结构;并写出这几种结构固体物理学原胞基矢; 答：CsCl 、ABO3 ； NaCl ；；纤维锌矿ZnS9.会从正格基矢推出倒格基矢,并知道倒格子与正格子之间有什么区别和联系10.会画二维晶格的布里渊区;11.会求晶格的致密度;12.会求晶向指数、晶面指数,并作出相应的平面;13.理解原子的形状因子,会求立方晶格结构的几何结构因子;射线衍射的几种基本方法是什么各有什么特点答：劳厄法：1单晶体不动,入射光方向不变；2X 射线连续谱,波长在间变化,反射球半径转动单晶法：1X 射线是单色的；2晶体转动;粉末法：1X 射线单色固定；2样品为取向各异的单晶粉末; 第二章 1、什么是晶体的结合能,按照晶体的结合力的不同,晶体有哪些结合类型及其结合力是什么力答：晶体的结合能就是将自由的原子离子或分子结合成晶体时所释放的能量;结合类型：离子晶体—离子键分子晶体—范德瓦尔斯力共价晶体—共价键金属晶体—金属键氢键晶体—氢键2、原子间的排斥力主要是什么原因引起的库仑斥力与泡利原理引起的3、离子晶体有哪些特点为什么会有这些特点答：离子晶体主要依靠吸引较强的静电库仑力而结合,其结构十分稳固,结合能的数量级约在800kJ/mol;结合的稳定性导致了导电性能差,熔点高,硬度高和膨胀系数小等特点;4、试述共价键定义,为什么共价键具有饱和性和方向性的特点答：共价键是的一种,两个或多个共同使用它们的外层,在理想情况下达到电子的状态,由此组成比较稳定和坚固的化学max min ~λλmaxmin π2π2λλ<<R结构叫做共价键;当原子中的电子一旦配对后,便再不能再与第三个电子配对,因此当一个原子与其他原子结合时,能够形成共价键的数目有一个最大值,这个最大值取决于它所含有的未配对的电子数;即由于共价晶体的配位数较低,所以共价键才有饱和性的特点;另一方面,当两个原子在结合成共价键时,电子云发生交叠,交叠越厉害,共价键结合就越稳固,因此在结合时,必定选取电子云交叠密度最大的方位,这就是共价键具有方向性的原因;5、金属晶体的特点是什么为什么会有这些特点一般金属晶体具有何种结构,最大配位数为多少答：特点：良好的导电性和导热性,较好的延展性,硬度大,熔点高;金属性的结合方式导致了金属的共同特性;金属结合中的引力来自于正离子实与负电子气之间的库仑相互作用,而排斥力则有两个来源,由于金属性结合没有方向性要求的缘故,所以金属具有很大的塑性,即延展性较好;金属晶体多采用立方密积面心立方结构或六角密积,配位数均为12；少数金属为体心立方结构,配位数为8;6、简述产生范德瓦斯力的三个来源为什么分子晶体是密堆积结构答：来源：1、极性分子间的固有偶极矩产生的力称为Keesen力；2、感应偶极矩产生的力称为Debye力；3、非极性分子间的瞬时偶极矩产生的力称为London力;由于范德瓦耳斯力引起的吸引能与分子间的距离r的6次方成反比,因此,只有当分子间的距离r很小时范德瓦耳斯力才能起作用;而分子晶体的排斥能与分子间的距离r的12次方成反比,因此排斥能随分子间的距离增加而迅速减少;范德瓦耳斯力没有方向性,也不受感应电荷是否异同号的限制,因此,分子晶体的配位数越大越好;配位数越大,原子排列越密集,分子晶体的结合能就越大,分子晶体就越稳定,在自然界排列最密集的晶体结构为面心立方或六方密堆积结构;7、什麽叫氢键试举出氢键晶体的例子答：氢原子同时与两个负电性较大,而原子半径较小的原子O、F、N等结合,构成氢键;如：水H2O,冰,磷酸二氢钾KH2PO40,脱氧核糖酸DNA等;第三章 1、会推导一维单原子链的色散关系;2、引入玻恩卡门条件的理由是什么答：1 方便于求解原子运动方程.由本教科书的式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.2 与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证参见本教科书§与§. 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3、什么叫格波答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的,这种波就叫格波;4、为什么把格波分为光学支与声学支答：因为晶格振动波矢为N,格波支数为mp,这其中,m支为声学支,mp-1支为光学支;5、长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格非复式格子晶体不存在光学支格波. 6、什么叫声子与光子有何区别答：将格波的能量量子叫声子;声子和光子的区别：光子是一种真实粒子,它可以在真空中存在；但声子是人们为了更好地理解和处理晶格集体振动设想出来的一种粒子,它不能游离于固体之外,更不能跑到真空中,离开了晶格振动系统,也就无所谓声子,所以,声子是种准粒子;声子和光子一样,是玻色子,它不受泡利不相容原理限制,粒子数也不守恒,并且服从玻色-爱因斯坦统计;7.对于一给定的固体,它是否拥有一定种类和数目的声子声子是否携带一定的物理动量,为什么答：8.温度一定,一个光学波的声子和一个声学波的声子数目哪个多,为什么答：频率为ω的格波的平均声子数为因为光学波的频率ω0比声学波的频率ωA高, 大于, 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.9、什么是爱因斯坦模型为什么爱因斯坦模型计算的热容在低温下与实验值不符答：爱因斯坦对晶格振动采用了一个极简单的假设,即晶格中的各原子振动都是独立的,这样所有原子振动都有同一频率; 按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.10.什么是德拜模型为什么温度很低时,德拜近似与实验符合较好,爱因斯坦近似与实验结果的偏差增大为什么德拜近似还不能与实验完全符合答：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.11.对一个具体的晶体,知道晶体中波矢数目、原胞数目、自由度数之间的关系12.用简谐近似下,晶体会有热膨胀吗为什么答：在简谐近似下,1γ=0,晶体不会有热膨胀；当考虑非谐项的贡献时,γ不等于0,则晶体有热膨胀；2由于1/K是体压缩系数,晶体受热时如果容易膨胀,受压时则容易压缩,这显然是由原子间结合键的强弱决定的；3低温下,Cv按T3下降,因此低温下,热膨胀系数会急剧随温度下降;第四章知识点1、什么是点缺陷点缺陷主要有哪些类型,各有什么特点答：点缺陷：它是在格点附近一个或几个晶格常量范围内的一种晶格缺陷;类型有：空位、填隙原子、杂质等;2、线缺陷主要有哪些类型,各有什么特点主要区别是什么答：当晶格周期性的破坏是发生在晶体内部一条线的周围近邻,这就称为线缺陷;主要类型有刃型位错和螺旋位错;刃型位错的位错线与滑移方向垂直,小角晶界上的刃型位错相互平行,小角晶界上位错相隔的距离为D=b/θ;螺旋位错的位错线与滑移方向平行3、伯格斯矢量答：若伯格斯回路所围绕的区域都是好区域,则ma+nb+lc=b,若所围绕的区域内包含有位错线,则ma+nb+lc=b≠0,矢量b就称为伯格斯矢量;4、面缺陷、体缺陷主要有哪些类型答：面缺陷有晶粒间界、堆垛间界；体缺陷有空洞、气泡和包囊物等;5、金属所能承受的切应力为什么小于理论值答：几乎所有晶体中都存在位错,正是由于这些位错的运动导致金属在很低的外加切应力的作用下就出现滑移;因此,晶体中位移的存在是造成金属强度大大低于理论值的主要原因;6、螺位错会对晶体生长有哪些影响答：晶体生长理论表明,为了要在完整晶面上凝结新的一层,关键在于首先要靠着涨落现象在晶面上形成一个小核心,然后原子才能沿它的边缘继续集结生长;而螺旋位错则在晶面表面提供了一个天然的生长台阶,而且,随着原子沿台阶的集合生长,并不会消灭台阶,而是使台阶向前移动;第六章知识点1.在利用能带理论计算晶体能带时,固体是由大量原子组成,每个原子又有原子核和电子,实际上是要解多体问题的薛定鄂方程,而我们要把多体问题转化为单电子问题,需要对整个系统进行简化,试叙述需要哪些简化近似答：首先应用绝热近似,由于电子质量远小于离子质量,电子的运动速度就比离子要大得多,故相对于电子,可认为离子不动,或者说电子的运动可随时调整来适应离子的运动;第二个近似是平均场近似,在多电子系统中,可把多电子中的每一个电子看作在离子场及其他电子产生的平均场中运动这种考虑叫平均场近似;第三个近似是周期场近似,每个电子都在完全相同的严格周期性势场中运动,因此每个电子的运动都可以单独考虑; 2.布洛赫定理的表达形式和布洛赫定理的物理意义答：它表明在不同原胞的对应点上,波函数相差一个相位因子expikRn,相位因子不影响波函数模的大小,所以不同原胞对应点上,电子出现的概率是相同的;3.简述近自由电子模型;答：该模型假设晶体势很弱,晶体电子的行为很像是自由电子,我们可以在自由电子模型结果的基础上用微扰方法去处理势场的影响,这种模型得到的结果可以作为简单金属价带的粗略近似;4.简述紧束缚电子模型;答：原子势很强,晶体电子基本上是围绕一个固定电子运动,与相邻原子存在的很弱的相互作用可以当作微扰处理,所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带的粗略近似;5.在近自由电子模型中,什么条件下会导致二级能量、一级波函数发散;答：。