2018考研数学高分导学班讲义(汤家凤)

（2）矩阵乘法没有交换律。
（3）含方阵 A, B 的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是 AB = BA 。
（4）设 f (x) = an x n + ⋯ + a1x1 + a0 ，则定义 f ( A) = an An + ⋯ + a1 A + a0 E ，且关于矩阵 A
的矩阵多项式可因式分解。
ka2n ⋯
⎟ ⎟
。
⎜⎜ ⎝
kam1
kam2
⋯
kamn
⎟⎟ ⎠
（3）矩阵与矩阵之积：
1
⎛ ⎜
a11
设
A
=
⎜ ⎜
a21 ⋯
a12 a22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
a1n
⎞ ⎟
⎛ ⎜
b11
a2n ⋯
⎟⎟,
B
=
⎜ b21 ⎜⋯
b12 b22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
b1s
⎞ ⎟
b2s ⋯
⎟ ⎟
，则
⎜⎜ ⎝
a
m1
am2
⋯
a
mn
⎟⎟ ⎠
3、矩阵运算 （1）矩阵加、减法：
⎛ ⎜
a11
a12
⋯
a1n
⎞ ⎟
⎛ ⎜
b11
b12
⋯
b1n
⎞ ⎟
A
=
⎜ ⎜
a21 ⋯
a22 ⋯
⋯ ⋯
a2n ⋯
⎟⎟,
B
=
⎜ ⎜
b21 ⋯
b22 ⋯
⋯ ⋯
b2n ⋯
⎟ ⎟
，则
⎜⎜ ⎝
a
m1
am2
⋯
amn
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝
bm1
bm2
⋯
bmn
⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜
a11
±
b11
A
线性方程组的类似问题：讨论方程组 AX = b 的解 情形一： A 是 n 阶方阵，且存在 B ，使得 BA = E 由 AX = b 两边左乘 B 得 BAX = Bb ，于是 X = Bb ； 情形二： A 虽然是 n 阶矩阵，但不存在 B ，使得 BA = E 方程组 AX = b 是否有解及解的情况； 情形三： A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n 方程组 AX = b 是否有解及解的情况。
2013 考研数学高分导学班讲义
线性代数部分—矩阵理论
一、矩阵基本概念
⎛ ⎜
a11
a12
⋯
a1n
⎞ ⎟
1、矩阵的定义—形如
⎜ ⎜
a21 ⋯
a22 ⋯
⋯ ⋯
a2n ⋯
⎟ ⎟
，称为矩阵
m
×
n
，记为
A
=
(aij
) m×n
。
⎜⎜ ⎝
am1
am2
⋯
amn
⎟⎟ ⎠
特殊矩阵有
（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。 （2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。 （3）单位矩阵—主对角线上元素皆为 1 其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。 （4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。 2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个 矩阵相等。
⎪⎩am1x1 + am2 x2 + ⋯ + amn xn = bm
（2）
称（2）为非齐线性方程组。
令
⎛ ⎜
a11
A
=
⎜ ⎜
a21 ⋯
a12 a22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
a1n
⎞ ⎟
⎛ ⎜
x1
⎞ ⎟
⎛ ⎜百度文库
b1
⎞ ⎟
a2n ⋯
⎟ ⎟
，
X
=
⎜ x2 ⎜⋮
⎟ ⎟
，
b
=
⎜ b2 ⎜⋮
⎟ ⎟
，则（1）、（2）可分别表示为矩阵
±
B
=
⎜ ⎜
a21 ± b21 ⋯
⎜⎜ ⎝
a
m1
±
bm1
a12 ± b12 a22 ± b22
⋯
am2 ± bm2
⋯ ⋯ ⋯
a1n
± b1n
⎞ ⎟
a2n ± b2n ⋯
⎟ ⎟
。
⋯
amn
±
bmn
⎟⎟ ⎠
（2）数与矩阵之积：
⎛ ⎜
ka11
kA
=
⎜ ⎜
ka21 ⋯
ka12 ka22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
ka1n
⎞ ⎟
⎜⎜ ⎝
am1
am2
⋯
amn
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝
xn
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝
bm
⎟⎟ ⎠
形式：
AX = O
（1）
2
及
AX = b
对方程组（1）：
（2）
【例题
1】讨论方程组
⎧x1
⎨ ⎩
x1
+ −
x2 = 0 2x2 = 0
解的情况，并分析原因。
【例题
2】讨论方程组
⎧ ⎨ ⎩
x1 x1
− +
x2 x3
+ 2x3 =0
⎜⎜ ⎝
bn1
bn 2
⋯
bns
⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜
c11
c12
⋯
c1s
⎞ ⎟
AB
=
C
=
⎜ ⎜
c21 ⋯
c22 ⋯
⋯ ⋯
c2s ⋯
⎟ ⎟
，
⎜⎜ ⎝
cm1
cm2
⋯
cms
⎟⎟ ⎠
其中 cij = ai1b1 j + ⋯ + ainbnj （ i = 1,2,⋯, m; j = 1,2,⋯, n ）
【注解】
（1） AB = O 不一定有 A = O 或 B = O 。
2、两个问题
【问题 1】给定一个 n 阶矩阵 A ，是否存在可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？ 【问题 2】 若 n 阶矩阵 A 可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？
3、矩阵可逆充分必要条件
定理设 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是| A |≠ 0 。
4、求矩阵逆阵的方法 方法一：伴随矩阵法（略） 方法二：初等变换法 第一步 方程组的三种同解变形 （1）对调两个方程的位置方程组的解不变； （2）某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变； （3）某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。 第二步 矩阵的三种初等行变换 （1）对调矩阵的两行； （2）矩阵的某行同乘以一个非零常数； （3）矩阵某行的倍数加到另一行。 第三步 三种初等矩阵
=
0
解的情况，并分析原因。
对方程组（2）：
【例题
1】讨论方程组
⎧ ⎨ ⎩
x1 x1
− +
x2 x2
= =
3
解的情况，并分析原因。
−1
【例题
2】讨论方程组
⎧ ⎨ ⎩
x1 x2
+ x2 + x3
− x3 =2
=1
解的情况，并分析原因。
【例题
3】讨论方程组
⎧x1 + x2 = 1 ⎩⎨2x1 + 2x2 =
【注解】 （1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。 （2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。 四、矩阵两大核心为题 （一）逆阵
1、定义—设 A 为 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B ，使得 BA = E ，则称 A 为可逆矩阵， B 称为 A
3
的逆矩阵，记为 B = A−1 。
4
解的情况，并分析原因。
三、矩阵问题的产生
初一数学问题：解一元一次方程 ax = b
情形一：当 a ≠ 0 时， ax = b 两边同时乘以 1 得 1 × ax = 1 × b ，于是 x = b ；
aa
a
a
情形二：当 a = 0, b ≠ 0 时，方程 ax = b 无解；
情形三：当 a = 0,b = 0 时，方程 ax = b 有无数个解。
二、方程组的矩阵形式及解的概况
方程组的基本形式为
⎧a11x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 ⎪⎪a21x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn = 0 ⎪⎨⋯
⎪⎩am1x1 + am2 x2 + ⋯ + amn xn = 0
（1）
称（1）为齐次线性方程组。
⎧a11x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 ⎪⎪a21x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn = b2 ⎪⎨⋯