2018考研数学高分导学班讲义(汤家凤)

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文都数学基础班概率统计汤家凤

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变量豸的分布函数。【注解 1】分布函数的四个特征为
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2023汤家凤高数辅导讲义重点题型讲解

2023汤家凤高数辅导讲义重点题型讲解一、序言2023年，汤家凤高数辅导讲义将成为备考学生的必备教材。

汤家凤老师是国内知名的高数教育专家，他的辅导讲义在备考学生中享有很高的声誉。

本文将针对2023汤家凤高数辅导讲义中的重点题型进行深度解析，帮助学生更好地掌握和运用这些题型。

二、基础概念的理解和掌握1. 导数与微分在2023汤家凤高数辅导讲义中，导数与微分是极为重要的章节之一。

我们需要理解导数和微分的基本概念。

导数表示函数在一点上的变化率，而微分是一元函数在某一点附近的线性近似。

这两个概念对于理解函数的变化规律和求解最优化问题至关重要。

2. 不定积分和定积分不定积分和定积分是高数中的核心内容之一，也是汤家凤高数辅导讲义中的重点。

不定积分是原函数的概念，而定积分则表示函数在区间上的“累积”效应。

学生需要熟练掌握不定积分和定积分的计算方法，并理解它们在几何和物理上的应用。

3. 微分方程微分方程作为高数的重要内容，也是2023汤家凤高数辅导讲义中的难点之一。

微分方程描述了变化的规律，它在物理、生物、经济等领域中有着广泛的应用。

学生需要理解微分方程的基本概念和解法，掌握常见的微分方程模型及其应用。

三、深入拓展和综合运用1. 高阶导数和高阶微分在2023汤家凤高数辅导讲义中，高阶导数和高阶微分是需要深入拓展的内容。

高阶导数和高阶微分可以帮助我们更好地理解函数的性质，揭示曲线的突变点和拐点。

学生需要掌握高阶导数和高阶微分的计算方法，并能够灵活运用它们解决实际问题。

2. 曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分是2023汤家凤高数辅导讲义中的拓展内容，也是考察学生综合运用能力的重点。

曲线积分和曲面积分是多元函数的积分形式，它们在物理和工程等领域中有着重要的应用。

学生需要深入理解曲线积分和曲面积分的概念，掌握其计算方法，并能够灵活运用于实际问题的求解。

四、个人观点和总结回顾2023汤家凤高数辅导讲义中的重点题型涵盖了高数的基础概念和拓展内容，它既具有挑战性又具有实用性。

2018考研数学高数基础讲解

证毕 .
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学, 有同济六版或者七版的课本即可可以查看．
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新东方在线 [w w w． k o o l e a r n ． c o m] 考研数学网络课堂电子教材系列
第一讲㊀极限
核心考点综述
) 定义１ ) 性质２ ) 计算３ ) 应用４
一㊁定义
函数极限１．
( ) 当 x＞X 时 , 有２ ∀ ε＞０, ∃X ＞０,

考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤)

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为n 阶行列式，规定n nn nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑-=τ。

定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如na a a 00000021称为对角行列式，n n a a a a a a212100000=。

2、上（下）三角行列式—称nnn na a a a a a 022211211及nnn n a a a a aa212221110为上（下）三角行列式，nn nnnn a a a a a a a a a221122211211000=，nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=。

3、||||B A BO O A ⋅=，||||B A BO C A ⋅=，||||B A BCO A ⋅=。

4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(---=n nn n nn a a a a a a a a a V称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j i n nn n nn a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==1112112121)(111),,,(。

考研数学高分导学班讲义汤家凤

考研数学高分导学班讲义汤家凤课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。

此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。

汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。

汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。

深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。

4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。

特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。

（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。

（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。

（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。

2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。

若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。

考研数学汤家凤《概率论与数理统计辅导讲义》

概率论与数理统计概率论与数理统计是一门研究客观世界随机现象及其统计规律的学科，也是高等院校工程类和经济管理类专业的一门重要的基础课，更是全国硕士研究生招生考试数学一和数学三的重要考查内容，分值约占总分的20%。

本书根据概率论与数理统计课程的教学要求及全国硕士研究生招生考试的数学考试大纲编写而成。

本书作者在高校从事概率统计教学工作接近三十年，指导全国硕士研究生招生考试数学（包括高等数学、线性代数、概率统计）复习二十六年，有极其丰富的教学经验。

本书理论体系清晰系统，原理讲解深入浅出、通俗易懂，重要考点把握精准。

使用本书可以帮助考生迅速掌握概率统计的理论架构，提高考生分析问题、解决问题的能力。

本书的主要特点有：1.对各章知识进行系统总结基本概念理解到位、理解原理和性质的内涵及使用方法，清晰易懂，层次分明。

关键知识点后添加必要的注解，使重点更加突岀，提高相应知识的深度和广度。

2.对各章基本题型及重要考点进行分类与高等数学和线性代数相比，概率统计的重要考点相对较少，本书将每章的重要考点以题型的形式总结出来，同时在各题型中安排各章的小考点，给出各种题型的规范解法和解题思路，方法力求简明扼要。

希望本书的出版能帮助考生在较短的时间内，系统掌握概率统计的基本理论、基本题型及解题方法，提高利用数学理论解决实际问题的能九轻松应对研究生入学考试的概率统计部分。

本书可作为高校概率统计课程配套的参考资料，也可作为成人教育、教师和科技工作者的参考用书，希望本书能成为广大读者的良师益友。

本书若有不到之处，恳请读者批评指正。

汤老师微博汤老师微信公众号汤老师一直播ID：186288809汤家凤2021年3月于南京S^CONTENTS^^第一章随机事件与概率 (1)本章理论体系 (1)经典题型讲解 (7)题型一事件的关系与运算、概率基本公式 (7)题型二事件的独立性 (9)题型三三种常见的概型 (10)题型四全概率公式与贝叶斯公式 (11)第二章一维随机变量及其分布 (15)本章理论体系 (15)经典题型讲解 (20)题型一一维离散型随机变量的分布律与分布函数 (20)题型二一维连续型随机变量的概率密度与分布函数 (23)题型三一维既非离散又非连续型随机变量的分布函数 (28)题型四随机变量函数的分布 (28)第三章二维随机变量及其分布 (35)本章理论体系 (35)经典题型讲解 (40)题型一二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布 (40)题型二二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布 (42)题型三二维随机变量的条件分布、独立性 (45)题型四二维随机变量函数的分布 (51)第四章随机变量的数字特征 (61)本章理论体系 (61)经典题型讲解 (64)题型一离散型随机变量的数字特征 (64)题型二连续型随机变量的数字特征 (69)题型三多维随机变量的数字特征 (70)题型四相关性与独立性 (74)第五章大数定律与中心极限定理 (78)本章理论体系 (78)经典题型讲解 (80)1题型一切比雪夫不等式 (80)题型二大数走律 (81)题型三中心极限定理 (81)第六章数理统计基本概念 (84)本章理论体系 (84)经典题型讲解 (90)题型一统计量的基本概念 (90)题型二三个扌由样分布 (91)题型三分位点 (95)题型四统计学的数字特征与概率 (96)第七章参数估计 (99)本章理论体系 (99)经典题型讲解 (104)题型一离散型总体参数的点估计 (104)题型二连续型随机变量参数的点估计 (106)题型三估计量的无偏性（数学三不要求） (111)题型四参数的区间估计（数学三不要求） (115)第八章假设检验（数学三不要求） (117)本章理论体系 (117)经典题型讲解 (122)题型一-个正态总体的假设检验 (122)题型二两个正态总体的假设检验 (123)2机事件与概率藝存彖一、随机试验与随机事件定义H随机试验设E为随机试验，若满足如下条件：(1)在相同的条件下该试验可重复进行；(2)试验的结果是多样的且所有可能的结果在试验前都是确定的；(3)某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，简称试验，一般用字母E表示.定义何样本空间设E为随机试验，随机试验E的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验E的样本空间，记为0,0中的任意一个元素称为样本点.(1)样本空间中所有元素为随机试验的最基本的结果，即所有元素都具有不可再分性；(2)样本空间必须是所有可能的基本结果，即具有完备性，且同一个基本结果在样本空间中只出现一次.定义❸随机事件设E为随机试验4为其样本空间，则O的子集称为随机事件，其中0称为不可能事件称为必然事件.例如：一个均匀的正六面体的骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6,随机扔骰子，该试验骰子朝上一面的数字的样本空间为0={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},表示“扔骰子后朝上的面的数为偶数”，事件B={1,2,3},表示“扔骰子后朝上的面的数不超过3”.二、事件的运算与关系(-)事件的运算定义❹事件的积设为两个随机事件，则事件A与事件B同时发生的事件.称为事件的积事件，记为43或A A B,如图1-1所示.图1-11>»考研数学概率论与数理统计辅导教程定义目事件的和设A,£为两个事件，则事件A或事件£发生的事件（或事件A,B至少有一个发生的事件），称为事件的和事件，记为A+B或A U如图1-2所示.AUB图1-2定义❻事件的差设A,B为两个随机事件，则事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件的差事件，记为A—3,如图1-3所示.A-B图1-3定义❼出件的补设。

数一140高分学长经验分享

学⻓长介绍：⼀一⽴立学⻓长：2020年年考⽣生，本科就读于⼀一所⼆二本学校，专业是⾃自动化。

今年年报考的的院校是北北京交通⼤大学-控制⼯工程专业。

数学考试内容为数学⼀一，成绩是140分。

寒假开始准备考研，在家期间，每天看⽹网课，做做笔记；开学后每天学习11+⼩小时，后期就算为了了保障专业课和政治的学习时间，每天也会分给数学3⼩小时的时间做⼀一套真题或者模拟题，保持做题的⼿手感。

Part1资料料课程选择Q：数学复习需不不需要看课本呢？A：我复习的时候是没有看课本的，当然如果你觉得⾃自⼰己基础很薄弱也可以看⼀一下，但不不作为重点，也不不要花费太⻓长时间。

Q：复习材料料那么多，学⻓长有什什么⽐比较好的推荐吗？A：对于基础阶段使⽤用的知识点讲义，我的推荐是：张宇《⾼高数⼗十⼋八讲》或汤家凤《⾼高等数学辅导讲义》+李李永乐《线性代数辅导讲义》+王式安《概率与数理理统计辅导讲义》⾼高等数学：汤家凤辅导讲义特别适合前期基础阶段的学习，张宇的18讲适合在中期强化阶段使⽤用，建议搭配张宇强化班结合使⽤用。

线性代数：李李永乐的线代辅导讲义质量量上乘，推荐率100%。

这本书既适合前期基础阶段使⽤用，⼜又可以在中期强化阶段⽤用于巩固。

概率论与数理理统计：概率论这⻔门课程难度不不⼤大，各个⽼老老师及辅导讲义相差不不⼤大，这⾥里里就以王式安的概率论辅导讲义为例例，适合巩固阶段结合他的强化班课程使⽤用。

Q：学⻓长能给我们再推荐⼀一下需要做的习题吗？A：张宇《1000题》或或李李永乐《660》+张宇《闭关修炼》张宇《1000题》：如果你基础⽐比较好，对各种概念能吃透，且注重思维能⼒力力的提升，1000题是最好的选择。

汤家凤《接⼒力力题典1800》：如果你的数学基础较差，或者数学思维没有那么强，那你可以先⽤用汤家凤的1800题集的基础篇巩固⾃自身基础，再利利⽤用提⾼高篇来对概念进⾏行行深挖，对原理理进⾏行行拓拓展，为前期的基础复习阶段打下牢固基础。

[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。

3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。

著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。

凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。

深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

4、讲义：6页（电子版）文都网校2011年5月27日公开课二：定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。

（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= ，其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini it f S ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f S ∆=∑=→)(lim1ξλ2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini ix f A ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f A ∆=∑=→)(lim1ξλ。

二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作ini ix f ∆∑=)(1ξ；（3）取}{m a x 1i ni x ∆=≤≤λ，若ini ix f ∆∑=→)(lim 1ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ。

【15考研公共课-讲义】2015考研数学导学班辅导讲义-汤家凤20131028-16页

2015考研数学导学班辅导讲义高等数学部分第一章极限与连续第一部分函数的初等特性1、函数的奇偶性—设函数)(x f 的定义域关于原点对称，若)()(x f x f =−，称)(x f 为偶函数；若)()(x f x f −=−，称)(x f 为奇函数。

【例1】判断函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数。

2、函数的周期性—设)(x f 的定义域为D ，若存在0>T ，使得对任意的D x ∈，有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，称)(x f 为周期函数。

【例2】讨论函数][)(x x x f −=的周期性。

3、函数的单调性—设对任意的D x x ∈21,且21x x <，有)()(21x f x f <，称)(x f 在D 上为单调增函数，反之称为单调减函数。

4、函数的有界性—若存在0>M ，对任意的D x ∈，有M x f ≤|)(|，称)(x f 在D 上有界。

第二部分极限一、定义1、极限的定义（1）数列极限(N −ε)—若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<−||A a n 成立，称数列}{n a 以A 为极限，记为A a n n =∞→lim 。

（2）函数)(x f 当a x →时的极限（δε−）—若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<−<||0a x 时，有ε<−|)(|A x f 成立，称A 为)(x f 当a x →时的极限，记为A x f ax =→)(lim 。

（3）函数)(x f 当∞→x 时的极限（X −ε）—若对任意的0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<−|)(|A x f成立，称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为A x f x =∞→)(lim 。

【注解】（1）a x →的含义为⎩⎨⎧+→−→≠a x a x ax 和。

考研数学高分导学班讲义汤家凤

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。

此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。

汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。

汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。

深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。

4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ⨯，记为n m ij a A ⨯=)(。

特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。

（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。

（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。

（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。

2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。

若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。

考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤)-精选.pdf

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i,是一对不等的正整数，若j i，则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211称为n 阶行列式，规定nnn nj jj j j j j j j a a a D21212121)()1(。

定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1n 行和1n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ijM A )1(为元素ij a 的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如n a a a 00000021称为对角行列式，n na a a a a a 212100000。

2、上（下）三角行列式—称nn n n a a a a a a 0022211211及nnn n a a a a a a 21222111000为上（下）三角行列式，nn nnn n a a a a a a a a a 2211222112110，nn nnn n a a a a a a a a a 22112122211100。

3、||||B A BOO A ，||||B A BOC A ，||||B A BCO A 。

4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(n nn n n n aaaa a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j in nn n n n a a aaaa a a a a a V 1112112121)(111),,,(。

考研数学强化班高等数学讲义汤家凤

第一讲极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限：（ 1） lim111；n13 35(2n1)(2n 1)（ 2） limnk 3 1 ；1nk 2k 3n（ 3） lim [nk 11] n ；k (k 1)2．求以下极限：（ 1） lim111；222n4n 14n24nn3．求以下极限：（ 1） lim111；22222nn 2 n n21 n（ 2） lim nn!；nnn 1（ 3） lim。

ni2i 11nn种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：（ 1） lim cos x cos xcos x(x0) ；( n 1) n 112 n （ 2） limnsin；n222nnn2．求以下极限：1（ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ；x 011（ 3） lim1 tan x x 3ln(1 2 x)（4） lim cos1 sin x；xx 0x种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1．求以下极限：x 2；（ 1） lim1 tan x 1 sin x ；（ 2） lime tan xe x ；x 0x(1 cosx) x 0x(1 cosx)（ 3） lim1 2 cos xx1] ；（ 4） lim (11) ；x 3 [(3)x 2tan 2x 0xx（ 5） lim(3 x) x3 x2；x 0xln(1 f (x) ) f (x)（ 6）设 lim sin xA ，求 lim 。

x2x 0 a 1 x 0 xx 22．求以下极限： lim cos x e 23x 0x sin x种类四：极限存在性问题：1．设 x 1 1, x n 11 x n0 ，证明数列 { x n } 收敛，并求 lim x n 。

nnn2．设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续， a nf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：k11lim a n 存在。

2023汤家凤高数辅导讲义重点题型讲解

2023汤家凤高数辅导讲义重点题型讲解2023汤家凤高数辅导讲义重点题型讲解一、引言在学习高数的过程中，很多同学常常会遇到一些难以理解的题型，对于这些难点如何去解决，很多同学表示困惑。

针对这一问题，2023汤家凤高数辅导讲义给出了重点题型讲解，帮助学生更好地掌握高数知识。

本文将围绕2023汤家凤高数辅导讲义中的重点题型展开讲解，帮助大家更好地理解和掌握这些题型。

二、基本概念在开始具体的题型讲解之前，首先需要对一些基本概念进行梳理和理解。

在高数学习中，函数、极限、导数、积分等概念是非常重要的基础知识。

在2023汤家凤高数辅导讲义中，对这些基本概念进行了系统全面的讲解，以便学生能够建立起牢固的基础。

只有在理解了这些基本概念之后，才能更好地应对各种题型的解答。

三、重点题型讲解1.函数的应用在高数学习中，函数的应用是一个非常重要的内容。

2023汤家凤高数辅导讲义中对函数的应用进行了深入浅出的讲解，从一些基本的函数图像分析到函数的极值、最值等题型的讲解。

通过对函数的应用进行系统的学习，可以帮助学生更好地理解和掌握函数的相关知识。

2.极限的计算极限是高数学习中的难点之一，在解题过程中经常会遇到各种各样的极限计算题型。

2023汤家凤高数辅导讲义中对极限的计算进行了详细的讲解，涵盖了极限的性质、极限存在的条件、无穷小量的化简等内容。

通过对极限的计算进行系统的学习，可以帮助学生更好地掌握极限的计算方法。

3.导数的应用导数作为高数学习中的重要内容，其应用也是非常广泛的。

在2023汤家凤高数辅导讲义中，对导数的应用进行了全面的讲解，包括了导数的概念、性质、求导法则以及导数在各种问题中的应用等内容。

通过对导数应用进行系统的学习，可以帮助学生更好地理解和掌握导数的相关知识。

4.积分的计算积分作为高数学习中的重要内容，其计算也是需要重点掌握的部分。

在2023汤家凤高数辅导讲义中，对积分的计算进行了详细的讲解，包括了不定积分、定积分、换元积分法、分部积分法以及积分在各种问题中的应用等内容。

2018考研数学：三点高分技巧

2018考研数学：三点高分技巧考研数学每年考试分数差距很大，高分并没有什么秘诀，而是把以某些方面都做得特别好，希望2018年考生在考研数学复习过程中能够按照以下几点要求自己。

一、必记的一定要熟记例如学习微积分的时候，先把这四个公式记住：1、等价无穷小2、基本求导微分公式3、基本积分公式4、基本泰勒公式这四个公式相当于微积分里的基本工具，是全书都需要用到的。

很多同学表示没关系，用到的时候再去查，感觉那样很是消耗信心和耐心的。

另外还有就是一些基本概念和定理，以高数第一章为主：1、数列、函数的极限定义2、极限的保号性定理3、等价无穷小、同阶、高阶、低阶无穷小的定义4、函数连续的定义5、闭区间上连续函数的定理等等这些同样属于考研数学中基本元素，一定掌握到一定程度，不能似懂非懂。

每多记一次，就会多一度理解。

二、掌握必考的逻辑和思维比如求极限每年都是必考的，题型也比较固定。

这就属于我们必须要掌握住的题型和方法，一般按照如下步骤进行：1、判断类型2、简单代换(无穷小代换或者倒代换)把分母变为一项3、拆分组合;能拆就拆，拆不了就合4、洛必达或者泰勒公式还有间断点和渐近线也是每年必考的。

关于间断点，我们要知道，间断点就考两类：1、可去间断点(就是求极限)2、无穷间断点(就是求垂直渐近线)还要知道求渐进线的基本步骤：1、先求垂直渐近线(找没有定义的点)2、再求水平渐近线(分左右两侧趋近)3、最后求斜渐近线(分左右两侧趋近)4、切记同一侧水平渐近线和斜渐近线不能同时存在。

三、锻炼良好的数学心态数学中考的全部是主流的重难点，绝没什么偏题、怪题、难题。

从当年的拉式中值定理证明到今年积的求导法则证明;更加偏向基础以及学生对基础问题的掌握熟练程度。

因此是否真的对主流的知识点掌握到一定程度至关重要。

但是即使这样很多学生在复习过程中，也一直患得患失：万一考了怎么办。

其实很简单：考了就考了，在数学中不要怕什么万一，就算真有万一，把万分之9999掌握住也足够了。

2019考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)-7页word资料

课程配套讲义说明1、配套课程名称2019年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2019年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。

3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。

著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。

凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。

深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

（1）取b t t t a n =<<<=Λ10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃=Λ，其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini it f S ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f S ∆=∑=→)(lim1ξλ2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

（1）取b x x x a n =<<<=Λ10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃=Λ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini ix f A ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f A ∆=∑=→)(lim1ξλ。

二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<=Λ10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃=Λ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作ini ix f ∆∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，若ini ix f ∆∑=→)(lim1ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ。

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ka2n ⋯
⎟ ⎟
。
⎜⎜ ⎝
kam1
kam2
⋯
kamn
⎟⎟ ⎠
（3）矩阵与矩阵之积：
1
⎛ ⎜
a11
设
A
=
⎜ ⎜
பைடு நூலகம்
a21 ⋯
a12 a22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
a1n
⎞ ⎟
⎛ ⎜
b11
a2n ⋯
⎟⎟,
B
=
⎜ b21 ⎜⋯
b12 b22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
b1s
⎞ ⎟
b2s ⋯
⎟ ⎟
，则
⎜⎜ ⎝
a
m1
am2
⋯
a
mn
⎟⎟ ⎠
4
解的情况，并分析原因。
三、矩阵问题的产生
初一数学问题：解一元一次方程 ax = b
情形一：当 a ≠ 0 时， ax = b 两边同时乘以 1 得 1 × ax = 1 × b ，于是 x = b ；
aa
a
a
情形二：当 a = 0, b ≠ 0 时，方程 ax = b 无解；
情形三：当 a = 0,b = 0 时，方程 ax = b 有无数个解。
3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：
⎛ ⎜
a11
a12
⋯
a1n
⎞ ⎟
⎛ ⎜
b11
b12
⋯
b1n
⎞ ⎟
A
=
⎜ ⎜
a21 ⋯
a22 ⋯
⋯ ⋯
a2n ⋯
⎟⎟,
B
=
⎜ ⎜
b21 ⋯
b22 ⋯
⋯ ⋯
b2n ⋯
⎟ ⎟
，则
⎜⎜ ⎝
a
m1
am2
⋯
amn
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝
bm1
bm2
⋯
bmn
⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜
a11
±
b11
A
【注解】（1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。（2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。四、矩阵两大核心为题（一）逆阵
1、定义—设 A 为 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B ，使得 BA = E ，则称 A 为可逆矩阵， B 称为 A
3
的逆矩阵，记为 B = A−1 。
⎜⎜ ⎝
bn1
bn 2
⋯
bns
⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜
c11
c12
⋯
c1s
⎞ ⎟
AB
=
C
=
⎜ ⎜
c21 ⋯
c22 ⋯
⋯ ⋯
c2s ⋯
⎟ ⎟
，
⎜⎜ ⎝
cm1
cm2
⋯
cms
⎟⎟ ⎠
其中 cij = ai1b1 j + ⋯ + ainbnj （ i = 1,2,⋯, m; j = 1,2,⋯, n ）
【注解】
（1） AB = O 不一定有 A = O 或 B = O 。
2、两个问题
【问题 1】给定一个 n 阶矩阵 A ，是否存在可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？【问题 2】若 n 阶矩阵 A 可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？
3、矩阵可逆充分必要条件
定理设 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是| A |≠ 0 。
4、求矩阵逆阵的方法方法一：伴随矩阵法（略）方法二：初等变换法第一步方程组的三种同解变形（1）对调两个方程的位置方程组的解不变；（2）某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变；（3）某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。第二步矩阵的三种初等行变换（1）对调矩阵的两行；（2）矩阵的某行同乘以一个非零常数；（3）矩阵某行的倍数加到另一行。第三步三种初等矩阵
2013 考研数学高分导学班讲义
线性代数部分—矩阵理论
一、矩阵基本概念
⎛ ⎜
a11
a12
⋯
a1n
⎞ ⎟
1、矩阵的定义—形如
⎜ ⎜
a21 ⋯
a22 ⋯
⋯ ⋯
a2n ⋯
⎟ ⎟
，称为矩阵
m
×
n
，记为
A
=
(aij
) m×n
。
⎜⎜ ⎝
am1
am2
⋯
amn
⎟⎟ ⎠
特殊矩阵有
（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为 1 其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。 2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。
⎜⎜ ⎝
am1
am2
⋯
amn
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝
xn
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝
bm
⎟⎟ ⎠
形式：
AX = O
（1）
2
及
AX = b
对方程组（1）：
（2）
【例题
1】讨论方程组
⎧x1
⎨ ⎩
x1
+ −
x2 = 0 2x2 = 0
解的情况，并分析原因。
【例题
2】讨论方程组
⎧ ⎨ ⎩
x1 x1
− +
x2 x3
+ 2x3 =0
线性方程组的类似问题：讨论方程组 AX = b 的解情形一： A 是 n 阶方阵，且存在 B ，使得 BA = E 由 AX = b 两边左乘 B 得 BAX = Bb ，于是 X = Bb ；情形二： A 虽然是 n 阶矩阵，但不存在 B ，使得 BA = E 方程组 AX = b 是否有解及解的情况；情形三： A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n 方程组 AX = b 是否有解及解的情况。
=
0
解的情况，并分析原因。
对方程组（2）：
【例题
1】讨论方程组
⎧ ⎨ ⎩
x1 x1
− +
x2 x2
= =
3
解的情况，并分析原因。
−1
【例题
2】讨论方程组
⎧ ⎨ ⎩
x1 x2
+ x2 + x3
− x3 =2
=1
解的情况，并分析原因。
【例题
3】讨论方程组
⎧x1 + x2 = 1 ⎩⎨2x1 + 2x2 =
二、方程组的矩阵形式及解的概况
方程组的基本形式为
⎧a11x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 ⎪⎪a21x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn = 0 ⎪⎨⋯
⎪⎩am1x1 + am2 x2 + ⋯ + amn xn = 0
（1）
称（1）为齐次线性方程组。
⎧a11x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 ⎪⎪a21x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn = b2 ⎪⎨⋯
⎪⎩am1x1 + am2 x2 + ⋯ + amn xn = bm
（2）
称（2）为非齐线性方程组。
令
⎛ ⎜
a11
A
=
⎜ ⎜
a21 ⋯
a12 a22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
a1n
⎞ ⎟
⎛ ⎜
x1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
b1
⎞ ⎟
a2n ⋯
⎟ ⎟
，
X
=
⎜ x2 ⎜⋮
⎟ ⎟
，
b
=
⎜ b2 ⎜⋮
⎟ ⎟
，则（1）、（2）可分别表示为矩阵
±
B
=
⎜ ⎜
a21 ± b21 ⋯
⎜⎜ ⎝
a
m1
±
bm1
a12 ± b12 a22 ± b22
⋯
am2 ± bm2
⋯ ⋯ ⋯
a1n
± b1n
⎞ ⎟
a2n ± b2n ⋯
⎟ ⎟
。
⋯
amn
±
bmn
⎟⎟ ⎠
（2）数与矩阵之积：
⎛ ⎜
ka11
kA
=
⎜ ⎜
ka21 ⋯
ka12 ka22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
ka1n
⎞ ⎟
（2）矩阵乘法没有交换律。
（3）含方阵 A, B 的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是 AB = BA 。
（4）设 f (x) = an x n + ⋯ + a1x1 + a0 ，则定义 f ( A) = an An + ⋯ + a1 A + a0 E ，且关于矩阵 A
的矩阵多项式可因式分解。

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