常见不等式

1、算术-几何平均值不等式

在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。

设为个正实数，它们的算术平均数是

，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：

等号成立当且仅当。

2、柯西不等式

二维形式

(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2

等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)

扩展：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+..

.+an·bn)^2

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)

三角形式

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√*(a+c)^2+(b+d)^2+

等号成立条件：ad=bc

注：“√”表示平方根

3、托勒密定理、托勒密不等式

圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对

角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、

托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅

当共圆或共线。

4、费马点

在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。（3）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。

三角形中费马点的找法：

当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。

5、莱布尼茨定理

点A\B\V