第三章电磁波的传播

式可以统一表示成如下的波动方程：
∇2ξ
− μ0ε0
∂2ξ ∂t 2
=0
这显示电磁场将以波的方式运动。
(3.1.4)
2
波动方程是线性齐次微分方程，可以用分离变量法求
解。假定这波动方程ξ的(rK解,t具) =有ξ以(rK下)分f (离t )变量的形式：
将这个分离变量形式的解代入(3.1.4)式，将时间部分与空间
能够通过适当的组合给出振动解。 现在考虑(3.1.5)式的第二个方程的求解。为了书写的简
便，令 k 2 = μ0ε0ω 2 ，这个方程变成
3
∇
2ξ
(
K r
)
+
k
2ξ
(
K r
)
=
0
(3.1.6)
这个方程叫做亥姆霍兹方程，它与波动方程(3.1.4)类似，也 是一个线性齐次微分方程，可以用分离变量法求解。假定这
T0
(3.1.10)和(3.1.11)式告诉我们，在国际单位制中，电场强度
与磁感应强度有不同的量纲，并不具有可比性。但是，(3.1.12) 式却显示，两者对能量密度有相同的贡献。从这个意义上说，
电波与磁波是等强度的。
§3.2 导体中的电磁波
当电磁波在导体中传播时，其中的电波会引起传导电流
而产生焦耳热，消耗电磁波的能量，使波出现阻尼。在静电
(3.2.8)
波的阻尼体现为波幅随时间衰减，在空间的每一点，电磁场
逐渐消失，电磁能转化为焦耳热。电磁场在导体内产生的瞬
间扰动正是属于这种情况。
的虚如部果必频为率非为负实：的kK，=则βK波+矢iαK必，为其复中的实，部由与阻虚尼部的的特方点向知不它
必是一致的。在这种情况下，电磁场的分量必定是这样的：
个分量是独立的，每个分量包含实振幅和初相位，共四个独
立的实参量；另一方面，由波矢与频率的关系可知，在波矢
的三个分量和角频率中，只有三个独立的参量；因此，描写
平面电波共需要七个实参量。如果考虑的是磁场，则将磁场
的解代入散度方程：
∇
⋅
K B
= =
iekK−i⋅ωBtKBK00ei⋅(∇kK⋅rKe−ωikKt⋅)rK
1
第三章 电磁波的传播
§3.1 平面电磁波
麦克斯韦方程组指出，不仅电荷与电流能够产生电磁
场，变化的电磁场也能在邻近区域产生新的电磁场。考虑
一个没有电荷和电流的真空区域，在这个区域中，电磁场
满足以下方程：
K ∇⋅E =0 ,
∇
×
K E
=
−
K ∂B
K ∇⋅B =0 ,
∇
×
K B
=
∂t μ0ε 0
K ∂E ∂t
~ 1018 s−1
,
τ = ε ~ 10−18 s σ
由此可见，无论初始时刻导体内部的自由电荷有怎样的分
布，这分布总会随时间很快地衰减。在导体内，麦克斯韦方
程组最终可以改写K 成这样： ∇⋅E = 0 , ∇×
K E
=
− BK
K ∇⋅B =0 ,
∇
×
K B
=
μσ
K E
+
με
EK
( ) ( ) 对电场的旋度方程的K 两边取旋度K： K
(3.2.7)
这关系显示，波矢的各个分量与频率这四个数至少有一个是
8
复数。两种情况体现了波的两种不同的阻尼方式。
如果波矢为实的，则频率必为复的。由阻尼的物理特性
得知频率的虚部必为负：ω = ω0 − iω1 。电磁场的分量有这
样的形式：
ξ ξ = e e ( ) −ω1t i kK⋅rK−ω0t 0
与真空的情况类似，电磁场的分量满足同样的波动方程：
∇2ξ − μσ ∂ξ − με ∂2ξ = 0
∂t
∂t 2
(3.2.5)
这是带阻尼的波动方程，阻尼来自由电场引起的传导电流。
有阻尼的波动方程的特解仍然可以写成：
ξ = ξ0ei(kK⋅rK−ωt)
把这个特解代入波动方程中得到：
(3.2.6)
k 2 = μεω2 + iμσω
k ⋅E =k ⋅B=0
(3.1.9)
这显示电磁波的振幅矢量与波矢垂直，因此，散度方程被称
为电磁波的横波条件。电场和磁场的旋度方程则给出：
K B
=
1
kˆ
×
K E
,
K E
=
ckˆ ×
K B
c
(3.1.10)
当考虑真实的物理量时，电场与磁场的关系式，比说如
(3.1.10)式，要视为实部或虚部的关系：
Re
K
∇ × ∇ × E = ∇ ∇ ⋅ E − ∇2E = −∇2E
= −∇ × BK = −μσ EK − με EK
课外练习：利用推 导 (3.2.3) 式 的 方
由此得到电场满∇足2EK的−微μ分σ 方∂E程K −：με
K ∂2E
=
0
∂t
∂t 2
法推导(3.2.4)式。 (3.2.3)
对磁场可以做同∇样2BK的−运μ算σ ，∂∂B最tK −终μ得ε 到∂∂2t磁B2K场=满0 足的微分(方3.程2.4：)
×
EK0 ei( kK⋅rK −ωt )
=
1
KK k×E
=
1
kˆ
×
K E
ω
c
5
磁波的参量完全被电波的参量所确定，它们有相同的波矢和
角频率，振动方向相互垂直并与传播方向垂直。需要注意的
是，在上述推导中，所有公式在与实测对应时都必须理解成
取实部或虚部。
从上面的推导中看到K ，K 电场K 和K磁场的散度方程给出：
个方程具有以下分ξ 离(rK变) =量X形(式x)的Y解( y：) Z ( z )
将这个解代入(3.1.6)式，得到如下恒等式：
X ′′ + Y ′′ + Z ′′ + k 2 = 0 XYZ
与上述讨论相似，三个导数项必须分别等于某个常数，才能
使这个方程在任意位置成立。由此得到三个单变量的方程：
X ′′ +
理上的解应该被理解成上述复数解的实部或者虚部。从
(3.1.8)式可以看出kK，⋅这rK −个ω特t 解= k描r/写/ −的ω波t =的C等相面满足
显然，这是一个是平面(图 3.1.1)。因此，(3.1.7)式或(3.1.8)
式描写的是一个平面电磁波。同一时刻相位相差 2π 的两个
等相面之间的kK距⋅(离rK1 −叫rK做0 )波=长k (：r1 − r0 ) = kλ = 2π
(3.1.1)
( ) 对第二个方程的两边取旋度运算： K ∇ × ∇ × E = −∇ ×
K ∂B
∂t
( ) ( ) 利用矢量运算规则将K 左边展开，K并利用K第一个方K程得： ∇ × ∇ × E = ∇ ∇ ⋅ E − ∇2E = −∇2E
( ) 将对磁场∇取×时∂∂间BtK导=数∂∂t与∇取×旋BK度运= μ算0的ε0顺∂∂2序tE2K颠倒：
μ0
= kˆ
ε0
Re
K E
2
=
kˆcw
μ0
(3.1.13)
取平面电磁波的传播方向为
w = ε0
K Re E
2
z 轴，则能量密度：
= ε0 E0x 2 cos2 (kz −
ωt
+
α
x
)
( ) +ε0 E0 y 2 cos2 kz − ωt + α y
这说明空间中任意点的能量密度都随时间变化。由于电磁波
而，有限性的要求导致只有负指数的项才有真实的物理意
义。于是，当κ > 0 时， f (t ) ~ e− κt 。这种情况给出了一
个随时间衰减的解，并不是我们所要求的振动解；当κ < 0 时，令 κ = −ω 2 ，微分方程变成 f + ω2 f = 0 ，它具有以下
形式的特解： f (t ) ~e±iωt 。这两个特解随时间变化，并且
部分分离后得到如下恒等式：
∇2ξ (rK) ξ (rK)
=
μ0ε 0
f(t ) f (t)
=
μ0ε 0κ
其中 κ 是一个待定的常数，它源自这样一个原因：第一个等
号两边涉及不同变量的函数，要使等式在任意位置与任意时
间均成立，只有当等式两边等于同一个常数时才有可能。由
此得到空间部分与时间部分分别满足的两个方程：
k
2 x
XBaidu Nhomakorabea
=
0
,
Y ′′ + ky2Y = 0 ,
Z ′′ + kz2Z = 0
由于我们考虑的是电磁波在无界空间中传播，因此，上述三
个方程必定有如下形式的解：
X = X 0eikxx , Y = Y0eiky y , Z = Z0eikzz
将亥姆霍兹方程的三个分离变量解与时间部分结合，就得到
电磁场的其中一个分量：
( ) ξ
K r,t
= ξ0ei(kK⋅rK−ωt)
(3.1.7)
每一个分量都有类似形式的解，总共六个形如(3.1.7)式的
解，构成电磁场的一组完备的特解：
K E
= EK0ei(kK⋅rK−ωt)
,
K B
=
BK0ei( kK⋅rK −ωt )
(3.1.8)
方程的任意解都可以表示成这组特解的线性叠加。当然，物
的周期很短，因此，可以用周期平均代表实测值：
课外练习：请推 导 (3.1.10) 式 中 的第二个等式。
6
w = ε0
K2 Re E
(3.1.14)
( ) =
1 2
ε0
E0x 2 + E0 y 2
=
1 2
K ε0 E0
⋅
K E0*
其中用到对三角函数求周期平均的结果：
∫1 T cos2 (kz − ωt + α ) dt
平衡的条件下，导体内部没有自由电荷。在随时间变化的电
磁场中，情况有一些改变。在导体内部，电磁场除了满足麦
克斯韦方程外，还必须遵从欧姆定律：
∇
⋅
K E
=
ρ
,
KK j =σE
ε
将欧姆定律代入电场的散度方程中：
∇⋅
K j
=
σ
ρ
ε
另一方面，电荷与电流必须满足电流连续方程：
∂ρ
+
∇
⋅
K j
=
0
∂t
由此得到电荷随时间改变所满足的微分方程：
如果考虑的是电∇ 场⋅ EK，=则e−将iω电t EK场0 ⋅ 的∇e解ikK⋅代rK 入散度方程：
( ) = e−iωt E0x∂ xeikK⋅rK +"
=
K ik ⋅
K E0
ei(
kK ⋅rK −ωt
)
=
0
在上面的∇矢e量ikK⋅rK运=算iKˆ∂中xKe，ikK⋅也rK +可"以=先iˆk将xe标ikK⋅量rK +函"数=的kK梯eik度K⋅rK 算出： 上述结果显示， k ⋅ E0 = 0 。由此可见，在电场中，只有两
K B
=
1
kˆ
×
Re
K E
Re
K E
=
c ckˆ ×
Re
K B
(3.1.11)
由电场与磁场的关系得 Re E = c Re B ，电磁场的能量密度：
w
=
1 2
ε0
Re
K E
2
+
1
2μ0
K2 Re B
(3.1.12)
= ε0
K2 Re E
=
1 μ0
K2 Re B
而能流密度矢量：
K S=
1
KK Re E × Re B
课外练习：参照(3.1.2)式 的推导方法推导磁场满
由此得到电场满足的方程：
K ∇2E − μ0ε0
K ∂2E ∂t 2
=
0
足的微分方程(3.1.3)式。 (3.1.2)
按照类
似的方法消去电
K ∇2B −
场后得到K 磁
μ0ε 0
∂2B ∂t 2
=
场满足
0
的方程：
(3.1.3)
用字母 ξ 统一表示电磁场的各个分量，则(3.1.2)式和(3.1.3)
∂ρ + σ ρ = 0
(3.2.1)
∂t ε
假定初始时刻导体内的电荷分布为
ρ
0
(
rK
)
，则上述微分方
7
程(3.2.1)式的解为
ρ
=
ρ0
(
K r
)
−σ
eε
t
(3.2.2)
对于良导体，σ ~ 107 Ω−1 ⋅ m−1,ε ~ ε0 ，由此得到电荷密度
随时间改变的衰减常数及衰减时间常数：
σ ε
~
107 10−11
ξ
ξ =
e e −αK⋅rK i(βK⋅rK−ωt)
0
(3.2.9)
波的阻尼体现为波幅随空间衰减。在这种阻尼方式下，波矢
的实部描写波的传播，虚部则描写波幅的衰减，但是任一点
的波是稳态的，波幅不随时间改变。从能量守恒的角度看，
必须是有限的。然而，这个解的形式告诉我们，当 t → ∞ 时，
f (t ) 不满足我们的要求，除非函数式中的系数 A = 0 。于
是，当κ = 0 时， f (t ) = B 。这种情况给出了一个不随时
间变化的场，不符合物理上的要求；当 κ > 0 时，微分方程
变成 f = κ f ，它的解具有这样的形式： f (t ) ~e± κt 。然
=
0
也能得到类似的结果。实际上，电场和磁场只要有一个确定
了，另一个就可以由旋度方程推出。比如说已求出电场，根
据普适电磁感应K定律： ∂B = −∇ ∂t K = −ik
× ×
K
K
E = e−iωt E0
EK0 ei( kK⋅rK −ωt )
×
∇eikK⋅rK
将等式两边一起对时间积分：
K B
=
1 ω
K k
f(t ) − κ f (t ) = 0
∇2ξ (rK) − μ0ε0κξ (rK) = 0
(3.1.5)
先考虑第一个方程的解。对 κ 的不同取值，这个方程有
不同形式的解。当κ = 0 时，微分方程变成 f (t ) = 0 ，它的
解具有简单的形式： f (t ) = At + B 。一个有物理意义的解
空间同一点上相位改变 2π 所需要的时间间隔叫做周期：
ωΔt = ωT = 2π
对等相面方程 kr// − ωt = C 的两边做微分，就得到等相面的
K k r1 r0 λ r
图 3.1.1 平面电 磁波的等相面
4
运动速率，叫做相速：
u = dr// = ω = dt k
这正是真空中的光速。
1 =c μ0ε 0