弹塑性力学-第二章 应力分析
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000弹塑性力学-应力理论
y 32
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
弹性力学 (2)
平衡方程(不计体力)为
(2-5)
几何方程为 将式(2-6)中的第二式对 r 求一阶导数，得
(2-6)
(2-7)
式(2-7)为应变分量(或位移分量)表示的变形协调方程。 物理方程为
(2-8)
(2-9)
由式(2-8)可得到
将以上两式代入式(2-7)，得到以应力分量表示的变形协调方程
(2-10)
将此式与平衡方程式(2-5)第一式联立求解便可得到应力 分量 r 和 。 二、厚壁圆筒的应力和位移解 厚壁圆筒的应力、应变和位移分量求解一般有两种解法， 即位移法和应力法。
方程．四个几何方程和四个物理方程，求解十个未知量，即四 个应力分量 r , , z , zr ,四个应变分量 r , , z , zr , 和 两个位移分量 u , w 。 对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒体的几何形状、 载荷、支承情况沿 z 轴没有变化，所有垂直于轴线的横截面在 变形后仍保持为平面，则 zr 0, zr 0, 即 u 只决定于 r ．w只 决定于 z ，由此可得
线段PC的线应变为
PA和PC间的直角变化，即切应变为:
在
r
的平面内
由此，空间轴对称的几何方程为
(2-2)
3．物理方程 根据广义虎克定律，微元体的应力应变必须满足下列关系:
(2-3)
或写成
(2-4)
式中 e r z
综上所述，空间轴对称问题共十个基本方程，即两个平衡
(2-22)
(2-23)
②厚壁圆筒仅作用内压( pi 0 , po 0)时
(2-24)
pi 0 ,
po 0
(2-25)
③厚壁圆筒仅作用外压( pi 0 , po 0 )时
(2-5)
几何方程为 将式(2-6)中的第二式对 r 求一阶导数，得
(2-6)
(2-7)
式(2-7)为应变分量(或位移分量)表示的变形协调方程。 物理方程为
(2-8)
(2-9)
由式(2-8)可得到
将以上两式代入式(2-7)，得到以应力分量表示的变形协调方程
(2-10)
将此式与平衡方程式(2-5)第一式联立求解便可得到应力 分量 r 和 。 二、厚壁圆筒的应力和位移解 厚壁圆筒的应力、应变和位移分量求解一般有两种解法， 即位移法和应力法。
方程．四个几何方程和四个物理方程，求解十个未知量，即四 个应力分量 r , , z , zr ,四个应变分量 r , , z , zr , 和 两个位移分量 u , w 。 对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒体的几何形状、 载荷、支承情况沿 z 轴没有变化，所有垂直于轴线的横截面在 变形后仍保持为平面，则 zr 0, zr 0, 即 u 只决定于 r ．w只 决定于 z ，由此可得
线段PC的线应变为
PA和PC间的直角变化，即切应变为:
在
r
的平面内
由此，空间轴对称的几何方程为
(2-2)
3．物理方程 根据广义虎克定律，微元体的应力应变必须满足下列关系:
(2-3)
或写成
(2-4)
式中 e r z
综上所述，空间轴对称问题共十个基本方程，即两个平衡
(2-22)
(2-23)
②厚壁圆筒仅作用内压( pi 0 , po 0)时
(2-24)
pi 0 ,
po 0
(2-25)
③厚壁圆筒仅作用外压( pi 0 , po 0 )时
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
塑性力学-应力分析讲义_
S 3 J2S J3 0
(2-17)
求解上式，可得到应力偏张量的 3 个主应力 S1 ， S 2 ， S 3 （主偏应力） 。利用三角 方程求解，设 S i r sin ，带入式(2-17)中，整理得到：
sin 3
J3 J2 sin 3 0 2 r r
(2-16A)
或
J 1 S1 S 2 S 3 0
1 J 2 S1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] (2-16B) 6
J 3 S1 S 2 S 3
称为应力偏张量的不变量。定义广义剪应力 q （等效应力或应力强度 ）为：
I 1 ( 1 2 3 ) I 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) I 3 1 2 3 (2-10B)
2.1.4
应力张量的分解
三个正应力的平均值称为平均应力，并用 m 或 p 表示：
m p ( 11 22 33 )
(2-23A)
或
2 sin( ) 1 p 3 2 2 p q sin p 3 4 3 sin( 3 )
(2-23B)
其中， p = m 为平均应力， q = r 为广义剪应力或应力强度，在岩土力学中，常 以 ( p, q, ) 表示一点的应力状态。
2 S1 sin( 3 ) 2 J 2 sin S 2 3 S 4 3 sin( 3 )
(2-22)
考虑到前面所说的张量分解，应力张量的主应力可表示为：
弹塑性力学第二章
一、P点的正应变
x
(u
u dx) x dx
u
u x
在这里由于小变形，由y
方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
o
u P
v
y
P
B v v dy
y
u u dx x
A
A
x
v v dx x
B
u u dy y
图2－5
13
同理可求得：
等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0 τzy = 0
图2－1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变
它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平
面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限
接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
o
yx y
x
P
A
xy
x
y
B
N
YN
XN
N
S
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外
法线方向，其方向余弦为：
x
x
x
dx)
dy 1
x
dy1
(
yx
yx
y
dy)
弹塑性力学习题集 很全有答案
3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ），其主应变
为 ε1 = 1.7 ×10−4 ， ε 2 = 0.4 ×10−4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。 3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。
2—9 已知一点的应力张量为：
50 50 80
σ ij
=
0 − 75MPa
(对称)
− 30
试求外法线
n
的方向余弦为： nx
=
1 2
，ny
=
1 2
， nz
=
1 2
的微斜面上的全应力 Pα
，正
应力 σ α 和剪应力τ α 。
2—10 已知物体的应力张量为：
50 30 − 80
σ ij
=
0 − 30MPa
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：
εz
=
γz E
,
εx
=εy
=
− νγz E
;
γ xy = γ yz = γ zx = 0;
试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
2
3
各弹性常数的物理意义。
3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据
单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来
为 ε1 = 1.7 ×10−4 ， ε 2 = 0.4 ×10−4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。 3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。
2—9 已知一点的应力张量为：
50 50 80
σ ij
=
0 − 75MPa
(对称)
− 30
试求外法线
n
的方向余弦为： nx
=
1 2
，ny
=
1 2
， nz
=
1 2
的微斜面上的全应力 Pα
，正
应力 σ α 和剪应力τ α 。
2—10 已知物体的应力张量为：
50 30 − 80
σ ij
=
0 − 30MPa
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：
εz
=
γz E
,
εx
=εy
=
− νγz E
;
γ xy = γ yz = γ zx = 0;
试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
2
3
各弹性常数的物理意义。
3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据
单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来
2-1 应力状态分析
Sz=τxzl+τyzm+σzn 即 当斜面为边界时 因此S2=Sx2+Sy2+Sz2 σ= Sxl+Sym+Szn =σxl2+σym2+σxn2+2(τxylm+τyzmn+τxzln) τ2= S2-σ2 重要意义： （1）已知垂直面上的应力，则斜面上的应力可求，反之，可反求; （2）当斜面为外边界时，可利用外力求内力，建立了内外力之间的 关系。
l=0 m=± n=± 此时τ23=±（σ2 -σ3）/2 ，面上有σ=（σ2 +σ3）/2 l=± m=0 n=± 此时τ31=±（σ3–σ1）/2，面上有σ=（σ1 +σ3）/2 l=± m=± n=0 此时τ12=±（σ1–σ2）/2 ，面上有σ=（σ1 +σ2）/2 若σ1>σ2 >σ3则τmax=（σ1 –σ3）/2 此切应力为最大值即最大切应力。
第二章 应力分析
应力：单位面积上的内力。 塑性力学方法：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），
称微元体或单元体，根据单元体静力平衡条件 写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。 满足条件：连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。
第一节 外力、应力和点的应力状
态
任意一点的应力状态 —— 整个变形体的应力状态
一 应力分析
外力—— 产生内力的外部力 内力(或应力)―― 在外力的作用下，物体内部之间的平衡力 应力：正应力σ，
切应力τ
应力分析单元体法（三维）
设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得九个应力分 量，可写为矩阵：
作用面 作用方向 张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合 正负号：正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负号。 单元体平衡有：τxy=τyx τxz=τzx τyz=τzy 因此σij=是对称张量
弹塑性力学——应力
x xy xz yx y yz z zx zy
• 张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
y
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角 ex
e ' x
ey
m1 m2
ez
n1 n2
l1 l2
ey '
ez'
l3
m3
n3
• e ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝xl1+yxm1+zxn1 Ty＝xyl1+ym1+zyn1 Tz＝xzl1+yzm1+zn1
• 力矩平衡：绕z轴
(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xy＝yx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx
静力学边界条件
n X A
xl+yxm+zxn＝ X
xyl+ym+zyn＝ Y ＝
xzl+yzm+zn
Z
z y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
xy x y y zy z Y 0
xz yz z Z 0 x y z
弹塑性力学应力分析
解之 将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
二. 最大和最小应力
3 z
3
设一点的主应力及其主方向已知，现以 三主方向取Oxyz坐标，如图所示 设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3 2
则由斜截面正应力公式 及
1x
N
12
N
O
y2
1
主应力单元体
3
求极值
解之 同理，将
xxyy ( x 12))22 x2x2yy
xxyy ( y 12))22 x2x2yy
ll33((21) 0
设 为第一主方向与x轴的夹角
则由三角函数关系可得
例2-2 已知弹性体内部某点的 应力状态为
a 0 a
ij
0
a
0
a 0
a 0 a
求主应力和主方向。
解：不变量的计算
代入特征方程
C zx pz
yx
xy
xz
x
zy yz
N
pN y
设斜截面上全应力为：
O y
yz
x
zy
xz xy zx
yzp y
B
y
沿坐标的分量为：
px
A
z
x
简写为：
设四面体斜面的面积为：
则三个直面的面积为：
简写为：
考虑四面体微元的平衡
X 0 Y 0
pxdSN xdSx yxdSy zxdSz 0 pydSN xydSx ydSy zydSz 0
将 向外法线和斜面分解为 和 。
则
即
将Cauchy定理代入：
展开整理得：
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答Revised on November 25, 2020应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。
02应变分析(弹塑性力学讲义)
2 2 d x d y 2 + d y d z 2 + d z d x 2 + 3 d xy + d 2 + d zx yz 2
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
弹塑性力学-02详解
九个量
这9个量描绘同一点P的同一物理现象，所以它们的定义仍为∑。
数学上，在坐标变换时，服从一定的坐标变换式的九个数所定
义的量叫做二阶张量。根据这一定义，∑是一个二阶张量，并
称为应力张量。以后将证明，应力张量为一对称的二阶张量。
各应力分量即为应力张量的元素。
12
应力张量通常表示为
其中i，j=x，y，z，当 i，j任取x，y，z时，
量
x xy xz yz y yz zx zy z
i, j
11
x xy xz yz y yz zx zy z
x' y'z' z'x'
x'y' y' z'y'
x'z' y'z' z'
9个应力分量定义一个新的量∑，它描绘了一种物理现象， 即P点处的应力状态。∑是对坐标系Oxyz而言的，当坐标系 变换时，它们按一定的变换式变换成另一坐标系Ox'y'z'中的
应力及其分量 的量纲为 [力][长度]-2
单位为帕（Pa） =N/m2
9
在以上的讨论中，过P点的C平面是任选的。显然，过P点可 以做无穷多个这样的平面C。或者说，过P点有无穷多个连续 变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了 一个到底如何描绘一点处应力状态的问题。
为了研究P点处的应力状态，我们在P点处沿坐标方向取一个微 小的平行六面体，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的 正、负方向重合，各边长分别为△x，△y，△z.。假定应力在 各个面上均匀分布，于是各面上的应力矢量便可用作用在各面 中心点的一个应力矢量来表示。每个面上的应力又可以分解为 一个正应力和两个剪应力分量。按前面约定的表示法，图中给 出的各应力分量均为正方向。
这9个量描绘同一点P的同一物理现象，所以它们的定义仍为∑。
数学上，在坐标变换时，服从一定的坐标变换式的九个数所定
义的量叫做二阶张量。根据这一定义，∑是一个二阶张量，并
称为应力张量。以后将证明，应力张量为一对称的二阶张量。
各应力分量即为应力张量的元素。
12
应力张量通常表示为
其中i，j=x，y，z，当 i，j任取x，y，z时，
量
x xy xz yz y yz zx zy z
i, j
11
x xy xz yz y yz zx zy z
x' y'z' z'x'
x'y' y' z'y'
x'z' y'z' z'
9个应力分量定义一个新的量∑，它描绘了一种物理现象， 即P点处的应力状态。∑是对坐标系Oxyz而言的，当坐标系 变换时，它们按一定的变换式变换成另一坐标系Ox'y'z'中的
应力及其分量 的量纲为 [力][长度]-2
单位为帕（Pa） =N/m2
9
在以上的讨论中，过P点的C平面是任选的。显然，过P点可 以做无穷多个这样的平面C。或者说，过P点有无穷多个连续 变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了 一个到底如何描绘一点处应力状态的问题。
为了研究P点处的应力状态，我们在P点处沿坐标方向取一个微 小的平行六面体，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的 正、负方向重合，各边长分别为△x，△y，△z.。假定应力在 各个面上均匀分布，于是各面上的应力矢量便可用作用在各面 中心点的一个应力矢量来表示。每个面上的应力又可以分解为 一个正应力和两个剪应力分量。按前面约定的表示法，图中给 出的各应力分量均为正方向。
弹塑性力学第二章
n 定理： r过P点以 单位外法线截面上的应
力矢量
t ( n )
是作用在通过P点坐标平面的应力矢
量t(1) t(x)、t(2) t(y) 、t(3) t(z)
x3
f
的线性函数、其系 数是 n的方向余弦，
C
-t(2)
-t(1) n
t(n)
n1 nx l n2 ny m
P
x2
B
n3 nz n
A
-t(3)
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
rr r t(x)lt(y)m t(z)n
2020/3/31
12
x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
证：
-t(2)
设 ABCS,
P
则 PBCn1S,
A x1
PACn2S, PABn3S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
2020/3/31
13
§2-2 应力矢量和应力张量 x3
其中 Fx , Fy , Fz为沿三个坐标轴分量。
2020/3/31
5
§1-1 内力和外力
1.2 内力： 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。
在材力和结力中以N、M、Q形式出现，
但在弹力中常以应力来描述。
2020/3/31
6
§2-2 应力和应力张量
2.1 应力矢量 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时
第二章：应力分析
T X l Y m Z n p 1 1 1 x x x x 1 x T xy X l Y m Z n p 2 2 2 x x x 2 x
(2-10c)
xz X Y Z p l m n x 3 x 3 x 3 3 x
T
将式（2-10 b）代入式 (2-10c)， 即有：
x 1 T 1 xy 2
T
xz 3 T
1 1
(2-11)
同理，可求得在以 y 和 z 轴为外法线方向的斜截面上的正 应力和切应力分别为 y 2 T 2 T (2-12) yx 1 2 yz 3 T 2
(2) 面力(Traction) —— 作用于物体表面单位面积上的外力
F lim
S 0
Q S
—— 面力分布集度（矢量） z
Z
Q
F X i Y j Z k
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
k
X
O j
S Y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
xy
y
x
应力张量通常用记号σij表示，则有：
x xy xz ij yx y yz z zx zy
由 M 0 得： zy d xd d z y d xd dy z x yz
zy yz
i
x
y
(1) F 是坐标的连续分布函数；
说明： (2) F 的加载方式是任意的;
(2-10c)
xz X Y Z p l m n x 3 x 3 x 3 3 x
T
将式（2-10 b）代入式 (2-10c)， 即有：
x 1 T 1 xy 2
T
xz 3 T
1 1
(2-11)
同理，可求得在以 y 和 z 轴为外法线方向的斜截面上的正 应力和切应力分别为 y 2 T 2 T (2-12) yx 1 2 yz 3 T 2
(2) 面力(Traction) —— 作用于物体表面单位面积上的外力
F lim
S 0
Q S
—— 面力分布集度（矢量） z
Z
Q
F X i Y j Z k
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
k
X
O j
S Y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
xy
y
x
应力张量通常用记号σij表示，则有：
x xy xz ij yx y yz z zx zy
由 M 0 得： zy d xd d z y d xd dy z x yz
zy yz
i
x
y
(1) F 是坐标的连续分布函数；
说明： (2) F 的加载方式是任意的;
第二章 应力分析
z
弹塑性力学
石家庄铁道学院工程力学系 5
Mechanics of Elasto-Plasticity
z
y
yz
y
pyyx
y
正 面
zx
dz x
xz
dy
zy
yz
dx
x
同样，在三个坐标面的负面， 可表示为
xy yx y
N xy y zy Z N xz l yz m z n
简记为：
pi ji l j
(2-8)′
特别重要地，在边界上，若边界外力设为 (Tx , Ty, Tz )，且外边界 面的法线方向 (l,m,n), 则有 外力边界条件: Tx x l yx m zx n
弹塑性力学
YN dS xy l ds y m ds zy n ds 0
0
石家庄铁道学院工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
得到斜截面上应力分量 (Cauchy stress formula) X N x l yx m zx n (2-8) Y l m n
P3
dP
y
x
P2
弹塑性力学
石家庄铁道学院工程力学系 3
Mechanics of Elasto-Plasticity
<ii>应力分量: 1°PN 可分解成沿截面法线的法向分量σN 和在截面内的切向分量τN ,
z
N
N
n PN y
σN 称为正应力； τN 称为切应力；
υ
x N PN sin N PN cos υ为PN 与截面间的夹角； yz z 下标N表示所在截面的外法线方向n。 y 2°应力分量表示： 当N与y轴一致时, 全应力P y 在法向上分量σy ， yx 在切向上分量τy 。 切向应力分量τy 又沿坐标轴分解成 x x 方向切应力τyx 和 z 方向切应力τy z .
弹塑性力学题库与答案（可编辑）
弹塑性力学题库与答案第二章应力理论和应变理论2―3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
…解：在右图示单元体上建立xoy坐标，则知σx -10 σy -4 τxy -2（以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得：代入弹性力学的有关公式得：己知σx -10 σy -4 τxy +2 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2―6. 悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E，横截面面积为A。
试求离固定端z处一点C的应变εz与杆的总伸长量Δl。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz，在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c截面的内力：Nz γ??A??z ；c截面上的应力：；所以离下端为z处的任意一点c的线应变εz为：；则距下端（原点）为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：；（W γAl）2―9.己知物体内一点的应力张量为：σij应力单位为kg／cm2 。
试确定外法线为ni｛，，｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力、正应力σn及剪应力τn 。
解：首先求出该斜截面上全应力在x、y、z三个方向的三个分量：n’ nx ny nzPx n’Py n’Pz n’所以知，该斜截面上的全应力及正应力σn、剪应力τn均为零，也即：Pn σn τn 02―15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx ax+by，σy cx+dy-γy ，τxy -dx-ay；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。
解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：OA边：l1 -1 ；l2 0 ；Tx γ1y ； Ty 0 则σx -γ1y ；τxy 0代入：σx ax+by；τxy -dx-ay 并注意此时：x 0得：b -γ1；a 0；OB边：l1 cosβ；l2 -sinβ，Tx Ty 0则：………………………………（a）将己知条件：σx -γ1y ；τxy -dx ；σy cx+dy-γy代入（a）式得：化简（b）式得：d γ1ctg2β；化简（c）式得：c γctgβ-2γ 1 ctg3β2―17.己知一点处的应力张量为试求该点的最大主应力及其主方向。
弹塑性力学第二章
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
1. 外力 面力（表面力）：作用在物体表面上的力 体力（体积力）：满布在物体内部各质点上的力 面力平均集度： 一点面力的集度：
∆p ∆S
lim
[力][长度] -2
∆p = pS ∆S → 0 ∆S
Ps方向：与∆P的极限方向相同。 Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量， 指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
第二章
§2.1 力和应力的概念
应力
§2.2 二维应力状态与平面问题的平衡方程 §2.3 一点处应力状态的描述 §2.4 边界条件 §2.5 主应力与主方向 §2.6 球张量与应力偏量
附录
下标记号法(指标记法） 一、下标记号法(指标记法）
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
对于厚度t=1的微小矩形单 元abcd，有平衡条件： M a = 0 ∑
解得： τ xy = τ yx 剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力 必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或共同背离这一交线
∑X =0
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 y =a x +a x +a x 31 1 32 2 3 3 3
按求和约定，上述方程组可以写为
y1 = a1m xm y2 = a2 m xm y = a x 3m m 3
1. 外力 面力（表面力）：作用在物体表面上的力 体力（体积力）：满布在物体内部各质点上的力 面力平均集度： 一点面力的集度：
∆p ∆S
lim
[力][长度] -2
∆p = pS ∆S → 0 ∆S
Ps方向：与∆P的极限方向相同。 Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量， 指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
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第二章
§2.1 力和应力的概念
应力
§2.2 二维应力状态与平面问题的平衡方程 §2.3 一点处应力状态的描述 §2.4 边界条件 §2.5 主应力与主方向 §2.6 球张量与应力偏量
附录
下标记号法(指标记法） 一、下标记号法(指标记法）
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
对于厚度t=1的微小矩形单 元abcd，有平衡条件： M a = 0 ∑
解得： τ xy = τ yx 剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力 必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或共同背离这一交线
∑X =0
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 y =a x +a x +a x 31 1 32 2 3 3 3
按求和约定，上述方程组可以写为
y1 = a1m xm y2 = a2 m xm y = a x 3m m 3
弹塑性力学-2 应变分析
0
0
0 0 0
平均应变：
1 0 ( 1 2 3 ) 3
x 0 xy xz 应变偏量 eij y 0 yz yx zx zy z 0
1 ( 2 ) x y z xy xz 3 1 eij yx (2 y x z ) yz 3 1 ( 2 ) zx zy z x y 3 1 ( 2 ) 0 0 3 1 2 3 1 0 (2 2 1 3 ) 0 3 1 0 0 ( 2 ) 3 1 2 3
( x )dx xy dy xz dz 0
yx dx ( y )dy yz dz 0
zx dx zy dy ( z )dz 0
系数行列式为零
x xy xz yx y yz 0 zx zy z
第2章 应变分析
一点的应变状态，应变与位移的关系 主应变 应变张量与应变偏量 应变协调方程
2-1 一点的应变状态,应变与位移的关系
在物体中，若任意两个点的相对位置有了变化， 则认为物体有了变形。 沿x方向的正应变
A
x
x
A’
l0
B
u
u u
u du x lim x 0 x dx
dv yx dx y dy yz dz dw zx dx zy dy z dz
o
x v
x
主应变空间中， r (1 , 2 , 3 )表示一个应变状态。如 何找到r？ 若r增加了一个增量dr， z 则r和dr在坐标轴上的投 dr 影是成比例的。
李同林 弹塑性力学 第2章 应力理论 应变理论
yx l1 ( y n )l 2 yz l 3 0 zx l1 zy l 2 ( z n )l 3 0
( x n )l1 xy l 2 xz l 3 0
（2—12）
ij ij n l j 0
ij ij lii l jj
（2—10）
3、平面应力状态
◆
注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。
x x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
2 2 n Px2 Py2 Pz2 n
2 2 ( 1l1 ) 2 ( 2l2 ) 2 ( 3l3 ) 2 ( 1l12 2l2 3l3 )
( )l ( )l ( 1 3 )l ( 2 3 )l 3
xy y zy
xz yz 或 z
x xy xz ij yx y yz （2—3） zx zy z
据剪应力互等定理 一个对称的二阶张量。
ij ji (i j) ,应力张量应是
z′
2 2 2 x x l11 y l12 z l13 2 xy l11l12 2 yz l12 l13 2 zx l13 l11 2 2 2 y x l 21 y l 22 z l 23 2 xy l 21l 22 2 yz l 22 l 23 2 zx l 23 l 21 2 2 2 z x l31 y l32 z l33 2 xy l31l32 2 yz l32 l33 2 zx l33 l31
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x’3
e
' 3
e3
e1
e
' 1
e2' e2
x’2 x2
x1
x’1
e i' Q i'je j Q i'1 e 1 Q i'2e 2 Q i'3 e 3
2019/9/26
30
§2-3 应力分量转换公式
e i' Q i'je j Q i'1 e 1 Q i'2e 2 Q i'3 e 3
32
§2-3 应力分量转换公式
九个元素用矩阵表示
Qi'j Q
则新坐标基矢量用旧基矢量表示：
e '
Qe
ei' Qi' jej
2019/9/26
33
§2-3 应力分量转换公式
同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示
ei
Qij' e'j
Q ij' e ie 'j coxi,sx'j()
x xe xx yeyx ze z
2019/9/26
16
§2-2 应力矢量和应力张量
ti ijej
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
这九个分量的两个下标：第一个表示应力 矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力 矢量的分量的方向。
应力分量的正负：在正面上应力分量指向 坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分 量指向坐标负向为正，反之为负。
2019/9/26
3
§2-1 内力和外力
其中 fx, fy, fz 为沿三个坐标轴分量。 2.外部面力：作用在物体外部表面力
如静水压力、土压力等。 量纲：力/（长度）2。 求物体表面上任意一点P上
x3
F
P
S
受面力仍采用极限方法：
x2
x1
2019/9/26
4
§2-1 内力和外力
lim P S 0 F S F ie i F x i F y j F z k X i Y j Z k
t( n ) n n i ie j j n j je i i
斜面上的应力矢量沿正交坐标系分量：
ti nj ji
2019/9/26
21
§ 2-2
应力矢量和应力张量
t( n ) n n i ie j j n j je i i
定理：作用在过P点任一截面的应力矢量完 全由该点的应力张量线性表出。
第二章 应力分析
§2-1 内力和外力 §2-2 应力矢量和应力张量 §2-3 应力分量转换公式 §2-4 主应力和应力主方向、应力张量
的不变量 §2-5 最大正应力和剪应力 §2-6 应力张量的分解
§2-7 平衡微分方程、力的边界条件
2019/9/26
1
§2-1 内力和外力
1.1 外力：
物体承受外因而导致变形，外因可以是热力 作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作 用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积 力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械
2019/9/26
19
§2-2 应力矢量和应力张量
t(n)
n
[]为一二阶张量，
ijeiej
斜面上的应力矢量 t(n ) 沿正交坐标系分解 t(n) tiei
2019/9/26
20
§2-2 应力矢量和应力张量
根据柯西 公式
t(n) ti ei
引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）
——内力，为了描述物体内任意点P的内力可
采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为 两部分：（相互有作用力与反作用力）
2019/9/26
7
§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量 n
F-
V- S-
S
V+ P
F
n+ n-
V+
F+
S+
一部分：V+、S+、外法线
代入上式，并忽略高阶微量
t(n) Stini S0
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
2019/9/26
14
§2-2 应力矢量和应力张量 x3
C
t(n) Stini S0 -t(2)
f -t(1)
n
t(n)
或 t(n) niti
P A
x2 B
-t(3)
x1
展开为 t(n ) t1 n 1 t2 n 2 t3 n 3
的面上的应力矢量t
(
n )；
（2）tn 的大小；（3）tn 与
n的夹角
（4）求t(n)的法向分量 n ；
（5）切向分量 n。
2019/9/26
26
作2.业在：P点两斜面法线向量n1和n2 ，证：
tn 1n2tn2n1（用指标符号证）。
n1
tn1
tn2
n2
n nnnniei
n t(n) n nnniijnj
x l 2 y m 2 z n 2 2 x y l m 2 y z m n 2 z x n l
2019/9/26
24
§2-2 应力矢量和应力张量
ntnntiein
tie in n ie i (tin n i)e i
ntn2n2 titi(ijn inj)2
2019/9/26
25
作业：
1 0 4
1。在物体中一点P的应力张量为
0
4
3 0
05，
求（1）过P点且外法线为
n12e112e2 12e3
（旧）第一个直角坐标系：
x3
e x i
i 1, 2, 3 x’3
i
（新）第二个直角坐标系：
' '
x e i i i 1,2,3 x1
e
'
3
e1
e3
e
' 19/9/26
29
§2-3 应力分量转换公式
x3
ei ei' 1
新坐标基矢量由旧 坐标基矢量表示
九个元素用矩阵表示
Q
i j '
注意
Q i'jQ i'jTQ T
2019/9/26
34
§2-3 应力分量转换公式
Q i'jQ i'jTQ T
旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示：
e QTe '
ei
Qij' e'j
n
、合力F；
另一部分：V-、S-、外法线 n、合力F；
截面上的合力：F F 或
FF0
2019/9/26
8
§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量
n
截面上P点上的内力情况，
S V+ P
F
在V+上S面围绕P点取S，
S上合力为F。
lim 应力矢量（作用在V+）：
31 32 33 zx zy zz zx zy z
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§2-2 应力矢量和应力张量
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
A x1
PACn2S, PABn3S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3
根据微元体的平衡，得
C
-t(2)
t(n) St(i) Sif V0
P
而
t(i) t(i)ti
A x1
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§2-2 应力矢量和应力张量
下面说明一下[]为张量：
ti ijej
t(n) niti niijej nkijkiej
(n kek)(ijeiej)n
由商法则可知 t(n) n
[]为一二阶张量
柯西公式（Canchy formula）
柯西公式表示了应力张量与任一斜面上应力矢
量关系t(n)
且
t(
n
)是以三个坐标分量表示.
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§2-2 应力矢量和应力张量
n 应力矢量也可沿斜面法向 和切向分解
tn nn
n 其中，斜面法向应力：
n
n
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§2-2 应力矢量和应力张量
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
t ( n ) t ( i) n i t ( 1 ) n 1 t ( 2 ) n 2 t ( 3 ) n 3
t(x)lt(y)m t(z)n
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