图论讲义2连通性

（3） ⇒ （2）显然。
（2）⇒（1）若 v 在每条 (u, w) 路上，则 G − v 中不存在 (u, w) 路，即 G − v 不连通，故
v 是 G 的割点。 定理 2.3.2 设 e 是连通图 G 的一条边，则下列命题等价：
证毕。
（1） 是 G 的割边；
（2） e 不在 G 的任何圈上；
（3） 存在 u, v ∈V (G) ，使得 e 在每条 (u, v) 路上；
即 w(T − u) = w(T ) = 1 。由于 T − u 是图 G − u 的生成树，故 w(G − u) = w(T − u) = w(T ) = 1 = w(G) ，
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因此 u 不是 G 的割点。同理 v 也不是 G 的割点。证毕。
二、顶点割集：
定义 2.1.2 对图 G，若 V(G)的子集V ′ 使得 w(G − V ′) > w(G) ，则称V ′ 为图 G 的一个顶点
注：(1) 对非平凡图 G，若 E′ 是一个边割集，则 G \ E′ 不连通。
(2) 一条割边构成一个 1－边割集。
(3) 设 S ⊂ V (G) ，S ′ ⊂ V (G) ，S, S′ ≠ φ ，记号[S, S′] 表示一端在 S 中另一端在 S′ 中
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的所有边的集合。对图 G 的每个边割集 E′ ，必存在非空的 S ⊂ V (G) ，使得[S, S ] 是 G 的 一个边割集，其中 S = V \ S 。 六、边连通度： κ ′(G) = min{|[S, S ] || ∀S ⊂ V (G), S ≠ φ }。完全图的边连通度定义为
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§2.3 关于割点、割边和块的其它结论
定理 2.3.1 设 v 是连通图 G 的一个顶点，则下列命题等价： （1） v 是 G 的割点；
（2） 存在 u, w ∈V (G) ，使得 u, w ≠ v 且 v 在每条 (u, w) 路上；
（3） 存在V (G) \ {v} 的一个划分：V (G) \ {v} = U U W ，U I W = φ ，使得对 ∀u ∈U 和 ∀w ∈W ，v 在每条 (u, w) 路上。
著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别）。 例
定理 2.1.1 如果点 v 是图 G 的一个割点，则边集 E(G)可划分为两个非空子集 E1 和 E2 ，使得 G[E1] 和 G[E2 ] 恰好有一个公共顶点 v。 推论 2.1.1 对连通图 G，顶点 v 是 G 的割点当且仅当 G − v 不连通。
定理 2.1.3 边 e 是 G 的割边当且仅当 e 不在 G 的任何圈中。 证明：证其逆否命题：e 不是割边当且仅当 e 含在 G 的某个圈中。
必要性：设 e = xy 不是割边。假定 e 含在 G 的某个连通分支 G1 中，则 G1 − e 仍连通。故在 G1 − e 中有 ( x, y) 路 P，P + e 便构成 G1 中一个含有 e 的圈。 充分性：设 e 含在 G 的某个圈 C 中，而 C 含于某连通分支 G1 中，则 G1 − e 仍连通。故 w(G − e) = w(G) ，这说明 e 不是割边。证毕。
注：Whitney 定理可推广到 k 连通图，得到 Menger 型定理：
Menger 定理 1 ν ≥ k + 1的图 G 是 k 连通图当且仅当 G 中任二顶点至少被 k 条内部无公共
顶点的路所连。
Menger 定理 2 图 G 是 k 边连通图当且仅当 G 中任二顶点至少被 k 条无公共边的路所连。
（7） 对 ∀u, v, w ∈V (G) ，存在 (u, v) 路不含有顶点 w。 证明：（1） ⇒ （2）见 Whitney 定理。 （2）⇒（3）设 G 中任二顶点共圈。对 ∀u ∈V (G) 及 ∀e = xy ∈ E(G) ，若 x = u 或 y = u ，
假定 d (u, v) < k 时，结论成立。下证 d (u, v) = k 时结论也成立。
当 d (u, v) = k 时，设 P0 = uL wv 是长为 k 的一条 (u, v) 路，则 d (u, w) = k − 1 。由归
纳法假设，u,w 在同一圈上，故在 u,w 间有两条无公共内部顶点的路 P 和 Q。因 G 是 2 连通
（1） H 是图 G 的子图；（2）H 本身是一个块；（3）H 是具有此性质的极大子图。 则称 H 是图 G 的一个块。 例：
块
含 4 个块的图
注：至少有三个顶点的图是块当且仅当它是 2－连通图。（若只有两个顶点，则有反例，例
如 K2 是个块，但不是 2 连通的。）
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3．Whitney 定理
定理 2.2.1 (Whitney,1932) ν ≥ 3 的图 G 是 2－连通图（块）当且仅当 G 中任二顶点共圈。
证明：充分性：设 G 中任二顶点在同一圈上，欲证 G 是 2－连通的。
对 ∀w ∈V (G) ，任取 u, v ∈V (G − w) 。由条件，u,v 在 G 中共处于某个圈 C 上。若 w ∉ C ，则在 G \ w 中 u,v 仍在圈 C 上；若 w ∈ C ，则 G − w 中 u,v 在路 C − w 上。总之 u,v 在 G − w 中有路相连。由 u,v 的任意性， G − w 是连通图，故 w 不是 G 的割点。再由 w 的
（4） 存在V (G) 的一个划分：V (G) = U U W ，U I W = φ ，使得对 ∀u ∈U 和 ∀w ∈W ， e 在每条 (u, w) 路上。
证明：（1） ⇔ （2）定理 2.1.1 已证。（1） ⇒ （4） ⇒ （3） ⇒ （1）的证明与上一定理的
证明类似。
定理 2.3.3 设 G 是ν ≥ 3 的连通图，则下列命题等价：
图，故 G − w 仍连通。在 G − w 中存在 (u, v) 路 P′ 。令 x 是 P′ 上最后一个与 P U Q 的公共 顶点（因 u ∈ P U Q ，这样的 x 存在）。不妨设 x ∈ P ，则 P 上 (u, x) 段＋ P′ 上 (x, v) 段与 Q + wv 是两条内部无公共点的 (u, v) 路。故 u,v 在同一圈上。归纳法完成。证毕。
以上两个结论的证明留作习题。
定理 2.1.2 设 v 是树 T 的顶点，则 v 是 T 的割点当且仅当 d (v) > 1。 证明：必要性：设 v 是 T 的割点，下面用反证法证明 d (v) > 1。 若 d (v) = 0 ，则 T ≅ K1 ，显然 v 不是割点。 若 d (v) = 1，则 T − v 是有ν (T − v) − 1 条边的无圈图，故是树。从而 w(T − v) = 1 = w(T ) 。 因此 v 不是割点。
第二章 图的连通性
连通图：任二顶点间有路相连。 例
可见在连通图中，连通的程度也是有高有低。 本章的目的就是定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。
§2.1 割边、割点与连通度
一、割点： 定义 2.1.1 设 v ∈V (G) ，如果 w(G − v) > w(G) ，则称 v 为 G 的一个割点。（该定义与某些
（2）若κ (G) ≥ k ，则称 G 为 k 连通的。 （3）若 G 不连通，则κ (G) = 0 。 （4）若 G 是平凡图，则κ (G) = 0 。
（4）所有非平凡连通图都是 1 连通的。 例：
四、割边 定义 2.1.3 设 e ∈ E(G) ，如果 w(G − e) > w(G) ，则称 e 为 G 的一条割边。
再证κ ′(G) ≤ δ (G) 。
设 d (v) = δ 。删去与 v 关联的δ 条边后，G 变成不连通图，故这δ 条边构成 G 的一个 边割集。因此κ ′(G) ≤ δ (G) 。证毕。
§2. 2－连通图的性质－whitney 定理
1． 块（block）：无割点的连通图。 2． 图的块：若满足下列三条：
若 G 不连通，则κ (G) = κ ′(G) = 0 。 若 G 是完全图，则κ (G) = κ ′(G) = ν − 1。 下设 G 连通但不是完全图。则 G 有边割集含有κ ′ （1 ≤ κ ′ < ν − 1 ）条边。设这个边 割集为 E′ 。对 E′ 中每条边，选取一个端点，去掉这些端点（至多κ ′ 个）后，G 便成为不 连通图，故这些端点构成一个点割集V ′ ， |V ′ |≤ κ ′ 。因此κ (G) ≤|V ′ |≤ κ ′(G) 。
定理 2.1.4 一个连通图是树当且仅当它的每条边都是割边。
证明：连通图 G 是树 ⇔ G 无圈 ⇔ 任何边 e 不含在圈中 ⇔ e 是 G 的割边。证毕。 五、边割集 定义 2.1.4 对图 G，若 E(G)的子集 E′ 使得 w(G − E′) > w(G) ，则称 E′ 为图 G 的一个边割
集。含有 k 条边的边割集称为 k-边割集。
割集。含有 k 个顶点的顶点割集称为 k-顶点割集。 注：（1）割点是 1－顶点割集。
（2）完全图没有顶点割集。
三 、 连 通 度 ： κ (G) = min{|V ′ ||V ′ 是 G 的 顶 点 割 集 } 。 完 全 图 的 连 通 度 定 义 为 κ (Kν ) = ν − 1。空图的连通度定义为 0。 注：(1)使得 |V ′ |= κ (G) 的顶点割集V ′ 称为 G 的最小顶点割集。
证明：（1）⇒（3）因 v 是割点，故 G − Baidu Nhomakorabea 至少有两个连通分支 G1 、G2 。令U = V (G1 ) 而 W = V (G) \ (V (G1) U {v}) ，则对 ∀u ∈U 和 ∀w ∈W ，u、w 分别属于 G − v 的不同的连 通分支。可见 G 中所有的 (u, w) 路必经过 v（否则 G − v 中仍有 (u, w) 路，这与 u、w 分别 属于 G − v 的不同的连通分支矛盾）。
任意性知，G 无割点，即 G 是 2－连通的。
必要性：设 G 是 2－连通图，欲证任二顶点 u,v 都在同一圈上。
对距离 d (u, v) 作归纳法。
d (u, v) = 1 时，因κ ′ ≥ κ ≥ 2 ，故边 uv 不是割边， G − uv 仍连通。因此 G − uv 中存 在一条 (u, v) 路 P1 。这表明在 G 中 u,v 都在圈 P1 + uv 上。
P
u
P´ P0
x
v w
Q
推论 2.2.1 ν ≥ 3 的图 G 是 2 连通图（块）当且仅当 G 中任二顶点被至少两条内部无公共顶
点的路所连。
推论 2.2.2 若ν ≥ 3 的图 G 是 2 连通图（块），则 G 的任二边都位于同一圈上。 证明：设 G 是ν ≥ 3 的 2 连通图，且 e1, e2 ∈ E(G) ，在 e1 和 e2 上各添加一个新的顶点 v1 和 v2 ，构成一个新图 G′ 。G′ 仍是 2 连通的。由 Whitney 定理，v1 和 v2 在 G′ 中位于同一个圈 上。故 e1 和 e2 在 G 中位于同一个圈上。证毕。
κ ′(Kν ) = ν − 1。空图的边连通度定义为 0。 注：(1)对平凡图或不连通图 G，κ ′(G) = 0 。 （2）若图 G 是含有割边的连通图，则κ ′(G) = 1。 （3）若κ ′(G) ≥ k ，则称 G 为 k－边连通的。
（5）所有非平凡连通图都是 1－边连通的。
（6）使得 | E′ |= κ ′(G) 的边割集 E′ 称为 G 的最小边割集。 定理 2.1.5 κ (G) ≤ κ ′(G) ≤ δ (G) 。 证明：先证κ (G) ≤ κ ′(G) 。
以上均与条件矛盾。
充分性：设 d (v) > 1，则 v 至少有两个邻点 u,w。路 uvw 是 T 中一条 (u, w) 路。因 T 是树， uvw 是 T 中唯一的 (u, w) 路，从而 w(T − v) > 1 = w(T ) 。故 v 是割点。证毕。
推论 2.1.2 每个非平凡无环连通图至少有两个顶点不是割点。 证明：设 T 是 G 的生成树，则 T 至少有两个叶子 u,v，由上一定理知，u,v 都不是 T 的割点，
（1） G 是 2 连通的（块）； （2） G 的任二顶点共圈； （3） G 的任一顶点与任一边共圈； （4） G 的任二边共圈；
（5） 对 ∀u, v ∈V (G) 及 ∀e ∈ E(G) ，存在 (u, v) 路含有边 e；
（6） 对 ∀u, v, w ∈V (G) ，存在 (u, v) 路含有顶点 w;