求取通过下面三点的平面方程式

解答:
GG G G a = i + 2 j + 3k
此向量為平面的法向量
GGG G G n = a = i + 2 j + 3k ，通過原點
(0,0,0)
由平面方程式得 1⋅ (x − 0) + 2 ⋅ (y − 0) + 3⋅ (z − 0) = 0
即
x + 2 y + 3z = 0
3. 平面 P1 方程式為 2x − y + z = 4，平面 P2 方程式為 x + 3y − z = 2，請找出平 面 P1 與 P2 之相交截線方程式。
376x + 94z = 470
4x + z = 5
GG G G 2. Given a vector a = i + 2 j + 3k , Find the equation of a plane normal to this
vector and passing through the origin of the coordinate system.
+
G j
平面法向量
B
C
=
(12
−
0)iG
+
(0
−
4)Gj
+
(6
−
G
0)k
=
G 12i
−
4
G j
+
G 6k
G GG
G
i jk G G G
n = BA × BC = 12 1 0 = 6i − 72 j − 60k
12 − 4 6
也可化簡為
G n
=
G i
−
12
G j
−
G 10k
取 B 點，得平面方程式 或
(a)此三點所構成之平面方程式。 (b)該平面方程式與 x-y 平面之交線方程式? (c)該平面與 x-y 平面之交角？
解答：
(a) 已知三維空間中有三點 A(12,5,0) 、 B(0,4,0) 與 C(12,0,6)
平面兩邊向量
B
A
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=
(12
−
0)iG
+
(5
−
4)Gj
+
(0
−
0)kG
G = 12i
1. 求取通過下面三點的平面方程式
(1,6,1)， (9,1,−31)， (− 5,−2,25)
解答：
令 A 點座標 (1,6,1) B 點座標 (9,1,−31) C 點座標 (− 5,−2,25)
G U
=
AB
=
(9
− 1)iG
+
(1 −
6)Gj
+
(−
31−1) −
G 32k
=
G 8i
−
G 5j
−
G 32k
G V
=
AC
=
(−
5
− 1)iG
+
(−
2
−
6)Gj
+
(25
−1) −
G 32k
=
G −6i
−
G 8j
+
G 24k
平面的法向量
G
G n
=
G U
G ×V
=
i 8
GG
jk
GG
− 5 − 32 = −376i − 94k
− 6 − 8 24
代入平面方程式 或
− 376(x −1) − 94(z −1) = 0
解答：
兩平面的方程式 2x − y + z = 4 與 x + 3y − z = 2
消去 x 變數，得 y = 3 z 7
代回 交線參數方程
x = z −3y + 2 = − 2 z + 2 7
x = 2 − 2t; y = 3t; z = 7t
4. 已知三維空間中有三點 A(12,5,0) 、 B(0,4,0) 與 C(12,0,6) ，求解
6 ⋅ (x − 0) − 72 ⋅ ( y − 4) − 60 ⋅ (z − 0) = 0
⇒ 6x − 72(y − 4) − 60z = 0
x − 12 y − 10z + 48 = 0
(b)將平面方程式 x − 12 y − 10z + 48 = 0 與 x-y 平面即平面方程式 z = 0 。
=
− 10
= −10
n
12 + (−12)2 + (−10)2
245 7 5
取聯立解得 該平面與 x-y 平面之交線方程式為 x − 12 y + 48 = 0
(c) 平面與 x-y 平面之交角為兩垂直向量之夾角
平面法向量為
G n
=
G i
−
12
G j
−
G 10k
G x-y 平面法向量為 k
利用餘弦定理
cosθ =
GG n⋅k
G
=
(1⋅ 0) + (−12 ⋅ 0) + (−10 ⋅1)