必备数学第一部分第四章第4节
第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
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思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
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要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
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2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
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某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
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【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章-《指数函数与对数函数》本章教材分析【2024版】
可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。
北师大版八年级数学(上)第四章 一次函数 第4节 一次函数的图象(2)
例 6：若点 A（﹣3，y1），B（1，y2）都在直线 y＝ x+b 上，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 C．y1＞y2
B．y1＝y2 D．无法比较大小
练习：一次函数 y＝﹣2x+4 的图象与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，则△OAB 的面积是（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
解：∵一次函数 y＝﹣2x+4 图象与 x 轴交点为 A，与 y 轴的交点为 B，∴A（2，0），B（0，
4），∴OA＝2，OB＝4，∴△AOB 的面积＝
＝
＝4，故选：D．
练习：直线 y＝mxm+2﹣m 是 y 关于 x 的一次函数，则下列说法正确的是（ ） A．直线与 y 轴交于点（0，﹣1） B．直线不经过第四象限 C．直线与 x 轴交于点（1，0） D．y 随 x 的增大而增大
解：∵直线 y＝mxm+2﹣m 是 y 关于 x 的一次函数，∴m+2＝1，∴m＝﹣1， ∴一次函数的解析式为 y＝﹣x+1． A、当 x＝0 时，y＝﹣x+1＝1，∴直线与 y 轴交于点（0，1）； B、∵k＝﹣1＜0，b＝1＞0，∴直线经过第一、二、四象限； C、当 y＝0 时，﹣x+1＝0，解得：x＝1，∴直线与 x 轴交于点（1，0）； D、∵k＝﹣1＜0，∴y 随 x 的增大而减小．故选：C．
A．
B．
C．
D．
解：∵一次函数 y＝kx﹣6 中，k＜0∴直线从左往右下降又∵常数项﹣6＜0 ∴直线与 y 轴交于负半轴∴直线经过第二、三、四象限故选：B．
例 4：若点 P 在一次函数 y＝﹣x+3 的图象上，则点 P 一定不在（
七年级数学1到4章知识点
七年级数学1到4章知识点七年级数学是初中数学的开端，第1章到第4章是比较基础的内容，这里将对这些章节的重点知识点进行梳理和总结，方便同学们复习和回顾。
一、第1章有理数1.有理数的概念有理数包括正数、负数和零，可以用分数或小数表示，而且有限小数和循环小数也都属于有理数。
2.有理数在数轴上的表示数轴上正方向是向右的，负方向是向左的，可将有理数用数轴上的点来表示。
正数在数轴右边，负数在数轴左边，零在原点上。
3.有理数的加减法有理数加减法规则与整数加减法规则相同，正数加正数还是正数，负数加负数还是负数，正数加负数要看它们的绝对值大小而定等等。
4.有理数的乘法和除法有理数的乘法规则比较简单，不过注意·正数乘负数为负数，负数乘负数为正数。
除法遵循“同号相除得正，异号相除得负”的规则。
二、第2章方程与不等式1.方程的基本概念方程是指用字母表示不知道的数，使字母构成的等式成立的问题，简单来说就是未知数与已知数之间的关系。
2.一次方程的解法一次方程表示未知数的指数最高次为1的方程式。
可以通过移项、化简、解方程等方式来求得一次方程的解。
3.不等式的基本概念不等式是表示未知数大小关系的式子。
如x>2，表示x大于2。
4.不等式的解法不等式的解法可以分为两种：图像法和代数法。
当不等式呈线性形式时，我们可以通过画图、观察来进行判断。
三、第3章平面图形1.平面图形的分类平面图形包括三角形、四边形、圆、梯形等，可以根据它们的特征和性质进行分类。
2.平面图形的性质不同的图形具有各自不同的特征和性质，如三角形有内角和定理、等边三角形的三个角都是60°等等。
3.平面图形的周长和面积周长是指一个图形的边界长度，而面积则是一个图形内部的平面大小。
可以运用各种公式计算不同形状图形的周长和面积。
四、第4章空间图形1.空间图形的分类空间图形包括立方体、圆柱、圆锥、球等。
不同的空间图形具有不同的特征和性质。
2.空间图形的表面积和体积空间图形的表面积是指它们的表面积总和，而体积则是指它们所占据空间的大小。
高考总复习核按钮数学配套课件资源4章4节
必备知识
基础自测
核心考点
2022高考数学核按钮 · 专点突破
【自查自纠】
1．(1)(0，0) π2，1 (π，0) 32π，－1 (2π，0)
(2)(0，1) π2，0 (π，－1) 32π，0 (2π，1)
2．f(x＋T)＝f(x) 最小正周期 3．①R ②R ③x|x≠kπ＋π2，k∈Z ④[－1，1]
R
无对称轴； 对称中心： ⑩______ ⑬_______
单调增区间 ⑱_______
○21 _______
2022高考数学核按钮 · 专点突破
第四章 三角函数与解三角形
【常用结论】
4．关于周期性的常用结论 (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一．例如，2π，4π，6π，… 以及－2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期．同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如 f(x) ＝2(x∈R)． (2)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x)的周期． (3)周期函数的定义域是无限集． (4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究 它在一个周期内的性质． 5．关于奇偶性的常用结论
下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是 ( )
A．y＝sin2x＋π2
B．y＝cos2x＋π2
C．y＝sin2x＋cos2x
D．y＝sinx＋cosx
第四章 三角函数与解三角形
解：对 A 项，y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为 π，且为偶函数，不符合题意； 对 B 项，y＝cos2x＋π2＝－sin2x，最小正周期为 π，且为奇函数，符合题意； 对 C 项，y＝sin2x＋cos2x＝ 2sin2x＋4π，最小正周期为 π，为非奇非偶函数，不符合题意； 对 D 项，y＝sinx＋cosx＝ 2sinx＋π4，最小正周期为 2π，为非奇非偶函数，不符合题意．故选 B．
4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-高一数学(北师大版必修第一册)课件
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
又因为 f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，
∴f(8)<g(8)，
f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，
∴f(9)<g(9)，
f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，
∴f(10)>g(10)，
= 的函数值增长远远大于 = 的函数值增长，
= 的函数值增长又远远大于 = 的函数值的增长，
由于指数函数 = 的函数值增长非常快，我们将这种现象称为
“指数爆炸”.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P120练习
练习1：对于函数 = 3 与 = 3 ，
这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%.
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
当的值趋近于正无穷大时，的值都是趋近于正无穷大的，那么，这3
个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
我们今天来比较指数函数、幂函数、对数函数的增长.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数 = > , > 与对数函数 = > 的增长情况比较
①对于 模型 y＝0.25x，它 在区间[10,1 000]上是 单调递增 的，当
x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求．
人教A版(2019)高中数学必修第一册第四章-4.1.1n次方根与分数指数幂教案
《4.1.1 n 次方根与分数指数幂》教学设计教材内容：n 次方根与分数指数幂这一节的内容是在初中学习过平方、立方以及平方根等的基础上，对以上内容的进一步深入学习。
本节内容将整数的指数推广到分数的指数，体现了数学中由一般到特殊的数学思想。
同时，本节作为本章的起始课，对于后续内容的学习有着奠定基础的作用。
教学目标：1.理解n 次方根与根式的概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.掌握分数指数幂和根式之间的互化，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3. 掌握分数指数幂的运算性质，达到数学运算核心素养水平一的要求.教学重点与难点：1、教学重点：根式、分数指数幂概念的理解;掌握并运用分数指数幂的运算性质.2、教学难点：有理数指数幂运算性质的应用.教学过程（一）新课导入让我们回顾一下初中学过的知识，什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?教师引导学生回答并归纳：若x 2=a ，则x 叫作a 的平方根.同理，若x 3=a ，则x 叫作a 的立方根.（二）探索新知探究一: n 次方根的概念我们类比平方根和立方根的概念，可以归纳出n 次方根的概念：一般的，如果x n =a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ﹥1，且n *N .教师提问，n 的取值会影响n 次方根的值吗?学生讨论，自行归纳出结果：当n 为偶数时，正数a 的n 次方根中，正的n 负的n 次方根用当n 为奇数时，a 的n.n 叫做根指数，a 叫做被开方数.探究二：正数的分数指数幂的意义大家观察以下式子，能否总结出一些规律?1025a a =（a ﹥0）,842a a =（a ﹥0）,1234a a =（a ﹥0）. 学生讨论.教师引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?23a （a ﹥0）, 12b （b ﹥0）,54a （c ﹥0）由此得出结论:mn a （a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：1=mn mn a a -=（a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）. 注意：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.探究三：正数的分数指数幂的运算类比平方根，立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个? 当n 为奇数时呢?学生类比初中学过的知识讨论总结:a为正数时，{n a n n a n 为奇数时，的为偶数时，的a 为负数时， ;.n n a n a n a n 为奇数时，的次方根有一个，为为偶数时，的次方根不存在 0的n 次方根为000n =.例：16的四次方根为±2，-27的五次方根为-3，-27的四次方根不存在.教师总结：一个数到底有没有n 次方根，有几个n 次方根，首先要考虑被开方数的正负，，还要分清n 为奇数还是偶数两种情况根据n 次方根的意义可得n n a a =，一定成立. n n a na 的n n n a a =一定成立吗?如果不一定成n n a ?333(3)273-=-=-， 44(8)88-=-=.教师引导学生讨论并总结: n n n a a =；n {,0;,<0.n n a a a a a a ≥-==探究四：有理指数幂的运算由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即： 1(>0,,);2()(>0,,);3()(>0,>0,).r s r s r s rs r r r a a a a r s Q a a a r s Q ab a b a b r Q +=∈=∈=∈（）（）（）（三）课堂练习1.求下列各式的值： 338（-） 210（-） 44π（3-）2.求值（1）2 3 8(2)34 16 () 81-3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a﹥0）.（1）2a（2（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.掌握n次方根的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.四、板书设计1. n次方根与根式的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.。
高中数学新教材必须第一册第四章《指数函数的图象和性质》教学设计
4.2.2 指数函数的图像和性质一、教材学情分析：本节内容是高中数学新教材人教A版普通必修第一册第四章第4.2.2节《指数函数的图像和性质》。
由于学生已经学习了正反比例函数、一次函数、二次函数，以及函数性质，所以学习这部分内容与先前的函数学习类似。
先画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用的指数函数图象和性质解决问题，体现了研究函数的一般方法，让学生掌握由特殊到一般的思想方法。
培养学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理及数学建模的核心素养。
二、教学目标：1、能画出具体指数函数的图象；2、通过类比，利用具体指数函数图像，归纳出指数函数的一般性质，3、能利用指数函数的图象和性质解决一些简单的应用问题；三、核心素养：1. 运用描点法画指数函数的图象，用图象来研究指数函数的性质，培养学生直观想象和数学抽象的核心素养；2. 从一般到特殊研究问题的方法，培养学生逻辑推理的核心素养；3. 运用指数函数性质解决问题，培养学生数学运算和数学建模核心素养。
四、教学重难点教学重点：指数函数的图象和性质。
教学难点：指数函数的性质的归纳及其应用。
五、教学准备：多媒体课件六、教学过程：（一）创设问题情境你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？设计意图：通过回顾研究函数的一般方法，提提供研究思路，进入学习和研究，培养学生的逻辑推理和数学建模的核心素养。
（二）、探索新知1.用描点法作函数y=2x、y=3x、1y()2x=和1y()3x=的图象（如图所示）2.观察这四个图像有何特点？并思考一下几个问题 问题1：图象分别在哪几个象限？问题2：图象的上升、下降与底数a 有联系吗？ 问题3：图象有哪些特殊的点？ 问题4：图象定义域和值域范围？设计意图：通过对特殊的指数函数图像观察，归纳出指数函数的性质；发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养； 3.指数函数的图像与性质图象1a >01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数例1.说出下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5__ 1.73；(2)0.8—1__0.8—2；(3)1.70.5__ 0.82.5解：① ∵函数y=1.7x在R 上是增函数，x a y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O 1y =又∵ 2.5 < 3 ，∴1.72.5 < 1.73② ∵函数y=0.8x在R 上是减函数，又∵ -1 > -2 ，∴ 0.8—1< 0.8— 2③ ∵ 1.7 0.5> 1.70= 1= 0.80>0.8 2.5， ∴1.70.5> 0.82.5[规律方法] 比较幂的大小的方法1.同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较2.指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小3.底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较4.当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论设计意图：通过典例问题的分析，让学生运用指数函数的性质解决问题。
必修一数学第四章知识点总结
必修一数学第四章知识点总结第一节：数列的概念和构成1.数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
2. 数列的通项公式表示了数列中第n项与n的关系，通常用an表示第n项。
3.数列的构成包括确定首项和确定公差。
-首项：数列中的第一项，通常用a1表示。
-公差：数列中相邻两项之差，通常用d表示。
-等差数列：相邻两项之差相等的数列。
-等比数列：相邻两项之比相等的数列。
第二节：数列的通项公式和前n项和公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示等差数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
2.等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示等差数列的前n项和。
3.等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。
4.等比数列的前n项和公式：-当r≠1时，Sn=(a1*(1-r^n))/(1-r)。
- 当r = 1时，Sn = na1第三节：利用通项公式求特定项和前n项和1.已知等差数列或等比数列的通项公式，可以利用公式求解特定项或前n项和。
2.根据题目给出的条件，代入通项公式中的相关变量，解方程求得所需的特定项或前n项和。
第四节：求前n项和的特殊情况1.等差数列的前n项和：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中an表示等差数列的第n项，a1表示首项，n表示项数。
2.等比数列的前n项和：-当r≠1时，Sn=(a1*(1-r^n))/(1-r)。
- 当r = 1时，Sn = na13.按规律改变等差数列或等比数列的前n项和的结果：-若数列每个项都乘以一个常数k，则前n项和也需要乘以k。
-若数列中的每两个相邻项交换位置，即将原数列逆序排列，则前n 项和不变。
总结：数列与数列的前n项和是数学中常用的概念和计算方法。
必修一数学第四章主要介绍了数列的定义、构成以及等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式。
高等数学 第四章 第4节 泰勒公式(中央财经大学)
微分带皮亚诺余项的
泰勒公式
带拉格朗日余项的拉格朗日中值定理泰勒公式
还有带其它余项的
泰勒公式
带皮亚诺余项的马克劳林公式
带皮亚诺余项的泰勒公式的产生 带皮亚诺余项的泰勒公式的产生0
x x x −=∆
带拉格朗日余项的马克劳林公式
带拉格朗日余项的泰勒公式的产生 带拉格朗日余项的泰勒公式的产生, )(U , )( U )( 00x x x x f ∈∀则内可微在设满足拉格朗日中值上或在 )( ] ,[ ] ,[ 00x f x x x x 定理条件)
)(()()(00x x f x f x f −′+=ξ
. 0))(( , 00→−′→x x f x x ξ时则
记 , ))(()( 00x x f x R −′=ξ)
()()(00x R x f x f +=称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式.
仿照以上的做法, 继续进行下去, 可得到一般的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.
解
解
解
解
解
R
)
(2x
解
解。
2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第四章导数及其应用第四节 第2课时导数与函数零点
【加练备选】 1.函数 f(x)＝ex－|x|3 的零点个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选 C.当 x≤0 时，f(x)＝ex＋x3， 因为 f′(x)＝ex＋3x2＞0，所以函数此时单调递增，而 f(－1)＝e－1－1＜0，f(0)＝1＞0， 所以此时函数 f(x)＝ex＋x3 有唯一零点； 当 x＞0 时，令 f(x)＝ex－x3＝0，解得 ex＝x3⇒x＝3ln x，此时原函数的零点为函数 g(x)＝x－3ln x 的零点，g′(x) ＝1－3x ，因此当 x＞3 时 g′(x)＝1－3x ＞0，函数单调递增， 当 0<x<3 时，g′(x)＝1－3x ＜0，函数单调递减， g(3)＝3－3ln 3＝3(1－ln 3)＜0，g(1)＝1＞0， g(6)＝6－3ln 6＝3(2－ln 2)＞0， 所以函数在(0，3)和(3，＋∞)内各有一个零点，所以一共有 3 个零点．
当 x＞0 时，两图象必须有两个交点，
假设两图象当
x＞0
时至多只有一个交点，则
ex≥ax2
恒成立，即
ex a≤x2
，
令 g(x)＝exx2
ex（x－2） ，则 g′(x)＝ x3
，当 g′(x)＞0 时，x＞2，当 g′(x)＜0 时，0＜x＜2，
则 g(x)min＝g(2)＝e42
，即若
e2 a≤ 4
考点二 零点与参数的值或范围 讲练互动
[典例 1](1)已知关于 x 的方程 ax＝xa(其中 a＞1，x＞0)有且仅有一个解，令 h(x)＝ ax－xa(a＞1，x＞0)，则下列结论错误的是( ) A．a＝e B．h(x)在区间(1，e)上单调递减 C．x＝e 是 h(x)的零点 D．h(1)是 h(x)的极小值，x＝e 是 h(x)的极大值点
初二上册数学：第四章知识点
初二上册数学：第四章知识点 【一】四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6、设多边形的边数为n，那么多边形的对角线共有条。
从n边形的一个顶点出发能引〔n-3〕条对角线，将n边形分成〔n-2〕个三角形。
【二】平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质〔1〕平行四边形的对边平行且相等。
〔2〕平行四边形相邻的角互补，对角相等〔3〕平行四边形的对角线互相平分。
〔4〕平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：〔1〕假设一直线过平行四边形两对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
〔2〕推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定〔1〕定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形〔2〕定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形〔3〕定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形〔4〕定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形〔5〕定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah【三】矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质〔1〕矩形的对边平行且相等〔2〕矩形的四个角都是直角〔3〕矩形的对角线相等且互相平分〔4〕矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点〔对称中心到矩形四个顶点的距离相等〕；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
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7. 如图1-4-4-7，P,Q是△ABC的边BC上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于__3_0_度.
考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题或者解答题， 难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握等腰三角形的基本性质. 注意以下要点： (1)等腰三角形的基本性质； (2)对等腰三角形的性质的理解和掌握; (3)对等边三角形的性质的理解和掌握.
广东中考
1. (2014广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的
考点演练
5. 如图1-4-4-5，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为 AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为( C )
A. 16
B. 14
C. 12
D. 6
6. 如图1-4-4-6，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，AD
与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由.
(2)∵由(1),得△ACE≌△DCB， ∴∠CAM=∠CDN. ∵∠ACD=∠ECB=60°，而A,C,B三点共线， ∴∠DCN=60°. 在△ACM与△DCN中， ∵ ∠MAC=∠NDC,
AC=DC, ∠ACM=∠DCN=60°， ∴△ACM≌△DCN(ASA). ∴MC=NC. ∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形. ∴∠NMC=∠DCN=60°. ∴∠NMC=∠DCA. ∴MN∥AB.
3. (2006平凉)如图1-4-4-3所示， △ABC为等边三角形，D,E,F分别 在边BC,CA,AB上，且AE=CD=BF， 则△DEF为__等__边___三角形. 4. 如图1-4-4-4，点C是线段AB 上除点A,B外的任意一点，分别 以AC,BC为边在线段AB的同旁作 等边△ACD和等边△BCE，连接 AE交DC于点M，连接BD交CE于点 N，连接MN. (1)求证：AE=BD； (2)求证：MN∥AB.
1. 如图1-4-4-1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点
E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线
段MN的长为
(D )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
2. (2017连云港)如图1-4-4-2，已知等腰△ABC中，AB=AC，点D,E 分别在边AB,AC上，且AD=AE，连接BE,CD，交于点F. (1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点A,F的直线垂直平分线段BC.
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识（一） 第4节 等腰三角形与等边三角形
知识梳理
概念定理
1. 等腰三角形 （1）定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质 ①性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等 角）. ②推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上 的高线互相重合（简称：三线合一）.
证明：(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形， ∴AC=DC，CE=CB， ∠DCA=60°，∠ECB=60°. ∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB. 在△ACE与△DCB中， ∵ AC=DC,
∠ACE=∠DCB, CE=CB， ∴△ACE≌△DCB. ∴AE=BD.
周长为
( A)
A. 17
B.17
2. (2012深圳)如图1-4-4-9，已知：∠MON=30°，点
A1,A2,A3…在射线ON上，点B1,B2,B3…在射线OM上，
（4）判定 ①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形. ②判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等 角对等边）. 2. 等边三角形 （1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形. （2）性质 ①性质定理：等边三角形的三个内角都相等____，并且每个角 都等于60°. ②等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有 性质，它的每一个内角的角平分线都与其对边的中线和高线重 合.
（3）判定 ①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形. ②判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. ③判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
方法规律
中考考点精讲精练
考点 等腰三角形、等边三角形的性质和判定［5年2考： 2014年(选 择题)、2017年(解答题)］
考点精讲
（3）其他性质 ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°. ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但 顶角可为钝角（或直角）.
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
________.
④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，
则∠A=__1_8_0_°__-_2_∠__B__，∠B=∠C=________________.
解：(1)∠ABE=∠ACD. 在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD. ∴∠ABE=∠ACD. (2)∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD， ∴∠FBC=∠FCB. ∴FB=FC. ∵AB=AC， ∴点A,F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.
8. 如图1-4-4-8，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC
外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？
试说明你的结论.
解：△APQ为等边三角形. 理由如下：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC. 在△ABP与△ACQ中， ∵ AB=AC,
∠ABP=∠ACQ, BP=CQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS). ∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ. ∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°. ∴△APQ是等边三角形.