必备数学第一部分第四章第4节

（3）判定 ①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形. ②判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. ③判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
方法规律
中考考点精讲精练
考点 等腰三角形、等边三角形的性质和判定［5年2考： 2014年(选 择题)、2017年(解答题)］
考点精讲
解：(1)∠ABE=∠ACD. 在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD. ∴∠ABE=∠ACD. (2)∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD， ∴∠FBC=∠FCB. ∴FB=FC. ∵AB=AC， ∴点A,F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.
（3）其他性质 ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°. ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但 顶角可为钝角（或直角）.
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
________.
④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，
则∠A=__1_8_0_°__-_2_∠__B__，∠B=∠C=________________.
周长为
( A)
A. 17
B. 15
C. 13
D. 13或17
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2. (2012深圳)如图1-4-4-9，已知：∠MON=30°，点
A1,A2,A3…在射线ON上，点B1,B2,B3…在射线OM上，
1. 如图1-4-4-1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点
E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线
段MN的长为
(D )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
2. (2017连云港)如图1-4-4-2，已知等腰△ABC中，AB=AC，点D,E 分别在边AB,AC上，且AD=AE，连接BE,CD，交于点F. (1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点A,F的直线垂直平分线段BC.
8. 如图1-4-4-8，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC
外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？
试说明你的结论.
解：△APQ为等边三角形. 理由如下：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC. 在△ABP与△ACQ中， ∵ AB=AC,
∠ABP=∠ACQ, BP=CQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS). ∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ. ∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°. ∴△APQ是等边三角形.
证明：(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形， ∴AC=DC，CE=CB， ∠DCA=60°，∠ECB=60°. ∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB. 在△ACE与△DCB中， ∵ AC=DC,
∠ACE=∠DCB, CE=CB， ∴△ACE≌△DCB. ∴AE=BD.
（4）判定 ①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形. ②判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等 角对等边）. 2. 等边三角形 （1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形. （2）性质 ①性质定理：等边三角形的三个内角都相等____，并且每个角 都等于60°. ②等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有 性质，它的每一个内角的角平分线都与其对边的中线和高线重 合.
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识（一） 第4节 等腰三角形与等边三角形
知识梳理
概念定理
1. 等腰三角形 （1）定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质 ①性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等 角）. ②推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上 的高线互相重合（简称：三线合一）.
(2)∵由(1),得△ACE≌△DCB， ∴∠CAM=∠CDN. ∵∠ACD=∠ECB=60°，而A,C,B三点共线， ∴∠DCN=60°. 在△ACM与△DCN中， ∵ ∠MAC=∠NDC,
AC=DC, ∠ACM=∠DCN=60°， ∴△ACM≌△DCN(ASA). ∴MC=NC. ∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形. ∴∠NMC=∠DCN=60°. ∴∠NMC=∠DCA. ∴MN∥AB.
3. (2006平凉)如图1-4-4-3所示， △ABC为等边三角形，D,E,F分别 在边BC,CA,AB上，且AE=CD=BF， 则△DEF为__等__边___三角形. 4. 如图1-4-4-4，点C是线段AB 上除点A,B外的任意一点，分别 以AC,BC为边在线段AB的同旁作 等边△ACD和等边△BCE，连接 AE交DC于点M，连接BD交CE于点 N，连接MN. (1)求证：AE=BD； (2)求证：MN∥AB.
考点演练
5. 如图1-4-4-5，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为 AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为( C )
A. 16
B. 14
C. 12
D. 6
6. 如图1-4-4-6，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，AD
与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由.
考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题或者解答题， 难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握等腰三角形的基本性质. 注意以下要点： (1)等腰三角形的基本性质； (2)对等腰三角形的性质的理解和掌握; (3)对等边三角形的性质的理解和掌握.
广东中考
1. (2014广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的
解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠DBF. 又∵∠BAC=90°， AD⊥BC， ∴∠AFE=90°-∠ABF， ∠DEB=90°-∠DBF. ∴∠AFE=∠DEB. 又∵∠DEB=∠AEF， ∴∠AEF=∠AFE. ∴△AEF是等腰三角形.
7. 如图1-4-4-7，P,Q是△ABC的边BC上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于__3_0_度.