有固定转动轴物体的平衡

标准教案
第二章物体平衡
§2.3有固定转动轴物体的平衡
高考对应考点：
1．力矩（学习水平B级）
2. 有固定转动轴的物体的平衡（学习水平B级）
课时目标：
1．了解转动平衡的概念，理解力臂和力矩的概念。

2．理解有固定转动轴物体平衡的条件
3．会用力矩平衡条件分析问题和解决问题
重点难点：
1．力矩平衡计算
2．动态平衡问题的分析方法
知识精要：
一．转动平衡：
有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或，叫平衡状态。

二．力矩：
1．力臂：转动轴到力的作用线的。

2．力矩：的乘积。

（1）计算公式：；
（2）单位：；
（3）矢量：在中学里，只研究固定转动轴物体的平衡，所以只有顺时针和逆时针转动两种方向
三．力矩平衡条件：
力矩的代数和为零或所有使物体向方向转动的力矩之和等于所有使物体向方向转动的力矩之和。

或 ＝
∑=∑∑
M0M M
顺逆
热身练习：
1．如图所示，要使圆柱体绕A点滚上台阶，试通过作图来判
断在圆柱体上的最高点所施加的最小力的方向
_____________。

2．匀质杆AO可绕O轴转动，今用水平力使它缓缓抬起的过程中，如图所示，重力对
O轴的力臂变化是_____________，重力对O轴的力矩变化情况是_____________，已
知抬起过程中水平拉力力矩的大小应等于重力的力矩，则水平拉力F的变化情况是
_____________。

3． 如图，把物体A 放在水平板OB 的正中央，用始终垂直于杆的力F 将板的B 端缓慢抬高（O 端不动），设A 相对平板静止，则力
F 的将 ，F 的力矩F M 将 ；若F 始终
竖直向上，则力F 的大小将 ，
F
的力矩
F
M 将 。

4．如图所示，ON 杆可以在竖直平面内绕O 点自由转动，若
在N 端分别沿图示方向施力123F F F
、、，杆均能静止在图示
位置上．则三力的大小关系是（ ）
A ．
123F F F == B ．
123F F F >>
C ．2
13F F F
>> D ．132F F F
>>
5．如图所示，直杆OA 可绕O 点转动，图中虚线与杆平行，杆
端A 点受四个力1234F F F F 、、、的作用，力的作用线与OA 杆
在同一竖直平面内，它们对转轴O 的力矩分别为
1234M M M M 、、、，则它们力矩间的大小关系是（ ） A ．1234
M M M M ===； B ．2134M M M M ＞＝＞； C ．4231
M M M M ＞＞＞； D ．
2134
M M M M ＞＞＞；
6．如图所示，一杆均匀，每米长的重为P=30N ，支于杆的左端，在离杆的左端a 0.2m =处挂一质量为W 300N =的物体，在杆的右端加一竖直向上的力F 杆多长时使杆平衡时所加竖直向上的拉力F 最小，此最小值为多大？
精解名题：
例1．一块均匀木板MN 长L 15m ＝，重
1G 400N
＝，搁在相距D 8m ＝
的两个支架A B 、上， O ’
F 2 F 3 F 4 O
F
1 A ’
A
MA NA ＝，重2G 600N ＝的人从A 点向B 点走去，如图
所示。

求：①人走过B 点多远木板会翘起来？
②为使人走到N 点时木板不翘起来，支架B 应放在 离N 多远处？
分析：先对木板受力分析，木板受到自身重力1G 、人对木板的压力以及支架对木板的支持力，当人走过B 点时，为保证不翘起，应选定B 点为支点。

解：当木板刚翘起来时，板的重力对B 点产生的力矩和人的重力对B 点产生的力矩使板平衡，设人走过B 端L 时木板会翘起来，则有B L ⨯=⨯6004400 可解得B L 2.67m ＝，同理，可设当人走到N 端木板刚要翘起来时，B 支架和N 端的距离为BN L 则有
BN
BN L L ⨯=-⨯600)5.7(400，可得BN L 3m ＝。

答案：①B L 2.67m ＝；②BN L 3m ＝
例2．（2012年长宁-2）如图所示，T 形金属支架与固定转轴O 相连，AB 水平，CO 与AB 垂直，B 端由竖直细线悬吊，AC CO 0.2m ==，CB 0.3m =，支架各部分质量均匀分布，支架总质量为7kg ．小滑块质量m 0.5kg =，静止于A 端时细线 恰不受力．现给小滑块初速使其水平向右滑动，滑块与AB 间的动摩擦因数0.5μ=，取重力加速度
2g 10m /s =，求：
①支架的重力相对转轴O 的力矩； ②小滑块滑至C 点时细线对B 的拉力．
分析：对T 形金属支架受力分析，由于质量不对称，因此分成AC BC 、两段，分别求其产生的力矩；由于小滑块滑动，使得支架受到向右的滑动摩擦力力，因此支架受到两个顺时针方向的力矩和绳子拉力产生的逆时针方向的力矩。

解：①由力矩平衡得：
BC AC BC AC -22
G M m g m g =⨯
⨯ 3100.15Nm-2100.1N.m 2.5N.m =⨯⨯⨯⨯=
②滑动摩擦力： 0.50.510N 2.5N f mg μ==⨯⨯=
f M mgCO 2.50.2N.m 0.5N.m μ==⨯=
力矩平衡得：G f T M M M +=
拉力：()/CB (2.5+0.5)./0.3N 10N G f T
M M N m =+==
答案：①2.5N.m ②10N
例3．一均匀的直角三直形木板ABC ，可绕过C 点的水平轴转动，如右图所示。

现用一始终沿直角边AB 且作用在A 点的力F ，使BC 边慢慢地由水平位置转至竖直位置。

在此过程中，力F 的大小与α角变化的图线是（ ）
分析：三角板的重心在其三条中线的交点上，木板受到重力和拉力F 作用，在木板转动过程中，重心相对于地面的位置会发生变化，拉力F 的力臂总保持不变，在转动过程中，重力的力矩先变小后变大，因此拉力F 也先变小后边大。

解：设bc 边为L ，重心到c 点的距离为a ，重心与c 点的连线与bc 的夹角为θ由力矩平衡条件得：FL=Gacos(+)θα，可见F 与α的关系不是线性的，因此应选C 。

答案：C
例4．如图所示，一自行车上连接脚踏板的连杆长R 1，由脚踏板带动半径为r 1的大齿盘，通过链条与半径为r 2的后轮齿盘连接，带动半径为R 2的后轮转动。

①设自行车在水平路面上匀速行进时，受到的平均阻力为f ，人蹬脚踏板的平均作用力为F ， 链条中的张力为T ，地面对后轮的静摩擦力为s f 。

通过观察，写出传动系统中有几个转动轴，分别写出对应的力矩平衡表达式；
②设R 1=20 cm ，R 2=33 cm ，脚踏大齿盘与后轮齿盘的齿数分别为48和24，计算人蹬脚踏板的平均作用力与平均阻力之比；
③自行车传动系统可简化为一个等效杠杆。

以R 1为一力臂，在框中画出这一杠杆示意图， 标出支点，力臂尺寸和作用力方向； 分析：对于自行车，脚踏板的力产生顺时针转动的力矩，通过链条带动自行车后轮顺时针动， 因此脚踏板和后轮轴各有一处力矩平衡。

解：①自行车传动系统中的转动轴个数为2，设脚踏齿轮、后轮齿轮半径分别为r 1、r 2，链条中拉力为T 对脚踏齿盘中心的转动轴可列出：11FR Tr = 对后轮的转动轴可列出：22s Tr f R =
②由11FR Tr =，22s Tr f R =，及s f f =（平均阻力）
可得2448
=
=2121r r R f FR s 所以1221483333
3.3242010
r R F f r R ⨯==
==⨯ ③如图所示
答案：①11FR Tr =，22s Tr f R = ②
=3.3F
f
③如上图
F
α
O 90° F α O 90° F α
O
90° 90° F α O A B C D
F A
B
α C
方法小结：
1．明确转轴：
大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。

在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用 ，进行求解。

2．解决转动问题的步骤；
① ； ② ； ③ ：
或
④ ； ⑤ 。

3．力矩的计算： 方法一：先求出力的力臂，再由定义求力矩M FL ＝
如图中，力F 的力臂：
力矩：
方法二：先把力沿 和 的两个方向分
解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。

4．摩擦力的力矩：
当研究问题有摩擦力产生力矩时，一定不要忽略了摩擦力的力矩，先对运动物体受力分析，确定 ，然后运动物体反过来给转动杆一摩擦力的 ，使的杠杆有转动效果，最后根据 列方程求解。

巩固练习：
1．如右图所示，T 形架子可绕底端转动，现在分别在左右端施加拉力12F F 、，则关于12F F 、的力矩12M M 、可知（ ） A ．都是顺时针的 B ．都是逆时针的
C ．1M 是顺时针所的，2M 是逆时针的
D ．1M 是逆时针的，2M 是顺时针所的
2．如图所示是一种钳子，O 是它的转动轴，在其两手柄上分别加大小恒为F 、方向相反的两个作用力，使它钳住长方体工件M ，工件的重力可忽略不计，钳子对工件的压力大小为F N ，当另外用沿虚线方向的力把工件向左拉动时，钳子对工件的压力大小为F N1，而另外用沿虚线方向的力把工件向右拉动时，钳子对工件的压力大小为F N2，则（ ） A ．12N N N F F F ＞＞ B ．12N N N F F F ＜＜ C ．12N N N F F F ＝＝，
D ．12N N N N F F F F ＞，＞
F
θ L F 2 F 1 F
M O
F
A B O 3．如图所示，重为G 的物体A 靠在光滑竖直墙上，一端用铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体A ，棒重为G’，棒与竖直方向的夹角为α，则（ ）
A ．物体A 对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向。

B ．增大棒重G’，物体A 对棒的摩擦力将增大。

C ．增大物重G ，且棒仍能支持A ，则A 对棒的摩擦力将增大，而弹力不 变。

D ．水平向右移动铰链，使α角增大，但棒仍能支持A ，则A 对棒的弹
力将增大。

4．如图所示是单臂斜拉桥的示意图，均匀桥板aO 重为G ，三根平行钢索与桥面成30°角，间距ab=bc=cd=dO.若每根钢索受力相同，左侧桥墩对桥板无作用力，则每根钢索的拉力大小是( ). A ．G B ．6G 3 C ．3G D ．32G
5．如图所示，一根轻质木棒AO ，A 端用光滑铰链固定于墙上，在O 端下面吊一个重物，上面用细绳BO 系于顶板上，现将B 点逐渐向右移动，并使棒AO 始终保持水平，则下列判断中正确的是（ ）
A ．BO 绳上的拉力大小不变。

B ．BO 绳上的拉力先变大后变小。

C ．BO 绳上的拉力对轻杆的力矩先变大后变小。

D ．BO 绳上的拉力对轻杆的力矩不变。

6．均匀板重300 N ，装置如图，AO 长4 m ，OB 长8 m ，人重500 N ，绳子能承受的最大拉力为200 N ，求：人能在板上安全行走的范围。

7．如图所示，质量为m 粗细均匀的均质细杆AB 在B 点用铰链与墙连接，杆与竖直墙面的夹角为θ＝37︒，A 端固定一轻质光滑小滑轮，墙上C 点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有质量为M 的物体G 。

目前杆AB 与物体G 都处于静止状态，求： ①杆的质量与物体的质量的比值；
②若略微增加物体G 的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，需如何调 整θ角度。

A
α
C
A O 30︒ B
θ A
B C G
8．如右图所示是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴通过图中O 点垂直于纸面，AB 是一长度0.60m l =、质量1m 0.50kg =的均匀刚性细杆，可绕过A 端的固定轴在竖直面(图中纸面)内无摩擦地转动，工件C 固定在AB 杆上，其质量2m 1.5kg =，工件的重心、工件与砂轮的接触点P 以及O 点都在过AB 中点的竖直线上，P 到AB 杆的垂直距离d 0.1m =，AB 杆始终处于水平位置，砂轮与工件之间的动摩擦因数0.6.μ=
(1)当砂轮静止时，要使工件对砂轮的压力0F 100N =，则施于B 端竖直向下的力FB 应是多大?
(2)当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为F0=100N ，则施于B 端竖直向下的力FB′应是多大?
当堂总结：
自我测试：
1．如图，竖直轻质悬线上端固定，下端与均质硬棒AB 中点连接，棒长为线长的二倍。

棒的A 端用铰链墙上，棒处于水平状态。

改变悬线的长度，使线与棒的连接点逐渐右移，并保持棒仍处于水平状态。

则悬线拉力 （ ） A.逐渐减小 B.逐渐增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小
2．如图所示是一个单边斜拉桥模型，均匀桥板重为G ，可绕通过O 点的水平固定轴转动。

7根与桥面均成30°角的平行钢索拉住桥面，其中正中间的一根钢索系于桥的重心位置，其余成等距离分布在它的两侧。

若每根钢索所受拉力大小相等，则该拉力大小为（ ）
A ． 17G
B ．27G
C ．37G
D ．47G
3．如图所示，一根木棒AB在O点被悬挂起来，已知AO
＝OC，在A、C两点分别挂有2个和3个质量相等的砝码，
木棒处于平衡状态．现在木棒的A、C点各增加3个同样的
砝码，关于木棒的运动状态下列说法正确的是（）
A．绕O点顺时针方向转动
B．绕O点逆时针方向转动
C．平衡可能被破坏，转动方向不定
D．仍能保持平衡状态
4．棒AB的一端A固定于地面，可绕A点无摩擦地转动，B端靠在物C上，物C靠在光滑的竖直墙上，如图所示.若在C物上再放上一个小物体，整个装置仍保持平衡，则B端与C物之间的弹力大小将( ). A．变大B．变小
C．不变D．无法确定
5．如图所示，均匀细杆AB的质量为m AB=5kg，A端装有固定
转轴，B端连接细线通过滑轮和重物C相连，若杆AB呈水平，
细线与水平方向的夹角为q=30°时恰能保持平衡，则重物C的
质量m C＝__________；若将滑轮水平向右缓缓移动，则杆AB
将_____________（选填“顺时针”、“逆时针”或“不”）转
动，并在新的位置平衡。

（不计一切摩擦）
6．如图所示，质量为m的运动员站在质量为m的均匀长板AB
的中点，板位于水平地面上，可绕通过A点的水平轴无摩擦转动.
板的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动
员的手中.当运动员用力拉绳子时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直
方向，则要使板的B端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是
______。

7．重为80N的均匀直杆AB一端用铰链与墙相连，另一端
用一条通过光滑的小定滑轮M的绳子系住，如图所示，绳
子一端与直杆AB的夹角为30°，绳子另一端在C点与AB
垂直，
1
6
AC AB。

滑轮与绳重力不计。

则B点处绳子的
拉力的大小是___________N，轴对定滑轮M的作用力大小
是___________N。

8．某同学用实验方法测力矩盘的重心，如图，是一个半径为8cm
的力矩盘，重4N，但重心不在圆心O处，圆心套在转轴上后处于
如图静止状态（OA呈水平）。

在A点悬挂一个1N的砝码后，半
径OA将顺时针转过30°角后保持静止，则该盘重心离O点
cm。

若在A处改挂一个3N的砝码后，则OA将转过度才能
平衡。

. O A
§2.3力矩平衡 知识精要、方法小结及练习、自测参考答案
知识精要
一． 匀速转动；
二．1．垂直距离； 2．力与力臂；（1） M F L =⨯；（2） .N m 三．顺时针；逆时针。

热身练习
1. 如右图 ；
2. 变大；变大；变大
3. 变小；变小；不变；变小；
4. D ；
5. B ；
6.
2m ；min 60F N =
方法小结
1．力矩平衡条件。

2．①确定研究对象；②分析状态和受力；③列出力矩平衡方程；④代入数据，解出结果；⑤作出必要的讨论，写出明确答案。

3．F L Lsin θ= ；M F.Lsin θ＝ ；垂直于杆；平行于杆；1
M F.L F.Lsin θ＝= 4． 摩擦力方向；反作用力；转动平衡条件；
巩固训练
1．B ；2．A ；3．D ；4．D ；5．D ；6．O 左1.2 m 到O 右0.4 m 之间；7．2:3，减小； 8．40N ，30N ；
自我测试
1．A ；2．B ；3．D ；4．A ；5．5kg ，顺时针；6．23mg
；7．60，603；8． 32，60；
9．
q mg
E 2=
；减小；
10．解：（1）sin cos mg mg ma θμθ＋＝，
22sin cos 100.60.5100.8m /s 10m /s a g g θμθ⨯⨯⨯＝＋＝（＋）＝，
（2）设第二个滑块滑上的距离为s ，对支架由力矩平衡条件得：
12sin 2cos cos /2cos /2Mgl mgd mg s L mg s L θθθθ＝＋（－）＋（－），
222010
/2/2s v t at s v t t a t t ∆∆＝-，＝（＋）-（＋）， 解得：120.2s 1s t t ＝，＝
（舍） 且1m 011m /0.6s t v a t t ＝＝，＜，解答合理；。