山东专升本高等数学总结(真题 考点)
完整版)专升本高等数学知识点汇总
完整版)专升本高等数学知识点汇总常用的高等数学知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
2) y=1/x，分式形式的定义域为x≠0.3) y=sqrt(x)，x根式的形式定义域为x≥0.4) y=log_a(x)，对数形式的定义域为x＞0.二、函数的性质1、函数的单调性：当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的。
当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性：定义函数y=f(x)的定义区间D关于坐标原点对称，若x∈D，则有- x∈D：1) 偶函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)。
2) 奇函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)。
三、基本初等函数1、常数函数：y=c，定义域为(-∞,+∞)，图形是一条平行于x轴的直线。
2、幂函数：y=x^u，(u是常数)。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数：定义y=f(x)=a^x，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(0,1)点。
4、对数函数：定义y=f(x)=log_a(x)，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(1,0)点。
5、三角函数：1) 正弦函数：y=sin(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
2) 余弦函数：y=cos(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
3) 正切函数：y=tan(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
4) 余切函数：y=cot(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠kπ，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
四、极限一、求极限的方法：1、代入法：将x的值代入函数中求得对应的y值。
改写后的文章：高等数学中常用的知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
高数真题及答案
山东省普通高等教育专升本统一考试《高等数学》真题（部分）一、 选择题1、函数22712arcsin x x x y -+-=的定义域为（ ）【2011年真题】 A 、]4,3[- B 、 )4,3(- C 、 ]2,0[ D 、 ）2,0(【答案】选C.2、如果级数)0(1≠∑∞=n n n u u 收敛，则必有（ ）【2011年真题】A 、级数∑∞=11n n u 发散B 、级数)1(1n u n n +∑∞=收敛 C 、级数∑∞=1n n u 收敛 D 、级数n n n u ∑∞=-1)1(收敛【答案】选A.二、填空题：1、由方程0422=--xy y x 确定的隐函数的导数dxdy = 【2011年真题】 【答案】填 x y y x 22+-. 2、向量)4,1,1(=a 与向量)2,2,1(-=b 的夹角余弦值是 . 【2011年真题】 【答案】填1827. 3、级数∑∞=n n n x !的收敛区间为_______.【2010年真题】 【答案】),(+∞-∞. 【解析】收敛半径：∞=+=+==∞→∞→+∞→)1(lim !)!1(lim ||lim 1n n n a a R n n n n n ， 所以，收敛区间为：),(+∞-∞.4、当26ππ≤<x 时，x x x f sin )(=是_______函数（填“单调递增”、“单调递减”） 【2009年真题】【答案】单调递减 【解析】,sin cos )(2xx x x x f -='令,sin cos )(x x x x g -= ,sin cos sin cos )(x x x x x x x g -=--='当26ππ≤<x 时，0)(<'x g ，从而，,0)(<'x f 故函数)(x f 单调递减. 二、计算下列各题：1、求函数)0(1>⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x y x的导数. 【2011年真题】【解析】两边取对数，)]1ln([ln ln x x x y +-=两边对x 求导数，x x x x x x x x y y ++⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+='111ln 1111ln 1 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x dx dyx111ln 1.2、级数∑∞=n nn x !的收敛区间为___________.【2010年真题】【解析】收敛半径：∞=+=+==∞→∞→+∞→)1(lim !)!1(lim ||lim 1n n n a a R n n n n n ，所以，收敛区间为：),(+∞-∞.3、求幂级数 +-+-+--n xx x x nn 132)1(32的收敛半径和收敛域.【2009年真题】 【解析】 收敛半径: 11lim lim 1=+==∞→+∞→nn a a R n n nn ,当1-=x 时,级数∑∑∞=∞=--=--1111)1()1(n n n n n n 发散;当1=x 时,级数∑∞=--111)1(n n n 收敛.所以,级数的收敛域为:]1,1(-. .0663********sin 6cos 6)6()(<-⋅=-⋅=-⋅=<ππππππg x g .0663********sin 6cos6)6()(<-⋅=-⋅=-⋅=<ππππππg x g三、证明题：1、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只能够砌成20m 长的墙壁.问:应围成怎样的长方形才能使这间小屋面积最大. 【2011年真题】【解析】设小屋宽为x 米,则长为(20-2x )米,小屋面积为：)220(x x y -=,0420=-='x y 得,5=x由实际问题的实际意义知，当围成宽5米，长10米的长方形时小屋面积最大.2、求抛物线221x y =将圆822=+y x 分割后形成的两部分的面积. 【2011年真题】 【解析】联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=821222y x x y ，得2±=x 面积2032402022131)cos 22(22182x dt t dx x x A -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰⎰π 342382sin 21838)2cos 1(84040+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-+=⎰πππt t dt t . 另一部分面积346812-=-=ππA A .3、设函数)(x f 在[0，1]上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：存在ξξξ=∈)(],1,0[f 使.【2010年真题】【解析】本题考查闭区间上连续函数的性质——零点定理.证明. 令x x f x g -=)()(，则)(x g 在[0，1]上连续，且,0)0(0)0()0(≥=-=f f g ,01)1()1(≤-=f g若等号成立，即1)1(,0)0(==f f 或，则端点0或1即可作为要找的ξ；若等号不成立，即,0)1()0(<⋅g g 由零点定理知，存在0)(),1,0(=∈ξξg 使，即ξξ=)(f . 综上可证，存在ξξξ=∈)(],1,0[f 使.4、某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？【2009年真题】【解析】求最值问题.首先根据题意建立数学函数,然后求导数,并求出使一阶导数等于零的点,若只求得一个驻点,则可直接断定结论.解 设宽为x 米,则长为x 512米.新砌墙的总长度为: x x y 5122+= 由051222=-='xy ,得16=x (16-=x 舍去), 32512=x 所以,当堆料场的长为32米,宽为16米时砌墙所用的材料最省.。
山东专升本高等数学第一章知识点总结
第一章 函数、极限和连续第一单元 函数1.函数的概念函数两要素：定义域和对应法则。
原函数定义域等于反函数值域，反函数值域等于原函数定义域。
定义域：y =1x ,x ≠0y =ln x ,x >0 y =√x,x ≥0y =√x4x >0 y =arcsin x ,−1≤x ≤1y =arccos x ,−1≤x ≤12.函数的性质单调性：同增异减当x 1<x 2时，有f (x 1)<f (x 2)，为增函数。
当x 1<x 2时，有f (x 1)>f (x 2)，为减函数。
原函数与反函数有相同单调性。
奇偶性：f (−x )=f (x ) 为偶函数关于y 轴对称f (−x )=−f (x ) 为奇函数关于原点对称 对数专用 f (−x )+f (x )=0 f (0)=0常见偶函数：y =|x | y =2 y =x 2 y =x 4+2 y =cos x常见奇函数：y =x y =x 3 y =1x y =tan x y =cot x y =sin x arctan x arccos x常见非奇非偶函数：arccot x arccos x奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇±偶=非奇非偶原函数与反函数奇偶相同；奇函数求导后为偶函数，偶函数求导后为奇函数。
有界性：|f (x )|≤M ⇔−m ≤f (x )≤M |f (x )|>M ⇔f (x )>M 或f (x )<−m 有界×有界=有界 有界±有界=有界 有界±无界=无界 常见有界函数： y =sin xy =cos xy =1sin xy =1cos xy=arcsin x y=arccos x y=arctan x y=arccot x 周期性：y=A sin(ωx+φ)+B y=A tan(ωx+φ)+B y=A cos(ωx+φ)+B y=A cot(ωx+φ)+B最小正周期T=2π|ω|最小正周期T=π|ω|3.基本初等函数幂函数：y=xα(α∈R,α≠0)指数函数：y=a x(a>0,a≠1)1)x对数函数：y=log a x(a>0,a≠1)x正弦函数 奇函数 T=2π 有界 余弦函数 偶函数 T=2π 有界x正切函数 奇函数 T=π 无界 余切函数 奇函数 T=π 无界 y =tan x y =cot x三角函数常用公式：tan x =sin xcos x cot x =1tan x =cos xsin xsec x =1cos x csc x =1sin x sin (−x )=−sin x cos (−x )=cos x tan (−x )=−tan x 降幂公式：sin 2x =1−cos 2x2cos 2x =1+cos 2x2cos 2x =(cos x )2tan x 和cot x 互为倒数 sin x 和csc x 互为倒数 cos x 和sec x 互为倒数1.度与弧度π1rad 0.017453rad 180︒=≈，1801rad 571744.8π︒⎛⎫'''=≈︒ ⎪⎝⎭22sin cos 1x x += 22tan 1sec x x += 22cot 1csc x x +=3.两角的和差公式()sin sin cos cos sin x y x y x y ±=± ()cos cos cos sin sin x y x y x y ±=m()tan tan tan 1tan tan x yx y x y±±=m4.和差化积公式sin sin 2sin cos22x y x yx y +−+= sin sin 2sincos22x y x yx y −+−= cos cos 2cos cos22x y x yx y +−+= cos cos 2sinsin22x y x yx y +−−=− 5.积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2x y x y x y =++− []1cos sin sin()sin()2x y x y x y =+−− []1cos cos cos()cos()2x y x y x y =++− []1sin sin cos()cos()2x y x y x y =−+−− 6.倍角公式和半角公式sin 22sin cos x x x =2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x =−=−=−21cos cos 22x x+=21cos sin 22x x−=22tan tan 21tan xx x=− 1cos sin tan2sin 1cos x x xx x−==+22tan2sin 1tan 2x x x=+ 221tan 2cos 1tan 2x x x−=+ 22tan2tan 1tan 2x x x=− 8.三角形边角关系 （1）正弦定理sin sin sin a b cA B C==（2）余弦定理 2222cos a b c bc A =+− 2222cos b a c ac B =+− 2222cos c a b abc C =+−反三角函数：反正弦函数y =arcsin x 定义域[-1,1] 反余弦函数y =arccos x 定义域[﹣1,1] 值域[−π2,π2] 奇函数 有界函数 非周期函数 值域[0,π] 有界函数 非奇非偶函数非周期函数−2反正切函数y=arctan x定义域(−∞,+∞)反余切函数y=arccot x定义域(−∞,+∞)值域(−π2,π2)有界函数奇函数非周期函数值域(0,π) 有界函数非奇非偶函数非周期函数反函数：原函数定义域等于反函数值域，反函数值域等于原函数定义域。
2020山东专升本高等数学(一)真题和解析
-2-
15．已知函数
h
sin ，求 .
16．计算二重积分
ht h
所围成的第一象限的闭区域．
，其中 是由直线
，
与圆 h t h h
17．求微分方程 㤵 t
t 的通解．
-3-
18． 求幂级数 xn2 的收敛域及和函数． n0 n 1 19．求曲线 뭀 h t 与直线 뭀 h t 所围成图形的面积．
-4-
20．证明：当 t h 时， t ln t 뭀 .
21．设函数 ሺ ݔ在 h 上连续，且 ሺh ݔh，证明：对于任意 t ሺ hݔ，存在 t ሺ hݔ，使
得
h.
添加小学士微信（xueshi008） 查看高数答案详解
-5-
뭀 h的定义域为______________．
7．曲线 h t h ln 在点ሺh hݔ点处的切线方程为______________．
8．若
h， h t hሺ ݔ
Байду номын сангаас
，则 h
______________．
9．已知两点 ሺ 뭀 h h ݔ和 ሺh 뭀 hݔ,则与向量 同方向的单位向量为 ______________．
4．曲线 h t
A．
뭀
h h
뭀
h h
h 뭀 h 的拐点是
B．
뭀
h h
h h
5．以下级数收敛的为
A．
n 1
n2 1 n3 2n2
B．
sin
n
n 1
3
B．
h뭀 t
− h
D．
h
t
− h
C． 뭀 h
D． 뭀 h
2022-2023学年山东省东营市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析)
2022-2023学年山东省东营市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.（）。
A.2e2B.4e2C.e2D.02.A.A.B.C.D.3.曲线y ex+lny=1，在点(0，1)处的切线方程为【】4.（）。
A. B. C. D. 5.6. 7.8.A.-2B.-1C.0D.29.设函数f(sinx)=sin2x，则fˊ(x)等于()。
A.2cos xB.-2sin xcosxC.%D.2x10.11.12.A.0B.C.D.13. 下列定积分的值等于0的是（）．A.B.C.D.14.15.下列命题正确的是（）。
A.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点B.若x0为函数f(x)的驻点，则x0必为f(x)的极值点C.若函数f(x)在点x0处有极值，且f'(x0)存在，则必有f'(x0)=0D.若函数f(x)在点XO处连续，则f'(x0)一定存在16.17.f(x)=｜x-2｜在点x=2的导数为A.A.1B.0C.-1D.不存在18.（）。
A.B.C.D.19.A.A.B.C.D.20.A.B.C.D.21.设函数f(x)在区间[a,b]连续，且a<u<b，则I(u)A.恒大于0B.恒小于0C.恒等于0D.可正，可负22.23.24.25.A.x3+3x－4 B.x3+3x－3 C.x3+3x －2 D.x3+3x－126.（）。
A.B.C.D.27.28.29.设z=e xy，则dz=A.A.e xy dxB.(xdy+ydx)e xyC.xdy+ydxD.(x+y)e xy30.A.A.B.C.D.二、填空题(30题)31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.第 17 题56.57.58.59.60.三、计算题(30题)61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.求函数f(x)=(x2-1)3+3的单调区间和极值．71.①求曲线y=x2(x≥0)，y=1与x=0所围成的平面图形的面积S：②求①中的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy．72.73.74.75.76.77.78.79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.四、综合题(10题)91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.五、解答题(10题) 101.102.103.104.105.106.107.108.109.110.六、单选题(0题) 111.参考答案1.C2.C本题考查的知识点是二元复合函数偏导数的求法．3.A4.B5.C6.D7.A8.D根据函数在一点导数定义的结构式可知9.D本题的解法有两种：解法1：先用换元法求出f(x)的表达式，再求导。
3山东专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义．2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得()0f ξ'=．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数()y f x =满足下述的两个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：()()()()f b f a f b a ξ'-=-．说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证），应用拉格朗日中值公式可得 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）． 由假定，()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即()f x 在区间I 上是一个常数．（2）如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）．证：设()()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．二、洛必达法则1．x a →时“”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim()()x a x a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当()lim()x a f x F x →''为无穷大时，()lim ()x a f x F x →也是无穷大． 2．x →∞时“”型未定式的洛必达法则 如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim ()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='．说明：我们指出，对于x a →或x →∞时的未定式“∞∞”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故2sin sin 22lim 2x x x ππππ→==． （2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“0”型或“∞∞”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推． （3）洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求2tan limtan x x xx x→-时，可先用~tan x x 进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时，0000lnsin 2sin3cos222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x xx→∞+，(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x x x x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin lim lim(1)1lim 101x x x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=+=．4．其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型；对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式．三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； （2）如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数()f x 的单调性的步骤如下：（1）求出函数()f x 的定义域；（2）求出函数()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）；（3）用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ； （2）求()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）；（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当1x>时，13x>-．证明：原不等式即为 13x -+ ，故令1()3f x x=-+，0x >，则2211()(1)f x xx '=-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又由于(1)0f =，故()0f x >，即 130x -+>，亦即 13x>-． 四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有1212()()22x xf x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．说明：若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）．3．曲线的拐点的求法一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：（1）求()f x ''；（2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数()yf x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I 分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这函数的驻点，但0x=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： （1）求出导数()f x '；（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；（3）考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数()f x 的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值．但如果0()0f x ''=，则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()fx 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：（1）求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，，m x 及不可导点1x '，2x '，，n x '；（2）计算()i f x （1,2,,i m =），()j f x '（1,2,,j n =）及 ()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那么不必讨论0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若lim()x f x a →∞=（包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=），则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若0lim()x x f x →=∞（包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】【例3-1】验证罗尔定理对函数()ln sin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性．解：显然函数()ln sin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66ππ上可导，1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=，且5()()ln 266f f ππ==-，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈，使得()0f ξ'=，即cot 0ξ=，2πξ=即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．解：显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1(0,1)2ξ=∈，12ξ=即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围． 解：显然()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有三个零点，故()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．证明：设()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-，因为()(0f x '=+=，所以()f x C =，[1,1]x ∈-．又因为(0)arcsin 0arccos0022f ππ=+=+=，即2C π=，故arcsin arccos 2x x π+=．说明：同理可证，arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞．【例3-5】求下列函数的极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．解：该极限为1x →时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---． 2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解：本题为x →+∞时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式222211limlim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-． 3．求0lnsin 2limlnsin3x xx+→． 解：该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅． 4．求 2tan lim tan3x xx π→．解：本题为2x π→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-．5．求2tan limtan x x xx x→-． 解：该极限为0x →时的“00”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====． 说明：此题也可这样求解（运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）：原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求11lim()sin x x x→-． 解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“1100-”型，然后通分化为“”型，故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====．7．求lim x x x +→． 解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln 0⋅”型，进而化为“”型，故 原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======．8．求cos limx x xx→∞+．解：原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=．【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．32()29123f x x x x =-+-．解：因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得11x =，22x =．用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．2．()f x = ．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，()f x '=（0x ≠），当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞． 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．证明：设()ln(1)f x x x =-+，则1()111x f x x x'=-=++， 因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>， 故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-．证明：令1()(3)f x x =--，则2211()(1)f x xx '=-=-， 因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>， 故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，又因为(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，即1(3)0x -->，也即13x>- 成立．【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．证明：令5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续，且(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．综上所述，方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值． 1．32()395f x x x x =--+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．2．233()2f x x x =-．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有13()1f x x-'=-=，令()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(0)0f =，极小值为1(1)2f =-． 【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．解：因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得 12x =-，21x =，计算(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，比较上述结果可知，最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．43()341f x x x =-+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有32()1212f x x x '=-，2()36()3f x x x ''=-，令()0f x ''=，得10x =，223x =， 列表讨论如下：由上表可得，曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2[0,]3，拐点为(0,1)和211(,)327．2．()f x =解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532()9f x x -''=-，当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0fx ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）若函数()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（ ）（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点 解：若0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）． 23 x()f x2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1siny x x=（ ） （A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由1sin1lim sinlim 11x x x x x x→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线； 01lim sin 0x x x+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确．3．（2008年，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（ ）（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 2解：对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1ln 20ξ-=，故 1ln 2ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为（ ）（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0) （D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2330y x'=-=可得，1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（ ）（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的 （C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的 解：()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．二、填空题1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是 ．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；当1x<时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间为[1,2]．2．（2009年，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()x f x x =是 函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当6x π=时，sin36()66f ππππ==；当2x π=时，sin22()22f ππππ==；故当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是 ． 解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比较函数值(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函数的最大值点为1x =．4．（2007年，4分）曲线24x t y t ⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为 ．解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11422t t t t y k tx =='==='，故切线方程为42(1)y x -=-，即 22y x =+．5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是 ．解： ()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-． 令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，且当2x >时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．6．（2005年，3分）曲线x yx =通过(1,1)点的切线方程为 ． 解：因 ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，故切线斜率 1[(ln 1)]1x x k x x ==+=，所以切线方程为 11(1)y x -=⋅-，即 y x =．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)y x x =-，048x <<． 2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，令 0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大．2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=． 解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续． (0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，故(0)0F ≥，(1)0F ≤． 若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=； 若(1)0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？解：设堆料场的宽为x m ，则长为512xm ，设砌墙周长为y ，则5122y x x =+， 令251220y x'=-=，得 2256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x=时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，才能使砌墙所用的材料最省．4．（2009年，10分）当0x>，01a <<时，1a x ax a -≤-． 解：原不等式即为10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则 （1）当1x =时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立；（2）当01x <<时，111()(1)0a a f x ax a a x--'=-=->，故()f x 单调增加，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；（3）当1x >时，111()(1)0a a f x ax a a x--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．综上，当0x >，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1a x ax a -≤-．5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点． 解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2633(2)0y x x x x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．6．（2007年，8分）求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞． 先求单调区间和极值．令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调减少；当(1,0)x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =． 再求凹凸区间和拐点．因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++，故当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为x ，则弧长为2l x -，设扇形的面积为y ，则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+．令202l y x '=-+=得，4l x =． 唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为4l 时，扇形的面积最大． 8．（2006年，10分）求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点． 解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2321(31)(1)0y x x x x '=--=+-=，得驻点13x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1(,1)3-，(1,)+∞．当1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132()327f -=，极小值(1)0f =． 再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x =．当1(,)3x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，1627y =，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116(,)327． 9．（2006年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程011()0()xx f t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设011()()()x x F x f t dt dt f t =+⎰⎰，[0,1]x ∈．因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰，1100(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证()F x 的单调性．1()()0()F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程011()0()x x f t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知()y f x =与2arctan 0x t y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nf n→∞． 解：切线斜率()22arctan arctan 002011x xt x x e k e dt x --==⎛⎫'=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎰，故切线方程为01(0)y x -=⋅-，即 y x =．因()y f x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n →∞→∞→∞'''===='．。
2020年山东专升本高等数学(二)真题和答案解析
t，
arctan
及
轴所围成图形的面积为 ______________．
，则全微分
______________．
-1-
三、解答题
11．求极限 폰
12． 求极限 폰
13．已知函数
t
sin 真
t
真
t函
题
函
在
函
t
处连续，求实数 题， 的值
-2-
14．求不定积分
15．求定积分
16．求微分方程
t ln
t cos
添加小学士 VX（xueshi008）
查看高等数学答案解析
-5-
函
真题ඌ
B．
函 h在
函
−
D．
的通解为
cos
A．
C． 폰ඌ
t
函
函
t
函
폰ඌ
，则交换积分顺序后
函
函
二、填空题
6．函数
t
h
的定义域为______________．
7．已知函数
8．曲线
9．曲线
t
tan ，则
，
ln 在点 t函 h点处的切线斜率为______________．
与直线
10．已知函数
______________．
.
t 的通解．
-3-
17．已知函数
sin ，求
18． 计算二重积分
.
，其中
是由直线
，
与
所围成的闭
区域．
19．假设某产品的市场需求量
本函数为
h
(吨)与销售价格
(万元)的关系为
， 为何值时利润最大，最大利润为多少?
2020年山东专升本高等数学(三)真题
14．若 r r u ，
r − r u______________．
15.极限 p䁪
r
r r u______________．
三、计算题(本大题共 7 个小题，每小题 6 分，共 42 分)
16.已知函数
r
u
rᆿ r
，r
ᆿ ，求复合函数 r
17．求极限
p䁪
r
r
r
rᆿ
18.求极限 p䁪 rᆿr
r
r
19. 已知函数
B．
所确定的隐函数，则 u C．
ᆿ
D．无穷间断点 D．
10.己知函数 䁨r䀀在
香上连续，且
A．1
B．2
r ru ， C．3
r r u ，则 D．4
r ru
二、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分)
11.函数 u r 的定义域为______________． 12.曲线 u ln r ᆿ 在点䁨 䀀处切线的斜率 u______________． 13.已知函数 r u r，则 r u______________．
r ᆿ 的极值，并判断是极大值还是极小值.
24．求曲线
u
与直线
r
u r， u r 所围成的在第一象限内的图形的面积．
添加小学士：xueshi008 查看答案详解
求不定积分四应用题本大题共2个小题第23小题6分第23小题7分共13的极值并判断是极大值还是极小值
山东省 2020 年专升本考试真题
高等数学（Ⅲ）
一、单选题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分)
1.以下区间是函数 u ppor 的单调递增区间的是
A．
山东专升本高等数学总结
山东专升本高等数学总结数学是一门抽象而又具有广泛应用的学科，对于山东省专升本考生来说，高等数学是必修科目之一、在学习高等数学的过程中，我深刻体会到了它的重要性和难度。
下面是我对山东专升本高等数学的总结，希望对考生们的学习有所帮助。
首先，高等数学中最基础的部分就是微积分。
微积分主要包括导数、极限和积分三个方面。
在学习导数时，我们需要熟练掌握求导的基本方法和规则，如常用函数的导数公式、复合函数求导法则等。
此外，还需要掌握高阶导数和隐函数求导等扩展知识。
对于极限来说，我们需要学习极限的定义以及一些常用的极限运算法则，如极限的四则运算、函数极限的性质等。
积分是微积分中的另一个重要内容，包括定积分和不定积分。
在学习积分时，我们需要熟悉积分的基本性质和常用的换元积分法、分部积分法等。
其次，高等数学中的线性代数也是必不可少的一部分。
线性代数主要包括向量、矩阵和行列式等内容。
向量是线性代数的基础，它是指具有大小和方向的物理量。
在学习向量时，我们需要掌握向量的基本运算法则和性质，如向量的加减法、数量积和向量积等。
此外，还需要了解向量的坐标表示法以及向量的线性相关性和线性无关性等概念。
矩阵是另一个重要的概念，它是由数域中的元素按照一定规则排列成的矩形阵列。
在学习矩阵时，我们需要熟悉矩阵的基本运算法则和性质，如矩阵的加减法、数乘和矩阵乘法等。
行列式是矩阵的一个特殊的标量，它可用于求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性等问题。
最后，高等数学中的概率论与数理统计也是重要内容之一、概率论是研究随机现象的数学理论。
在学习概率论时，我们需要了解概率的基本概念和性质，如样本空间、事件、事件的概率等。
此外，还需要熟悉概率计算的基本方法和技巧，如加法定理、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式等。
数理统计是应用概率论的方法研究统计现象的一门学科。
在学习数理统计时，我们需要掌握一些基本的统计概念和方法，如样本、样本均值和样本方差等。
此外，还需要熟悉常用的统计分布，如正态分布、t分布和卡方分布等。
2020年山东专升本高等数学(三)真题
D. r ᆿ
r
r
C．tan r C． r ᆿ
D．tan r D． 䁨r䀀 ᆿ
8.点 r u
是函数
u
r r
的
A．连续点
B．可去间断点
C．跳跃间断点
9.设 u 䁨r䀀是由方程 u r
A． ᆿ
B．
所确定的隐函数，则 u C．
ᆿ
D．无穷间断点 D．
10.己知函数 䁨r䀀在
香上连续，且
A．1
B．2
r ru ， C．3
14．若 r r u ，
r − r u______________．
15.极限 p䁪
r
r r u______________．
三、计算题(本大题共 7 个小题，每小题 6 分，共 42 分)
16.已知函数
r
u
rᆿ r
，r
ᆿ ，求复合函数 r
17．求极限
p䁪
r
r
rபைடு நூலகம்
rᆿ
18.求极限 p䁪 rᆿr
r
r
19. 已知函数
山东省 2020 年专升本考试真题
高等数学（Ⅲ）
一、单选题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分)
1.以下区间是函数 u ppor 的单调递增区间的是
A．
B．
C．
D．
2．当 r A． r
时，以下函数是无穷小量的是
B．r ᆿ
C．ppor
D． 〮pr
3. cos r
r
u
A．ppor
B．− ppor
r ᆿ 的极值，并判断是极大值还是极小值.
24．求曲线
u
与直线
r
专升本高等数学函数部分知识点总结及真题演练
(四) 求导法
导数与函数单调性密切相关。利用导数求解函数单调性，思路清 晰，步骤明确，既快捷又易于掌握，利用导数求解函数单调性， 要求熟练掌握基本求导公式。
如果函数 y=f(x)在区间 D 内可导(可微)，若 x∈D 时恒有 f'(x)>0， 则函数 y=f(x)在区间 D 内单调增加；反之，若 x∈D 时，f'(x)<0, 则称函数 y=f(x)在区间 D 内单调减少。
注意：对于分段函数，要特别注意。例如，上图左可以说是一个 增函数；上图右就不能说是在定义域上的一个增函数（在定义域 上不具有单调性）
(二) 定义法
(三) 等价定义法
设函数f
( x)的定义域为 D，在定义域内任取 x1，x2 且x1
x2，若
f
(x1) − x1 −
f (x2 ) x2
0,
则函数单调递增，若 0，则函数单调递减（也称为函数单调性的第二定义）
特殊的，
既是奇函数，又是偶函数。
ห้องสมุดไป่ตู้
奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形。
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。 如下图例：
说明： 1. 奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。 2. 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域
不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点 对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与 比较得出结论）
常用结论：
（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性 （2）若 f（x-a）为奇函数，则 f（x）的图像关于点（a，0）对称 若 f（x-a）为偶函数，则 f（x）的图像关于直线 x=a 对称
2022-2023学年山东省临沂市成考专升本高等数学二自考真题(含答案)
2022-2023学年山东省临沂市成考专升本高等数学二自考真题(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.A.A.-50，-20B.50，20C.-20，-50D.20，502.3. A.2h B.α·2α－1 C.2 αln 2D.04.5.6.A.A.B.C.D.7.8.9.设y=f(x)二阶可导，且f'(1)=0，f"(1)＞0，则必有A.A.f(1)=0B.f(1)是极小值C.f(1)是极大值D.点(1，f(1))是拐点10.A.A.1B.2C.-1D.011.A.A.B.C.D.12.函数y=xe x单调减少区间是A.A.(-∞，0)B.(0，1)C.(1，e)D.(e，+∞)13.（）。
A.B.C.D.14.（）。
A.B.C.D.15.A.A.B.C.D.16.17.18.下列变量在给定的变化过程中是无穷小量的是【】19.设f’（cos2x)=sin2x，且f(0)=0,则f(x)等于【】A.x+1/2x2B.x-1/2x2C.sin2xD.cosx-1/2cos2x20.21.A.A.B.C.D.22.23.（）。
A.B.C.D.24.A.A.B.C.D.25.26.27.设f(x)=xα+αx lnα，(α＞0且α≠1)，则f'(1)=A.A.α(1+lnα)B.α(1-lna)C.αlnaD.α+(1+α)28.f'(x0)=0，f"(x0)＞0，是函数y=f(x)在点x=x0处有极值的（）。
A.必要条件B.充要条件C.充分条件D.无关条件29. A.x3+3x－4 B.x3+3x－3 C.x3+3x －2 D.x3+3x－130.设函数f(x)在x=1处可导，且f(1)=0，若f"(1)＞0，则f(1)是（）。
A.极大值B.极小值C.不是极值D.是拐点二、填空题(30题)31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48. 设y=3sinx，则y'__________。