信息论与编码公式
(完整版)信息论与编码概念总结
第一章1.通信系统的基本模型:2.信息论研究内容：信源熵，信道容量，信息率失真函数，信源编码，信道编码，密码体制的安全性测度等等第二章１.自信息量：一个随机事件发生某一结果所带的信息量。
２.平均互信息量：两个离散随机事件集合X 和Y ，若其任意两件的互信息量为 I （Xi;Yj ），则其联合概率加权的统计平均值，称为两集合的平均互信息量，用I （X;Y ）表示３.熵功率：与一个连续信源具有相同熵的高斯信源的平均功率定义为熵功率。
如果熵功率等于信源平均功率，表示信源没有剩余；熵功率和信源的平均功率相差越大，说明信源的剩余越大。
所以信源平均功率和熵功率之差称为连续信源的剩余度。
信源熵的相对率(信源效率)：实际熵与最大熵的比值信源冗余度：0H H ∞=ηηζ-=1意义：针对最大熵而言，无用信息在其中所占的比例。
３.极限熵：平均符号熵的N 取极限值，即原始信源不断发符号，符号间的统计关系延伸到无穷。
４.５.离散信源和连续信源的最大熵定理。
离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
连续信源，峰值功率受限时，均匀分布的熵最大。
平均功率受限时，高斯分布的熵最大。
均值受限时，指数分布的熵最大６.限平均功率的连续信源的最大熵功率：称为平均符号熵。
定义：即无记忆有记忆N X H H X H N X H X NH X H X H X H N N N N N N )()()()()()()(=≤∴≤≤若一个连续信源输出信号的平均功率被限定为p ，则其输出信号幅度的概率密度分布是高斯分布时，信源有最大的熵，其值为1log 22ep π.对于N 维连续平稳信源来说，若其输出的N 维随机序列的协方差矩阵C 被限定，则N 维随机矢量为正态分布时信源的熵最大，也就是N 维高斯信源的熵最大，其值为1log ||log 222N C e π+ 7.离散信源的无失真定长编码定理：离散信源无失真编码的基本原理原理图说明： （1） 信源发出的消息：是多符号离散信源消息，长度为L,可以用L 次扩展信源表示为： X L =(X 1X 2……X L )其中，每一位X i 都取自同一个原始信源符号集合（n 种符号）： X={x 1，x 2，…x n } 则最多可以对应n L 条消息。
信息论与编码2012
平均互信息的第三种定义
I ( X ; Y ) p( xi y j ) log2
i 1 j 1 n m p ( xi y j ) p ( xi ) p ( y j )
其中 p( xi / y j )
p ( xi y j ) p( y j )
平均互信息I(X;Y)克服了互信息量I(xi;yj)的随机性，成为 一个确定的量。
4.简述平均互信息的凸函数 性？
I ( X ; Y ) p( xi y j ) log
i 1 j 1 n m n m p ( y j / xi ) 2 p( y j )
p( xi ) p ( y j / xi ) log2
i 1 j 1 n n
p ( y j / xi )
② 观察者站在输入端
I (Y; X) = H (Y) – H (Y/X)
说明平均互信息量也可以用接收端（信宿）的熵为参考， 且等于信宿熵减掉一个条件熵 同样表征接收端平均每收到一个符号所获得的信息量。 如果信道上没有任何干扰或噪声，则平均每收到一个符 号所获得的信息量即是信宿熵，即I (X; Y) = H (Y)； 但是，如果信道上存在着干扰或噪声，则平均每收到一 个符号所获得的信息量，它比起信宿熵小了一个条件熵， 这个条件熵H (Y/X)是由于信道的干扰或噪声给出的， 因此它是唯一地确定信道噪声和干扰所需的平均信息量， 故称之为噪声熵，也称为散布度（Degree of Diffusiveness）。
p ( xi ) p ( y j / xi )
i 1
Hale Waihona Puke n其中 p( xi ) p( y j / xi ) p( xi y j ) p( y j )
信息论与编码
信息论与编码填空1.按照消息在时间和幅度上信源分类为：离线信源，连续信源。
2.信源的冗余度来源于：3.根据是否允许失真信源编码可分为：无失真，限失真。
4.AWGN波形信道平均信道受限：香农公式C=Blog2C / 1+s/n 当归一化信道容量C/B趋近0时，信道完全丧失通信功能，此时：-1.6dB。
5.同时投两个色子，3和5同时出现的自信息量：6.设信源X={0，1} P（0）=1/8信源熵为：6/81.N=7循环码生成多项式g（x）=x4+x2+x+1 求：K= 3，h（x）=x3+x+1。
2.差错控制的基本方式大致分为 : FEC , ARQ , HEC 。
3.离散无记忆信源X符号个数n，则信源符号：等概信源熵：log2n4.离散对称输入也为：等概5.设信源X={0，1} P（0）=1/8则熵为：6/8 。
6.信源发出m个0和（100-m）个1，自信息量为：mlog28+（100-m）log27/8 。
判断1.卷积码是一组特殊线性分组码：错2.信源的消息通过信道传输误码提高和信宿获得信息量下降：错3.对一个离线信源进行失真编码定长码字k不定长码字K则K>k：错4.平均互信息量I（X:Y）对信源概率分布P（X i）和条件概率分布P（Y i |X i）：对5.自信息量和互信息量是条件量满足I （Y i，X i）=I（X i）+ I （Y i，X i）：对6.M阶马尔可夫信源和消息长M有记忆信源其信息相同：错7.算数编码是一个无失真编码基本思想的编码：错8.连续信源和离散信源都具有非负性：对9.率失真函数值与信源无关：错10.离散信源或数字信号理论基础是限失真：错1.可用克劳夫特不等式做唯一：错2.条件熵和无条件熵关系HY(X)=H(Y)：对3.非奇异码是唯一可译码：错4.任一多个码字的线性组合仍是码字：对5.纠错编码中带宽与差错减少关系是：错6.线性码最小差别越大纠错能力越强：对7.最大似然译码等价等概：对8.{0，01，011}不属于及时码：错9.DMC信道转移概率矩阵【x p】=[4个1/3 4个1/6] : 错10.互信息量I（X:Y）表示收到Y后对信源不确定度：对简答1.（P65）什么是香农容量公式为保证足够大的信道容量可采用哪两种方法？香农公式：C=Wlog（1+Ps/NoW）高斯白噪声加性信道单位时间的信道容量，Ps是信号的平均功率：NoW为高斯白噪声在宽带W内的平均功率，No/2是功率谱密度。
信息论与编码总结
信息论与编码1. 通信系统模型信源—信源编码—加密—信道编码—信道—信道解码—解密—信源解码—信宿 | | |（加密密钥） 干扰源、窃听者 （解密秘钥）信源：向通信系统提供消息的人或机器信宿：接受消息的人或机器信道：传递消息的通道，也是传送物理信号的设施干扰源：整个系统中各个干扰的集中反映，表示消息在信道中传输受干扰情况 信源编码：编码器：把信源发出的消息变换成代码组，同时压缩信源的冗余度，提高通信的有效性 （代码组 = 基带信号；无失真用于离散信源，限失真用于连续信源）译码器：把信道译码器输出的代码组变换成信宿所需要的消息形式基本途径：一是使各个符号尽可能互相独立，即解除相关性；二是使各个符号出现的概率尽可能相等，即概率均匀化信道编码：编码器：在信源编码器输出的代码组上增加监督码元，使之具有纠错或检错的能力，提高通信的可靠性译码器：将落在纠检错范围内的错传码元检出或纠正基本途径：增大码率或频带，即增大所需的信道容量2. 自信息：()log ()X i i I x P x =-，或()log ()I x P x =-表示随机事件的不确定度，或随机事件发生后给予观察者的信息量。
条件自信息：//(/)log (/)X Y i j X Y i j I x y P x y =-联合自信息：(,)log ()XY i j XY i j I x y P x y =-3. 互信息：;(/)()(;)log log ()()()i j i j X Y i j i i j P x y P x y I x y P x P x P y ==信源的先验概率与信宿收到符号消息后计算信源各消息的后验概率的比值，表示由事件y 发生所得到的关于事件x 的信息量。
4. 信息熵：()()log ()i iiH X p x p x =-∑ 表示信源的平均不确定度，或信源输出的每个信源符号提供的平均信息量，或解除信源不确定度所需的信息量。
信息论第讲算术编码与LZ编码
…
0.00011011 0.0001010001
0.10101111 0.1100001101
0.000011110011 0.00001011011001
0.110100100111 3 0.111 0.110100100111 5 0.11011
0.0000001011011001 0.0000001011011001 0.110100100111 7 0.1101010
p(1)=3/4=(0.11)2 p(11)=(3/4)2=(0.1001)2
序列 11111100 的编码过程 p(S)p(0) P(S) 0 + 0.01 0.0011 0.001001 L C 0 1 0.1 1 0.1 2 0.11 2 0.11 3 0.111
+
= =
0.01 0.0111 0.100101
H (U ) 1.75 H (U ) 100% R n log D 14 / 8
算术译码
C P ()
A() p(0)
0 P(0) P(0) p(0) p(00)
P(1) C P(01) p(01) P(011) p(1) C P(1) P(1)
1
P(01)
C
p(011)
p(010) 译码输出序列 011
P(SaP =P(S) + p(S) P (Sa (S) +p (S) r) r Pr r)=P
二元序列的累积概率
设符号序列S = 011
P(Sar)=P(S)+p(S)Pr
1
p1 p(01) P(011) p(011) P(1) P(1)
0 P(0) P(0)
p0
信息论与编码课程设计 河南理工大学
一设计目的信息论与编码是我们电子信息工程的一门重要的专业课，通过对本次课程设计，学习将学到的理论知识用于实践，同时也学习了用软件编写程序，进一步对本课程知识的巩固和理解。
学习分析问题，解决问题的方法和途径，提高对本专业的学习兴趣。
二设计任务与要求（1）统计信源熵要求：统计任意文本文件中各字符（不区分大小写）数量，计算字符概率，并计算信源熵。
（2）哈夫曼编码要求：任意输入消息概率，利用哈夫曼编码方法进行编码，并计算信源熵和编码效率。
三理论简介3.1通信系统的模型通信系统的模型通信系统的性能指标主要是有效性、可靠性、安全性和经济性，通信系统优化就是使这些指标达到最佳，除了经济性，这些指标正是信息论的研究对象，可以通过各种编码处理来使通信系统的性能最优化。
根据信息论的各种编码定理和上述通信系统的指标，编码问题可以分为3类：信源编码、信道编码和加密编码。
3.1.1 信源编码由于信源符号之间存在分布不均匀和相关性，使得信源存在冗余度，信源编码的主要任务就是减少冗余度，提高编码效率。
信源编码的基础是信息论中的两个编码定理：无失真编码定理和限失真编码定理。
前者适用于离散信源或数字信号；后者主要用于连续信源或模拟信号。
本次课程设计就是利用的无失真信源编码。
3.1.2 信道编码信源编码器的作用：把信源发出的消息变换成由二进制码元(或多进制码元)组成的代码组，这种代码组就是基带信号。
同时通过信源编码可以压缩信源的冗余度，以提高通信系统传输消息的效率。
信源译码器的作用：把信道译码器输出的代码组变换成信宿所需要的消息形式，它的作用相当于信源编码器的逆过程。
3.1.3 加密编码加密编码是研究如何隐蔽消息中的信息内容，以便在传输过程中不被窃听，提高通信系统的安全性。
3.2 信源熵3.2.1 信源的描述和分类& 按信源在时间和幅度上的分布情况离散信源：文字、数据、电报连续信源：语音、图像& 按发出符号的数量单个符号信源：指信源每次只发出一个符号代表一个消息符号序列信源：指信源每次发出一组含二个以上符号的符号序列代表一个消息 & 按符号间的关系无记忆信源有记忆信源3.2.2 离散信源熵& 自信息量：随机事件的自信息量定义为其概率对数的负值，即在信息论中常用的对数底是2，信息量的单位为比特(bit)；& 联合自信息量两个消息xi ，yj 同时出现的联合自信息量：& 条件自信息量在事件yj 出现的条件下，随机事件xi 发生的条件概率为p(xi / yj) ，则它的条件自信息量定义为条件概率对数的负值：& 离散信源熵为信源中各个符号不确定度的数学期望，即单位为：比特/符号 或者 比特/符号序列。
信息论与编码原理信道编码
合码等
差错控制系统分类
前向纠错（FEC）：发端信息经纠错编码 后传送，收端通过纠错译码自动纠正传递 过程中的差错
反馈重发（ARQ）：收端通过检测接收码 是否符合编码规律来判断，如判定码组有 错，则通过反向信道通知发端重发该码
生成的码字C
前k位由单位矩阵Ik决定，等于把信息组m原封不 动搬到码字的前k位；
其余的n-k位叫冗余位或一致校验位，是前k个信 息位的线性组合。
这样生成的（n,k）码叫做系统码。 若生成矩阵G不具备系统形式，则生成的码叫做
非系统码。 系统化不改变码集，只是改变了映射规则。
校验矩阵
将H空间的n-k个基底排列起来可构成一个(nk)×n矩阵，称为校验矩阵H。用来校验接收到 的码字是否是正确的；
用这种方法不能得知最优码是如何具体编 出来的，却能得知最优码可以好到什么程 度，并进而推导出有扰离散信道的编码定 理，对指导编码技术具有特别重要的理论 价值。
6.1.3随机编码
在(N,K)分组编码器中随机选定的码集有qNM种 第m个码集(记作{c}m )被随机选中的概率是
P({c}m)q(NM)
qk
<
qn
构造线性分组码的方法就是构造子空间的方法,即 在n维n重矢量空间的n个基底中选取k个基底张 成一个k维n重子空间
空间构成
n维n重空间有相互 正交的n个基底
选择k个基底构成码 空间C
选择另外的(n-k)个 基底构成空间H
C和H是对偶的
CHT＝0,码的生成矩阵，H是它的校验矩阵； H是(n,n-k)对偶码的生成矩阵，它的每一行是
一个基底。 G则是它的校验矩阵。 GHT=0 ，H＝[－ PT In-k ]，二进制时，负号
《信息论与编码全部》课件
信息论与编码全部PPT课件
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 03 信息度量与熵
02 信息论与编码的基 本概念
04 信源编码
05 信道编码
06 加密与解密技术
07 信息安全与认证技 术
添加章节标题
信息论与编码的基本概 念
信息论的发展历程
1948年，香农提出信 息论，奠定了信息论
提高安全性
优点：安全性 高，速度快，
易于实现
应用：广泛应 用于电子商务、 网络通信等领
域
发展趋势：随 着技术的发展， 混合加密技术 将更加成熟和
完善
信息安全与认证技术
数字签名技术
数字签名：一种用于验证信息来源和完整性的技术 数字签名算法：RSA、DSA、ECDSA等 数字证书：用于存储数字签名和公钥的文件 数字签名的应用：电子邮件、电子商务、网络银行等
汇报人：PPT
熵越小，表示信息量越小，不确 定性越小
熵是概率分布的函数，与概率分 布有关
信源编码
定义：无损信源编码是指在编码过 程中不丢失任何信息，保持原始信 息的完整性。
无损信源编码
应用：无损信源编码广泛应用于音 频、视频、图像等媒体数据的压缩 和传输。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
特点：无损信源编码可以保证解码 后的信息与原始信息完全一致，但 编码和解码过程通常比较复杂。
古典密码学：公元前400年，古希腊人使用替换密码 近代密码学：19世纪，维吉尼亚密码和Playfair密码出现 现代密码学：20世纪，公钥密码体制和数字签名技术出现 当代密码学：21世纪，量子密码学和后量子密码学成为研究热点
信息论与编码理论第6章无失真信源编码
LN N
Hr (U )
1 N
离散无记忆信源X的N次扩展信源XN的熵等于信 源X的熵的N倍，即
其中： LN 是N次扩展信源的平均 码长
H(XN)=NH(X)
变长信源编码定理的含义
H (U ) LN H (U ) 1 log r N log r N
以r=2，N=1为例，则 H (U ) L H (U ) 1 这说明，总可以找到一种唯一可译码，它的平均
u4 11 01 11 0001 1000
对码1，如果S=u2u4u1，则X=011100
符号 码1
6.1.2 码的分类
等长码：所有码子长度相同（码1）
u1 00 u2 01 u3 10 u4 11
变长码：码子的长度不同 （码2、码3、码4、码5）0
码2 码3 码4 码5
0
0
1
1
10 11 01 10
0.125
4
H (U ) p(xi ) log p(xi ) 1.75 i1
n
L p(ui )li 0.5 1 0.25 2 0.125 3 0.125 3 1.75 i 1
4
H (U )
p(xi ) log p(xi )
i1
100%
L log2 r
1.75log2 2
变长码的几个衡量指标
平均码长：每个信源符号 平均需用的码元数
n
L p(ui )li i 1
编码效率： H (U )
L log2 r
信息传输率：平均每个 码元携带的信息量
R H (U ) L
码集
{0, 1}
码元数
r=2（二元码）
码长
1
2
3
3
香农公式
一般情况下， nHX
logD
同样用编码效率来衡量编码情况是否理想。用比值定
义：
HX logD HX
=
n nlogD
(3-26)
1 是理想情况
回顾等长编码的编码效率： LnH logXD=nHLlXogD
该式中 n L 即：信源每个符号所对应的平均码字数，因
此等长编码和变长编码这两种情况的编码效率一致。
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
4
将定理3.3推广到L次扩展信源---
香农第一定理：变长编码定理
定理3.4 给定熵为H(X)的离散无记忆信源X p(X)xp1,x1,pxx22,,......,,pxxMM
其L次扩展信源的熵记为H(X)
p ( ) = X p (L XL) x p 1 ,x 1 ,p x x 22 ,,......,,p x x M M LL
C Destination
R (D )
①. 有关对信源的客观描述即H(X) 问题，注意这种描述是与信道、 信宿无关，它仅反映信源本身含有信息的度量和它发送信息的能力。
② . 指如何描述给定信道的功能特征，这也是在与信源、信宿无 关的条件下，纯客观地评价一个信道固有特性问题。即，C 是反映 当给定信道后与某种信源处于最佳匹配时的最大信息传输量问题。
给定有D个元素的码符号集，对扩展信源编码，总可以找 到一种唯一可译码，使码长 n L 满足：
HXnL HX1 (3-23)
logD L logD L
定理3.3是定理3.4在L=1时的特例
5
由定理3.4的证明过程：
H X n L H X 1 ;H X n H X 1
信息论与编码课件chapter4_part2
信息论与编码
4-5 变长编码方法
4.5.3 霍夫曼编码方法（Huffman）
信息论与编码
若以X :{a1 , a2 , , ar }为码符号集，用霍夫曼编码方法， s2 S s1 对信源空间为 = P p( s1 ) p( s2 ) 忆信源S，进行无失真信源编码 进行无失真信源编码 其步骤如下： sq 的离散无记 p ( sq )
i = 1,2, , q N
信息论与编码
4-4 变长编码定理 4.4.3 离散平稳无记忆序列变长编码定理 定理：
将信源S的N次扩展信源SN的消息作为编码对象， 的消息作为编码对象 使非延长码的码字与消息一一对应，则当信源扩 展次数N足够大时，信源 足够大时 信源S的每 的每一个信源符号 个信源符号si所 需要的平均码符号数，即平均码长可以无限接近 于下界H(S)/logr ，接近的程度随 接近的程度随N增加而增加
S : {s1 , s 2 , , s q }
W : {w1 , w2 , , wq }
a1
信 源
s1 s2 sq
编码器
X : {a1 , a 2 ,, a r }
a2 ar
信 道
n1 n2 nq
w1 w2 wq
信源空间：
S s1 P = p( s ) 1
信息论与编码-第5章
几乎无失真，当然条件是L足够大。
反之，当
时，不可能构成无失真的编码，也就是不可能做一种编
码器，能使收K端译H码L时( X差) 错概率趋于零。
时，则为临界状态，可能无失真，也可能有失真。
K HL(X)
第二十四页，共77页。
5.2 无失真信源编码
无失真信源编码：可精确无失真地复制信源输出的消息
第六页，共77页。
5.1 编码的定义
将信源消息分成若干组，即符号序列xi， xi＝(xi1xi2…xil…xiL)， xilA={a1，a2，…，ai，…，an}
每个符号序列xi依照固定码表映射成一个码字yi，
yi＝(yi1yi2…yil…yiL)， yilB={b1，b2，…，bi，…，bm} 这样的码称为分组码(Block Codes)，也叫块码
i 1
(4) 将累加概率 Pi 变P换i 成二k进1 制p 数ak
(5) 取 Pi 二进数的小数点后Ki位即为该消息符号的二进制码字
第三十六页，共77页。
5.2 无失真信源编码
例5.3 (p.95) 设信源共7个符号，其概率和累加概率如下表所示
信源符号 ai a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
信息论与编码-第5章
第一页，共77页。
第5章 信源编码
信源编码的主要任务：由于信源符号之间存在分布不均 匀和相关性，使得 信源存在冗余度，信源编码的主要任务就是减少冗余，提高编码效 率 信源编码的基本途径： 使序列中的各个符号尽可能地互相独立，即解除相关性；
使编码中各个符号出现的概率尽可能地相等，即概率均 匀化
只有分组码才有对应的码表，而非分组码中则不存在码表
信息论与编码 基类
信息论与编码基类一、引言信息论与编码是计算机科学和通信工程中的重要学科之一，它研究的是如何在传输和存储信息时，通过合理的编码方法，提高信息的传输效率和可靠性。
信息论与编码涉及到了信号处理、数据压缩、差错检测与纠正等多个方面，对于现代通信技术的发展和应用起到了重要的推动作用。
二、信息论基础2.1 信息的度量信息论的基础是对信息的度量，通过定义信息的度量方法可以量化信息的大小。
其中最著名的度量方法是香农熵，它描述了一个信源中包含的信息量。
香农熵的计算公式为：H(X)=−∑Pni=1(x i)log2(P(x i))其中，X表示随机变量，P(x i)表示该随机变量取值为x i的概率。
2.2 信道容量信道容量是信息论中的一个重要概念，它表示了在给定的信道条件下，能够传输的最大信息速率。
信道容量受到信道带宽、信噪比以及误码率等因素的影响。
香农定理给出了信道容量的计算公式：C=Blog2(1+S N )其中，C表示信道容量，B表示信道带宽，S表示信号平均功率，N表示噪声功率。
三、编码方法编码是将原始数据转换成特定格式的过程，通过编码可以提高信息的传输效率和可靠性。
在信息论与编码中，包括了很多种不同的编码方法，下面介绍几种常见的编码方法。
3.1 基本编码方法最基本的编码方法包括了非归零编码（NRZ）、归零编码（RZ）和曼彻斯特编码等。
这些编码方法通过改变信号的电平或者电平过渡的规则来表示原始数据。
例如，NRZ编码将高电平表示1，低电平表示0；RZ编码将每个1分成两个等时长的周期，并在每个周期的开始处引入一个电平过渡。
3.2 压缩编码方法压缩编码是一种将冗余信息去除以减小数据大小的方法。
在信息论与编码中，常用的压缩编码方法有霍夫曼编码、算术编码和字典编码等。
这些编码方法通过统计数据中的出现频率来分配短码给高频率的数据，从而减小编码后的数据大小。
3.3 差错编码方法差错编码是一种能够在传输过程中检测和纠正错误的编码方法。
信息论与编码基础--香浓三大定理
香农三大定理 简介
H(S) = H(3/4,1/4) = 0.811(bit/sign)
N=1
L1 = 1 (code/sign) H (S ) R1 = = 0.811 (bit/code) L1 H (S ) η1 = = 0.811 L1 ⋅ log 2
信息论与编码基础
例：二元DMS进行无失真编码
香农三大定理 简介
单词间隔 —————— 000000
{A,B,…,Z}
二进符号
信源编码器I
码符号集{点/划/字母间隔/单词间隔}
信源编码器II
码符号集{0，1}
信息论与编码基础
1、信源编码器 b、举例
3）中文电报信源编码器 “中”
“0022”
香农三大定理 简介
“01101 01101 11001 11001”
H ( S ) 1 LN H ( S ) + > ≥ log r N N log r
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
2、香农第一定理（可变长无失真信源编码定理）
且当 N → ∞ 时有： lim
N →∞
LN H ( S ) = = H r (S) N log r
表述二：若R′>H(S)，就存在惟一可译变长编码；若R′<H(S)，
s1 S P( s) = 3 4 s2 1 4
香农三大定理 简介
H(S) = H(3/4,1/4) = 0.811(bit/sign)
{0,10,110,111}
N=2 L2 = 1.688 (code/2-sign) H (S ) R2 = = 0.961 (bit/code) L2 / 2 H (S ) η2 = = 0.961 L2 / 2 ⋅ log 2
信息论与编码15
定理：线性分组码的最小码距为dmin=d，当且仅当其一致校验 矩阵中任意 d-1 列线性无关，某 d 列线性相关。
(若矩阵的秩为r，则矩阵列向量中线性无关的最大个数为r)
3/9
4/9
6.2.2 线性分组码的译码
m 编码器 c e + r 译码器 y
6.2.2 线性分组码的译码
结论:1. 伴随式s 仅与e 有关，而与码字c 无关
6.2.2 线性分组码的译码
ˆ cj 若r B j ( 第j列 ) 则y c 完备译码： 标准阵列译码 限定距离译码：
ˆ cj 若r B j ( 第j列 ) ， 且r Ak ( 第k行 ) 则y c
k 1 u
c j ei
。
w(ei 1 )
特点：任一个n维向量必出现一次，且仅出现一次。
▲一致校验矩阵
g 0 ,1 g 0 , n 1 g 0 g g1,1 g1,n1 1 g k 1 ,1 g k 1 , n 1 g k 1
当生成矩阵G 给定时， 线性分组码的性质
H [ h0 , h1 , , h2m 2 ]
汉明码的对偶码是 (2m 1 , m) 线性分组码——最大长度码 编码电路 译码电路 p.183 p.184分组码
▲(n,k)线性分组码C是称为码字c 的 n 维向量的集合。
信息论与编码
Information Theory and Coding
通信与信息工程学院
2015/11/23
C {c | c mG }
g0 , 0 g 1, 0 G g k 1, 0
i
信息论与编码第五讲
(7,3,5)RS码的t=2,能纠2个差错。 衍生为 (21,9)二元码后，纠随机差错能力与原(7,3)RS码一 样t=2，还能纠长度≤4的任何突发差错。这是因为信道上 长度为4的突发差错最多影响到两个二进制3重矢量，相 当于两个8进码元出错，仍在t=2范围之内。 (5 , 3 , , 6, 4 , 2 , 1) （111, 011, 010, 101, 110, 100, 001）能纠的随机差错 （111, 011, 010, 101, 110, 100, 001）能纠的突发差错 （111, 011, 010, 101, 110, 100, 001） （111, 011, 010, 101, 110, 100, 001） 不能纠
例4.10 试设计一个(7,3,5)本原RS码。 解：由于码长n=q-1＝7，可断定码元是8进制的。8进制 域元素可以用根的幂次、多项式或3重矢量表示。
若令是本原多项式p(x)=x3+x+1的根，即3=+1， 我们可以列出表4-9。 因题中要求dm=5 ∴t = INT[(dm-1)/2]=2 这说明生成多项式g(x)有4个连续根、2、3、4。由(式
i R(x)
模q加
可方便地完成Si的计算。
模q乘 q元寄存器
图4-22 (x+i )除法电路
第20页，本讲稿共103页
已2…知Si后，再分差两错步幅求值解2个未ej知1,e数j2，, 先,计ej算 差错位置1、
第一步：利用错误位置多项式求出差错位置数1、2…，
令
(x) = (1-1x) (1-2x) …(1-x) =1+1x+…+x
RS码是MDC码，码的最小距离d= n-k+1=2t-1， 因此g(x)有2t个即d-1个连续幂次的根。RS码可以用类似 于BCH码的迭代方式来译码，但必须增加一个步骤：
6-2信息论与编码
– 利用上式每给出一个 3 位的信息组，就可编出一个码 字，结果如下表所示 – 线性方程组的后 4 个方程确定了由信息码元得到校验 码元的规则，这 4 个方程称为校验方程。由于所有码 字都按同一规则确定，因此又称为一致校验方程，所 得到的校验码元称为一致校验码元 – 上述这种编码方法称为一致校验编码。由于一致校验 方程是线性的，亦即校验码元和信息码元间是线性运 算关系，所以由线性校验方程所确定的分组码是线性 分组码
1 0 1 1 0 r3 r2 r3 1 0 1 0 1 1 0 G 1 1 1 0 1 0 0 r1 r3 r1 0 1 1 r1 r3 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Gs 1
消息
000 001 010 011
码字
000 0000 001 1101 101 0111 011 1010
消息
100 101 110 111
码字
100 1110 101 0011 110 1001 111 0100
6.3.1线性分组码的生成矩阵 和一致校验矩阵
• 在 (n, k ) 线性分组码中，编码器输出的码字可以由如 下方程组来决定：
设某（7,4）线性分组码的校验矩阵如 1 0 1 1 0 0 0 右，发送码字c=[1 0 1 0 0 1 1],求接 1 1 1 0 1 0 0 收向量r的伴随式。 H • 设接收向量为
例6-2 二元(6,3)线性分组码编码器
输入
m 1 m2 m 3
输出
c 4 c5 c 6