第一章_模态分析理论基础..
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1 2 1 (1 g ) 1 H1R ( ) ,2 k{[1 (1 )]2 g 2 } 2kg
1, 2 1 2 1
H1R , 2 ( ) 1 4k (1 )
– 半功率带宽
g 2 1 2
第一章模态分析理论基础
姜节胜 西北工业大学 振动工程研究所
0/26
模态分析理论基础是20世纪30年代机械阻抗 与导纳的概念上发展起来。吸取了振动理论、 信号分析、数据处理、数理统计、自动控制理 论的有关营养，形成一套独特的理论。 模态分析的最终目标是识别出系统的模态 参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断 和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。
2 2
》特点 •起始点(频率为零)非原点，约 在(1/k,-g/k)处，圆心坐标（0，1/2kg） •初相角为arctan(-g) •圆的直径为虚部最大值1/(kg) •半径为实部最大值1/(2kg) •直径处对应半功率带宽两个频 率点
共振频率点
ds d
max
1
• 粘滞阻尼系统
– Nyquist图
R ff ( ) E f (t ) f (t )
G ff
R
0
ff
( )e j d
– 输入输出互相关函数 Rxf ( ) Ex(t ) f (t )
– 互功率谱密度函数 – 频响函数
Gxf
j R ( ) e d xf 0
单自由度系统频响函数分析 粘性阻尼系统
•阻尼力（与振动速度成正比）：
f d cx
•强迫振动方程及其解
m x c x kx f
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
..
.
自由振动
m x c x kx 0
1 1 [ H R ( )] 2 ( H I ( )) 2 4k 4k
2
2
» 特点 »
桃子形，阻尼比越小 轨迹圆越大
» ( 是变的，所以不是圆 )
在固有频率附近，曲线 接近圆，仍可利用圆 的特性
速度与加速度频响函数特性曲线
–用实部和虚部表示 1 1 2 g H ( ) j 2 2 2 k (1 ) g (1 2 ) 2 g 2 与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g 和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
H d (s) x( s) f ( s)
H ( ) Gxf ( ) / G ff ( )
• 多自由度系统的频响函数分析
– 两类系统
• 约束系统 • 自由系统
– 约束系统
• 2自由度运动方程（无阻尼）
KX F MX
m1 0 M 0 m2
k1 k K 1 k ( k k ) 1 2 1
ms cs k 0
2
..
.
s1, 2 0 j 0 1 2
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻尼系统的固有频率
阻尼比 范围（0－1） 内为欠阻尼 无阻尼固有频率
c /(2 km)
0 k / m
结构阻尼（滞后阻尼）系统
• 阻尼力：与位移成正比，相位比位移超前90度 f d jx • 结构阻尼系数
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结构设 计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实际
结构的误差,而且受到边界条件很难准确 确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，有
限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分析， 可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元模型， 从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与噪声控 制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
试验模态分析的典型应用
a. 获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生
当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振 现象。此时系统最大限度地从外界吸收能量，导致结构过大有害振动。 结构设计人员要设法使结构不工作在固有频率环境中。 相反，共振现象并非总是有害的：振动筛、粉末碾磨机、打夯机 和灭虫声发射装置等等就是共振现象的利用。结构设计人员此时要设 法使这种器械工作在固有频率环境中，可以获得最大能量利用率。
n 2n / T
响应的傅氏展开
x(t ) x( n )e jnt ,
n 1 _
n 2n / T
频响函数（定义为各频率点上的值） 均包含幅值与相位
H (n ) x () / f ()
两个量
•瞬态激励 一般瞬态输入傅氏变换 f ( ) f (t )e jt dt
相应输出傅氏变换 相应频响函数 单位脉冲激励 频响函数
x( ) x(t )e jt dt
H ( ) x( ) / f ( )
f (t ) 0
H () h(t )e jt dt
• 随机激励
– 输入自相关函数 – 输入自功率谱密度
• 关系回顾
Ha ( ) jHv ( ) 2 Hd ( )
• 幅频图
实频图与虚频图
•Nyquist图
• 不同激励下频响函数的表达式
– 要点 • 频响函数反映系统输入输出之间的关系 • 表示系统的固有特性 • 线性范围内它与激励的型式与大小无关 • 在不同类型激励力的作用下其表达形式常不相同
x X 1 x2
f F 1 f2
• 傅氏变换
(K 2M)X( ) F( ) Z( ) (K 2M)
• 频响函数矩阵
H( ) Z1 ( ) (K 2M)1
模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组 中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组 以模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换 矩阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构 进行可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响 函数矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得 到结构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
H v ( s)
v( s ) f ( s)
H a ( s)
a( s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数
H d ( ) x( ) f ( )
H v ( )
v( ) f ( )
H a ( )
a( ) f ( )
• 三者之间的关系
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2 Hd ()
• 动刚度（位移阻抗） Z (s) ms2 cs k 1 H ( s ) • 动柔度（位移导纳） 2
ms cs k
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）
左至右
阻抗除
j
wenku.baidu.com
， 导纳乘 j
•单自由度频响函数的特性曲线
f. 有限元模性修正与确认
当今工程结构计算采用最广泛的计算模型就是有限元模型。再好的 算法和软件都是建立在理想的结构物理参数和边界条件假设上的。结构 有限元计算结果和试验往往存在不小差距。此时在模态试验可信的前提 下，一般是以试验结果来对有限元模型进行修正和确认。经过修正和确 认的有限元模型具有优化概念下的与试验结果最大的接近。可以进一步 用于后继的响应、载荷和强度计算。
阻尼愈大，在固有频率 附近相位曲线的陡度 越小
0 时曲线始点约为1/k，为弹簧的导纳线；
低频时外力主要由弹簧力来平衡； 0 , 1 时，产生共振，幅值为 1 / 2k 此时惯性力与弹簧力平衡，激励力与阻尼力平衡 0 时幅值下降，最后趋向于渐近线 1 / 2 m 极值为0，高频时系统激励力主要由惯性力来平衡
H1, 2 ( ) 1 H ( ) max 0.707 H ( ) max 2
半功率的概念是针对功率（而非幅值） 而言，在半功率点处，虚部正好为其最 大值的一半，但幅值却为最大幅值的有 效值。
Nyquist图－频响函数矢端轨迹图 •结构阻尼系统 Nyquist圆（导纳圆）
1 1 [ H R ( )] 2 ( H I ( )) 2 2kg 2kg
b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度, 和疲劳寿命
分析告诉我们任何线性结构在已知外激励作用下他的响应是可以 通过每个模态的响应迭加而成的。所以模态分析另一主要的应用是建 立结构动态响应的预测模型，为结构的动强度设计及疲劳寿命的估计 服务。
c. 载荷(外激励)识别
由激励和模态参数预测响应的问题称为动力学正问题，反之由响 应和模态参数求激励称为反问题。原则上只要全部的各阶模态参数都 求得, 由响应就可以求出外激励（称为载荷识别）。
– 简谐激励 • 激励力 • 响应
f (t ) Fe j (t )
x(t ) Xe j (t )
X j ( ) e F
• 位移频响函数 H d
• 周期激励
非正弦周期力，如方波、锯齿波，周 期为T
f (t ) f ( n )e jnt ,
n 1
半功率带宽反映阻尼大小 阻尼越大，半功率带宽 越大，反之亦然
• 虚频图 g H I ( ) • k[(1 2 ) 2 g 2 ] （结构阻尼） 2 • H I ( ) （粘性阻尼）
k[(1 2 ) 2 (2 ) 2 ]
• 以结构阻尼为例： – 系统共振时虚部达到最大值 – 系统共振时实部为零 – 半功率点处的值
• 实频图（结构阻尼）
1 1 2 H ( ) k (1 2 ) 2 g 2
R
（粘滞阻尼）
1 1 2 H ( ) k (1 2 ) 2 (2 ) 2
R
– 两个极值点
1, 2 1 g 1 g
d. 振动与噪声控制
既然结构振动是各阶振型响应的迭加，只要设法控制相关频率附 近的优势模态（改设计和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以达到 控制结构振动的目的。 对汽车车厢内或室内辐射噪声的控制，道理也一样。车厢座舱或 室内辐射噪声与其结构的振动特性（模态）关系密切，由于辐射噪声 是由结构振动“辐射”出来的。控制了结构的振动，也就是实现了辐 射噪声的控制。
Bode图(幅频图和相频图) •幅频图:频响函数的幅值与频率的关 系
H ( )
H
R
( ) H ( )
I
2
2
k 1 2 2
2
1
2
•相频图:相位与频率的 关系
H I ( ) 2 H arctan R arctan H ( ) (1 2 )
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构， 以动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静 力设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也 可从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
gk
..
g
— 为结构阻尼比或结构损耗因子
• 运动方程及拉氏变换
m x kx jx f
[ms2 (1 jg )k ]x(s) f (s)
•传递函数和频率响应函数
1 H ( s) 2 m s (1 jg )k
（1＋jg）k — 复刚度
H ( )
1 m 2 (1 jg )k
1, 2 1 2 1
H1R , 2 ( ) 1 4k (1 )
– 半功率带宽
g 2 1 2
第一章模态分析理论基础
姜节胜 西北工业大学 振动工程研究所
0/26
模态分析理论基础是20世纪30年代机械阻抗 与导纳的概念上发展起来。吸取了振动理论、 信号分析、数据处理、数理统计、自动控制理 论的有关营养，形成一套独特的理论。 模态分析的最终目标是识别出系统的模态 参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断 和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。
2 2
》特点 •起始点(频率为零)非原点，约 在(1/k,-g/k)处，圆心坐标（0，1/2kg） •初相角为arctan(-g) •圆的直径为虚部最大值1/(kg) •半径为实部最大值1/(2kg) •直径处对应半功率带宽两个频 率点
共振频率点
ds d
max
1
• 粘滞阻尼系统
– Nyquist图
R ff ( ) E f (t ) f (t )
G ff
R
0
ff
( )e j d
– 输入输出互相关函数 Rxf ( ) Ex(t ) f (t )
– 互功率谱密度函数 – 频响函数
Gxf
j R ( ) e d xf 0
单自由度系统频响函数分析 粘性阻尼系统
•阻尼力（与振动速度成正比）：
f d cx
•强迫振动方程及其解
m x c x kx f
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
..
.
自由振动
m x c x kx 0
1 1 [ H R ( )] 2 ( H I ( )) 2 4k 4k
2
2
» 特点 »
桃子形，阻尼比越小 轨迹圆越大
» ( 是变的，所以不是圆 )
在固有频率附近，曲线 接近圆，仍可利用圆 的特性
速度与加速度频响函数特性曲线
–用实部和虚部表示 1 1 2 g H ( ) j 2 2 2 k (1 ) g (1 2 ) 2 g 2 与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g 和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
H d (s) x( s) f ( s)
H ( ) Gxf ( ) / G ff ( )
• 多自由度系统的频响函数分析
– 两类系统
• 约束系统 • 自由系统
– 约束系统
• 2自由度运动方程（无阻尼）
KX F MX
m1 0 M 0 m2
k1 k K 1 k ( k k ) 1 2 1
ms cs k 0
2
..
.
s1, 2 0 j 0 1 2
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻尼系统的固有频率
阻尼比 范围（0－1） 内为欠阻尼 无阻尼固有频率
c /(2 km)
0 k / m
结构阻尼（滞后阻尼）系统
• 阻尼力：与位移成正比，相位比位移超前90度 f d jx • 结构阻尼系数
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结构设 计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实际
结构的误差,而且受到边界条件很难准确 确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，有
限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分析， 可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元模型， 从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与噪声控 制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
试验模态分析的典型应用
a. 获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生
当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振 现象。此时系统最大限度地从外界吸收能量，导致结构过大有害振动。 结构设计人员要设法使结构不工作在固有频率环境中。 相反，共振现象并非总是有害的：振动筛、粉末碾磨机、打夯机 和灭虫声发射装置等等就是共振现象的利用。结构设计人员此时要设 法使这种器械工作在固有频率环境中，可以获得最大能量利用率。
n 2n / T
响应的傅氏展开
x(t ) x( n )e jnt ,
n 1 _
n 2n / T
频响函数（定义为各频率点上的值） 均包含幅值与相位
H (n ) x () / f ()
两个量
•瞬态激励 一般瞬态输入傅氏变换 f ( ) f (t )e jt dt
相应输出傅氏变换 相应频响函数 单位脉冲激励 频响函数
x( ) x(t )e jt dt
H ( ) x( ) / f ( )
f (t ) 0
H () h(t )e jt dt
• 随机激励
– 输入自相关函数 – 输入自功率谱密度
• 关系回顾
Ha ( ) jHv ( ) 2 Hd ( )
• 幅频图
实频图与虚频图
•Nyquist图
• 不同激励下频响函数的表达式
– 要点 • 频响函数反映系统输入输出之间的关系 • 表示系统的固有特性 • 线性范围内它与激励的型式与大小无关 • 在不同类型激励力的作用下其表达形式常不相同
x X 1 x2
f F 1 f2
• 傅氏变换
(K 2M)X( ) F( ) Z( ) (K 2M)
• 频响函数矩阵
H( ) Z1 ( ) (K 2M)1
模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组 中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组 以模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换 矩阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构 进行可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响 函数矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得 到结构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
H v ( s)
v( s ) f ( s)
H a ( s)
a( s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数
H d ( ) x( ) f ( )
H v ( )
v( ) f ( )
H a ( )
a( ) f ( )
• 三者之间的关系
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2 Hd ()
• 动刚度（位移阻抗） Z (s) ms2 cs k 1 H ( s ) • 动柔度（位移导纳） 2
ms cs k
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）
左至右
阻抗除
j
wenku.baidu.com
， 导纳乘 j
•单自由度频响函数的特性曲线
f. 有限元模性修正与确认
当今工程结构计算采用最广泛的计算模型就是有限元模型。再好的 算法和软件都是建立在理想的结构物理参数和边界条件假设上的。结构 有限元计算结果和试验往往存在不小差距。此时在模态试验可信的前提 下，一般是以试验结果来对有限元模型进行修正和确认。经过修正和确 认的有限元模型具有优化概念下的与试验结果最大的接近。可以进一步 用于后继的响应、载荷和强度计算。
阻尼愈大，在固有频率 附近相位曲线的陡度 越小
0 时曲线始点约为1/k，为弹簧的导纳线；
低频时外力主要由弹簧力来平衡； 0 , 1 时，产生共振，幅值为 1 / 2k 此时惯性力与弹簧力平衡，激励力与阻尼力平衡 0 时幅值下降，最后趋向于渐近线 1 / 2 m 极值为0，高频时系统激励力主要由惯性力来平衡
H1, 2 ( ) 1 H ( ) max 0.707 H ( ) max 2
半功率的概念是针对功率（而非幅值） 而言，在半功率点处，虚部正好为其最 大值的一半，但幅值却为最大幅值的有 效值。
Nyquist图－频响函数矢端轨迹图 •结构阻尼系统 Nyquist圆（导纳圆）
1 1 [ H R ( )] 2 ( H I ( )) 2 2kg 2kg
b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度, 和疲劳寿命
分析告诉我们任何线性结构在已知外激励作用下他的响应是可以 通过每个模态的响应迭加而成的。所以模态分析另一主要的应用是建 立结构动态响应的预测模型，为结构的动强度设计及疲劳寿命的估计 服务。
c. 载荷(外激励)识别
由激励和模态参数预测响应的问题称为动力学正问题，反之由响 应和模态参数求激励称为反问题。原则上只要全部的各阶模态参数都 求得, 由响应就可以求出外激励（称为载荷识别）。
– 简谐激励 • 激励力 • 响应
f (t ) Fe j (t )
x(t ) Xe j (t )
X j ( ) e F
• 位移频响函数 H d
• 周期激励
非正弦周期力，如方波、锯齿波，周 期为T
f (t ) f ( n )e jnt ,
n 1
半功率带宽反映阻尼大小 阻尼越大，半功率带宽 越大，反之亦然
• 虚频图 g H I ( ) • k[(1 2 ) 2 g 2 ] （结构阻尼） 2 • H I ( ) （粘性阻尼）
k[(1 2 ) 2 (2 ) 2 ]
• 以结构阻尼为例： – 系统共振时虚部达到最大值 – 系统共振时实部为零 – 半功率点处的值
• 实频图（结构阻尼）
1 1 2 H ( ) k (1 2 ) 2 g 2
R
（粘滞阻尼）
1 1 2 H ( ) k (1 2 ) 2 (2 ) 2
R
– 两个极值点
1, 2 1 g 1 g
d. 振动与噪声控制
既然结构振动是各阶振型响应的迭加，只要设法控制相关频率附 近的优势模态（改设计和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以达到 控制结构振动的目的。 对汽车车厢内或室内辐射噪声的控制，道理也一样。车厢座舱或 室内辐射噪声与其结构的振动特性（模态）关系密切，由于辐射噪声 是由结构振动“辐射”出来的。控制了结构的振动，也就是实现了辐 射噪声的控制。
Bode图(幅频图和相频图) •幅频图:频响函数的幅值与频率的关 系
H ( )
H
R
( ) H ( )
I
2
2
k 1 2 2
2
1
2
•相频图:相位与频率的 关系
H I ( ) 2 H arctan R arctan H ( ) (1 2 )
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构， 以动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静 力设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也 可从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
gk
..
g
— 为结构阻尼比或结构损耗因子
• 运动方程及拉氏变换
m x kx jx f
[ms2 (1 jg )k ]x(s) f (s)
•传递函数和频率响应函数
1 H ( s) 2 m s (1 jg )k
（1＋jg）k — 复刚度
H ( )
1 m 2 (1 jg )k