盲信号处理

摘要：盲信号处理是当前信号处理领域重要技术之一。

从独立成分分析（ICA ）技术方面阐述了盲源分离的基本原理，然后又着重讲解了FastICA 算法。

通过Matlab 编程实现了对图像的混合及盲源分离。

关键词：盲信号 BSS FastICA
在信号处理中经常会遇到如何从一组未知随机信号经过以混合系统得到的观察信号中恢复或者提取出原始信号，如果恢复过程中没有混合系统和原始信号的先验知识，就称该过程为盲源分离。

盲分离在多个说话人同时讲话的语音环境中（所谓的鸡尾酒问题），通常每个麦克风接收到是多个说话者的混合声音，如何仅仅从话筒接收到的语音信号中分离出所需要的说话者的声音
?
盲分离问题的研究内容大体上可以划分为瞬时线性混叠盲分离、卷积混叠盲分离，非线性混叠盲分离以及盲分离的应用四部分。

当混叠模型为非线性时，很难从混叠数据中恢复源信号， 除非对信号和混叠模型有进一步的先验知识。

到目前为止，在大多数的研究中，讨论得最多的是瞬时线性混叠盲分离和卷积混叠盲分离。

盲信号具有以下特征：
1. 不确定性。

各个源信号的传播路径、频率、幅度和时效性均具有不确定性。

2. 可分离性。

由于各个源信号满足相互独立性，最多只有一个高斯信号，故可以解混
合矩阵，即盲信号可分离。

由于已有的大多数盲分离算法都假设信号源的各个分量是均值是为零的随机变量，所以为了使实际的盲信号分离问题能够符合算法提出的假设，在对混合信号分离之前要实现信号的零均值化预处理。

信号零均值处理方法：设x 为均值不为零的随机变量，令x =x-E(x)代替x 就可以了。

其中，E （x ）为样本的算术平均。

假如X （t ）=（X 1(t)X2(t)····Xn(t) T )，t=1，2···n ，为随即变量x 的n 个样本，则用下式去除样本的均值：
x i=xi （t ）-（1/n ）)(1
∑=n
i i t x i=1，2，3，···n
另外在实际中，信号在传输接收中混合信号的各个分量之间难免有一些相关成分，这时零均值x 的协方根矩阵}{T xx E Rxx 不是对角阵。

但是，盲信号的一些算法要求混合信号各个分量之间是相互独立。

所以要对信号进行白化预处理。

对混合信号进行白化预处理的目的就是取出各个分量的相关性，也就是使得白化处理以后的信号分量之间二阶统计独立。

信号白化可以利用混合信号的相关矩阵的特征值分解实现
混合信号矢量x 的协方差矩阵xx R ，则由协方差矩阵的性质可得，xx R 存在m 维混合信号x （k ）白化预处理过程可表示为 x （k ）=Qx （k ）=Q Hs （k ）
其中：x （k ）为白化后的n 维传感器向量；H 为源信号经过混合矩阵s （k ）为源信号；Q 为nXm 阶的白化矩阵。

瞬时线性混叠数学模型 如下：
X{t)=AS （t) ， （1） y(t)=wX(t)， （2）
其中(1)式为混叠模型， (2)式为分离模型；S(t)=(S1 (t)，S 2(t)，⋯ ， Sn (t)) T
为源信号矢
量，x(t)=(x1(t)，x2 (t)，⋯ ，xm (t))
T
为观测信号矢量y(t)=(Y1(T),Y2(T)````Yn(T)) T
为分
离信号矢量；A 为未知的mXn 的混叠矩阵，源信号s(t)也是未知的，w 为分离矩阵。

瞬时线性混叠盲分离的目的就是通过调节分离矩阵 w(或混叠矩阵A )，使得分离信号与对应的源信号的波形保持一致，即：y(t)=POs(t)， (3) 其中P 为置换矩阵，D 为对角矩阵y(t)是对源信 号S(t)的估计。

盲源分离的过程如图1所示
如何算出分离矩阵w 的各元素{Wij }(i=1，2⋯ ，m ； j=1，2，⋯ ，n )是此类盲信号分离算法的核心问题。

目标函数通常也称为对比函数或代价函数。

目标函数的定义主要是确定分析的目标和建
立判断是否独立的判据。

ICA 方法的判别依据根据度量各分量之间独立程度的判据不同，有多种形式。

如信息最大化(info-max)方法、最大熵(ME)和最小互信息(MMI)方法、极大似然(ML)法及快速ICA(FastICA)方法等。

其中FastICA 算法使用方便，程序编写也比较成熟，应用较多。

FasICA 又称为固定点(Fixed-Point)算法，是一种基于负熵或极大似然估计等独立性判决准则的分离算法。

一般是是通过峭度（kurtosis ）或四阶统计量的最大化得到分离矩阵W 的学习过程，由于负熵作为高斯性度量的效果优于累积量。

与普通的神经网络算法不同的是，这种算法采用了批处理的方式，即在每一步迭代中都存在大量的样本参与运算。

另外，该算法采用了定点迭代(Fixed-Point Iteration)的优化方式，使得收敛速度快且稳健。

采用负熵为目标函数时
（4）
式中
，V 是N （0，1），Z 是白化数据，f （·）是F （·）
的导数。

进入稳态时ΔWi = 0 ，由此得固定点迭代的两步算式[13]：
（5）
由于第二步的归一运算，所以第一步中的γ 可以取消。

但是实践证明式（5）所示的迭代算法收敛性不好。

为了改进收敛性能，改用牛顿迭代 算法，为此将式（5）中第一步迭代等效的表示成： G( Wk def
)
=E [ Zf(T
k u Z )] +βWk = 0 (6)
为了求解式（6）的根w i ，采用牛顿迭代法有：
(7)
其中
(8)
因此
(9)
由于Z是白化数据，所以有近似关系：
(10) 因此式（9）的迭代算式可以简化成:
（11）
如果将式（11）等号两边同时乘以E{ f [
T
i
w(k)Z]}+ β
，经简化后得到如下固定点算
法：
（12）
综上所述，采用负熵为目标函数的ICA 固定点算法的步骤可以总结如下：
（1）将X 去均值，然后加以白化得Z ；
（2）任意选择Wk 的初值Wk(0) ，要求||Wk(0)||2=1；
（3）令进行迭代；
（4）归一化：
（5）如果未收敛，回到步骤（3）。

如此反复，直到分离出所有独立分量。

输出向量Wk 为分离矩阵W 中的一列，为原始独立信号中的一个。

为了估计N 个独立成分，只需重复上面的步骤N 次。

当分离多个独立分量时，为了防止多个分量收敛到同一个最值点，每次迭代结束后，需要将输出去相关，即当估计第p + 1个分量时，每次
迭代要从W p+1 中减去W p+1 在Wj 上的投影，然后归一化W p+1 ，即
（13）
（14）
实验过程及结果分析
在ICA处理之前首先应该进行白化处理，白化处理的过程实际上也是一个去相关的过程，白化实际上就是先中心化，然后求出协方差矩阵，然后形成白化矩阵，再次过程中需要求出协方差矩阵的特征值和特征向量，可以自己选定一个门槛值，如果得出的特征值小于这个门槛值，那么在生成白化矩阵的时候就把它去掉，也就是说，大于门槛值的特征值的个数就是源的个数，即独立分量的个数。

MATLAB程序关键代码如下：
%观察信号矩阵X为K*N矩阵
%源信号矩阵S为K*N矩阵
%混合矩阵A为K*K矩阵
%生成K 个混合信号,存储到X, A 中存储混合矩阵
A=rand(K);
X=A*S;
% X 数据中心化
m=mean(X,2);
for i=1:N
X(1,i)=X(1,i)-m(1,1);
end
for i=1:N
X(2,i)=X(2,i)-m(2,1);
end
% X 数据白化
covMat=cov(X');
[E,D]=eig(covMat);
eigenvalues=flipud(sort(diag(D)));
whiteningMatrix=inv(sqrt(D))*E';
%用于白化数据的白化矩阵
dewhiteningMatrix=E*sqrt(D);
%用反白化数据的反白化矩阵
whitesig=whiteningMatrix*X;
H=whitesig;
[vectorSize,numSamples]=size(H);
B=zeros(vectorSize);
numOfIC=vectorSize;
for r=1:numOfIC
i=1;maxNumIterations=100/2;
%设置最大的迭代次数
w=rand(vectorSize,1)-5;
%随即设置初始值
w=w/norm(w);
%初始化为0，令其模为1
while i<=maxNumIterations+1
w=w-B*B'*w;
w=w/norm(w);
w=(H*((H'*w).^3))/numSamples-3*w;
-3- 中国科技论文在线w=w/norm(w);
=i+1;
iend
A(:,r)=dewhiteningMatrix*w;
W(r,:)=w'*whiteningMatrix;
B(:,r)=w;
End
参考文献：
[1] 贾银洁．基于ICA的混合图像盲分离算法［J］．通信技术，2008，6：46-48．
[2]张发启. 盲信号处理及应用[M]. 西安：西安电子科技大学出版社,2006. Zhang Fa-qi.Handle and apply the blind signal[M].Xi’an: Xi'an Electronic Science and Technology University Press,2006.
[3]基于ICA技术的图像盲分离研究曹新德，杨磊，王冠钧.
[4]盲信号分离的理论与发展现状术李荣华赵敏.
[5]混叠通讯信号的盲分离处理赵彬，杨俊安，王晓斌.
[6]基于独立分量分离的盲源分离研究陶磊，张昭。