微专题 辅助圆问题

(2) 当点D在⊙O上时，d＝r，如图③、④，当D、E、O三点共线时，线段DE出 现最值， DE的最大值为d＋r＝2r(即为⊙O的直径)，DE的最小值为d－r＝0(点 D、E重合)；
(3) 当点D在⊙O内时，d<r，如图⑤、⑥，当D、E、O三点共线时，线段DE出 现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d.
与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则
AP AT
的最大值
是____3____．
第6题图
模型四 直角对直径 模型分析 (1)直径(半圆)所对的圆周角是90°. 如图①，△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O 的直径；
(2)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，△ABC中， ∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．
第2题图
解：如解图，点C′的运动轨迹在以点B为圆心，BC长为半径的半圆弧CE上．
第2题解图
模型二 点圆最值
模型分析
平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最 大值和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O的半径为r)： (1) 当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②，当D、E、O三点共线时，线段DE 出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r；
①如图①，当点C在优弧 »AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C 到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大； ②如图②，当点C在劣弧 »AB上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段 CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．
(2)如图，⊙O与直线l相离，点P为⊙O上一动点，设圆心O到直线l的距离为d， ⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大 距离是d＋r(如图④)．
(2)如图②，四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形ABCD的 外接圆为⊙O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直 平分线的交点)．
针对训练 11. 如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P为AB上一动点，PD⊥BC于点D， 9 PE⊥AC于点E，则DE的最小值为_____2_____．
第8题图
模型五 定弦对定角(非90°) 模型分析
固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90度)，那么这个角的顶点轨迹为圆 的一部分．
针对训练 9. 如图，已知四边形ABCD. (1)如图①，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P； (2)如图②，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的所有点P； (3)如图③，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P.
针对训练 3. 如图，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，点A、 B的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为____8____，OB长的最小值为 ____2____，AC长的最大值为____9____，AC长的最小值为____1____，AB长 的最大值为____1_2___，AB长的最小值为____0____．
针对训练 5. 如图，平面直角坐标系中，已知⊙C和直线AB：y＝ 3 x＋ 3，点Q为⊙C 上一个动点，已知⊙C的半径为1，C(3，0)，则点Q到直线AB距离的最大值 是_2___3_＋__1_，最小值是_2__3_－__1__．
第5题图
6. (2019连云港)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C
微专题 辅助圆问题
(10年4考，常在解答题压轴题中涉及考查) 模型一 定点定长作圆
模型分析 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆 心，AB长为半径的圆上(如图①)．
推广：如图②，点E为定点，点F为线段 BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF 折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为 以点E为圆心，BE长为半径的一段弧．
第3题图
4. (2019通辽)如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的 一点，且AM＝ 1 AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折
3 得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是__1_9_－__1__．
第4题图
模型三 线圆最值 模型Hale Waihona Puke Baidu析
(1)如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为⊙O上一动点，当CH⊥AB且直线CH过 圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC为等腰三角形且面 积最大．
第10题图
模型六 四点共圆
模型分析 圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形ABCD中的动点问题，若满足其中一组对 角角度之和等于180°，可考虑作它的外接圆解题． 常见两种四点共圆的情况： (1)如图①，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，满足∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴四边形ABCD的外接圆为以AC为直径的⊙O；
针对训练 1. 如图，已知⊙O及其外一点C，OC＝3，点A、B分别是平面内的动点， 且OA＝2，BC＝4，请在平面内画出点A、B的运动轨迹．
第1题图
解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.
第1题解图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD翻 折，点C的对应点为C′，在点D从C到A的运动过程中，请画出点C′的运动路径．
针对训练 7. 如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P. 解：如解图，点M、N即为所求点．
第7题图
第7题解图
8. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是Rt△ABC内部的一个动点， 且满足AP⊥BP，则线段CP的最小值为____2______．
第11题图
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第9题图
解：(1)如解图①所示，点P1、P2即为所求；
第9题解图①
(2)如解图②所示，点P1、P2、P3、P4即为所求；
第9题解图②
(3)如解图③所示，点P1、P2即为所求．
第9题解图③
10. (2020原创)如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则 △ABC周长的最大值为__4_3_3_＋__2_．