倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计(精)
倒向随机微分方程及其应用
倒向随机微分方程及其应用随机微分方程是一类以随机变量为未知数的微分方程，其解是一个随机过程。
倒向随机微分方程是随机微分方程的一种特殊形式，其解是由后向前求解的。
倒向随机微分方程在金融工程、物理学、生物学等领域中具有重要的应用。
倒向随机微分方程的形式为：dY(t) = f(t, Y(t)) dt + g(t, Y(t)) dW(t)其中，Y(t)是未知函数，f(t, Y(t))和g(t, Y(t))是已知函数，dW(t)是随机微分项，代表布朗运动。
这个方程描述了随机过程Y(t)在时间t的变化规律，受到外部随机因素的影响。
倒向随机微分方程的求解可以通过反演法或数值方法来实现。
反演法是一种基于概率论的解析方法，通过求解方程的特征函数或母函数来得到解析解。
数值方法则通过离散化时间和空间域，将微分方程转化为差分方程，利用数值算法求解。
倒向随机微分方程在金融工程中有广泛的应用。
例如，贝莱克-舒尔斯模型是一种用于定价期权的模型，其基本思想就是通过倒向随机微分方程来描述资产价格随时间的变化。
这个模型不仅可以用于期权定价，还可以用于风险管理和投资组合优化等领域。
在物理学中，倒向随机微分方程可以用于描述粒子在随机力作用下的运动。
布朗运动就是一种倒向随机微分方程的解，描述了被悬浮在流体中的微小粒子的运动轨迹。
布朗运动不仅在物理学中有重要应用，还在金融学、生物学和化学等领域中有广泛应用。
在生物学中，倒向随机微分方程可以用于描述遗传变异和进化过程。
遗传算法是一种基于倒向随机微分方程的优化算法，通过模拟自然进化过程来求解复杂的优化问题。
倒向随机微分方程在遗传算法中起到了重要的作用，帮助寻找最优解。
倒向随机微分方程作为一种重要的数学工具，在金融工程、物理学和生物学等领域中有广泛的应用。
通过倒向求解的方式，可以更好地理解和描述随机过程的演化规律，为解决实际问题提供了有效的数学手段。
随着研究的深入，倒向随机微分方程的应用领域将会进一步扩展，并为人类社会的发展做出更大的贡献。
倒向随机微分方程及其应用_彭实戈
数 学 进 展
ADV AN CES IN M A T HEM A T ICS
V ol. 26, N o. 2 April, 1997
倒向随机微分方程及其应用
彭实戈
( 山东大学数学系 , 济南 , 山东 , 250100)
摘要 本文将 介绍一类新的方程: 倒向随机微 分方程 . 为 便于理解 ,我 们将首先通过与 常微分 方程和经典的 随机微分方 程 ( It. o 方程 )的对 比 . 并 通过数理经 济和数学金 融学中的 一个典 型的例子 来引入倒向 随机微分 方程 . 然 后给出解 的存在唯一 性定理和 比较定 理 . 并 介绍非线性 Fey nma n-Kac 公式 , 它 给出了倒向随机微 分方程的解与一大类 常见的非线性偏 微分 方程 (组 )的 解之间的 对应关系 , 从而为 将来利用 M onté -Ca rlo 型的随机 计算方 法计算 大量的偏微分方程开辟了新的途径 . 最后介绍倒向随机微分方程在金融数学中的应用 .
以下我们转而考虑常微分方程 ( 2)的不确定情况下的推广、即倒向随机微分方程 . 我 们仍然要求方程的解是适应的 . 应该注意到这一要求是非平凡的: 它意味着我们要通过 将来时刻 T 给定的一个 (一般可以是随机的 )目标 yT = a解出现在时刻的值 y ( 0) . 这一 要求乍一看起来似乎不现实 . 为了更好的理解 . 下面我们举一个离散时间情况下的非常 简单的例子 , 它在金融数学中是非常典型的 .
收稿日期: 1993-07-05. 修改稿: 1995-06-27. 国家自然科学基金资助项目 .
98
数 学 进 展
2 6卷
倒向随机微分方程的理论研究的历史较短 , 但进展却很迅速 . 除了其理论本身所具 有的有趣的数学性质之外 , 还因为发现了重要的应用前景 . 著名经济学家 Duf fie 和 Epstein发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好 (即效用函数理论—— 这是计量 经济学的基础 . 见 [ 12 ]) . 彭通过倒向随机微分方程获得了非线性 Fey nma n-Kac公式 ,从 而可以用来处理诸如反应扩散方程和 Navier-St okes方程等众所周知的重要非线性偏微 分 方程组 (见 [ 38] ) . Ei Karo ui和 Quenez发现金融市场的许多重要的派生证券 (如期权 期货等 )的理论价格可以用倒向随机微分方程解出 (见 [ 19, 18, 14, 15 ] ) .
微分方程中的数值解误差分析方法
微分方程中的数值解误差分析方法微分方程是数学中的一个重要分支，它在物理、工程、经济等领域中有广泛的应用。
然而，在实际求解微分方程时，由于计算机运算能力和数值方法的限制，我们无法得到精确解，而只能得到数值解。
因此，对于数值解的误差分析显得尤为重要。
本文将介绍微分方程中的数值解误差分析方法。
一、数值解的精度和稳定性分析在求解微分方程时，我们通常采用数值方法，将连续的方程转化为离散的形式。
而数值解的精度和稳定性是我们评估数值方法好坏的重要指标。
数值解的精度指的是数值解与精确解之间的差别，而数值解的稳定性则是指数值方法对初始条件和参数变化的敏感程度。
为了分析数值解的精度和稳定性，我们可以采用以下方法：1. 改变离散化步长：通过减小离散化步长，我们可以获得更加精确的数值解。
在此过程中，我们可以观察数值解的变化情况，以评估数值解的精度。
2. 比较不同数值方法：在求解微分方程时，存在多种数值方法可供选择，如欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
我们可以用不同的数值方法分别求解同一个微分方程，然后比较数值解的差别，以评估数值方法的精度和稳定性。
3. 研究截断误差：数值解的误差主要由截断误差和舍入误差组成。
其中，截断误差是由于将无限精度的数值问题转化为离散形式所引入的误差。
通过分析截断误差的大小和变化趋势，我们可以判断数值方法的收敛性和稳定性。
二、舍入误差的估计和控制舍入误差是由计算机数值运算的有限精度所引入的误差。
在求解微分方程时，我们需要进行大量的数值计算，从而会积累舍入误差。
为了减小舍入误差的影响，我们需要采取以下方法：1. 使用高精度计算：可以使用高精度的数值计算库或软件，如GNU多精度库(GMP)、Python中的decimal模块等，以增加计算的精度。
2. 选择合适的计算顺序：在进行数值计算时，不同的计算顺序可能会导致不同的舍入误差。
通过合理安排计算的顺序，可以减小舍入误差的积累。
3. 选取合适的数值格式：计算机内部对数值的表示是有限的，因此我们需要选择合适的数值格式，在保证精度的同时，避免数值过大或过小而引入舍入误差。
正倒向随机微分方程组的数值解法_赵卫东
ＢＳ Ｄ Ｅ
ｉ
解 的 存在 唯
ｉ
性 问 题 从 而 建 立 了 正 倒 向 随 机微分方程 组
， ，
（
ｂａ ｃｋ ｗａ ｒｄ ｓ ｔ ｏｃｈ ａｓ ｔ ｉｃ ｄ
ｆ ｅｒ ｅｎ ｔ
ａｌ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉｏｎ ｓ Ｆ ＢＳ Ｄ Ｅｓ ）
的 理 论 基础 之 后 正 倒 向 随 机微 分 方 程
ｙ
－
Ｋ ａｃ
方法 主 要 包 括 公 式 通过 数值 求解 相 应
． ：
，
的
ＰＤ Ｅ ｓ
对
Ｆ Ｂ ＳＤ Ｅ ｓ
近 似求 解
３５
６６
’ ’
６８
’
６９
’
１
０９
丨 ．
２）
结合
？ 化 〇１
（
１
迭代 法
，
？６ 呢
８２
【 丨
提出了
一
种
，
局 部 线 性化 求 解
Ｂ ＳＤ Ｅ Ｂ ＳＤ Ｅ
Ｄ ｅｎｋ
丨
Ｇ ｏｂ ｅｔ
等
［
４２
丨
，
４ ３
】
利 用 函 数基迭 代 回 归 提 出 了 求 解 非 耦 合
Ｆ ＢＳ ＤＥ ｓ
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
的 数 值格 式
；
提 出 研 究 了 非 耦合 的 格 式 及 其在 金 融 中 的 应 用 Ｂ Ｄ Ｓ Ｅ 正 向 求 解格 式 结 合与 Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ 相 通 过 目 标 函 数 的 最 优 控 制 提 出 求解 的 和 ＿ 应 的 控 制 问 题 Ｃ ｖ ａｎ ｃ 和 Ｚ ｈａｎ ｇ 提 出 了 求解 ＦＢ Ｓ ＤＥ 的 最速 下 降 法
随机倒向微分方程
随机倒向微分方程
随机倒向微分方程是一种描述随机系统动力学行为的数学工具。
与传统的随机微分方程不同，随机倒向微分方程是基于观测数据的反向推导，可以更加准确地描述系统的行为。
随机倒向微分方程的基本形式为：
dX_t = f(X_t)dt + g(X_t)dW_t
其中，X_t是系统的状态变量，f(X_t)和g(X_t)是确定性函数，dW_t是Wiener过程的微小增量。
这个方程描述了系统在时刻t的状态变化，其中随机项代表了系统受到的外部随机干扰。
随机倒向微分方程的求解需要使用贝叶斯统计学的方法，即给定初始状态和观测数据，反向推导出系统的状态演化。
这种方法可以避免传统方法中需要对系统的未知参数进行估计的问题，因此具有更高的准确性和可靠性。
随机倒向微分方程在金融、生物、物理、化学等领域中有着广泛的应用。
在金融领域中，它被用于股票价格、汇率、利率等金融市场的建模和预测。
在生物领域中，它被用于描述基因表达、神经元活动、细胞生长等生物系统的动力学行为。
在物理和化学领域中，它被用于描述分子运动、化学反应等物理过程的演化。
随机倒向微分方程的应用还面临着一些挑战。
首先，由于需要反向推导系统的状态演化，需要大量的计算资源和时间。
其次，由于随机项的存在，方程的解不是唯一的，需要进行模型选择和验证。
最后，随机倒向微分方程的参数估计也是一个难题，需要使用高级的统计学方法进行优化。
总之，随机倒向微分方程是一种强大的数学工具，可以更加准确地描述和预测随机系统的动力学行为。
随着计算能力和统计学方法的不断发展，它将在更多的领域中得到广泛的应用。
随机微分方程的数值求解算法
随机微分方程的数值求解算法随机微分方程是一类常用于描述随机现象的数学模型，它包含了随机项，其解的求解过程相对复杂。
为了解决随机微分方程的数值求解问题，研究者们提出了各种算法和方法。
本文将介绍几种常见的随机微分方程数值求解算法，并探讨其应用和优缺点。
一、欧拉-马尔可夫算法欧拉-马尔可夫算法是随机微分方程数值求解的常用方法之一。
它基于欧拉方法，通过将微分方程离散化为差分方程，再引入随机项进行模拟。
具体来说，将微分方程中的导数项用中心差分或前向差分逼近，然后加上一个服从正态分布的随机项，即可得到欧拉-马尔可夫算法的迭代公式。
该算法简单易行，适用于各种类型的随机微分方程，但对于高维问题和强非线性问题的求解效果可能较差。
二、随机Runge-Kutta方法随机Runge-Kutta方法是一种基于Runge-Kutta方法改进的随机微分方程数值求解算法。
该方法通过引入随机项的高阶导数进行估计，提高了数值解的精度和稳定性。
具体来说，随机Runge-Kutta方法将微分方程离散化为差分方程，再使用Runge-Kutta方法求解差分方程的近似解，同时引入随机项进行模拟。
该算法相比于欧拉-马尔可夫算法，求解效果更好，适用于较复杂的随机微分方程，但计算量较大。
三、随机Taylor展开法随机Taylor展开法是一种基于Taylor展开的随机微分方程数值求解算法。
该方法将随机微分方程展开为无穷级数，通过截断展开后的级数来近似求解。
具体来说，随机Taylor展开法使用随机项的高阶导数来估计微分项的取值，然后通过级数相加得到近似解。
该算法精度较高，适用于低维问题和弱非线性问题，但对于高阶问题的求解可能存在数值不稳定性。
综上所述，随机微分方程的数值求解算法有欧拉-马尔可夫算法、随机Runge-Kutta方法和随机Taylor展开法等多种选择。
在实际应用中，根据问题的具体性质和求解要求，选择合适的算法进行求解是非常重要的。
未来的研究中，还可以通过改进算法的数值稳定性、提高算法的计算效率等方面，进一步完善随机微分方程的数值求解方法。
方程的数值解法及其误差分析
方程的数值解法及其误差分析随着计算机技术的不断发展，数值解法在科学计算中得到了广泛的应用。
方程的解是科学研究、工程设计及经济决策中常常要求得到的重要信息之一。
而大多数方程无法通过解析方法求得精确解，因此需要使用数值解法进行计算，得到近似解。
数值解法的误差分析是研究数值解法精度和可靠性的重要方法，本文将介绍方程的数值解法及其误差分析。
一、数值解法数值解法是一种用数值计算的方法寻找或逼近某一方程或系统的解。
数值解法可以分为直接方法和迭代方法两种。
直接方法是通过运用一些固定的算法来直接求出答案，但代价是计算程度较高。
例如，高斯消元法、LU分解法就是常见的直接方法。
迭代方法是通过从一个开始值开始一直进行计算的方式，来逼近方程数值解的方法。
迭代方法计算量相对比较小，常常被用于大规模数据的计算。
常见的迭代方法有牛顿迭代法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
数值解法的误差分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于采用数值计算方法得出的结果和真实结果的差值所引入的误差。
舍入误差是由于计算机进行计算时，因为计算机对数据所能表示的精度有限，导致近似值和真实值的差值所引入的误差。
二、误差分析误差分析对于确保数值解计算精度、保证计算结果可靠非常重要。
误差分析的基本方法有理论分析法和实验分析法两种。
实验分析法是通过实验数据分析误差特征、精度评定得出误差估计结果的方法。
这种方法相对比较直接，但是实验数据的质量和数量很大程度上影响了误差的分析精度。
而理论分析法通过推导计算或数学模型，直接得出误差算式或误差范围，从而得到误差估计值。
这类方法应用非常广泛，是基本的误差分析方法之一。
误差分析方法对于保证数值解法的精度和可靠性有重要意义。
不同的误差分析方法在实际应用中需要根据具体情况进行选择，以提高误差估计的准确性和精度。
三、数值解法应用数值解法应用广泛，例如在工程设计中，常常需要通过数值解法来求解大规模非线性方程组。
微分方程中的数值解误差分析方法
微分方程中的数值解误差分析方法在数学领域中，微分方程是描述自然现象和物理现象的一个非常重要的工具。
然而，大多数微分方程很难用解析的方法求解，因此我们通常使用数值方法来近似求解。
然而，这些数值解不可避免地会引入误差。
本文将介绍微分方程中的数值解误差分析方法。
一、局部截断误差在使用数值方法求解微分方程时，我们通常会引入一个步长h。
在每个步长上，我们通过一系列迭代计算来逼近真实的解。
然而，由于近似计算和舍入误差等原因，我们得到的数值解与真实解之间存在误差。
这个误差被称为局部截断误差。
局部截断误差可以通过泰勒展开来近似计算。
假设我们使用的数值方法是Euler方法，那么可以得到如下的局部截断误差公式：$$LTE = \frac{y(t_{n+1}) - [y(t_n) + hf(t_n, y(t_n))]}{h}$$其中，$y(t_n)$是真实解在时间点$t_n$的值，$f(t_n, y(t_n))$是微分方程的右侧函数在$t_n$和$y(t_n)$处的取值。
二、全局截断误差除了局部截断误差之外，我们还需要考虑全局截断误差。
全局截断误差是指在整个求解过程中，数值解与真实解之间的误差累积情况。
通过对局部截断误差进行逐步累积，我们可以得到全局截断误差的估计。
例如，使用Euler方法求解微分方程，假设总共迭代了N步，步长为h，则全局截断误差的估计为：$$GTE = \frac{LTE}{h} \times N = \frac{y(T) - y(t_0)}{h} = O(h)$$其中，$y(T)$是真实解在求解区间的终点处的值，$y(t_0)$是真实解在求解区间的起点处的值。
三、稳定性分析除了局部截断误差和全局截断误差，稳定性也是数值解的一个重要性质。
在数值方法中，一个稳定的方法可以保证数值解不会因为舍入误差或者数值不稳定性而发散。
稳定性分析通常通过稳定性函数来进行判断。
对于一个给定的数值方法，我们可以将其误差传播到未来的时间点，然后观察误差是否会趋于无穷大。
微分方程中的数值解误差分析方法
微分方程中的数值解误差分析方法微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
然而，在实际问题中，常常无法通过解析方法求得微分方程的精确解，因此需要借助数值方法来求解微分方程的数值解。
但是，数值解并非完全准确，会存在一定的误差。
因此，对数值解的误差进行分析是非常重要的，可以帮助我们评估数值解的可靠性，指导数值方法的选择以及参数的调整。
一、截断误差在数值解微分方程时，我们常常会使用近似方法来替代微分方程中的导数，例如使用差分法或插值法。
这样就会引入截断误差，即在每次近似计算中产生的误差。
截断误差通常与步长有关，步长越小，截断误差越小。
二、舍入误差在计算机上进行数值计算时，由于计算机的存储精度有限，会导致舍入误差的产生。
舍入误差是由于对于无限小数进行有限位数的近似表示而引起的误差。
舍入误差在数值计算中是不可避免的，但可以通过控制计算精度和合理选择数值方法来减小舍入误差的影响。
三、稳定性分析除了截断误差和舍入误差外，还有一个重要的误差来源是数值方法的稳定性。
稳定性分析主要是研究数值方法对微小扰动的抵抗能力，即微小误差是否会被放大。
一个稳定的数值方法可以保证数值解的误差不会随着计算的进行而迅速增大，而是保持在一个可控范围内。
四、数值解误差的评估对于数值解的误差评估是数值计算中非常重要的一环。
常用的评估方法包括绝对误差、相对误差、误差限制和收敛性分析等。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的误差评估方法，并根据误差分析的结果来调整数值方法的参数。
通过以上的误差分析，我们可以更加全面地了解数值解的可靠性和精度，指导我们选择合适的数值方法和参数，提高数值计算的准确性和效率。
在研究微分方程和进行工程计算时，对数值解误差的分析是必不可少的一步，有助于我们更加有效地利用数值方法解决实际问题。
倒向随机微分方程的解及其比较定理
倒向随机微分方程的解及其比较定理《倒向随机微分方程的解及其比较定理》是一个复杂的数学理论。
本文将首先简要介绍倒向随机微分方程，其次概述它的解法以及比较定理，进而着重探讨这个理论的各种数学思想，包括其背后的假设、可解性、比较性、收敛性等关键概念。
最后，本文将提供一些有关这个理论的应用实例，并对它的发展前景进行展望。
1、言随机微分方程(RDE)是数学领域重要的方法。
它的主要特征是处理一类动态系统的随机变化，不仅能够获得对系统具体行为的深入分析，而且又表达出系统具有不确定性。
它有着广泛的应用，包括金融经济、控制理论、生物学等研究领域。
倒向随机微分方程(inverse RDE)是RDE的一种特例，它的研究也受到了很多学者的关注。
《倒向随机微分方程的解及其比较定理》是在研究倒向随机微分方程的基础上推导出来的一个数学定理。
本文将对其进行简要介绍，探讨它背后的数学思想，以及其在实践中的应用，并就其发展前景进行展望。
2、向随机微分方程及其比较定理2.1向随机微分方程倒向随机微分方程(inverse RDE)是一类特殊的随机微分方程，它以反演的策略从一个给定的状态反推出对应的动态变化。
其具体的数学表达形式为：dX_t=-f(X_t)dt+γdW_t其中，X_t为系统的状态随着时间t的动态变化，f(X_t)为满足某一特定条件的映射，dW_t为一个随机过程，γ是随机更新的步长。
2.2较定理倒向随机微分方程的比较定理指的是当所有的随机变量都满足某一特定条件时，倒向随机微分方程的数学解的收敛性可以通过比较定理来证明。
具体的数学形式为：E[F(X_t)|X_s]≥F(X_s)其中，F(X_t)表示X_t的随机变量的概率密度函数，s和t表示系统的时间变量，s<t。
3、《倒向随机微分方程的解及其比较定理》的数学思想《倒向随机微分方程的解及其比较定理》研究的是倒向随机微分方程的解，它实质上是一种不断更新状态的随机过程，根据该过程的状态变化就可以得到倒向随机微分方程的解。
随机微分方程数值计算介绍
随机微分方程数值计算介绍随机微分方程（Stochastic Differential Equations，简写为SDE）是一类用于描述有随机变动的现象的微分方程。
与确定性微分方程不同，SDE中包含了一个随机项，这使得SDE的解具有一定的不确定性。
数值计算方法在求解SDE的数值解时起着至关重要的作用，本文将介绍一些常用的数值计算方法。
首先，我们来介绍一下SDE的一般形式：$$dX_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, t) dW_t$$其中，$X_t$是要求解的未知函数，$f(X_t,t)$和$g(X_t,t)$是已知的函数，$W_t$是一个随机过程（通常为布朗运动）。
上式右侧的第一项表示确定性的漂移项，第二项表示随机扩散项。
为了求解上述SDE，常用的数值方法之一是欧拉方法。
该方法的基本思想是将时间轴等分成多个小的时间段，并在每个时间段内对SDE进行逼近。
具体而言，对于给定的一个时间段$[t_n,t_{n+1}]$，我们有：$$X_{t_{n+1}} = X_{t_n} + f(X_{t_n}, t_n) \Delta t + g(X_{t_n}, t_n) \Delta W_n$$其中，$\Delta t = t_{n+1} - t_n$是时间步长，$\Delta W_n$是标准正态分布随机变量。
按照这个递推公式，我们可以逐步计算出$X_{t_{n+1}}$的近似值。
然而，欧拉方法存在数值误差和收敛性差的问题。
为了克服这些问题，人们提出了各种改进的数值方法。
其中最为著名的方法之一是Milstein方法。
该方法在欧拉方法的基础上考虑了随机项的二阶展开，从而提高了数值解的精度。
具体而言，Milstein方法的递推公式为：$$X_{t_{n+1}} = X_{t_n} + f(X_{t_n}, t_n) \Delta t + g(X_{t_n}, t_n) \Delta W_n + \frac{1}{2} g(X_{t_n}, t_n) \frac{\partialg(X_{t_n}, t_n) }{\partial X_{t_n}} \left((\Delta W_n)^2 -\Delta t\right)$$另外，还有其他一些更高阶的数值方法可用于求解SDE，例如Runge-Kutta方法和Milstein方法的高阶推广方法。
levy 过程驱动的倒向随机微分方程相关问题
倒向随机微分方程是随机微分方程理论中的一个重要分支，它在金融工程、生物医学、信号处理等众多领域都有着广泛的应用。
而对于一些过程驱动的倒向随机微分方程相关问题，研究者们一直在不断地进行探索和研究。
本文将从levy 过程驱动的倒向随机微分方程相关问题展开讨论。
一、levy 过程介绍levy 过程是随机过程理论中的一种重要类型，它具有独立增量和稳定性等特点。
在金融数学中，levy 过程被广泛应用于模拟股票价格和衍生品的定价等领域。
而在倒向随机微分方程的研究中，levy 过程也扮演着重要的角色。
二、倒向随机微分方程的基本概念倒向随机微分方程是倒向随机过程的一个重要表达形式，它在金融数学、信号处理、生物医学等领域都有广泛的应用。
倒向随机微分方程的基本概念包括随机微分方程、倒向随机过程、条件期望等。
三、levy 过程驱动的倒向随机微分方程模型的建立在实际应用中，我们需要具体的数学模型来描述levy 过程驱动的倒向随机微分方程。
在这一部分，我们将介绍levy 过程驱动的倒向随机微分方程模型的建立方法，包括数学原理和实际应用案例。
四、levy 过程驱动的倒向随机微分方程的数值求解对于levy 过程驱动的倒向随机微分方程，其数值求解是一个重要的研究方向。
本文将介绍levy 过程驱动的倒向随机微分方程的数值求解方法，包括传统的数值方法和近年来的一些新的数值算法。
五、levy 过程驱动的倒向随机微分方程在金融工程中的应用金融工程是levy 过程驱动的倒向随机微分方程的一个重要应用领域。
本文将介绍levy 过程驱动的倒向随机微分方程在金融工程中的具体应用案例，包括股票价格模拟、期权定价等方面。
总结：本文从levy 过程驱动的倒向随机微分方程的基本概念出发，介绍了其在数学模型建立、数值求解和金融工程中的应用。
通过对相关问题的探讨和研究，有望为该领域的进一步发展提供有益的参考和借鉴。
希望本文对相关领域的研究者和从业人员有所帮助。
微分方程数值解的误差估计
微分方程数值解的误差估计在微分方程数值解的误差估计方面，我们可以采用以下格式来撰写文章：--------微分方程数值解的误差估计在数值计算的领域，微分方程数值解的误差估计是一个重要的研究方向。
准确地估计数值解的误差可以帮助我们评估数值算法的可行性，并为进一步优化算法提供指导。
本文将介绍微分方程数值解的误差估计方法，并探讨其中的关键技术。
1. 误差源的分析微分方程数值解的误差来源于多个方面，包括离散化误差、截断误差、舍入误差等。
在准确估计误差之前，我们需要仔细分析这些误差的来源，并确定相应的解决策略。
离散化误差是因为将连续的微分方程转化为离散的差分方程而引入的，截断误差则是因为在差分方程的推导过程中对无穷级数进行了截断。
舍入误差则是由计算机中的浮点数表示和计算过程中的舍入引入的。
2. 误差估计的方法为了准确估计微分方程数值解的误差，我们需要借助数学理论和计算机技术。
一种常用的方法是利用残差的计算来估计误差。
我们可以比较数值解与解析解之间的差异，通过计算残差来估计误差的上界。
此外，还可以利用局部截断误差的估计方法，将整个区域划分为若干个子区间，在每个子区间内进行误差估计，然后求得整个区域上误差的上界。
3. 关键技术与工具在误差估计过程中，我们需要运用一些关键的技术和工具。
一种常用的技术是有限元法，它将微分方程的求解区域进行剖分，构建一组局部基函数，并利用这些基函数对数值解进行逼近。
通过对逼近解与真解之间的差异进行分析，可以得到误差的估计。
此外，还有其他技术如有限差分法、有限体积法等，在不同问题中，选择合适的技术是很重要的。
4. 数值实验与结果分析为了验证误差估计的有效性，我们可以设计相应的数值实验，并对实验结果进行分析。
实验中我们可以选择一些已知精确解的微分方程，通过不同的数值算法求解，并与解析解进行比较。
通过对比真实误差和估计误差之间的差距，可以评估误差估计方法的准确性和可靠性。
结论微分方程数值解的误差估计是一个复杂而关键的问题。
倒向随机微分方程高精度数值方法
微分方程数值解的误差估计
微分方程数值解的误差估计在实际应用中，微分方程是很常见的数学模型。
由于有些微分方程形式复杂，解析解往往难以获得，因此数值解法成为解决这类问题的一种重要手段。
然而，数值解在计算过程中往往会带来误差，因此对数值解的误差估计是非常重要的。
一、误差来源与分类在了解误差估计之前，首先需要明确误差的来源。
在数值解中，误差主要来自以下几个方面：1. 离散化误差：将连续的微分方程转化为离散的差分方程时，会产生离散化误差。
这种误差通常来自于差分步长的选择，步长越大误差越大。
2. 截断误差：截断误差是指数值方法近似求解时对于某个被忽略的项的误差。
3. 舍入误差：由于计算机内部数值的有限精度，进行计算时会产生舍入误差。
根据误差产生的方式和性质，可以将误差分为绝对误差和相对误差。
绝对误差是指数值解与精确解之间的差值，而相对误差是绝对误差与精确解之间的比值。
二、误差估计方法为了评估数值解的准确性，需要进行误差估计。
下面介绍几种常用的误差估计方法。
1. 解析解法：当微分方程存在解析解时，可以将解析解与数值解进行比较，计算其差值即可得到误差。
但是，解析解往往难以获得，所以这种方法应用较为有限。
2. 步长收缩方法：通过多次计算采用不同步长的数值解，利用步长收缩时误差与步长的关系进行估计。
当步长趋近于零时，数值解也会接近准确解。
3. 泰勒级数展开法：根据一阶导数、二阶导数等与准确解的关系，利用泰勒级数展开计算估计误差。
通过比较泰勒级数展开结果与数值解之间的差异，可以获得误差的估计值。
4. 向后差分法：向后差分法是使用后项的差分来逼近微分方程的方法，利用向后差分法可以计算出数值解与实际解之间的差异，并进行误差估计。
这种方法在实际应用中非常常见。
三、误差控制与提高数值解的精度误差估计不仅可以评估数值解的准确性，还可以用于误差控制和提高数值解的精度。
在控制误差方面，通常采用自适应步长策略，即根据误差估计结果自动调整步长，使误差在允许范围内。
倒向随机微分方程和金融数学
倒向随机微分方程和金融数学倒向随机微分方程和金融数学随机微分方程是一种用来描述随机过程演化的数学工具，它在金融数学中扮演着重要角色。
本文将探讨倒向随机微分方程及其在金融数学中的应用。
一、倒向随机微分方程的基本概念倒向随机微分方程是由Yong等人于1999年提出的，它是对正向随机微分方程的一种推广。
与正向随机微分方程描述系统的演化方式不同，倒向随机微分方程描述的是系统的过渡概率密度函数的演化。
倒向随机微分方程可用于解决很多实际问题，尤其在金融数学中有着广泛的应用。
二、倒向随机微分方程的数学表达式倒向随机微分方程可以表示为如下形式：dX_t = a(X_t,t)dW_t - b(X_t,t)dt其中，W_t是标准布朗运动，a(X_t,t)和b(X_t,t)是给定的函数。
这个方程描述了一个随机过程X_t的轨迹在每个时刻的微小变化。
通过求解这个方程，我们可以得到随机过程的过渡概率密度函数。
三、倒向随机微分方程在金融数学中的应用1. 期权定价倒向随机微分方程在金融工程领域中被广泛应用于期权定价模型。
通过建立包含倒向随机微分方程的随机微分方程，可以计算出期权价格的理论值。
这对于投资者制定交易策略、管理风险具有重要意义。
2. 风险管理倒向随机微分方程还可以用于风险管理领域，特别是对于金融市场中的风险溢价定价和风险度量具有重要作用。
通过倒向随机微分方程建模，可以获得金融资产的风险价值，帮助投资者更好地控制投资风险。
3. 投资组合优化倒向随机微分方程可以用于建立投资组合优化模型，帮助投资者根据市场波动性和风险溢价水平确定最佳投资组合。
通过求解倒向随机微分方程，可以找到最优投资策略，实现投资组合的稳健增长。
四、倒向随机微分方程的挑战与展望倒向随机微分方程的研究还存在一些挑战。
首先，倒向随机微分方程的数值解具有很高的计算复杂度，需要运用高效的数值方法来解决。
其次，倒向随机微分方程的参数估计问题也是一个研究热点，如何准确地估计随机微分方程中的参数仍然是一个有待深入研究的问题。
倒向随机微分方程
倒向随机微分方程
简介
倒向随机微分方程，即“巴赫杜(Pardoux)-彭方程”，在随机分析、随机控制和金融数学界已经获得了很高的国际知名度。
理论发展
从数学的角度看，世界的本质是随机的，处处充满着不确定性和随机现象。
经过科学家几个世纪的努力，1942年数学家伊藤清开创了随机微积分和随机微分方程理论，对随机现象进行定量分析和研究。
这个理论获得了世界数学界的最高奖“沃尔夫数学奖”，被誉为“随机王国中的牛顿定律”。
但是，这个理论有一个重要缺陷，即只能根据现在的数据计算将来的可能状态，而不能根据将来的风险状态倒向地计算现在，这使得在分析、计算和处理很多实际问题时，缺少一个非常重要的数学手段。
半个世纪后，这个缺陷由彭实戈开创的“倒向随机微分方程”弥补了。
彭实戈教授说，假使我们为将来设定了某个目标，那么根据现在的能力、财力能否达到？如何达到？解决这个问题的关键，实际上不是从现在向将来分析，而是由将来向现在推导，这就是倒向随机分析。
而通过策略的制定逐步把不确定性抵消，把风险规避掉，就是倒向随机微分方程所要解决和计算的问题。
围绕这个主题，十多年来，他在概率论、随机控制理论和金融数学领域获得四项研究成果，这些成果都是在国际上具有突破性的基础研究成果。
“倒向随机微分方程”理论搭起了“随机”与“确定”之间的桥梁，使人们可以用确定的策略、方法去解决随机的不确定的问题，或把随机的不确定的东西进行最优化处理。
它所开辟的途径可以广泛地应用于社会经济生活的许多方面，去解决涉及计算机科学、金融学、经济学和工程学等领域国际学术界普遍关心的很多重要问题。
倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计(精)
倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计倒向随机微分方程(BSDE)是一个相对比较新的研究方向。
1973年Bismut[9]研究的线性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推广。
非线性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。
Duffie和Epstein[28]于1992年独立引入经济模型中的随机微分效用概念,也可以看作某些特殊的BSDE的解。
从那以后,关于BSDE的很多理论和应用结果得到了发展,其中包括:反射倒向随机微分方程、正倒向随机微分方程、偏微分方程与倒向随机微分方程的联系、随机控制、数理金融、非线性期望和非线性鞅论、递归效用和风险敏感效用以及随机微分几何等。
在El Karoui和Mazliak[30],Ma和Yong[5l],Yong和zhou[86]写的书以及综述论文El Karoui,Peng和Quenez[33]中,详细介绍了BSDE的理论和在数理金融和随机控制中的应用。
倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样去做以实现一个给定的将来目标。
但是对于一个具体的倒向方程如何算出它的解来对一般情况而言仍是一个未解决的问题。
在实际应用中能够显式解出的BSDE是很少见的,因此我们需要计算BSDE的数值解。
相对于正向随机微分方程的数值解法,无论是从结果的丰富程度还是从算法实现的难易程度来看,BSDE都要落后很多。
出现这一问题不外乎有以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别,从而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的数值方法。
其次,从应用的角度讲,正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标。
在过去的十几年里,许多学者做出了很大的努力,在BSDE数值解法的研究中取得了一系列的成果。
这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类:第一类方法主要通过数值求解与BSDE相对应的拟线性偏微分方程;另一类算法直接对随机问题按时间进行倒向计算。
倒向随机微分方程理论
倒向随机微分方程理论的一段往事(2008-07-18 22:04:36)转载分类：数学江湖标签：杂谈转自：/文章是中国金融数学届的狂牛的老头子：彭实戈写的，在这里转给大家欣赏。
按：这个文章回顾了倒向随机微分方程理论产生的一段往事，同样是数学上一个让人愉悦的故事。
当年，我和Ｐａｒｄｏｕｘ写的关于倒向随机微分方程 简称ＢＳＤＥ理论的那篇文章发表在一个叫《ＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌＬｅｔｔｅｒｓ》的“小杂志”上。
那是一个“有心栽花花不开，无意插柳柳成荫”的故事。
ＢＳＤＥ的文章发表于１９９０年，而这项研究的实际完成是在１９８９年４月。
其时我从法国回来，正在复旦大学做博士后 １９８８年开始。
数学系的李训经教授在复旦组织了一个每周一次的控制论讨论班，讨论班的一个重点是随机系统的最优控制问题。
当时雍炯敏刚从美国回来，在复旦任副教授，陈叔平在浙大，经常到复旦来参加讨论班。
李老师有两个博士生胡瑛和周迅宇 我刚到复旦时，周迅宇还在日本Ｎｉｓｉｏ教授那里，大概属于联合培养，他们都具备了非常好的概率论和随机分析的基础。
我说非常好，是相对于我这个刚从法国著名的Ｐａｒｄｏｕｘ研究团体回来的“洋博士”而言的。
当时从国外回来的“洋博士”还不算多，大家都对我们“另眼相待”。
回国后看到复旦的这些博士生的基础打得如此之牢固，令我十分佩服。
讨论班的学术气氛很热烈，有两个主攻方向：一是无穷维系统最优控制的最大值原理；一是随机最优控制问题，扩散项含时间的随机控制系统最大值原理是当时大家关心的公开难题之一。
那是一个硕果累累的年代，产生了一批令国际同行刮目相看的研究成果，称其为“ＦｕｄａｎＧｒｏｕｐ”。
复旦对于博士后的生活安排得非常周到。
我有一个二室一厅的套间，里面是整套全新的家具。
胡瑛是这里的常客——几乎每天都来。
经常是进门后没说几句话就坐下来，拿出纸和笔来讨论问题，累了就到校园里去散一会儿步，饿了就出去找个饭店或到食堂吃一顿。
我们两个合作写了好几篇文章，当时的主攻方向是广义的和无穷维随机系统的最大值原理。
微分方程的数值解法与误差估计
微分方程的数值解法与误差估计微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解微分方程的数值方法是研究微分方程的一个重要方面，它通过数值计算来近似求解微分方程，为实际问题提供了有效的数值解。
本文将介绍微分方程的数值解法以及误差估计的相关内容。
一、欧拉方法欧拉方法是一种常见的数值解微分方程的方法。
它基于微分方程的定义，将微分方程转化为差分方程。
具体而言，对于一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，我们可以将其转化为差分方程(y_(i+1)-y_i)/(x_(i+1)-x_i)=f(x_i,y_i)，其中x_i和y_i分别表示第i个点的x坐标和y坐标。
然后，通过给定的初始条件y_0，可以使用迭代公式y_(i+1)=y_i+(x_(i+1)-x_i)f(x_i,y_i)来逐步计算出近似解。
然而，欧拉方法存在一定的误差。
首先，它是基于线性逼近的，因此在非线性问题上可能会产生较大的误差。
其次，由于每次迭代的误差会累积，欧拉方法的误差随着步长的增加而增加。
因此，在使用欧拉方法时需要注意选择合适的步长，以保证结果的准确性。
二、改进的欧拉方法为了克服欧拉方法的缺点，人们提出了改进的欧拉方法，如改进的欧拉法和改进的欧拉-克罗默法。
这些方法通过引入更高阶的近似公式来减小误差，并提高数值解的精度。
改进的欧拉法是通过使用中点来近似解的方法，即在每个小区间上使用中点的斜率来计算近似解。
这样做可以减小误差，并提高数值解的精度。
改进的欧拉-克罗默法是通过使用梯形法则来近似解的方法，即在每个小区间上使用梯形的斜率来计算近似解。
这种方法比改进的欧拉法更精确，但计算量也更大。
三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种常用的数值解微分方程的方法，它通过使用不同阶数的近似公式来计算近似解，并通过比较不同阶数的结果来估计误差。
其中最常用的是四阶龙格-库塔方法，也称为RK4方法。
RK4方法通过计算不同阶数的斜率来逐步逼近真实解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计
倒向随机微分方程(BSDE)是一个相对比较新的研究方向。
1973年Bismut[9]研究的线性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推广。
非线性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。
Duffie和Epstein[28]于1992年独立引入经济模型中的随机微分效用概念,也可以看作某些特殊的BSDE的解。
从那以后,关于BSDE的很多理论和应用结果得到了发展,其中包括:反射倒向随机微分方程、正倒向随机微分方程、偏微分方程与倒向随机微分方程的联系、随机控制、数理金融、非线性期望和非线性鞅论、递归效用和风险敏感效用以及随机微分几何等。
在El Karoui和Mazliak[30],Ma和
Yong[5l],Yong和zhou[86]写的书以及综述论文El Karoui,Peng和Quenez[33]中,详细介绍了BSDE的理论和在数理金融和随机控制中的应用。
倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样去做以实现一个给定的将来目标。
但是对于一个具体的倒向方程如何算出它的解来对一般情况而言仍是一个未解决的问题。
在实际应用中能够显式解出的BSDE是很少见的,因此我们需要计算BSDE的数值解。
相对于正向随机微分方程的数值解法,无论是从结果的丰富程度还是从算法实现的难易程度来看,BSDE都要落后很多。
出现这
一问题不外乎有以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别,从而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的数值方法。
其次,从应用的角度讲,正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标。
在过去的十几年里,许多学者做出了很大的努力,在BSDE数值解法的研究中取得了一系列的成果。
这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类:第一类方法主要通过数值求解与BSDE相对应的拟线性偏微分方程;另一类算法直接对随机问题按时间进行倒向计算。
2006年,Zhao,Chen和Peng[89]提出了解BSDE的θ格式,该方法结合PDE数值解法的特点,使用随机的思想来解释高精度的差分方法,对BSDE进行时间空间离散,用Monte Carlo方法结合插值近似计算条件数学期望,在数值实验中得到了较好的结果。
本文主要研究了BSDE的几种数值方法,在Zhao,Chen和Peng[89]的基础上,离散BSDE时用Gauss-Hermite积分替代Monte Carlo方法近似条件期望,并得到了θ格式的误差估计;提出了一种新的Crank-Nicolson格式并进行误差估计;对一种更高阶的Adams方法也提出了BSDE的离散格式且得到了格式的收敛误差。
下面我们列出本文的主要结果。
第一章:简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路,介绍了BSDE,Feynman-Kac公式的基本概念,对BSDE已有的数值解法进行了简要的回顾总结。
第二章:给出了BSDE(2-1)的θ格式的误差估计。
证明了对一般的θ,格式一阶收敛,特别当θ=(?)时,格式二阶收敛。
当
θ=1时,我们得到θ格式对(2-1)的适应解(y_t,z_t)一阶收敛。
在θ=(?)的情形,我们还得到解z_t的误差估计。
我们称下面两个解(?)的方程为离散
BSDE(2-1)的θ格式:对该格式的误差估计主要有下面的定理。
定理2.1.假设2.1成立,令y_t和y~n分别是BSDE(2-1)和θ格式(2-12)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有其中C是一个正常数,它仅依赖于T,φ和f导数的上界和(2-3)的解u(t,x)。
定理2.3.假设2.1成立,令y~n(n=N,…,0)是θ格式(2-12)在θ=(?)时的解,y_t(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有定理2.4.假设2.1成立,令(y~n,z~n)(n=N,…,0)是θ格式
(2-12)和(2-13)在θ=(?)时的解,(y_t,z_t)(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的真实解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有全离散θ格式可以如下定义:给定随机变量y_i~N,i∈Z,寻找近似解(?)满足全离散θ格式的误差为:定理2.7.令
(y_t,z_t)是BSDE(2-1)的解,(y_i~n,z_i~n)是通过线性多项式插值计算(?)的
全离散格式(2-70)和(2-71)的解,那么在假设2.1下,对一般的θ∈[0,1]的全
离散θ格式有特别的,对θ=(?)的全离散θ格式有对θ=1的全离散θ格式
有第三章:对一般的多维BSDE提出了一种新的Crank-Nicolson格式并进行误差估计,证明格式是二阶收敛的。
在本章最后对第二章以及本章的数值格式进行了数值模拟。
对n=N,N-1,…,0和终端条件(?)和(?),称下面两个式子为BSDE(3-1)分量形式的Crank-Nicolson格式,这里(?)是矩阵(?)的第j列。
写成矩阵形式为:Crank-Nicolson格式的误差估计有下面的定理。
定理3.1.假设2.1成立,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有误差估计其中y_t和y~n分别是BSDE(3-1)和Crank-Nicolson格式(3-18)和(3-19)的解,C是一个仅依赖于T,φ和f的导数的上界以及(3-4)的解u(t,x)的正常数。
定理3.2.令z_t和z~n分别是(3-15)和(3-21)的解,假设2.1成立,那么对足够小的时间步长Δt_n我们有BSDE(3-1)的时间空间全离散Crank-Nicolson格式为:寻找(?),使得(y_i~n,z_i~n)满足第四章:对一般形式的BSDE提出了Adams格式,对f不依赖于z的情形进行了误差估计,证明了Adams格式的高精度收敛。
对n=N-m,…,0,BSDE(4-1)的Adams格
式为:终端值y~N由BSDE(4-1)的终端条件给出。
全离散Adams格式可以如下定义:给定随机变量y_i~B,先用Runge-Kutta方法求出(?)的值,然后寻找近似解(?)满足对生成元不依赖于z的BSDE的Adams格式的误差估计由下面两定理给出。
定理4.1.假设2.1成立并且假定(?),则对足够小的时间步长,我们有误差
估计其中y_t和y~n分别是BSDE(4-1)和Adams格式(4-25)和(4-26)的解,C是一个仅依赖于T,函数φ,f和(1-4)的解u(t,x)上界的常数。
定理4.2.令z_t
和z~n分别是(4-23)和(4-25)的解,假设2.1成立并且(?),则对足够小的时间步长我们有
同主题文章
[1].
司徒荣,黄纬. 关于系数平方增长的带跳BSDE的解(Ⅱ)' [J]. 中山大学学报(自然科学版). 2005.(01)
[2].
司徒荣,黄纬. 关于系数平方增长的带跳BSDE的解(Ⅰ)' [J]. 中山大学学报(自然科学版). 2004.(06)
[3].
俞一君. 一类拟线性方程组Galerkin方法解的存在性和误差估计' [J]. 应用数学与计算数学学报. 1992.(01)
[4].
文立平. 时滞微分方程初值问题数值方法的误差估计' [J]. 长沙电力学院学报(自然科学版). 1998.(01)
[5].
姜子文,姜艳. 均匀棒纯纵向运动初值问题的混合有限元方法' [J]. 吉首大学学报(自然科学版). 2007.(01)
[6].
姜子文,王素梅,高广,陈长雷. 均匀棒纯纵向运动方程的半离散有限元方法' [J]. 科学技术与工程. 2007.(08)
[7].
史树中. 多维连续函数求积公式的误差估计' [J]. 计算数学. 1981.(04)
[8].
陈东. Steffensen方法的误差估计' [J]. 高等学校计算数学学报. 1986.(01)
[9].
李立康. 椭圆型方程的Dual-mixed-hybrid有限元法' [J]. 复旦学报(自然科学版). 1987.(01)
[10].
段奇,李筛和. 一类带边界混合约束的拟半节点二元样条
S_2~1(Δ_(mn)~(2))插值' [J]. 山东大学学报(工学版). 1989.(02)
【关键词相关文档搜索】：概率论与数理统计; 倒向随机微分方程; 数值方法; θ格式; Crank-Nicolson格式; Adams格式; Gauss-Hermite积分
【作者相关信息搜索】：山东大学;概率论与数理统计;彭实戈;王金磊;。