9429高二数学期中试卷
高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)
高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（ ）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（ ） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（ ）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。
安徽省滁州市九校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题含答案
滁州市2023~2024学年第二学期高二期中考试数学试题（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章一第七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数()f x在0x x=处的导数为2，则()()00limxf x x f xx∆→-∆-=∆（）A.2-B.2C.12- D.12【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义，即可求解.【详解】()()()()() 00000 00lim lim2 x xf x x f x f x x f xf xx x∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆．故选:A．2.已知随机变量X的分布列为X51015P256p+2526p p-6p则p=（）A.13 B.13- C.12D.12或13-【答案】C 【解析】【分析】由分布列的性质有()()()510151P X P X P X =+=+==，可求p 的值.【详解】由分布列的性质，得225521666p p p p+-++=，即()()21310p p -+=，解得12p =或13p =-，当p =13-时，06p <，不符合分布列的性质，所以12p =.故选：C.3.已知数列{}n a 满足11a =-，*1(1)10(N )n n a a n +-+=∈，则数列{}n a 的前9项和为（）A.6B.92C.3D.32【答案】B 【解析】【分析】利用数列递推公式对n 进行赋值求出数列的项，判断并运用其周期性即可求得9S .【详解】因11a =-，由*1(1)10(N )n n a a n +-+=∈可推得，111n na a +=-，则211112a a ==-，32121a a ==-，43111a a ==--，, 故数列{}n a 是周期为3的数列，从而数列{}n a 的前9项和为9123193()3(12)22S a a a =++=-++=.故选:B .4.已知随机变量()1,4X N ~，则()35P X <≤=（）注：若()2,X N μσ ，则()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈.A.0.3413B.0.4772C.0.1359D.0.06795【答案】C 【解析】【分析】根据正态曲线的性质求出(13)P X <<和(15)P X <≤即可求出(35)P X <≤.【详解】因为()1,4X N ~，即1μ=，2σ=，所以()()0.6826130.341322P X P X μσμσ-<≤+<<=≈=，()()220.9544150.47222P X P X μσμσ-<≤+<≤=≈=，所以()()()3515130.4720.34130.1359P X P X P X <≤=<≤-<<≈-=.故选：C.5.在递增的等比数列{}n a 中，1a ，5a 是方程234640x x -+=的两根，则23a a +=（）A.4B.12C.24D.12或24【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程的根，结合等比数列的性质即可求解12a =，532a =，进而可得公比，由等比数列基本量的计算即可求解.【详解】234640x x -+=的两个根为12x =，232x =，设数列{}n a 的公比为q ，由已知0q >，由于1a ，5a 是方程234640x x -+=的两根，且等比数列{}n a 是递增数列，所以12a =，532a =，所以45116a q a ==，所以2q =，所以24a =，38a =，2312a a +=．故选：B ．6.函数()321313f x x x x =+-+，则下列结论错误的是（）A.()f x 在区间()0,2上不单调B.()f x 有两个极值点C.()f x 有两个零点D.()f x 在(),0∞-上有最大值【答案】C 【解析】【分析】对()321313f x x x x =+-+求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可．【详解】定义域为(,)-∞+∞，求导即()()()22331f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，解得123,1x x =-=．显然在(),3∞--和()1,∞+上()0f x '>，故()f x 在(),3∞--和()1,∞+上单调递增；在()3,1-上()0f x '<，故()f x 在()3,1-上单调递减．所以3x =-为()f x 的极大值点，1x =为()f x 的极小值点，且()100f x =>极大值，()203f x =-<极小值，草图如下.所以ABD 正确，C 错误．故选：C ．7.某机构拟对其所管辖的6个部门中的4个部门的负责人进行调整，被调整的4人将到其余部门任负责人（不在原部门），每个部门只有一个负责人，调整方案的种数为（）A.360种B.270种C.200种D.135种【答案】D 【解析】【分析】先由2615C =选出不调整的两个部分，进而根据分步计数原理即可求解.【详解】先从6人中选出不作调整的两个，有2615C =种，再把余下的4部门负责人调整到其他部门，假设4个部门为A ，B ，C ，D ，对应的4位原负责人分别为a ，b ，c ，d ，则a 可以调整到B ，C ，D 中的任一部门，有3种情况，假设a 分到B 部门，则b 也有3种情况，剩下的两人有1种情况，故有339⨯=种情况，所以调整方案共有159135⨯=种．故选：D ．8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用m x ∣表示整数x 被m 整除，设*,,a b m ∈∈Z N 且1m >，若()ma b -∣，则称a 与b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡.已知0161151421516161616C 5C 5C 5C 5a =⨯-⨯++⨯-⨯ ，则（）A.()2030mod7a ≡B.()2031mod7a ≡C.()2032mod7a ≡D.()2033mod7a ≡【答案】D 【解析】【分析】根据新定义，结合二项式定理可知()3mod7a ≡，再确定2030,2031,2032,2033中被7整除余3的数，即可得解.【详解】由二项式定理，得0160115115151601616161616C 5(1)C 5(1)C 5(1)C 5(1)1a =⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯-- 16168(51)141(142)1=--=-=+-0801717178088888C 142C 142C 142C 1421=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯- ，因为080171717888C 142C 142C 142⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 能够被7整除，8088C 1421255⨯⨯-=被7除余3，则()3mod7a ≡，又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，所以()2033mod7a ≡.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项【答案】CD 【解析】【分析】根据二项式系数的性质即可求解.【详解】因为1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以38C C n n =；所以11n =，由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．故选：CD ．10.2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A ，B ，C ，D ，E 站成一排合影留念，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相邻，则有48种不同站法B.若C 与D 不相邻，则有24种不同站法C.若B 在E 的左边（可以不相邻），则有60种不同站法D.若A 不在最左边，D 不在最中间，则有78种不同站法【答案】ACD 【解析】【分析】利用捆绑法求A 与B 相邻的排法数，判断选项A ；利用插空法求C 与D 不相邻的排法数，判断选项B ；根据倍缩法求B 在E 的左边的排法数，判断选项C ；优先考虑A 的位置，结合排列知识和两大计数原理求A 不在最左边，D 不在最中间的排法，判断选项D.【详解】若A 与B 相邻，则有2424A A 48=种不同站法，A 正确；若C 与D 不相邻，则有3234A A 72=种不同站法，B 错误；若B 在E 的左边（可以不相邻），则有551A 602=种不同站法，C 正确；若A 不在最左边，D 不在最中间，当A 排在最中间时，满足条件的排法有44A 24=种，当A 不排在最中间时，满足条件的排法有113333C C A 54=种，故共有245478+=种不同排法，D 正确.故选：ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且对任意的x ∈R ，都有()()20f x f x '+>，则下列正确的是（）A.()()ln 20f <B.()()ln 21<C.()()21f f < D.()()2e 4f f <【答案】BD 【解析】【分析】令()()2e xg x f x =，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()()()()0ln 2124g g g g g <<<<，从而得解.【详解】令()()2e xg x f x =，所以()()()()()22211e e e 222x x x g x f x f x f x f x '''⎡⎤=+=+⎣⎦，因为()()20f x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 在R 上单调递增，所以()()()()()0ln 2124g g g g g <<<<，即()()()()()20ln 21e 2e 4f f f <<<<，()()21f >，()()2e 4f f <，故AC 错误，BD 正确．故选：BD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数()2ln 21f x x x x =++的图象在点()()1,1f 处的切线方程是______.【答案】30x y -=【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程化简求解即可.【详解】由()2ln 21f x x x x =++知()13f =，()2ln 2f x x x x =++'，所以()13f '=，故所求切线方程为()331y x -=-，即30x y -=.故答案为：30x y -=13.一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X ，则32X +的方差为______．【答案】185【解析】【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得()D X ，由方差性质即可求解.【详解】由题意，X 满足超几何分布，且X 的取值为0，1，2，则()023326C C 10C 5P X ===，()113326C C 1C P X ==35=，()203326C C 12C 5P X ===，()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=，()()()2213011155D X =⨯-+⨯-+()2122155⨯-=，所以()()2218323955D X D X +==⨯=．故答案为：18514.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为*1,,2n n n nS n a S a ∀∈=-N 恒成立，则数列{}n a 的通项公式为____________;数列()111n n n n S S S S ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和等于____________．【答案】①.②.11n -+【解析】【分析】当1n =时，求出1a ，当2n ≥时，111n n n n S S S S ---=+，求出{}2n S 为等差数列，得到n S ，当2n ≥时，1nn n a S S -=-，求出n a ，检验1n =是否满足，写出表达式;根据n S ，利用分母有理化和裂项相消法，求解前n 项和.【详解】当1n =时，1111112a S a a ==-，又10a >,所以11a =；当2n ≥时，111n n n n S S S S ---=+，所以2211n n S S --=，所以数列{}2n S 为等差数列，所以221(1)1n S S n n =+-⨯=,又0n a >,所以=n S ,所以当2n ≥时，=n a 显然1n =时上式成立，故=n a ()111n n n n S S S S ++===+故数列()111n n n n S S S S ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n项和111n T n ===-+ ．11n -+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知2nx ⎛- ⎝的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46．（1）求展开式中所有项的系数的和：（2）求展开式中的常数项．【答案】（1）1-（2）2304【解析】【分析】（1）根据二项式系数的概念，结合组合数的计算可得9n =，即可利用赋值法求解系数和，（2）利用通项特征即可求解8r =，代入即可求解.【小问1详解】因为2nx ⎛ ⎝的二项展开式中前三项的二项式系数的和为46，所以012C C C 46n n n ++=，即()11462n n n -++=，2900n n +-=，解得9n =或10n =-（舍）．令1x =，则()99211x ⎛-=-=- ⎝，所以展开式中所有项的系数的和为1-．【小问2详解】由（1）知二项式为92x ⎛⎝，所以二项展开式的通项为()()991824199C C 2,0,1,2,,9rrr r rrr T r xx --+==⎛=⋅-- ⎝，令91804r -=，得8r =，所以展开式中的常数项为()8899C 22304T =⋅-=．16.在等差数列{}n a 中，*115,,1,n n n a a a a +∀∈>=N 是2a 和910a +的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-（2）2332n nn S +=-【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质得到方程解出公差则得到通项；（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ,由*1,n n n a a +∀∈>N ，得0d >,因为151,a a =是2a 和910a +的等比中项，所以2(14)(1)(1810)d d d +=+++,化简，得2811100d d --=,解得2d =,或58d =-（舍），所以21n a n =-．【小问2详解】由（1）得212n nn b -=，所以123135212222n nn S -=++++ ，两边同乘以12，得234111352122222n n n S +-=++++ ，两式相减，得2311122221222222n n n n S +-=++++- 211111111211121222112222212n n n n n n -+-+⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+⨯-=+---132322n n ++=-，所以2332n n n S +=-．17.某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）．（1）用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有X 个，求X 的分布列与数学期望；（2）消费者对该公司产品的满意率为34，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有Y 人，求至少有3人满意的概率及Y 的数学期望与方差．【答案】（1）分布列见解析；()43E X =（2）()4593512P Y ≥=，()154E Y =，()1516D Y =【解析】【分析】（1）借助分层随机抽样定义可得所抽取产品类别，得到X 的所有可能取值后计算其概率即可得分布列及期望.（2）借助二项分布的概率公式，期望公式与方差公式计算即可得.【小问1详解】1000.220⨯=，1000.110⨯=，20642010⨯=+，10622010⨯=+，故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线，则X 的所有可能取值为0、1、2，()640222C C 10C 15P X ===，()114226C C 81C 15P X ===，()2426C 622C 155P X ====，则其分布列为：X12P11581525则()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由题意可得35,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()324153455553333333C 1C 1C 1444444P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2704052439184591024102410241024512=++==，()315544E Y =⨯=，()3315514416D Y ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.18.已知函数()()11ln f x a x ax x =-++，a ∈R ．（1）当2a =时，求函数()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域（e 2.718≈）；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）13,2e 1e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意得()1ln 2f x x x x=-++，再求导后分别求出单调性，从而可求解.（2）对函数()f x 求导得()()()211ax x f x x +-'=，然后分情况讨论a 的情况，再结合导数求出相关单调性，从而可求解.【小问1详解】当2a =时，()1ln 2f x x x x=-++，定义域为()0,+∞，则()()()2222222111121212x x x x x x f x x x x x x+-----=-+-=='=，令()0f x '=，得1x =或12x =-(舍去)，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增，所以当1x =时，()f x 取到极小值也是最小值，所以当1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12e 1e e f ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()1e 2e 1ef =+-，又因为()13f =，因为()1121e 2e 1e 1e 20e e e ef f ⎛⎫-=+----=--> ⎪⎝⎭，此时()()max e f x f =，()()min 1f x f =，故()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为13,2e 1e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()()11ln f x a x ax x =-++，()()()()2222111111ax a x ax x a f x a x x x x+--+--=+-='=，当0a =时，()1ln f x x x =+，()21x f x x='-，当()0,1x ∈，()0f x '<，当()1,x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增；当0a ≠时，令()0f x '=，得1x a=-或1x =，当0a >时，()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增；当10a -<<时，当()10,1,x a ⎛⎫∈⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，所以()f x 在区间()10,1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减，在区间()1,+∞单调递增；当1a =-时，()()()()2221110x x x f x xx-+--='-=≤所以()f x 在区间()0,+∞单调递减；当1a <-时，当()10,1,x a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在区间()10,,1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增；综上所述：当0a ≥时，()f x 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增；当10a -<<时，()f x 在区间()10,1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减，在区间()1,+∞单调递增；当1a =-时，()f x 区间()0,+∞单调递减；当1a <-时，在区间()10,,1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19.我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件A 发生的概率为(01)p p <<，将试验进行至事件A 发生r 次为止，用X 表示试验次数，则X 服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作~(,)X NB r p .为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量(2)X X ≥，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为13.（1）求(4)P X =;（2）若抽取的家庭数X 不超过n 的概率不小于23，求整数n 的最小值.【答案】（1）427（2）7【解析】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）利用错位相减法求取的家庭数X 不超过n 的概率，再结合数列的单调性求解即可.【小问1详解】2131214(4)C 33327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.【小问2详解】因为221112112()C (2)33393i i i i P X i i ----⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⨯≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以抽取的家庭数X 不超过n 的概率为2()(2)(3)()ni P P X i P X P X P X n =====+=++=∑ ，即01221222321293939393n n P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，1221212222212393939393n n n n P ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减，得0122111222212,39333393n n n P --⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以11211123233313n n n P --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎣⎦111212221133333n n n n n ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由12221333n n P -+⎛⎫=-⋅≥ ⎪⎝⎭，得12(2)13n n -⎛⎫+⋅≤ ⎪⎝⎭，令12(2)(2)3n n a n n -⎛⎫=+⋅≥ ⎪⎝⎭，则121221(2)(1)333n n n n n a a n n ----⎛⎫⎛⎫-=+⋅-+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.220(3)3n n -⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭，所以1n n a a -<，所以数列{}(2)n a n ≥是递减数列，因为5667225626481,913243381a a ⎛⎫⎛⎫=⨯=>=⨯=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以整数n 的最小值是7.。
2024高二数学期中考试题及答案
2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。
A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。
2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。
3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。
4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。
5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。
6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。
7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。
8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。
9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。
10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。
三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。
2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。
高二数学第二学期期中考试卷(附答案)
高二数学第二学期期中考试卷本卷满分100分,考试时间90分钟一、填空题（本大题共有11小题，每小题4分，共44分）1．直线y =－3x +1的倾斜角为 .2．过点A(1,－4),且与直线2350x y ++=垂直的直线方程为 . 3．两平行直线3450x y ++=与34250x y +-=间的距离是 ． 4．若方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,则k 的取值范围是___________.5．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且一顶点为(0，8)的双曲线的方程 是 .6．已知圆C 的方程(x-2)2+y 2=4,过原点与圆C 相交的弦的中点轨迹是__________.7．设12,F F 为椭圆2212516x y +=的两个焦点，直线过1F 交椭圆于,A B 两点，则2AF B ∆的周长是 ．8．已知双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2的两渐近线的夹角为2α，则c:a ＝ .9．椭圆1222=+y x 和双曲线1222=-y x 有相同的焦点，则实数n 的值是10. 等腰直角三角形的直角顶点是（4，-1），斜边在直线3x -y +2=0上，两条直角边所在的直线方程是 .11. 已知椭圆方程为221499x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法：①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±2)；④ a =49,b =9,c =40，正确的有 .二、选择题：（本大题共4小题;每小题4分,共16分）12．直线320x y ++=与直线4210x y +-=夹角是 （ ） A.34π B. 4πC. 2arctgD. arctg 12. 3k >是方裎22131x y k k +=--表示双曲线的条件是 （ ） A.充分但不必要 B. 必要但不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.直线1y x =-上的点到圆224240x y x y ++-+=的最近距离是 （ ） A.1 B. 1+ D. 115. 椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F . 数列｛|P n F |｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是 ( )A 、198B 、199C 、200D 、20110三、解答题：（本大题共6小题，共40分）P 射出，被x轴反射，反射光线经过点Q(7,1)，16.（6分）已知光线从点(1,5)求入射光线所在的直线方程．21的17. (6分)已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，焦距与长轴长的比为3双曲线过点P(6，6) 求双曲线方程18. (6分)求过点(1,6)M 且与圆22230x y x ++-=相切的切线方程．19. （7分）过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）内引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程.20.（7分）斜率为2的直线l 被双曲线x y 22321-=截得的弦长为2515，求直线l 的方程.21.（8分）已知动点P 到直线4x =的距离等于到定点1(1,0)F 的距离的2倍， （１） 求动点P 的轨迹方程；（２） 过1(1,0)F 且斜率1k =的直线交上述轨迹于C 、D 两点，已知(2,0)A ，求ACD ∆的面积S ．高二数学参考答案1．120° 2. 3x －2y －11=0 3. 6 4．(-∞,-1)∪(4,+∞)5．1366422=-x y 6. x 2+y 2-2x=0 7．２０ ８. αsec ９. 3± １０．2x+y-7=0或x-2y-6=0 １１. ② １2. Ｂ １3.Ａ １4.Ｄ １5. C16. 解：点B 关于x 轴对称点为C(7,－1), 入射光线所在的直线为AC43-=AC k入射光线所在的直线方程为3x+4y －17=0．17.解：设双曲线方程为2222by a x -=1由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12所以所求双曲线方程为12922y x -=1 18.解：设直线的方程为y=k(x －1)+6,圆心(－1,0)到直线的距离等于半径221622=++-k k ,解得k=34切线方程为46(1)3y x -=-或10x -= 19.解：设直线与椭圆的交点为（x 1 , y 1）,（x 2 , y 2）,M(2,1)为AB 的中点故x 1+x 2= 4, y 1+y 2 = 2 ，由于点 A 、B 在椭圆上，则 x 12 + 4y 12 = 16, x 22 +4y 22 =16 两式相减得 ∴k AB =-=--2121x x y y 21244)(42121-=⨯-=++y y x x故所求直线方程为x +2y – 4 =020. 解：设直线l 的方程为y x m =+2 将y x m =+2代入23622x y -=得232622x x m -+=() 整理得101232022x mx m +++=()设直线l 与双曲线的两个交点坐标为P x y 111(,)，P x y 222(,)∴+=-=+x x m x x m 12122653102,()·由P P kx x 122121=+-得()()()[]25151225155422122212212⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-x x x x x x1255654310222=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⨯+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥m m () 解得m m 21223==±,∴所求的直线方程是y x =±22321.（１）设动点(,)P x y ，由题设知4x -=化简得动点(,)P x y 的轨迹方程是22143x y +=． （２）过1(1,0)F 且斜率1k =的直线方程为1y x =-代入椭圆方程消去y ， 得 27880x y --=．设1122(,),(,)C x y D x y ，则12127y y x x -=-==而11211122ACD S AF y y ∆=⋅-=⨯=。
浙江省A9协作体2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题含答案
绝密★考试结束前浙江省A9协作体2022学年第二学期期中联考高二数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.）1.已知集合{}23A x a x a =-<<+，()(){}140B x x x =-->.若A B R =，则a 值范围是（ ）A.(),1-∞B.[]1,3C.()1,3D.[)3,+∞2.命题“x R ∃∈，210x x -+<”的否定是（ ） A.x R ∃∈，210x x -+> B.x R ∀∈，210x x -+> C.x R ∃∈，210x x -+≥ D.x R ∀∈，210x x -+≥3.下列结论中正确的是（ ） A.若2ln 2y x =+，则122y x '=+ B.若ln x y x =，则21ln xy x-'= C.若2xy x e =，则2xy xe '= D.若()221y x =+，则()2321y x '=+4.下列说法中正确的是（ ）A.已知随机变量X 服从二项分布14,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()89E X =B.“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的充分不必要条件C.已知随机变量X 的方差为()D X ，则()()2323D X D X -=-D.已知随机变量X 服从正态分布()24,N σ且()60.85P X ≤=，则()240.35P X <≤=5.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()122f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，若对任意[),x m ∈+∞，都有()316f x ≥-，则m 的取值范围是（ ） A.11,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.11,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6.将四书《中庸》、《论语》、《大学》、《孟子》全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A 事件：“《中庸》分给同学甲”；B 表示事件：“《论语》分给同学甲”；C 表示事件：“《论语》分给同学乙”，则下列结论正确的是（ ） A.事件A 与B 相互独立 B.事件A 与C 相互独立 C.()512P C A =D.()512P B A =7.在二项式n的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为（ ） A.27B.135C.512D.8258.已知函数()22ln f x x x =--，(ln a f =，ln 33b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A.a c b <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<二、多选题（本大题共4小题，共20分。
2019-2020年高二下学期期中联考数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期中联考数学（理）试题含答案王永杰李好敬一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A、B、C、D、2．若，则a的值是（）A、2B、3C、4D、63．已知随机变量服从正态分布则（）A、0.89B、0.78C、0.22D、0.114．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5．用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由n=k到n=k+1时,不等式的左边（）A．增加了一项 B. 增加了两项C. 增加了一项，又减少了一项D. 增加了两项，又减少了一项6．已知随机变量X的分布列如下表（其中为常数）：则下列计算结果错误的是（）A、B、C、D、7．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A.12B.24C.30D.368．直线a//b, a上有5个点，b上有4 个点，以这九个点为顶点的三角形个数为（）A、B、 C、D、9．某种玉米种子，如果每一粒发芽的概率为90%，播下5粒种子，则其中恰有两粒未发芽的概率约是（）A．0．07B．0．27 C．0．30 D．0．3310．展开式中的常数项是（ ）A ．B ．18C ．20D ．011．给出下列命题：(1)已知事件是互斥事件，若，则；(2)已知事件是互相独立事件，若，则(表示事件的对立事件)；(3)的二项展开式中，共有4个有理项． 则其中真命题的序号是（ ）A ．(1)、(2)．B ．(1)、(3)．C ．(2)、(3)．D ．(1)、(2)、(3)．12．函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数在区间上的图像如图所示， 且，那么（ ）A ．是的极大值点B ．=是的极小值点C ．不是极值点D ．是极值点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高二数学第二学期期中试卷(附答案)
高二数学第二学期期中试卷一、选择题(每小题只有一个正确的答案，每小题3分)：1．有下列三个命题：命题1：,m n m n αβαβ⊂⊂⇒，，与不重合异面命题2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形命题3：一条直线与一个平面的无数条直线垂直，则此直线垂直于该平面 其中正确．．命题的个数是 ( ) A . 0 B . 1 C . 2 D . 32．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线(C) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC(D) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC3．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面， 下列四个命题中正确的是 （ ）A ．若//,//,//m m αβαβ则；B ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α；C ．若,,//αβαγβγ⊥⊥则；D ．若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂∆中，已知∠B=90°，∠C=30°，AC=4,D是BC中点，E是平面ABC 4．在ABC外一点， DE 平面ABC, DE=1，那么点E到直线AC的距离为（）A.7B. 5C. 2D.25．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④二、填空题Ⅰ（每小题3分）：6．一个六棱柱的底面是边长为a的正六边形，侧棱长为b，侧棱与底面所成的角为60°，则这个棱柱的体积为7． A、B、C是球O表面上三点，AB=6,BC=8，AC=10，点O到△ABC所在平面的距离为5，则球O的表面积为。
8．在一个坡面的倾斜角为60°的斜坡上，有一条与坡脚的水平线成30°角的直线，沿这条道行走到20m时人升高了米（坡面的倾斜角为坡面与水平面所成的二面角的平面角）9．已知半径为R的球面上有两点A、B，且AB=R3，则这两点的球面距离为10.如图所示，以长方体ABCD—A 1B1C1D1顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是。
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题一．选择题（每小题5分，共60分）1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝（ ）A.－iB.－3iC.iD.3i2．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B.12516米/秒 C ．8米/秒D.674米/秒3．函数y ＝cos(－x )的导数是( )A ．cos xB ．－cos xC ．－sin xD ．sin x4. 校园科技节展览期间，安排小王、小李等4位志愿者到3个不同展区提供义务服务，每个展区至少有1人，则不同的安排方案共有的种数为（ ）。
A 、36B 、72C 、18D 、815. 过曲线y ＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在点P 处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x －3y －2π3＋32＝0 B.3x ＋2y －3π3－1＝0 C ．2x ＋3y －2π3＋32＝0 D.3x ＋2y －3π3＋1＝0 6. 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是图中的( )7. 给出下列结论：①(sin x)′＝cos x；②若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；③(e x)′＝e x；④(log4x)′＝1x ln 4.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8. 若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9. 函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)10. 已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤011. （X+2）6的展开式中x3的系数是（）。
高二数学下学期期中考试试卷含答案
高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。
$(-\infty。
-1]\cup [2,+\infty)$B。
$(-1,+\infty)$C。
$(-\infty,1]$D。
$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。
$5x-y-3=0$B。
$5x-y+3=0$C。
$3x-y-1=0$D。
$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。
$x=\frac{\pi}{6}$B。
$x=\frac{\pi}{4}$C。
$x=\frac{\pi}{3}$D。
$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。
$90^\circ$B。
$60^\circ$C。
$45^\circ$D。
高二数学期中考试试题及答案
高二数学期中考试试题及答案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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浙江省A9协作体2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)
〖解析〗设 ，则 可看做 图象上任意一点 与 图象上点 的距离的平方，
A.二项式系数最大的项为第5项B.所有项的系数和为1
C.系数绝对值最大的项是第6项D.有理项共4项.
〖答案〗AB
〖解析〗由题意 ， ，
展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；
所有项的系数和为 ，B正确；
， ，
显然 时， 是有理项，共5项，D错误；
由 ，解得 ，所以 ，系数绝对值最大的项是第5项，C错；
故选：AC．
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数 的极小值点为_________
〖答案〗3
〖解析〗由已知 ， 得 ，
或 时， ， 时， ，
在 和 上都是递增，在 上递减，
所以 极小值点为 ．故〖答案〗为：3．
14.某校组织全体学生进行了视力检测，其中高一、高二、高三年级参加检测的学生各有600、700、700人，近视率分别为60%，50%，70%，则从该校任选一名学生，该生是近视的概率为_________.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
〖答案〗D
〖解析〗 .故选：D.
2.已知命题 ： ， ，则命题 的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
〖答案〗A
〖解析〗因为命题 ： ， ，所以命题 的否定是： ， .故A对，其余选项错.故选：A.
3.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （）
〖答案〗D
〖解析〗先给O涂色，有 种方法，接着给A涂色，有 种方法，接着给B涂色，有 种方法，
①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，
北京市2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题含答案
北京2023-2024学年第二学期期中练习高二数学（答案在最后）命题人：2024．4说明：本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．一、选择题（每道题的四个选项中只有一个选项正确．每小题4分，一共40分）1.在数列{}n a 中，732,1a a ==，若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a =（）A.43B.32C.23 D.34【答案】A 【解析】【分析】利用等差中项求解即可．【详解】解：由1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列得53721113122a a a =+=+=，解得543a =.故选：A2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，使n S 的最小的n 值为（）A.4B.5C.6D.4或5【答案】D 【解析】【分析】设公差为d ，依题意得到方程组，求出1a 、d ，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.【详解】设公差为d ，由23a =-，510S =-，所以11351010a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得141a d =-⎧⎨=⎩，所以5n a n =-，令0n a ≥，解得5n ≥，则数列{}n a 单调递增，且50a =，所以当4n =或5n =时n S 取得最小值.故选：D3.下列函数中，在()0,∞+上为增函数的是（）A.()sin 2f x x= B.() xf x xe= C.()3f x x x=- D.()ln f x x x=-+【答案】B 【解析】【分析】A 中根据正弦函数的单调性即可判断；B 中，利用导数判定()x f x xe =在(0,)+∞上是增函数；C 中，利用导数判定3()f x x x =-在1(0,)3上是减函数，在1(3，)∞+上是增函数；D 中，利用导数判定()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．【详解】解：对于A ，()sin 2f x x =是周期函数，当32(,)22x ππ∈，即3(,)44x ππ∈时，函数是减函数，∴不满足题意；对于B ，()x f x xe = ，()(1)x f x x e ∴'=+，∴当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数；对于C ，3()f x x x =- ，2()31f x x ∴'=-，∴当1(0,)3x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数；1(3x ∈，)∞+时，()0f x '>，()f x 是增函数；∴不满足题意；对于D ，()ln f x x x =-+ ，11()1x f x x x-∴'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 是减函数，∴不满足题意．综上，在(0,)+∞上为增函数的是B ．故选：B ．4.函数()e e 1xf x x =--的最小值为（）A.0B.1- C.1D.1e -【答案】B 【解析】【分析】直接求导，令导函数为0，得到其极值点，分析其单调性即可得到最小值.【详解】函数()e e 1xf x x =--，求导得()e e x f x '=-，令()0f x '=，则1x =，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，则函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则()min (1)1f x f ==-.故选：B.5.已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围是（）A.()2,1--B.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求出导函数()f x '，利用导数讨论()f x 的单调性，结合题意可得112a<-<运算求解即可.【详解】由()11ax f x a x x='+=+，函数定义域为()0,+∞，当0a ≥时，函数()f x 单调递增，不合题意；当0a <时，令()0f x '>，解得10x a<<-；令()0f x '<，解得1x a >-；可知()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内单调递减，若函数()f x 在区间()1,2不单调，则112a<-<，解得112a -<<-；综上所述：实数a 的取值范围是11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：B.6.数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则使得“数列{}n a 是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（）A.(]0a ∈-∞，B.(]2a ∈-∞，C.()2a ∈-∞， D.()2a ∈+∞，【答案】A 【解析】【分析】根据数列单调递增得到(1)a n n <+，再求出在*N n ∈上(1)n n +的最小值，即可求出a 的范围，再进行条件判断选出答案即可.【详解】因为数列{}n a 是单调递增数列，所以1n n a a +>，即11a an n n n++>++，化简得(1)a n n <+，所以min (1)a n n <+，令2211(1)()24t n n n n n =+=+=+-，则t 在*N n ∈上递增，所以min (1)2n n +=，所以2a <,所以使“数列{}n a 是单调递增数列”的充要条件是(,2)a ∈-∞，所以充分不必要条件是可以是(]0a ∈-∞，.故选：A.7.已知函数322()f x x ax bx a =--+，则“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得()()1=01=10f f ⎧'⎪⎨⎪⎩，即可得到方程组，解得a 、b 再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为322()f x x ax bx a =--+，所以2()32f x x ax b '=--，所以()()21=32=01=1+=10f a b f a b a ----⎧'⎪⎨⎪⎩，解得=3=3a b -⎧⎨⎩或=4=11a b -⎧⎨⎩；当=3=3a b -⎧⎨⎩时32()339f x x x x =-++，()22()363310f x x x x '=-+=-≥，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11a b -⎧⎨⎩时32()41116f x x x x =+-+，()()2()31131118f x x x x x '=++=--，当1x >或113x <-时()0f x '>，当1113x -<<时()0f x '<，满足函数在=1x 处取得极值，所以7a b +=，所以由7a b +=推不出函数()f x 在=1x 处有极值10，即充分性不成立；由函数()f x 在=1x 处有极值10推得出7a b +=，即必要性成立；故“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的必要不充分条件；故选：B8.将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为(x)V ，则下列结论错误．．的是（）A.2()(0,)(2)2a V x x x a x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭B.22()128V x x ax a '=-+C.(x)V 在区间(0,]4a 上单调递增D.(x)V 在6ax =时取得最大值【答案】C 【解析】【分析】求出容积(x)V ，利用导数确定其单调性．【详解】由题意2()(2)V x a x x =-，20a x ->，2a x <的，所以02a x <<，222()22(2)(2)128V x a x x a x x ax a '=-⨯-+-=-+，由()(2)(6)V x x a x a '=--得06a x <<时，()0V x '>，62a ax <<时，()0V x '<，即(x)V 在(0,)6a 上递增，在26,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，(x)V 在6a x =时取得极大值32627a V a ⎛⎫=⎪⎝⎭也是最大值．错误的只有C ，故选：C ．9.已知函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x ='的图象如图所示，则以下四种说法中正确的个数是（）①函数()f x 的图象关于1x =对称②函数()y f x =在区间(),∞∞-+上为增函数③函数()f x 在=1x -处的切线的倾斜角大于π4④关于x 的不等式()24f x x >+的解集为()1,∞-+A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的图象得到()2f x '>，即原函数是增函数可判断①②③；令()()24g x f x x =--，求()g x '判断()g x 在R 上单调性，利用单调性可解不等式可判断④.【详解】对于①②，因为函数()f x 的导函数()0f x '>，可知()f x 在(),∞∞-+上是单调递增函数，图象不关于1x =对称，故①错误，②正确；对于③，()f x '的图象都在2y =的上方，所以()2f x '>，设()f x 在=1x -处的切线的倾斜角为α，则()f x 在=1x -处切线的斜率πtan 21tan 4α>>=，因为正切函数tan y α=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增，所以倾斜角大于π4，故③正确；对于④，因为()2f x '>，令()()24g x f x x =--，不等式()24f x x >+等价于()0g x >，则()()20g x f x ''=->，可知()g x 在R 上单调递增，又因为()()1120g f -=--=，则不等式()0g x >的解集为()1,∞-+，所以关于x 的不等式()24f x x >+的解集为()1,∞-+，故④正确.故选：B.10.已知数列{}n a 满足：11420n n n n a a a a ++⋅+-+=，则下列命题正确的是（）A.若数列{}n a 为常数列，则11a =B.存在1(1,2)a ∈，使数列{}n a 为递减数列C.任意1(0,1)a ∈，都有{}n a 为递减数列D.任意1(2,)a ∈+∞，都有12na a <≤【答案】D 【解析】【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C.【详解】对A:若数列{}n a 为常数列，则2320n n a a -+=，解得1n a =或2n a =，故A 错误；对B:易得1421n n n a a a +-=+，若{}n a 为递减数列，则214232011n n n n n n n n a a a a a a a a +--+--=-=<++，解得2n a >或11n a -<<且0n a ≠，故不存在()11,2a ∈使得{}n a 递减数列，故B 错误；对C ,令112a =，则2340,2,10a a a ==-=，故{}n a 不是递减数列，故C 错误；对D ,用数学归纳法证明2n a >当1,n =1(2,)a ∈+∞显然成立，假设当()N n kk *=∈，2na>则1n k =+时，()1042212221k k k k k a a a a a +-=--+->+=，故当1n k =+时2n a >成立,由选项B 知，对任意2n a >则数列{}n a 为递减数列，故1n a a ≤故D 正确故选：D【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键.二、填空题（每小题5分，一共25分）11.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______.【答案】1【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出22a b 的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1.【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.12.曲线()()2e1xf x xx =--在点()()0,0f 处的切线方程是_____________．【答案】21y x =--【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由斜截式求出切线方程.【详解】因为()()2e1xf x xx =--，所以()01f =-，()()2e 2x f x x x '=+-，则()02f '=-，即切点为()0,1-，切线的斜率为()02f '=-，所以切线方程为21y x =--.故答案为：21y x =--13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．【答案】132【解析】【详解】由题意，正方形的边长构成以2为首项，以 2为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有11221023n -++⋯+=，∴10n =，∴最小正方形的边长为912232⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为132.14.已知函数33,()2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩R a ∈，（1）当0a =时，函数()f x 的最大值是_____________；（2）若函数()f x 无最大值，写出一个满足条件的a 的取值是_____________．【答案】①.2②.2-（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根据0a =，画出函数图象，即可求得最大值.（2）根据x a >时，()2f x x =-，可得a 的范围，再取一个满足条件的值即可.【详解】（1）当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则0x ≤时，2()33f x x '=-，当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,0]x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减.0x >时，()2f x x =-，在(0,)+∞上单调递减.所以，作出函数图象大致如下图所示，所以()f x 的最大值为(1)2f -=.（2）由（1）得，33y x x =-的导函数为2()33f x x '=-，所以当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,+)x ∈∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以函数33y x x =-与2y x =-的完整图象如下图所示.结合图象，当1a <-时，()f x 无最大值；当12a -≤≤时，max ()2f x =；当2a >时，3max ()3f x a a =-.所以a 可取2-.故答案为：2；2-（答案不唯一）.15.记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数.若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.（1）以下函数()f x 与()g x 存在“S 点”的是___________①函数()f x x =与2()22g x x x =+-；②函数()1f x x =+与()x g x e =；③函数()sin f x x =与()cos g x x =.（2）已知：,m n R ∈，若函数2()f x mx nx =+与()ln g x x =存在“S 点”，则实数m 的取值范围为___________.【答案】①.②②.31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】第一空根据()()00()()f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩是否有解即可判断；第二空由()()00()()f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩得到0201ln x m x -=，构造函数()()21ln 0xh x x x-=>，利用导数研究函数()h x 的图象与性质即可求出结果.【详解】①因为函数()f x x =与2()22g x x x =+-，所以()1f x '=，()22g x x '=+，由题意得2000022122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，无解，故不存在“S 点”；②函数()1f x x =+与()x g x e =，所以()1f x '=，()x g x e '=，由题意得011x x x e e⎧+=⎨=⎩，解得00x =，故0为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”；③函数()sin f x x =与()cos g x x =，所以()cos f x x '=，()sin g x x '=-，由题意得0000sin cos cos sin x x x x =⎧⎨=-⎩，无解，故不存在“S 点”；函数2()f x mx nx =+与()ln g x x =，则()2f x mx n '=+与1()g x x '=，由题意得200000ln 12mx nx x mx n x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，则0201ln x m x -=，令()()21ln 0x h x x x -=>，则()332ln x h x x -+'=，令()0h x '=，则32x e =，所以32,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，则()0h x '>，故()h x 单调递增；320,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()0h x '<，故()h x 单调递减；所以()h x 在32x e =处取得极小值，也是最小值，()332223min321ln 12e h x h e e e ⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭，且x →+∞时，()h x →+∞，所以实数m 的取值范围为31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,故答案为：②；31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、解答题（一共85分）16.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=1，且a 1，a 2，a 6成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n 11n n a a +=，求数列{b n }的前n 项和S n .【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项即可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），首项a 1=1，且a 1，a 2，a 6成等比数列，a 22=a 1a 6，可得（a 1+d ）2=a 1（a 1+5d ），可得d 2=3d ，即d =3（0舍去），可得a n =3n ﹣2；（2）由（1）知，b n ()()1132313n n ==-+（113231n n --+），数列{b n }的前n 项和S n 13=（1111114473231n n -+-++--+ ）13=（1131n -+）31n n =+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项以及裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.17.已知数列{}n a ，______.在①数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-；②数列{}n a 的前n 项之积为(1)22()n n n S n +*=∈N ，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）条件选择见解析，2n n a =（2）21222n n n nT ++=-+【解析】【分析】（1）选①或②均可证明数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；（2）由分组求和法结合等差、等比的前n 项和公式求解即可.【小问1详解】选①，当1n =时，1122a a =-，即12a =，当2n ≥时，22n n S a =-（I ），1122n n S a --=-（II ），（I ）-（II ）得：122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =.选②，当1n =时，112a S ==，即12a =,当2n ≥时，(1)2(1)1222n n n n n n n S a S +--==，即(1)(1)2222n n n n n n a +--==,当1n =时，12a =符合上式.所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =【小问2详解】因为2log n n n b a a =+，所以2nn b n =+，所以()()1222212nn T n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+212(12)(1)221222n n n n n n n T +-++=+=-+-.18.已知函数32()1(R)f x ax bx a =++∈，当2x =时，()f x 取得极值3-．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间[]23-，上的最值．【答案】（1）32()31f x x x =-+（2）单调递增区间为(,0),(2,)-∞+∞，单调递减区间为(0,2)（3）最大值为1，最小值为19-【解析】【分析】（1）根据极值定义和函数值，求得,a b 的值，从而得到解析式；（2）利用导函数的正负，解出x 的范围，从而得到函数的单调性；（3）根据在区间[]23-，上单调性，求得最值即可.【小问1详解】依题意可得2()32f x ax bx '=+，又当2x =时，()f x 取得极值3-，所以(2)3(2)0f f '=-⎧⎨=⎩，即84131240a b a b ++=-⎧⎨+=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，所以32()31f x x x =-+.此时，2()363(2)f x x x x x '=-=-，(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在(,0),(2,)-∞+∞单调递增，在(0,2)单调递减.所以2x =时，()f x 取得极小值，极小值为(2)3f =-，符合题意，所以32()31f x x x =-+.【小问2详解】由（1）可知32()31f x x x =-+，2()363(2)f x x x x x '=-=-.令()0f x '>，解得0x <或2x >；令()0f x '<，解得02x <<.所以()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)-∞+∞，单调递减区间为(0,2)【小问3详解】由（2）可知()f x 在[2,0],[2,3]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，因为(0)1,(3)1f f ==，所以在区间[]23-，最大值为1，因为(2)19,(2)3f f -=-=-，所以在区间[]23-，最小值为19-.所以()f x 在区间[]23-，上的最大值为1，最小值为19-.19.已知函数()()e R xf x ax a =-∈（1）求函数()f x 的极值；（2）当e a >时，求证：函数()f x 有两个零点．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别得到函数的单调性与极值；（2）由（1）可知()()ln 0f x f a =<极小值，又()01f =，即可得到()f x 在(),ln a -∞上有且仅有一个零点，再利用导数说明()2e 0af a a =->()e a >恒成立，即可得到()f x 在()ln ,a +∞上有且仅有一个零点，从而得解.【小问1详解】函数()e x f x ax =-的定义域为R ，且()e xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 在R 上单调递增，函数无极值；当0a >时，由()0f x '>可得ln x a >，由()0f x '<可得ln x a <，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，在(),ln a -∞上单调递减，所以()f x 在ln x a =处取得极小值点，即()()ln ln f x f a a a a ==-极小值，无极大值，综上可得：当0a ≤时无极值，当0a >时()ln f x a a a =-极小值，无极大值.【小问2详解】当e a >时ln ln e 1a >>，由（1）可得()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，且()()()ln ln 1ln 0f x f a a a a a a ==-=-<极小值，又()01f =，所以()f x 在(),ln a -∞上有且仅有一个零点1x ，且()10,ln x a ∈，又()2e af a a =-，令()2e x g x x=-()e x >，所以()e 2x g x x '=-，令()()e 2xm x g x x '==-()e x >，则()e 20xm x ='->，所以()m x （()g x '）在()e,+∞上单调递增，且()ee e 2e 0g '=->，即()0g x '>，所以()g x 在()e,+∞上单调递增，所以()()e2e e e 0g x g >=->，所以()0f a >，令()()ln e h x x x x =->，所以()110h x x'=->，所以()h x 在()e,+∞上单调递增，所以()()e e 10h x h >=->，所以当e a >时ln a a >，所以()f x 在()ln ,a +∞上有且仅有一个零点2x ，且()2ln ,x a a ∈，综上可得，当e a >时，函数()f x 有两个零点.20.已知函数()2ln f x x x =，2()(1)g x x λ=-（λ为常数）.（1）若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线，求实数λ的值；（2）若1λ=，且1x ≥，证明：()()f x g x ≤；（3）若对任意[1,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）1λ=；（2）证明见解析；（3）1λ≥.【解析】【分析】(1)对函数()f x 和()g x 分别求导，根据导数的几何意义得到(1)(1)f g ''=，即可求出λ的值；(2)设函数()()22ln 1h x x x x =--，利用导数求出函数的最大值为0，即可证明；(3)设函数()()22ln 1H x x x x λ=--，分离参数，将问题转化为ln 1x xλ+≤恒成立，构造函数()ln 1x r x x+=，利用导数求出函数()max r x 即可.【详解】（1）()2ln 2(0)f x x x '=+>，则()12f '=且()10f =；()2g x x λ'=所以函数()y f x =在1x =处的切线方程为：22y x =-，从而(1)22g λ'==，即1λ=.（2）由题意知：设函数()()22ln 1h x x x x =--，则()()2ln 1h x x x '=+-.设()ln 1p x x x =+-，从而()110p x x'=-≤对任意[)1x ∈+∞，恒成立，所以()()ln 110p x x x p =+-≤=，即()0h x '≤，因此函数()()22ln 1h x x x x =--在[)1+∞，上单调递减，即()()10h x h ≤=，所以当1x ≥时，()()f x g x ≤成立.（3）设函数()()22ln 1(0)H x x x x x λ=-->，从而对任意[)1x ∈+∞，，不等式()()01H x H ≤=恒成立.又()2ln 22H x x x λ'=+-，当()2ln 220H x x x λ'=+-≤，即ln 1x xλ+≤恒成立时，函数()H x 单调递减.设()ln 1x r x x +=，则()2ln 0xr x x-'=≤，所以()()max 11r x r ==，即1λ≥，符合题意；当0λ≤时，()2ln 220H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增.于是，不等式()()10H x H ≥=对任意[)1x ∈+∞，恒成立，不符合题意；当01λ<<时，设()()2ln 22q x H x x x λ'==+-，则()21201q x x x λλ'=-=⇒=>当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()220q x x λ'=->，此时()()2ln 22q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()()2ln 221220H x x x H λλ''=+->=->，故当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()H x 单调递增.于是当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x >成立，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为：1λ≥.21.给定正整数3m ≥，若项数为m 的正实数数列{}n a 满足：12m a a a ≤≤≤ ，且1m a ma ≤，称数列{}n a 为“M 数列”．如果“M 数列”{}n a 存在()1,,i j k a a a i j k m ≤<<≤分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个m 项数列{}n a 为“AT 数列”．（1）判断数列{}n a ：2，2，2，2，2和数列{}n b ：1，2，3，4，5是否为“AT 数列”；（2）正数数列{}n a 满足：22212211,1,2,10,,n n n a a a a a n ++===+=⋅⋅⋅．证明：数列{}n a 是“M 数列”，但不是“AT 数列”；（3）若任意的m 项“M 数列”{}n a 均为“AT 数列”，求出所有满足条件的整数m ．【答案】（1）数列{}n a 是“AT 数列”，数列{}n b 不是“AT 数列”（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合“M 数列”和“AT 数列”的定义分析判断；（2）列举出{}n a 结合“M 数列”的定义分析判断，结合{}n a 的单调性分析可得222k j i b b b ≥+，即可判断；（3）设m 的最小值为0m ，结合“AT 数列”的定义分析求解.【小问1详解】对于数列{}n a ：可知*2,15,n a n n =≤≤∈N ，对任意*35,m m ≤≤∈N ，均有22m ≤，即1m a ma ≤，可知数列{}n a 是“M 数列”，且对(),,1i j k a a a i j k m ≤<<≤，以,,i j k a a a 为边长的三角形为等边三角形，即为锐角三角形，所以数列{}n a 是“AT 数列”；对于数列{}n b ，可知*,15,n b n n n =≤≤∈N ，可知数列{}n b 为正项递增数列对任意*35,m m ≤≤∈N ，均有m m ≤，即1m b mb ≤，可知数列{}n b 是“M 数列”，因为()()()()22222222121140n n n b b b n n n n ++⎡⎤-+=+-++=--+≥⎣⎦，即22221n n n b b b ++≥+，当且仅当3n =时，等号成立，即对(),,1i j k b b b i j k m ≤<<≤，则2,1i k j k ≤-≤-，均有2222212k k k j i b b b b b --≥+≥+，即不能构成锐角三角形；所以数列{}n b 不是“AT 数列”.【小问2详解】因为22221n n n a a a ++=+，121a a ==，可得34567101112a a a a a a a a ========对任意*312,m m ≤≤∈N ，均有满足1m a ma m ≤=，可知数列{}n a 是“M 数列”，由22221n n n a a a ++=+可得()()222212121n n n n n n n a a a a a a a ++++++-=+-=，且数列{}n a 为正项数列，可知2210,0n n n a a a +++>>，可得210n n a a ++->，且1231,a a a ===，可知数列{}n a 从第二项开始为递增的正项数列，对(),,1i j k a a a i j k m ≤<<≤，则2,1i k j k ≤-≤-，可知2222212k k k j i a a a a a --=+≥+，即不能构成锐角三角形；所以数列{}n a 不是“AT 数列”.【小问3详解】因为数列{}n a 为“M 数列”，这里的m 是任意的，若任意的m 项“M 数列”{}n a 均为“AT 数列”，设m 的最小值为0m ，可知存在()0,,1i j k a a a i j k m ≤<<≤分别是一个锐角三角形的三个边长，则对于任意0m m ≥，均存在()0,,1i j k a a a i j k m m ≤<<≤≤分别是一个锐角三角形的三个边长，即对于任意0m m ≥，m 项数列{}n a 均为“AT 数列”，所以0m m ≥均符合题意，其中m 的最小值为0m .。
2022-2023学年全国高中高二下数学苏教版(2019)期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若→a =(x,1)，→b =(4,x)，→a//→b ，则实数x =( )A.0B.2C.−2D.2或−22. 从2名医生和5名护士中，选出3人参加某项志愿活动．要求入选的3人中至少有一名医生，则不同的选取方案的种数是（ ）A.20B.25C.30D.553. 下列结论正确的是（ ）A.→AB +→AC =→BCB.→BA +→CA =→BCC.→AB −→AC =→BCD.→BA −→CA =→BC4. 已知3件产品中有1件次品，其余为合格品，现从这3件产品中任取2件，恰有1件合格品的概率为( )A.13B.23C.14D.125. 已知→a =(2,3)，→b =(−4,7)，则向量→a 在→b 方向上设射影的数量为（ ）=(x,1)a →=(4,x)b →//a →b →x =()2−22−2253320253055+=AB −→−AC −→−BC−→−+=BA −→−CA −→−BC−→−−=AB −→−AC −→−BC−→−−=BA −→−CA −→−BC −→−31321()13231412→→→→B.√135C.√655D.√656. 已知随机变量X 服从正态分布N(μ,1)，且P(2≤X ≤4)=0.6826，则P(X >4)等于（ ）A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15857. 某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( )A.900种B.600种C.360种D.480种8. 如图，长方体从顶点A 1出发的三条棱长分别是1，2，3，则体对角线A 1C 的长为( )A.6B.√14C.√5D.7二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知(3x −2)10=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 10(x −1)10，则下列结论正确的有( )A.a 0=1B.a 1+a 2+⋯+a 10=210−1C.a 2=405D.a 0+a 2+a 4+⋯+a 10=220+210213−−√565−−√565−−√X N(μ,1)P(2≤X ≤4)=0.6826P(X >4)0.15880.15870.15860.158********600360480A 1123CA 1614−−√5–√7=+(x −1)++⋯+(3x −2)10a 0a 1a 2(x −1)2a 10(x −1)10=1a 0++⋯+=−1a 1a 2a 10210=405a 2+220210X 1234P 0.20.10.2q 若离散型随机变量Y 满足Y =2X +1，则下列结果正确的有( )A.q =0.2B.E(X)=3，D(X)=1.4C.E(X)=2，D(X)=1.8D.E(Y)=7，D(Y)=5.611. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A.P(B)=25B.P (B |A 1)=511C.事件B 与事件A 1相互独立D.A 1、A 2、A 3两两互斥12. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，则下列结论正确的是( )A.A 1D ⊥AC 1B.三棱锥A −BCF 外接球的表面积为6πC.点C 到平面AEF 的距离为23D.平面AEF 截正方体所得的截面面积为92卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 从数字1，2，3，4中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为________.14. 若(1−x)7=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6+a 7x 7，则|a 0|−|a 1|+|a 2|−|a 3|+|a 4|−|a 5|+|a 6|−|a 7|=________.X X1234P 0.20.10.2q Y Y =2X +1q =0.2E (X)=3D (X)=1.4E (X)=2D (X)=1.8E (Y )=7D (Y )=5.6523433,,A 1A 2A 3BP (B)=25P (B|)=A 1511B A 1A 1A 2A 32ABCD −A 1B 1C 1D 1EF BC CC 1D ⊥A A 1C 1A −BCF 6πC AEF 23AEF 92123439=+x ++(1−x)7a 0a 1a 2x 2a 3x 3++++a 4x 4a 5x 5a 6x 6a 7x 7||−||+||−||+a 0a 1a 2a 3||−||+||−||=a 4a 5a 6a 7若∠AED =45∘，且 CE =1，BD =2，则AD 的长是________．16. 袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为16，则袋中黑球的个数为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 有5名学生和2位老师站成一排合影．(1)若2位老师相邻，则排法种数为多少？(2)若2位老师不相邻，则排法种数为多少？ 18. 已知二项式(ax +1√x )n 的第三项和第八项的二项式系数相等．(1)求n 的值；(2)若展开式的常数项为84，求a ． 19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB//CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E 、F 分别为PC 、CD 的中点．(Ⅰ)试证：AB ⊥平面BEF ；(Ⅱ)设PA ＝k ⋅AB ，且二面角E −BD −C 的平面角大于45∘，求k 的取值范围． 20. 某射击运动员射击一次所得环数X 的分布列如下：X 0−678910P 00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击所得的最高环数作为他的成绩，记为ξ．(1)求该运动员两次都命中7环的概率；(2)求ξ的分布列及数学期望E(ξ)． 21. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，P ，Q 分别是AA 1，A 1C 1的中点.△ABC ∠B =45∘BC D CD =CA E AC ED∠AED =45∘CE =1，BD =2AD 32201201652(1)2(2)2(ax +)1x −√n (1)n(2)84aP −ABCD PA ⊥ABCD ∠DAB AB //CD AD CD 2AB E F PC CD ()AB ⊥BEF ()PA k ⋅AB E −BD −C 45∘kX X 0−678910P 00.20.30.30.2ξ(1)7(2)ξE(ξ)ABC −A 1B 1C 1P Q AA 1A 1C 1角Q −PB 1−A 1的余弦值. 22. 2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，以“新时代、新变革、新产业”为主题，突出电动化、智能化、共享化融合发展特色.某汽车公司顺应时代潮流，新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值¯x ，（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布N(μ,σ2)，用样本平均数¯x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，经计算样本标准差s 的近似值为50，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、⋯、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到 k +1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到 k +2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n 格的概率为P n ，试说明{P n −P n−1}是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.(2)AB =2AC =A =A =4A 1C 1∠A =A 1B 160A C ⊥A 1C 1A B A 1B 1Q −P −B 1A 12019713100(1)100x ¯¯¯(2)X N(μ,)σ2x ¯¯¯μs σs 50250400ξN(μ,)σ2P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973(3)12012⋯500k k +1k k +24950n P n {−}P n P n−1参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】D【考点】平行向量的性质【解析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵→a//→b，∴x 2−4=0，解得x=±2．故选：D．2.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：所求分成两种情况：①1名医生，2名护士时，有C12⋅C25=20种；②2名医生，1名护士时，有C22⋅C15=5种.共25种.故选B.3.【答案】D【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】【解答】解：→BA−→CA=→BA+→AC=→BC.故选D.4.【答案】B【考点】条件概率与独立事件【解析】从中任取2件，在已知其中一件是次品的前提下，另一件也是次品，就是任取的两件都是次品．【解答】解：从3件产品中任取2件共有3种情况，其中恰有1件次品有2种情况，所以P=23，故选B．5.【答案】C【考点】向量的投影【解析】根据向量射影的定义，求出→a在→b方向上的射影即可．【解答】解：根据投影的定义，得；向量→a在→b方向上的射影数量是m=|→a|⋅cosθ=˙|→b|√(−4)2+72=2×(−4)+3×7=√655．故选：C．6.【答案】B【考点】正态分布的密度曲线【解析】解：由正态曲线性质知，μ=3，∴P(X>4)=0.5−12P(2≤X≤4)=0.5−12×0.6826=0.1587．故选B．7.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题计数原理的应用【解析】分两步进行，先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名老师分配去4个边远地区支教，对四名教师进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分两步进行，第一步，先选四名老师，又分两类：①甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C25=10种不同选法，②甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C46=15种不同选法，则不同的选法有10+15=25种;第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A44=24，最后，由分步计数原理，可得共有25×24=600种方法.故选B．8.【答案】B【考点】点、线、面间的距离计算【解析】直接用长方体的对角线的公式，求出长方体的对角线长即可．【解答】解：∵长方体从顶点A1出发的三条棱的长分别为1，2，3，∴长方体的对角线A1C的长为：√12+22+32=√14.故选B．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.二项式系数的性质二项展开式的特定项与特定系数二项式定理的应用【解析】利用赋值法和二项展开式的特定项的系数将各个选项逐一分析求解即可.【解答】解：(3x −2)10=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 10(x −1)10，令x =1，可得a 0=(3×1−2)10=1，故A 正确；令x =2，可得410=a 0+a 1+a 2+⋯+a 10，∴a 1+a 2+⋯+a 10=410−a 0=410−1，故B 错误；设t =x −1，则x =t +1，∴(3t +1)10=a 0+a 1t +a 2t 2+⋯+a 10t 10，∴a 2=C 210⋅32=45×9=405，故C 正确；令x =0时，a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 10=(−2)10=210，又a 0+a 1+a 2+⋯+a 10=220，两式相加可得a 0+a 2+a 4+⋯+a 10=220+2102，故D 正确.故选ACD.10.【答案】B,D【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】由离散型随机变量X 的分布列的性质求出q =0.5，由此能求出E(X)，D(X) ，再由离散型随机变量Y 满足Y =2X +1，能求出E(Y)和D(Y)．【解答】解：由离散型随机变量X 的分布列的性质，得q =1−0.2−0.1−0.2=0.5，E(Y)=1×0.2+2×0.1+3×0.2+4×0.5=3，D(X)=(1−3)2×0.2+(2−3)2×0.1+(3−3)2×0.2+(4−3)2×0.5=1.4，∵离散型随机变量Y 满足Y =2X +1，∴E(Y)=2E(X)+1=7，D(Y)=4D(X)=5.6.故选BD ．11.条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)=510=12，P(A2)=210=15，P(A3)=310，P(B|A1)=12×51112=511，P(B|A2)=411，P(B|A3)=411，而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922，则P(A1)P(B)=12×922=944≠P(A1B).由此知AC不正确，BD正确.故选BD．12.【答案】A,C,D【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算空间中直线与平面之间的位置关系【解析】证明A1D⊥平面AD1C1可证A1D⊥AC1，判断A；证明AF的中点就是三棱锥A−BCF外接球球心，求得球面积，判断B，利用等体积法求得点C到平面AEF的距离判断C，作出完整截面并求出面积判断D．【解答】解：A，连接AC1，AD1，∵A1D⊥AD1，A1D⊥C1D1∴A1D⊥平面AD1C1，∵AC1⊂平面AD1C1，则NM//CF ，∴NM ⊥平面ABCD ，∴N 是三棱锥A −BCF 外接球的球心，NA =12AF =12√12+(2√2)2=32，球表面积为S =4π×(32)2=9π，故B 错误；C ，S △ABE =12×EC ×AB =12×2×1=1，V F−AEC =13S △AEC ⋅FC =13×1×1=13，在△AEF 中， AE =√22+12=√5，EF =√2，AF =3，则cos ∠AEF =AE 2+EF 2−AF 22AE ⋅EF=5+2−92×√5×√2=−√1010，sin ∠AEF =3√1010，S △AEF =12AE ⋅EFsin ∠AEF=12×√5×√2×3√1010=32，设C 到平面AEF 的距离为h ，则V A−ECF =V C−AEF 得13×32h =13，h =23，故C 正确；D ，连接FD 1，D 1A ，易证得AD 1//BC 1//EF ，平面AEF 截正方体所得的截面即为等腰梯形AD 1FE ，AD 1=2√2，EF =√2，AE =D 1F =√5，梯形的高为h ′=√(√5)2−(√22)2=3√22，S =12×(√2+2√2)×3√22=92，故D 正确．故选ACD ．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】532【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】求出基本事件总数为4×4×4=64个，满足各位数字之和等于9的分两类，一类数字不重复，一类数字有重复，求完后直接运用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：三位数共有4×4×4=64个，各位数字之和等于9有这样几种情况，第一种：各个数字不同，有一种，即取2，3，4这样的三位数有6个，第二种：有数字相同的情况，可以取1，4，4这样的三位数也有3个，可以取3，3，3这样的三位数有1个．所以概率是1064=532．故答案为：532．14.【答案】【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由二项展开式的通项公式T r+1=C r7(−x)r=Cr7(−1)r x r，r=0,1,⋯，7，可知a1,a3,a5,a7都小于0，则|a0|−|a1|+|a2|−|a3|+|a4|−|a5|+|a6|−|a7|=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7，在原二项展开式中令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0.故答案为：0.15.【答案】√10【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】解：过A作AG⊥BC于G，在CD上截取CF＝CE＝1，连接AF，∵在△DCE和△ACF中{CD =CA ∠C =∠CCE =CF∴△DCE ≅△ACF(SAS)∴∠DEC ＝∠AFC∴∠AFD ＝∠AED ＝45∘∵∠B ＝45∘∴∠B ＝∠AFD∴AB ＝AF∴BG ＝FG设DG ＝x ，则GF ＝BG ＝x +2，DC ＝AC ＝2x +3∵∠B ＝45∘，AG ⊥BC ∴∠BAG ＝∠B ＝45∘∴AG ＝BG ＝x +2，GC ＝x +3在Rt △AGC 中，由勾股定理得：AG 2+GC 2＝AC 2∴(x +2)2+(x +3)2＝(2x +3)2整理得：x 2+x −2＝0解得：x 1＝−2（舍），x 2＝1∴DG ＝1，AG ＝2+x ＝3∴AD =√DG 2+AG 2=√12+32=√10故答案为：√10．16.【答案】4个【考点】概率的应用【解析】先设出袋中黑球个数为x 个，通过题意可判断当取到的两球均为黑球时，得分为0分，求出取到两球均为黑球的情况，比上任取两球的情况，即为的0分的概率，据此，解出x 的值．【解答】解：设袋中黑球的个数为x 个．从袋中任取2个球，共有C 2x+5=(x +5)(x +4)2种不同的取法取道两只黑球的情况有C 2x=x(x −1)2种不同的取法而当取到的两球均为黑球时，得分为0分，∴得0分的概率为x(x −1)2(x +5)(x +4)2=x(x −1)(x +5)(x +4)=16∴x =4故答案为4个四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：(1)先把2位老师“捆绑”看做1个元素，与其余3个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A 22A 66=1440种排法.(2)先让5名学生站好，有A 55种排法，这时有6个“空隙”可供2位老师选取，共有A55A 26=3600种排法．【考点】排列、组合的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)先把2位老师“捆绑”看做1个元素，与其余3个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A 22A 66=1440种排法.(2)先让5名学生站好，有A 55种排法，这时有6个“空隙”可供2位老师选取，共有A 55A 26=3600种排法．18.【答案】解：(1)由第3项和第8项的二项式系数相等可得C 2n =C 7n，解得n =2+7=9 . (2)由(1)知，展开式的第r +1项为： T r+1=C r9⋅(ax)9−r ⋅(1√x )r =a 9−r C r9x 9−32r .令9−32r =0，得r =6，此时展开式的常数项为a9−3⋅C 69=84a 3=84，解得a =1 .【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】（1）由第3项和第8项的二项式系数相等可得C 2n =C 7n，解得n =2+7=9 . （2）由（1）知，展开式的第r +1项为： T r+1=C r9⋅(ax)9−r ⋅(1√x )r =a 9−r C r9x 9−32r ；令9−32r =0，得r =6，此时展开式的常数项为a9−3⋅C 69=84a 3=84，解得a =1 .【解答】解：(1)由第3项和第8项的二项式系数相等可得C 2n =C 7n，解得n =2+7=9 . (2)由(1)知，展开式的第r +1项为： T r+1=C r9⋅(ax)9−r ⋅(1√x )r =a 9−r C r9x 9−32r .令9−32r =0，得r =6，此时展开式的常数项为a9−3⋅C 69=84a 3=84，解得a =1 . 19.【答案】（1）证：由已知DF//AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ．又PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，在△PDC 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF//PD ，所以AB ⊥EF ．由此得AB ⊥平面BEF ． （2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，则→BD =(−1,2,0)，→BE =(0,1k2)设平面CDB 的法向量为¯m 1=(0,0,1)，平面EDB 的法向量为¯m 2=(x,y,z)，则{¯m 2⋅¯BD =0¯m 2⋅¯BE =0∴{−x +2y =0y +kz2=0 ，取y ＝1，可得m 2=(2,1,−2k )设二面角E −BD −C 的大小为θ，则cosθ＝|cos <m 1，m 2>|=2k √22+1+4k 2<√22化简得k 2>45，则k >2√55．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)欲证AB ⊥平面BEF ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB 与平面BEF 内两相交直线垂直，而AB ⊥BF ．根据面面垂直的性质可知AB ⊥EF ，满足定理所需条件；(Ⅱ)以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，求出平面CDB 的法向量和平面EDB 的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．【解答】（1）证：由已知DF//AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ．又PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，在△PDC 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF//PD ，所以AB ⊥EF ．由此得AB ⊥平面BEF ．（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，则→BD =(−1,2,0)，→BE =(0,1k2)设平面CDB 的法向量为¯m 1=(0,0,1)，平面EDB 的法向量为¯m 2=(x,y,z)，则{¯m 2⋅¯BD =0¯m 2⋅¯BE =0∴{−x +2y =0y +kz2=0 ，取y ＝1，可得m 2=(2,1,−2k )设二面角E −BD −C 的大小为θ，则cosθ＝|cos <m 1，m 2>|=2k √22+1+4k 2<√22化简得k 2>45，则k >2√55．20.【答案】解：(1)设“该运动员两次都命中7环”为事件A ，则P(A)=0.2×0.2=0.04．(2)ξ可取7、8、9、10，则P(ξ=7)=0.04，P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21，P(ξ=9)=0.5×0.3×2+0.32=0.39，P(ξ=10)=0.2×0.8×2+0.22=0.36，故ξ的分布列为ξ78910P 0.040.210.390.36∴E(ξ)=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】(1)根据相互独立事件概率公式计算；(2)根据相互独立事件概率公式求出ξ的分布列，再计算E(ξ)．【解答】解：(1)设“该运动员两次都命中7环”为事件A ，则P(A)=0.2×0.2=0.04．(2)ξ可取7、8、9、10，则P(ξ=7)=0.04，P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21，P(ξ=9)=0.5×0.3×2+0.32=0.39，P(ξ=10)=0.2×0.8×2+0.22=0.36，故ξ的分布列为ξ78910P0.040.210.390.36∴E(ξ)=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．21.【答案】(1)证明：连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP//DB1，且AP=DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形，∴AD//PB1.∵P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴AC1//PQ，∴平面AC1D//平面PQB1，又C1D⊂平面AC1D，∴C1D//平面PQB1.(2)解：在平面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，在平面AA1B1B内作MN⊥PB1于点N，连接QN，C1P，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴QM⊥平面AA1B1B，∴∠QNM是二面角Q−PB1−A1的平面角.∵AC=AA1=AC1=4，易证△AC1C为正三角形，又P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴△A1PQ也为正三角形.易求QM=12C1P=12×2√3=√3，MN=1×sin60∘=√32.设二面角Q−PB1−A1的大小为θ，则tanθ=QMMN=2，√55.∴cosθ=【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行的判定【解析】（1）连接AD，推导出四边形ADB1P是平行四边形，从而AD//PB1，再求出AC1//PQ，从而平面AC1D//平面PQB1，由此能证明C1D//平面PQB1．（2）以P为原点，在平面ABB1A1内过P作AA1的垂线为x轴，以PA1为y轴，PC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q−PB1−A1的余弦值．【解答】(1)证明：连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP//DB1，且AP=DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形，∴AD//PB1.∵P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴AC1//PQ，∴平面AC1D//平面PQB1，又C1D⊂平面AC1D，∴C1D//平面PQB1.(2)解：在平面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，在平面AA1B1B内作MN⊥PB1于点N，连接QN，C1P，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴QM⊥平面AA1B1B，∴∠QNM是二面角Q−PB1−A1的平面角.∵AC=AA1=AC1=4，易证△AC1C为正三角形，又P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴△A1PQ也为正三角形.易求QM=12C1P=12×2√3=√3，MN=1×sin60∘=√32.设二面角Q−PB1−A1的大小为θ，则tanθ=QMMN=2，∴cosθ=√55.22.【答案】解：(1)由题意，得¯x=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300（千米）.(2)因为X服从正态分布N(300,502)，所以P(250<X≤400)≈0.9545−0.9545−0.68272=0.8186.所以任取一辆汽车，它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为0.8186.(3)遥控车开始在第0格为必然事件， P0=1.第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第1格，其概率为12，即P1=12.遥控车移到第n(2≤n≤49)格的情况是下列两种，而且也只有两种：①遥控车先到第n−2格，又掷出反面，其概率为12P n−2；②遥控车先到第n−1格，又掷出正面，其概率为12P n−1，所以P n=12P n−2+12P n−1，所以P n−P n−1=−12(P n−1−P n−2)，所以当1≤n≤49时，数列{P n−P n−1}是首项为P1−P0=−12，公比为−12的等比数列，所以P1−1=−12，P2−P1=(−12)2，P3−P2=(−12)3，⋯，P n−P n−1=(−12)n，所以P n=1+(−12)+(−12)2+⋯+(−12)n=23[1−(−12)n+1](n=0，1，2，⋯，49)，所以遥控车停在“胜利大本营”的概率 P49=23[1−(−12)50]，遥控车停在“失败大本营”的概率P50=12P48=12×23[1−(−12)49]=13[1+(12)49]，所以P49−P50=23[1−(−12)50]−13[1+(12)49]=13[1−(−12)48]>0，所以遥控车停在“胜利大本营”的概率大，所以此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【考点】众数、中位数、平均数、百分位数正态分布的密度曲线n次独立重复试验的结果【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意，得¯x=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300（千米）.(2)因为X服从正态分布N(300,502)，所以P(250<X≤400)≈0.9545−0.9545−0.68272=0.8186.所以任取一辆汽车，它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为0.8186.(3)遥控车开始在第0格为必然事件， P0=1.第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第1格，其概率为12，即P1=12.遥控车移到第n(2≤n≤49)格的情况是下列两种，而且也只有两种：①遥控车先到第n−2格，又掷出反面，其概率为12P n−2；②遥控车先到第n−1格，又掷出正面，其概率为12P n−1，所以P n=12P n−2+12P n−1，所以P n−P n−1=−12(P n−1−P n−2)，所以当1≤n≤49时，数列{P n−P n−1}是首项为P1−P0=−12，公比为−12的等比数列，所以P1−1=−12，P2−P1=(−12)2，P3−P2=(−12)3，⋯，P n−P n−1=(−12)n，所以P n=1+(−12)+(−12)2+⋯+(−12)n=23[1−(−12)n+1](n=0，1，2，⋯，49)，所以遥控车停在“胜利大本营”的概率 P49=23[1−(−12)50]，遥控车停在“失败大本营”的概率P50=12P48=12×23[1−(−12)49]=13[1+(12)49]，所以P49−P50=23[1−(−12)50]−13[1+(12)49] =13[1−(−12)48]>0，所以遥控车停在“胜利大本营”的概率大，所以此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车.。
高二第二学期期中考试数学试卷及答案(word版)
高二第二学期期中考试数学试卷一、选择题1.适合3(8)x i x y i -=-的实数x ,y 的值为( ) A. 0x =且3y = B. 0x =且3y =- C. 5x =且2y = D. 3x =且0y =2.用分析法证明:欲使①A B >,只需②C D <,这里①是②的( ) A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.若()()22132x x x i -+++是纯虚数,则实数x 的值是( )A.1B.±1C.-1D.-24.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程20x ax b ++=没有实根 B.方程20x ax b ++=至多有一个实根 C.方程20x ax b ++=至多有两个实根 D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根5.用三段论推理:“任何实数的平方大于0,因为a 是实数,所以20a >”,你认为这个推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的6.用数学归纳法证明“111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L ”时,由n k =的假设证明1n k =+时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( )A.1111221k k k +++++L B. 1111122122k k k k +++++++L C. 1112221k k k +++++L D. 11122122k k k ++++++L7.设62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的3x 系数为A ,二项式系数为B ,则A B =( ) A. 4 B. 4- C. 62 D. 62- 8.曲线1ex y x -=在点()1,1处切线的斜率等于( )A. 2eB. eC. 2D. 19.如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )A.6,8B.6,6C.5,2D.6,2 10.如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示,给出下列判断:①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增; ②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减; ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增; ④当2x =时,函数()y f x =有极小值; ⑤当12x =-时,函数()y f x =有极大值. 则上述判断中正确的是( )A.①②B.②③C.③④⑤D.③11.设11z i i=++,则z = ( )A.12D. 212.设函数2()ln f x x x=+,则( ) A. 12x =为f ()x 的极大值点 B. 12x =为f ()x 的极小值点C. 2x =为f ()x 的极大值点D. 2x =为f ()x 的极小值点 二、填空题13.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖”,乙说“甲、丙都未获奖”,丙说”我获奖了”,丁说“是乙获奖”。
高二数学第二学期期中试卷
2019高二数学第二学期期中试卷2019高二数学第二学期期中试卷注意事项：本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页，满分为150分。
考试用120分。
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式：第一部分基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，在每小题5分，共50分)1.下列语言中，哪一个是输入语句( )A.PRINTB.INPUTC.IFD.THEN2.给出右面的程序框图，输出的数是( )A.2450B.2550C.5050D.49003.下列抽样中不是系统抽样的是()A.从标有1～15号的产品中，任选3个作样本，按从小到大排序，随机选起点，以后选(超过15则从1再数起)号入样.B.工厂生产的产品，用传送带送入包装车间前，检验人员从传送带每隔5分钟抽一件产品进行检验.C.某商场搞某一项市场调查，规定在商场门口随机抽一个顾客进行询问，直到调查到事先规定调查的人数为止.D.为调查某城市汽车的尾气排放的执行情况，在该城市的主要交通干道上采取对车牌号末位数字为6的汽车进行检查.4.右面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )A.甲运动员的成绩好于乙运动员.B.乙运动员的成绩好于甲运动员.C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异.D.甲运动员的最低得分为0分.5.对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是( )A.越大，相关程度越大.B.，越大，相关程度越小，越小，相关程度越大.C.且越接近于，相关程度越大；越接近于，相关程度越小.D.以上说法都不对.6.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制123456789ABCDEF十进制123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则5F对应的十进制的数是( )A.20B.75C.95D.1007.从分别写上数字1，2，3，，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为( )A. B. C. D.8.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，估计这200辆汽车在这段公路时速的平均数和中位数是( )A.64.5，60B.65，65C.62，62.5D.63.5，70其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。
高二数学第二学期期中考试试卷含答案
高二年级第二学期期中考试数学试卷时量：120分钟 满分：150分 命题人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}{}1,31,2,5A B ==,，则A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}3 C ．{}1 D ．{}2,3,4,52．用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（ ）A ．椭圆B ．矩形C ．三角形D ．圆3．下列函数是偶函数且在区间(–),0∞上为减函数的是（ ）A ． y x =B ．1y x= C ． 2y x = D ．2y x =- 4．《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中至少有2根阳线的概率（ ）A ．18B ．14C ．38D ．125．已知角α的终边经过点()4,3-，则sin α=（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．356．已知直线l 经过点()2,3-，且与直线250x y --=垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．042=++y x B ．042=-+y x C ．082=--y x D ．082=+-y x 7．已知0.62a =，20.6b =，0.6log 2c =则（ ）．A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 8．若函数{12)42(1)(>+-≤=x x a x a x f x 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0,1）B ．)1,21[ C ．]54,21( D ．)1,54[二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=)0(2)0(1)(2x xx x x f ，若10)(=a f ，则a 的值可能是（ ） A. 3- B. 3 C. 10log 2 D. 510．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．MN ∥平面ADD 1A 1B ．MN ⊥ABC ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45°D ．异面直线MN 与DD 1所成角为60°11．已知角α的终边经过点(sin120,tan120)P ︒︒，则（ ）A ．5cos 5α= B ．25sin 5α= C ．2tan -=αD ．5sin cos αα+=12.已知圆9)2()1(:22=-+-y x C ，过点)3,1(-M 的直线被圆C 截得的弦长可能是（ ）A. 22B. 23C. 24D.25三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算12216log 4+的结果是__________.14.已知圆C ：x 2＋y 2＝20，则过点P (4，2)的圆的切线方程是________.15．已知tan 2θ=-，则2sin sin cos θθθ-=________．16.若方程02||=--m x 有实数解，则实数m 的取值范围是______________.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18至22题每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知{|3}A x a x a =≤≤+，2{|450}B x x x =-++<.（Ⅰ）若2a =-，求A B ；（Ⅱ）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知02<<-x π，51cos sin =+x x ． （Ⅰ）求x x cos sin ⋅的值；（Ⅱ）求x x cos sin -的值19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）若直线PB 与面PAC 的夹角为30，求三棱锥D AEC -的体积.20.(本小题满分12分)近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国．某选拔赛后，随机抽取100名选手的成绩，按成绩由低到高依次分为第1，2，3，4，5组，制成频率分布直方图如下图所示： (I)在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手；(II)在(I)的前提下，在5名选手中随机抽取2名选手，求第4组至少有一名选手被抽取的概率．21.(本小题满分12分)圆P 的圆心坐标为P ()0,2-，且过点()4,1A（Ⅰ）求圆P 的方程；（Ⅱ）设直线290x y ++=与圆P 相交于M,N 两点．求△PMN 的面积。
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高二数学期中试卷一. 选择题（45分）（1）等差数列{}a n 中，S 1590=，则a 8的值为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 12（2）设{}a n 是公差为-2的等差数列，如果a a a a 1479750++++=…，则a a a a 36999++++…等于（ ）A. 182B. -82C. -80D. 180 （3）抛物线x y =-22的准线方程是（ ）A. y =12B. y =-12 C. x =18 D. x =-18（4）一动圆与两圆x y 221+=和x y x 228120+-+=都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线（5）若()()()2312102+-+--=i m i m i ，则实数m 等于（ ） A. -12B. 2C. -122或 D. 1或2（6）若将20，50，100各加上相同的常数，组成等比数列，则其公比为（ ）A.53B.43C.32 D. 12（7）lim n n n n n n →∞+++++++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪1141713212222…（ ）A. 0B. 1C. 32D. 3（8）一个等比数列{}a n 中，S S 10204860==，，则S 30等于（ ）A. 183B. 108C. 75D. 63（9）lim n na a →∞-⎛⎝ ⎫⎭⎪=120，则a 的取值范围是（ ）A. a <1B. a a <>131或C. 131<<aD. a a <>012或（10）椭圆x y 222591+=的两焦点F F 12，，过F 2引直线L 交椭圆于A 、B 两点，则∆ABF 1的周长为（ ）A. 5B. 15C. 10D. 20（11）若抛物线y px p 220=>，()与()y q x h q 220=->，()有公共焦点则（ ）A. h p q=-2 B. h p q=+2 C. h q p=-2D. h p q=--2（12）到A （-1，0）和直线x=3的距离相等的点的轨迹方程为（ ）A. y x 288=-+B. y x 288=+C. x y 288=-+D. x y 288=+（13）若z 为复数且z i --=11，则z 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 21-D. 21+ （14）若椭圆的短轴、焦距、长轴的长度依次成等差数列，则这个椭圆的离心率为（ ）A.34B.45 C. 35 D. 54 （15）已知双曲线x y 229161-=的右焦点为F ，点A （9，2），在双曲线上有一点M ，使MA MF +53的值最小，则最小值是（ ）A. 385B. 365C 345 D. 325二. 填空题（15分）（16）已知a 、b 、c 成等比数列，公比为3，且a 、b+8、c 成等差数列，则b=_____。
（17）计算机的成本不断降低，若每隔5年价格降低13，现在价格8100元，计算机15年后的价格为__________。
（18）在等比数列{}a n 中，a a a a a 1212358+=⋅⋅=，，则()lim n n a a a →∞+++=12…_______。
（19）双曲线x k y k22221691441-+-=的焦距是___________。
（20）顶点在原点，焦点在x 轴的负半轴上的抛物线被直线210x y -+=截得的弦长为15，则抛物线方程是__________________。
三. 解答题（40分）（21）过抛物线y x 24=的焦点作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，求线段PQ 中点的轨迹方程。
（22）已知z i =+1，且z az bz z i 2211++-+=-，求实数a 、b 的值。
（23）已知椭圆的率心率e =32且左焦点与左准线分别为抛物线y x 24=的焦点和准线，求此椭圆方程。
（24）数列{}a n 中，已知S a S n n n=--12， ①求出S S S S 1234，，，。
②猜想数列{}a n 的前n 项和S n 的公式，并加以证明。
③求lim n n S →∞的值。
（25）已知双曲线()x a y ba b 2222100-=>>，，过右焦点F 作第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，且l在双曲线左右两支的交点为A、B。
①求证：点P在双曲线的右准线上。
②求双曲线离心率的取值范围。
【试题答案】一. 选择题。
（1）C （2）B （3）C （4）C （5）B（6）A （7）C （8）D （9）C （10）D（11）A （12）A （13）D （14）B （15）B 二. 填空题。
（16）12 （17）2400元 （18）9 （19）10（20）y x 24=-三. 解答题。
（21）略解：设线段PQ 中点M （x ，y ）为所求轨迹上任意一点 ()y x F 2410=∑，，()∴=-l y k x PQ ：1（k 存在）交抛物线于P （x ，y ），Q （x 2，y 2）两点则y x 22241=<>y x 12142=<>x x xy y y121222+=+=()()()∴<>-<>+-=-124212121：y y y y x x()k y y x x y y y y x ky k x =--=+==-==-21212144211()∴=-y x 221为所求而k 不存在时，PQ 的中点为（1，0），亦在()y x 221=-上yP （x 1，y 1） y 2=2(x-1)O xF （1，0）M （x ，y ）Q （x 2，y 2）（22）解：() z i z i i =+∴=+=11222，()()()() z az b z z i i a i b i i i a b a i ii 221121211121++-+=-∴+++-++=-⇒+++=-即()()a b a i i +++=+21∴+=+=⎧⎨⎩∴=-=⎧⎨⎩a b a a b 12112， ∴=-=a b 12，为所求 （23）解： 抛物线y x =4()∴=-F l x 101，，准线：设M （x ，y ）为所求轨迹上任意一点，且e =32则()x y x -++=113222()()()314141441074482222222x x y x x y x y +=-+-++=-+=即()x y -+=74812122为所求yy’-1 O 1 O’(h ，0) xM （x ，y ）（24）解：① S a S n n n=--12 ∴=--∴=-==--∴=---∴=-+=-+=--+=-=-+=--+=---a a a a S S a S S S S S S S S S S S n n n n n n nn n 1111111213212121212121211222312123234S S S S S S 431234121424512233445=-+=-+=-∴=-=-=-=-，，， ②猜想：S nn n =-+1对S nn n =-+1证明如下：<1>当n =1时，已证：S a 1111112==-+=- <2>设()n k k N =∈，原命题成立即S kk k =-+1当n k =+1时，()S S k k k k k k k k +=-+=--++=-++=-+++112112121111 ∴=+n k 1时，原命题成立由<1>、<2>可知对任意n N ∈，原命题都成立③lim lim limn n n n S k k k→∞→∞→∞=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+=-11111 ∴=-→∞lim n n S 1（25）略解：①()x a y ba b 2222100-=>>，的右焦点F （c ，0）即()Fa b 220+，该双曲线在第一、三象限的渐近线方程为y bax =()()∴=-=--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+====⋅=k a bl y a b x c y b a x a b x a c x a c ca c yb a ac ab cl ：2222222 ∴⎛⎝ ⎫⎭⎪P a c ab c2，在直线x a c =2上，而双曲线右准线为y a c =2 即P 点在双曲线的右准线上yO x② 过双曲线右焦点F 作双曲线左右两支的交点为A 、B()∴>==+>=∴>∴∈+∞b a e c a a b a a ae e ，，为所求222222222222)0 c。