2015年第20届“华杯赛”少年数学邀请赛初赛试卷c(小高组)

2．（10 分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直 线，这两条直线成 45 度角，最高的小树高 2.8 米，最低的小树高峰 1.4 米，那么从左向右数 第 4 棵树的高度是（ ）米．
A．2.6 B．2.4 C．2.2 D．2.0
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【分析】 因为∠A=45°，最高的小树高 2.8 米，所以 AC=2.8 米，又因为树根成一条直线，树顶也成 一条直线，所以所有的树都互相平行，所以 AB=1.4 米，BC=AC﹣AB=1.4 米，因为这排树 的间距相同，则每个间距是 1.4÷7=0.2 米，假设从左向右数第 4 棵树的高度：0.2×4+1.4，据 此解答即可． 【解答】解：因为： 树根成一条直线，树顶也成一条直线 ∠A=45°，最高的小树高 2.8 米，最低的小树高峰 1.4 米 所以 AC=2.8 米，AB=1.4 米，BC=AC﹣AB=1.4 米 又因为：这排树的间距相同 所以： 1.4÷7=0.2（米） 0.2×4+1.4 =0.8+1.4 =2.2（米） 答：那么从左向右数第 4 棵树的高度是 2.2 米． 故选：C． 【点评】解答本题的关键是：正确应用等腰直角三角形的性质，两直角边相等解决问题．
A．2.6 B．2.4 C．2.2 D．2.0 3．（10 分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱 捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、 丙、丁 4 位同学有如下对话： 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款” 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款” 丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款” 丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（ ） A．甲，乙 B．丙，丁 C．甲，丙 D．乙，丁 4．（10 分）六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高 的 99 分，最低的 76 分，那么按分数从高到低居第 3 位的同学的分数至少是（ ） A．94 B．95 C．96 D．97 5．（10 分）如图，BH 是直角梯形 ABCD 的高，E 为梯形对角线 AC 上一点，如果△DEH、 △BEH、△BCH 的面积依次为 56、50、40，那么△CEH 的面积是（ ）
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2015 年第 20 届“华杯赛”少年数学邀请赛初赛试卷 C（小高组）
一、选择题（每小题 10 分，共 60 分）． 1．（10 分）计算：（ ﹣ + ﹣ + ）×120﹣ ÷ （ ）
A．42 B．43 C．15 D．16 2．（10 分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直 线，这两条直线成 45 度角，最高的小树高 2.8 米，最低的小树高峰 1.4 米，那么从左向右数 第 4 棵树的高度是（ ）米．
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用所得的结果减去 除以 所得的商，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（ ﹣ + ﹣ + ）×120﹣ ÷
= ×120﹣ ×120+ ×120﹣ ×120+ ×120﹣
=54﹣44+37 ﹣32
﹣
=10+5+27 =42 故选：A． 【点评】此题主要考查了整数、分数四则混合运算，要熟练掌握，注意运算顺序，注意加法、 乘法运算定律的应用．
因为第三行存在 1．、3、4，所以 A 为 2，5，6 之一，而 3 与 A 的和是质数，所以 A 为 2．在 A 所在的长方形中，还剩下 1、4、5、6 没有使用．而 3 与“相”的和是质数，所以“相”是 4．“相” 与”“约”的和为质数，“约”为 1，“约”与”“月”的和为质数，“月”为 6，剩下的 C 为 5．第三行 只剩下数字 5，所以 B 为 5；在 B 所在的长方形中，还剩下 2、3、6 没有使用．而 4 与“杯”
5．（10 分）如图，BH 是直角梯形 ABCD 的高，E 为梯形对角线 AC 上一点，如果△DEH、 △BEH、△BCH 的面积依次为 56、50、40，那么△CEH 的面积是（ ）
A．32 B．34 C．35 D．36 【分析】如下图所示：分别过点 E 作 EF⊥DC，EG⊥BH，连接 AF，BF，BD，由等底等高 的三角形面积相等，可得 S△BDF=S△ADF，S△ADC=S△BDC，因此有：S△CDE=S△ADC﹣ S△ADE=S△BDC﹣S△BDF=S△BFC，而 S△BFC=S△BFH+S△BCH=S△BEH+S△BCH=90；因此 S△CHE=S△EDC﹣S△HDE=90﹣56=34，据此即可解决．
【解答】解：如上图所示，分别过点 E 作 EF⊥DC，EG⊥BH，连接 AF，BF，BD， 则 S△BDF=S△ADF，S△ADC=S△BDC， 所以 S△CDE=S△ADC﹣S△ADE=S△BDC﹣S△BDF=S△BFC， 又因为 S△BFC=S△BFH+S△BCH=S△BEH+S△BCH=90，
3．（10 分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱 捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、 丙、丁 4 位同学有如下对话： 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款” 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款” 丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款” 丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款” 已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（ ） A．甲，乙 B．丙，丁 C．甲，丙 D．乙，丁 【分析】因为有 2 位同学捐了款，所以根据： 丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱； 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款； 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款； 这恰好印证了丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款”是正确的． 据此解答即可． 【解答】解：根据分析可得： 丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱； 甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款； 乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款； 这恰好印证了丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款”是正确的，只有乙和丁捐了款．
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故选：D． 【点评】解答本题的关键是：根据题意及其每个人说的话进而推出．
4．（10 分）六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高 的 99 分，最低的 76 分，那么按分数从高到低居第 3 位的同学的分数至少是（ ） A．94 B．95 C．96 D．97 【分析】要求第三名同学至少要考多少分，知道六名同学的总平均分，能求出总成绩，用总 成绩﹣最高分﹣最低分=另四名同学的总成绩，要想第 3 个同学成绩最小，则第 2 个同学成 绩取最大值为：98，进而求出另三位同学的总成绩，进而根据“总成绩÷总人数=平均分”能求 出另三名同学的平均分，继而分析、推导得出所求问题的答案． 【解答】解：92.5×6﹣99﹣76=380（分）， 由于最高分是 99 分，所以第二个的最好成绩最多是：98 剩余三人成绩和为：380﹣98=282（分）， 第 3 个同学成绩最小，第 4、5 个同学的成绩尽可能接近第三个同学的成绩，则这 3 个数相 差为 1， 282÷3=94（分）， 则第三位同学至少是：94+1=95（分）． 答：第三名至少得 95 分． 故选：B． 【点评】此题做题的关键是先求出总成绩，用总成绩﹣最高分﹣最低分=另四名同学的总成 绩，进而分析得出第二个的最好成绩，进而求出另三位同学的总成绩，进而根据“总成绩÷ 总人数=平均分”能求出另三名同学的平均分，继而分析、推导得出结论．
二、填空题：（每小题 10 分，满分 40 分） 7．（10 分）在每个格子中填入 1﹣6 中的一个，使得每行、每列及每个 2×3 长方形内（粗线 框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和 是质数，那么四位数“相约华杯”是 4123 ．
【分析】通过分析： 如图：
最大值是
．
9．（10 分）在边长为 300 厘米的正方形 中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两
块阴影部分的面积差是
平方厘米，两块阴影部分的周长差是
厘
米．（π取 3.14）
10．（10 分）A 地，B 地，C 地，D 地依次分布在同一条公路上．甲，乙，丙三人分别从 A
地，B 地，C 地同时出发，匀速向 D 地行进．当甲在 C 地追上乙时，甲的速度减少 40%，
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7．（10 分）在每个格子中填入 1﹣6 中的一个，使得每行、每列及每个 2×3 长方形内（粗线
框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和
是质数，那么四位数“相约华杯”是
．
8．（10 分）整数 n 一共有 10 个因数，这些因数从小到大排列，第 8 个是 ．那么整数 n 的
A．32 B．34 C．35 D．36 6．（10 分）一个由边长为 1 的小正方形组成的 n×n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方 形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是 （） A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：（每小题 10 分，满分 40 分）
当甲追上丙时，甲的速度再次减少 40%，甲追上丙后 9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速
度减少 25%；乙追上丙后再行 50 米，三人同时到 D 地．已知乙出发时的速度是每分钟 60
米，那么甲出发时的速度是每分钟
米，A、D 两地间的路程是
米．
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的和是质数，所以“杯”为 3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为 2，剩下的 D 就是 6，；所 以四位数“相约华杯”是 4123，据此解答即可． 【解答】解：如图：
因为第三行存在 1．、3、4，所以 A 为 2，5，6 之一，而 3 与 A 的和是质数，所以 A 为 2．在 A 所在的长方形中，还剩下 1、4、5、6 没有使用． 而 3 与“相”的和是质数，所以“相”是 4． “相”与”“约”的和为质数，“约”为 1， “约”与”“月”的和为质数，“月”为 6， 剩下的 C 为 5．第三行只剩下数字 5，所以 B 为 5； 在 B 所在的长方形中，还剩下 2、3、6 没有使用． 而 4 与“杯”的和是质数，所以“杯”为 3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为 2，剩下的 D 就是 6； 所以四位数“相约华杯”是 4123． 故答案为：4123． 【点评】解答本题的关键是充分利用相邻两格所填数的和是质数，一步步推理得出答案．
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所以 S△CHE=S△EDC﹣S△HDE=90﹣56=34． 故选：B． 【点评】本题解决的关键是能够正确的作出辅助线，并利用等底等高的三角形面积相等以及 三角形面积的和差关系进行面积转化，从而解决问题．
6．（10 分）一个由边长为 1 的小正方形组成的 n×n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方 形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是 （） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】因只用黑色或白色来进行涂色，考虑当最差情况，就是当涂色的格子横涂或竖涂为 黑、白、黑、白时，这时任意矩形 4 个角上的小正方形不同色，这时不论横行和竖行怎样涂 色，都会出现四个角上同色．据此解答． 【解答】解：因只用黑色或白色来进行涂色，当涂色的格子为黑、白、黑、白时，这时任意 矩形 4 个角上的小正方形不同色，这时不论怎样涂色，都会出现四个角上同色． 故选：B． 【点评】本题主要考查了学生根据排列的知识和抽届原理来解决问题的能力．
2015 年第 20 届“华杯赛”少年数学邀请赛初赛试卷 C（小 高组）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 10 分，共 60 分）． 1．（10 分）计算：（ ﹣ + ﹣ + ）×120﹣ ÷ （ ）
A．42 B．43 C．15 D．16
【分析】首先根据乘法分配律，求出算式（ ﹣ + ﹣ + ）×120 的值是多少；然后