高等数学第一章 (2)

1.x趋于无穷大时函数的极限
x趋于无穷大表示自变量的绝对值无限增大,记为x→∞。显然,同 时包含两种情况：当x>0时,记为x→+∞（读作x趋于正无穷大）；当 x＜0时,记为x→-∞（读作x趋于负无穷大）。
第一节 函数
第一节 函数
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2.复合函数
在有些实际问题中,有时两个变量之间的依赖关系不 是直接的,而是通过第三个变量联系起来的。
例如，质量为m的物体做自由落体运动时,动能E是时 间t的函数(不考虑空气阻力)。
第一节 函数
第一节 函数
三 初等函数
1.基本初等函数
在中学数学中,我们已经熟悉以下几类函数：幂函数、指数函数、对 数函数、三角函数和反三角函数,将这五类函数统称为基本初等函数。
高等数学
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性
第五节 闭区间上连续函数的性质
第一节 函数
一 函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使 得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义 在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函 数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0， 称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。
第一节 函数
2 设函数f（x）的定义域为D,区间I D,若对于任意的两个自变量x 1,x 2∈I,当x 1<x 2时,总有。如图1－3 和图1－4所示。
第一节 函数
图1－3
图1－4
第一节 函数
3 设函数f（x）的定义域D关于原点对称,若对于任意x∈D,都有 （1）f（x）=f（-x）成立,则称函数f（x 4 设函数f（x）的定义域为D,若存在一个正数T,使得对于任意 x∈D有(x±T)∈D,
图1－14
第一节 函数
④反余切函数y=arccotx，x∈（-∞，∞），y∈（0，π）， 其图像如图1－15所示。
图1－15
2.初等函数
第一节 函数
第二节 极
一 数列极限的定义
极限概念是求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我 国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面 积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。
图1－1
第一节 函数
（2）列表法。三角 函数表等是最常见的列表 表示的函数。
（3）解析法（公式 法）。其图像如图1－2所 示。
图1－2
第一节 函数
3.函数的特性
1 设函数f（x）的定义域为D,若存在正数M,使得对每一个 x∈D,
f（x）≤M 成立,则称f（x）为上的有界函数,否则,称f（x）为D上的无 界函数。 有界函数的几何意义：若函数f（x）为D上的有界函数,则函 数f（x）的图像完全落在直线y=M与y=-M之间。
（1）幂函数y=x μ，μ是常数，μ∈R,其图像如图1-5所示。 （2）指数函数y=a x,a是常数且a>0，a≠1，x∈（-∞，+∞）， 其图像如图1-6所示。
第一节 函数
图1-5
图1-6
第一节 函数
（3）对数函数 y=logax，a是常数且a>0， a≠1，x∈（0，+∞），其 图像如图1-7所示。
第二节 极
二 收敛数列的性质
定理1-1（极限的唯一性） 如果数列xn收敛，那么它的 极限唯一。
定理1-2（收敛数列的有界性） 如果数列xn收敛，那么 数列xn一定有界。
定理1-3（收敛数列与其子数列的关系） 如果数列xn收 敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。
第二节 极
三 函数的极限
图1-9
第一节 函数
③正切函数 y=tanx，k∈Z，x≠kπ+y∈（-∞，+∞），其图 像如图1-10所示。
图1-10
第一节 函数
④余切函数y=cotx，k∈Z，x≠kπ，y∈（-∞，+∞）,其 图像如图1－11所示。
图1－11
第一节 函数
第一节 函数
图1－12
图1－13
第一节 函数
③反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，∞），y∈其图像如图 1－14所示。
f（x±T）=f（x 恒成立,则称f（x）为周期函数,T称为f（x）的周期。
第一节 函数
二 反函数与复合函数
1.反函数
函数f（x）反映了两个变量之间的对应关系,当自变 量在定义域D内取定一个值后,因变量y的值也随之唯一 确定。例如，在自由落体运动中,如果已知物体下落时间 t，要求出下落距离s,则有公式s=12gt 2(t≥0,g为重力 加速度),这里的t是自变量而距离s是因变量。但我们也常 常需要考虑反过来的问题。
第一节 函数
定义1－1中函数f(x)的值域可以由定义域D和对应 关系f所确定，因此，定义域D和对应关系f是确定函数的 两个主要因素。由此，我们说某两个函数相同，是指它 们有相同的定义域和相同的对应关系。
第一节 函数
第一节 函数
2.函数的表示法
常用的函数的表示方法主要 有三种：（1）图像法。如图1－ 1所示的曲线就表示了一个函数 y=f（x）。这时直线x=a与曲线 y=f（x）交点P的纵坐标b就是 函数值f（a）,b=f（a）。
设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1;再作内 接正十二边形，其面积记为A2;再作内接正二十四边形，其面积记 为A3;循此下去，每次边数加倍，一般把内接正6×2n-1 积记为An(n∈N+).这样，就得到一系列内接正多边形的面积。
第二节 极
例如,数列(3)与(4)均为发散数列。因为数列{(-1) n}的每一项 值随着n的改变在－1和1这两个数值上摆动,从而不能无限接近 于某一个确定的数值；数列{n2}由于它的通项n2随着n无限增大, 也在无限制的增大,从而不能无限接近于某一个确定的数值,所以 这两个数列都不收敛。一般地,有如下数列极限的定义。
图1-7
第一节 函数
(4)三角函数。三角函数包 括正弦函数、余弦函数、正切 函数、余切函数、正割函数和 余割函数6种。
①正弦函数y= sin x， x∈（-∞，+∞），y∈［-1， 1］，其图像如图1-8所示。
图1-8
第一节 函数
②余弦函数y=cosx，x∈（-∞，+∞），y∈［-1，1］， 其图像如图1-9所示。