高等数学第一章 (2)
高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。
高等数学第一章课后习题答案
高等数学（本）第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级 姓名 学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
高等数学第六版课后习题及答案 第一章第二节
高等数学第六版课后习题及答案 第一章第二节 习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)n n x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ; 解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n.解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限. 2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N . 解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ; 分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→. 数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x . 证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M . 又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有 εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|, 所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε . 取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).。
高等数学 第一章 第二节 数列的极限
第一章 第一节 数列极限A 组 一、选择题：1. 数列{}n x 有界是数列lim n n x →∞存在的【 】A. 充分必要条件B. 充分条件C. 必要条件D. 既非充分条件又非必要条件 2. 下列命题正确的是【 】 A. 有界数列一定收敛 B. 无界数列一定收敛C. 若数列收敛，则极限唯一D. 若函数(sin )y f x =在()f x 处的左右极限都存在，则()f x 在此点处的极限存在3. 下面命题正确的是【 】A. 若{}n u 有界，则{}n u 发散B. 若{}n u 有界，则{}n u 收敛C. 若{}n u 单调，则{}n u 收敛D. 若{}n u 收敛，则{}n u 有界4. 观察下列数列的变化趋势，其中极限是1的数列是【 】A.1n n x n =+ B. 2(1)nn x =-- C. 13n x n=+D. 211n x n =- 5、⎪⎩⎪⎨⎧=-为偶数当为奇数当n n n x n ,10,17则 。
（A ）;0lim =∞→n n x （B ）;10lim 7-∞→=n n x（C ）;,10,,0lim 7⎩⎨⎧=-∞→为偶数为奇数n n x n n (D) 不存在n n x ∞→lim6、下列数列n x 中，收敛的是 。
（A ）n n x nn 1)1(--=（B ）1+=n n x n （C ）2sin πn x n =（D ）nn n x )1(--= 7．下列命题：（1）设a u n n =∞→lim ，b v n n =∞→lim ，且b a >，则必有n n v u >（ ，，，321=n ）；（2）设n n v u >（ ，，，321=n ），且a u n n =∞→lim ，b v n n =∞→lim ，则必有b a >；（3）设n n n v x u ≤≤（ ，，，321=n ），且0)(lim =-∞→n n n v u ，则n n x ∞→lim 必存在． 正确的个数为( ) ． （A ） 零个； （B ） 1个； （C ） 2个； （D ）3个．8、数列{}n x 无界是数列发散的【 】A. 充分必要条件B. 充分条件C. 必要条件D. 既非充分条件又非必要条件10.设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（）(A)存在且等于零 (B)存在但不一定等于零 (C)不一定存在 (D) 一定不存在 11.设=1>0,,nn n kk a n Z S a+∈=∑，则数列{}n a 有界是数列{}n S 收敛的（）(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）即非充分地非必要条件. 12. 设有两个数列{}{}lim()0n n n n n a b b a →∞-=，，且则（A ）{}{}n n a b ，必都收敛，且极限相等 （B ）{}n a 收敛，{}n b 发散（C ）{}{}n n a b ，必都收敛，且极限不相等 （D ）{}{}n n a b ，可能收敛，也可能发散 13、下列说法正确的是：（A ）如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。
新编高等数学》(理工类)(第八版)刘严第一章 (2)[5页]
![新编高等数学》(理工类)(第八版)刘严第一章 (2)[5页]](https://img.taocdn.com/s3/m/657b4a65d0d233d4b04e69d9.png)
lim
n
un
A，或 un
A
(n ).
若数列un 没有极限，则称该数列发散。
例 1 观察下列数列的极限
1un C( C 为常数)
2
un
n
n
1
3un
1 2n
4un (1)n1
解 观察数列在 n 时的变化趋势，得
1 limC C n
2 lim n 1
n n 1
32 lim n
定理 1 (单调有界定理)单调有界数列必有极限。
二、 函数的极限
1. x 时函数 f x 的极限
例 2 考察当 x 时函数 y 1 的变化趋势。
y
x
当 x 时(包括 x , x )，函数趋近于
1
确定的常数 0
定义 2 设函数 f x 当 x 大于某一正数时有定
o 1
x
义。如果 x 无限增大时，函数 f x 无限趋近于 y 1
A
，则称
A
为，
x
x0 时函数
f
x 的极限，记作 lim x x0
f
x
A或
f
x0 时，函数 f x 无限接近于一个确定的常数 A ，
则称 A 为 x 趋近于 x0 时函数 f x 的右（左）极限，记作
lim
x x0
f
x
A
lim
x x0
f
x
课堂练习：
4x, 1 x 1
设函数 f x 3, x 1 ，求 lim f x,lim f x,lim f x.
4x2, 1 x 2
x0
x1
x
3 2
小结: 数列:研究其变化规律; 数列极限
高等数学上册 02 极限的概念
li m （ x ） = A 或 （ x ） A （ x x 0） . f f
如 果 这 样 的 常 数 A 不 存 在 ，则 说 当 x x 0时 （ x ） f 没 有 极 限 . 为 了 方 便 ， 常 表 述 为 “ l im （ x ） 不 存 在 ” . f
x x0
1 x
无 限 接 近 于 0， 故 有
y
y
1 x
x
O
的水平渐近线（如右图）.
x
直 线 y 0 是 曲 线 （ x） f
y
2
y= arctBiblioteka n xOx
2
例 4 、从 反 正 切 函 数 y= arctan x 的 图 形 可 观 察 到 lim arctan x
2
x
3
一 般 地 ， 若 要 xn 1
1 n
1 10
k
，只 要 n 1 0 .
k
由 此 可 见 ，无 论 要 求 x n 与 0 多 么 接 近 ，只 要 n 足 够 大 后 ，就 可 以 使 x n 与 0 有 那 么 接 近 ，这 就 是 "当 n 无 限 增 大 时 ， x n 接 近 于 常 数 1 "的 含 义 . n -1 ） （ n
x 1 解 ： （ x ） 在 x = 1 处 没 有 定 义 ， 但 （ x ） 当 x 1时 的 极 限 f f
x
2
的极限.
与 （ 1 ） 是 否 存 在 没 有 关 系 . 由 于 （ x） = f f 当 x 1时 ， （ x ） 无 限 接 近 于 2 . 因 此 有 f lim x
x
高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
高等数学第一章参考答案（精华）
第一章参考答案习题1.11.（1）证：对0，（要使得33110nn ，考虑到311n n，只要1n，即1n）取1=[]+1N ，则当n N 时，有310n，故31lim0nn。
（2）证：2121131393n n n n，对0，（要使得212313n n ，只要1n 即可，即1n）取1=[]+1N ，则当nN 时，有212313n n ，故212lim313nn n 。
（3）证：0，（要使得22sin 10n nn，由于211nn ，只要1n，即1n）取1=[]+1N ，则当nN 时，有2sin 0n n ，则2sin lim0nn n。
（4）证：1111n nn n n故对0，（要使1n n，只要1n ，即21n）取21=[]+1N ，则当n N 时，有10n n，则lim 10nn n （）。
2.证明:对实数a 、b ，0,ab a b证“”ab ，则0a b，故0a b，即a b再证“”假设a b ，不妨令a b ，取0=2a b ，由条件可知=2a ba b，即112，矛盾。
3. 证明:“”，{}n a 收敛于a ，0，N ，当nN 时，na a，即naa a，nN 时，(,)n a U a ，故(,)U a之外最多只含数列n a 的前N 项。
“”，若对0，(,)U a 之外只含数列n a 的有限项，不妨设为120,,...,m k k k a a a ，取|精. |品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. |料. * | * | * | * | |欢. |迎. |下. |载.12max{,,...,}m Nk k k ，则当nN 时，na (,)U a ，即na a{}n a 收敛于a 。
4.证：lim nna a ，则对0,故N ，当nN 时，n a a（由于a ba b ），故此时nna aa alim nna a 。
该命题的逆命题不成立，例如数列{(1)}n，令(1)nna ，则有lim 1nn a ，而lim n n a 不存在。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
目录 上页 下页 返回 结束
若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
目录 上页 下页 返回 结束
定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
目录 上页 下页 返回 结束
定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
高等数学(高教版)第一章多项式第二节
(ai bi ) x .
i i 0
n
3. 乘法
f (x) ·g(x) = anbmxn+m + (anbm-1 + an-1bm )xn+m-1
+ … + (a1b0 + a0b1)x + a0b0 , 其中 s 次项的系数是
在数域 P 中的一元多项式，或者简称为数域 P
上的一元多项式.
在多项式 中，aixi 称为 i
次项，ai 称为
i 次项的系数.
以后我们用 f (x) , g(x) , … 或 f , g ,
… 等来代表多项式.
注意
的形式表达式.
我们这儿定义的多项式是符号或文字
当这符号是未知数时，它是中学所
看应用需要，这个符号还可以 为了能统一研究未知数和其他
asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs
所以 f (x) g(x) 可表成
i j s
a b
i
j
.
s x . f ( x) g ( x) a b i j s 0 i j s
m n
显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘 等运算后，所得结果仍然是数域 P 上的多项式. 对于多项式的加减法，不难看出 ( f (x) g(x) ) max( ( f (x) ) , (g(x) ) ) 对于多项式的乘法，可以证明，如果 f (x) 0, g(x) 0 , 那么 f (x) g(x) 0 , 并且
学代数中的多项式. 代表其他待定事物.
Hale Waihona Puke 待定事物的多项式，我们才抽象地定义上述形式表 达式. 并且还要对它们引入运算来反映各个待定事
高等数学第1章课后习题答案(科学出版社)
第一章 函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=+(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞U U ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[U ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[4,2)(3,6]--U ; (4)函数定义域为(,1]-∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：函数f要有意义，必须01≤≤，因此f 的定义域为[0,1]；同理得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；函数()()f x c f x c ++-要有意义，必须0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，因此，（1）若12c <，定义域为：[],1c c -；（2）若12c =，定义域为：1{}2；（3）若12c >，定义域为：∅． 3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以 21(2)104a f a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22 ,>1,11(1)10 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥; (2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111na a n--≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+= 111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++L 得证。
高等数学 第一章 第二节 函数
n ( 1) n1 1. 例1 证明 lim n n n 1 1 n ( 1 ) ①u 1 给出度量 1 证 ① 考察接近程度 n n n 1 1 ② 要 u 1 , 只要 , 或n , ② 找N 任给 0, n n ③ 1 所以, 取N [ ], 则当n N时, ③套用定义格式 n 1 n 1 ④ n ( 1 ) n ( 1) 1. 就有 1 即 lim n n n ④下结论
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 1 Xn 1 n 2
数列：一列数；数列的极限：数列能任意接近的数。 极限：静止→运动；近似→精确；有限→无限。
一、整标函数与数列
定义在正整数集上的函数，称为整标函数。
记为：u f ( n) un
N 0 ，当 n N 时， xn
A ； 2
（2）数列 {xn } 有极限 A ，且 A 0 N 0 ，当 n N 时， xn 0 ；
A （2*）数列 {xn } 有极限 A ，且 A 0 N 0 ，当 n N 时， xn . 2
（3）数列 {xn } 满足 xn 0 ，且有极限 A A 0 ； （3*）数列 {xn } 满足 xn 0 ，且有极限 A A 0 ；
2n 1 例 证明 lim 2。 n n 2
2n 1 3 2 提示： xn A ； n2 n2
分析： （逆向思维）
2n 1 要证： lim 2； n n 2
分析： （逆向思维）
2n 1 2； 要证： lim n n 2
2n 1 只要证： 0, N ,当n N时， 2 ； n2
高等数学第一章 (2)
图1－1
第一节 函数
（2）列表法。三角 函数表等是最常见的列表 表示的函数。
（3）解析法（公式 法）。其图像如图1－2所 示。
图1－2
第一节 函数
3.函数的特性
1 设函数f（x）的定义域为D,若存在正数M,使得对每一个 x∈D,
f（x）≤M 成立,则称f（x）为上的有界函数,否则,称f（x）为D上的无 界函数。 有界函数的几何意义：若函数f（x）为D上的有界函数,则函 数f（x）的图像完全落在直线y=M与y=-M之间。
值无限增大,记为x→∞。显然,同 时包含两种情况：当x>0时,记为x→+∞（读作x趋于正无穷大）；当 x＜0时,记为x→-∞（读作x趋于负无穷大）。
考察函数f(x)=[SX(]1[]x[SX)]和g(x)=arctanx的图像（如图116和图1-17所示）
图1-9
第一节 函数
③正切函数 y=tanx，k∈Z，x≠kπ+y∈（-∞，+∞），其图 像如图1-10所示。
图1-10
第一节 函数
④余切函数y=cotx，k∈Z，x≠kπ，y∈（-∞，+∞）,其 图像如图1－11所示。
图1－11
第一节 函数
第一节 函数
图1－12
图1－13
第一节 函数
③反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，∞），y∈其图像如图 1－14所示。
二 介值定理
定理1-15 （介值定理）
设函数fx在闭区间a,b上连续,
且fa≠fb,若C为介于fa与fb之
间的任意实数,则至少存在一点
ξ∈a,b,
fξ=C。
图1-25
第五节 闭区间上连续函数的性质
推论1-4（零点定理） 若函数fx在闭区间a,b上连续, 且fa与fb异号,即fa·fb<0,则至 少存在一点ξ∈a,b,
高等数学第六版第一章第二节数列的极限
3) 绝对值不等式
| xn a | a xn a ,( n N )
则表明 xn 与a可以无限接近.
4) lim xn a 的几何意义: n a 2
x2
x1
a
xN 2
x
xN 1
a
x3
当n > N 所有的点
xn
都将落在 (a , a ) 内，
1. xn 1
n 1 1
n
n 1
xn 0
(1) n 2 n
2n 1 2. xn n 3. xn 2n
xn 2 xn
4. xn 1n1
xn 在－1 与 1 之间跳动
xn 的变化趋势只有两种： 观察可见： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
上式两边同时乘以q 有：
(1)
(2)
qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q) S n a1 a1q n a1 (1 q ) 当 q 1 时 Sn 1 q
n
12
引例3 观察下列数列的变化趋势: 当n 时
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列， 其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项（或通项）， 下标 n (n 1,2,) 表示数列的项数。 数列简记为
xn 或 x n (n 1,2,)
5
数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴 上依次取 x1, x2, x3, xn
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
《高等数学》第一章函数与极限第二节 数列的极限
所失矣”
——(魏晋)刘徽
5
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
n 1
R
正62
形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
刘徽从圆内接正六边形开始，逐次边数加倍到 正3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
6
第1 章 函数与极限
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
三、数列极限的定义
定义 已知数列 xn , A是一个常数. 如果当n无限增大时,
也称数列 xn收敛于A.
记作
n
xn无限接近于A, 则称当n 时, 数列 xn的极限为A,
lim xn A 或 xn A (n )
说明 这是数列极限的描述性定义。按照定义，通过观察
n n
证
任给 0,
lim xn a ,
n
N 使得当n N时, 恒有 xn a ,
从而有
n
xn a
xn a xn a
xn a a
a
故 lim xn a .
23
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
四、极限存在的两个准则 准则Ⅰ 夹逼准则
如果数列 xn, yn , zn 满足条件：
(1) xn yn zn ( n 1, 2, 3 ) (2) lim xn A, lim zn A
n n
yn A 那么数列 yn 收敛, 且 lim n
24
第1 章 函数与极限
1.2 数列的极限
1 1 1 1 1 1 xn 2 2 1 2 2 3 nn 1 2! 3! n! 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
高数1_2初等函数
⑶ 反正切函数
定义：正切函数 y = tanx 在
, 2 2
上的反函数，称为反正切
函数.记作 y = arctanx. (反正切函数的主值)
定义域：
x ,
y 值 域： , 2 2 y = arctanx是有界函数
例1
分析函数 y ln sin x 的复合结构.
解 函数 y ln sin x 是由 y ln u , u sin v , v x 复合而成.
例2
设 f ( x) x 2 , g ( x) 2x , 求 f [ g ( x)] , g[ f ( x)].
解 f ( x) x2 f [ g ( x)] [ g ( x)]2 (2 x ) 2 4 x
x 1 x
f { f [ f ( x)]}
1 1 f [ f ( x)]
1 x x 1 1 x
例4 解
设 f(x) 的定义域是（0，1），求f(lgx)的定义域. 令u = x，则0< u <1
当u = lgx时，0< lgx <1，所以1< x <10
即
函数的定义域为x ∈(1，10)
例如 函数 y sin 2 x 由 y u 2 , u sin x复合而成;
函数 y 1 x 2 是由y u , u 1 x 2复合而成的.
说明： ⑴ 并不是任何两个函数都可以构成一个复合函数； 例如 y arcsin u, u 2 x 2就不能复合成一个函数. 因为u=2+x2的值域u>2，全部落在y=arcsinu的定义域之外. ⑵ 复合函数的中间变量可以不只一个 (两个以上函数也可构成复合函 数) 例： y 2u ，u cos v，v x 复合得到 y 2cos x ； ⑶ 分解复合函数时，每一步必须都是基本初等函数或基本初等函 数的四则运算.
高等数学第1章第2节数集确界原理.
1、能源计量网络图或统计分析表2、能源计量器具一览表（台帐）[包括进出用能单位、主要次级用能单位]3、用能单位能源计量组织机构图4、主要次级用能单位核定表5、主要用能设备核定表6、输入输出用能单位一览表7、能源计量器具配备率计算表三、企业提供软件资料8、能源计量管理制度[至少包含以下制度]●能源计量器具采购、验收、使用、维护保养制度●能源计量人员岗位职责●能源计量器具溯源和周期检定制度●能源计量数据采集制度●能源计量数据统计制度三、企业提供软件资料9、能源计量器具档案[仪器说明书、连续2个周期检定证书/校准报告、使用和维修记录、报废记录]10、量值传递/溯源图11、能源计量管理人员上岗证书12、能源计量器具周期检定计划表13、能源统计报表14、能源计量数据原始采集记录四、工作程序1、确定输入输出用能单位的能源种类2、核定主要次级用能单位3、核定主要用能设备4、画出能源计量网络图5、编制和整理软件资料6、配备能源计量器具7、能源计量器具周期检定表1 主要次级用能单位能源消耗量（或功率）限定值能源电力煤炭焦炭原油成品油重油、渣油煤气、蒸汽热水水其它种类石油液化气天然气单位kW t/a t/a t/a m3/a GJ/a t/a GJ /a限定值10 100 40 80 100005 000 5 000 2 926注1: 表中a是法定计量单位中“年”的符号。
注2: 表中m3指在标准状态下，表2同。
注3: 2 926 GJ相当于100 t标准煤。
其它能源应按等价热值折算，表2类推。
表2 主要用能设备能源消耗量（或功率）限定值能源电力煤炭、焦炭原油、成品油、重油、渣油煤气、蒸汽、热水水其它种类石油液化气天然气单位kW t/h t/h t/h m3/h MW t/h GJ/h限定值100 1 0.5 1 100 7 1 29.26注1: 对于可单独进行能源计量考核的用能单元（装置、系统、工序、工段等），如果用能单元已配备了能源计量器具，用能单元中的主要用能设备可以不再单独配备能源计量器具。
高等数学第一章1-3节参考答案
第一章 函数与极限第一节 函数教材习题1-1答案（上册P17） 1. 解:（1）(]2,6x ∈.（2）911,21010x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (3). (,100)(100,)x ∈-∞-⋃+∞.(4). (0.99,1)(1,1.01)x ∈⋃.2.解:由2212x x εε-<⇒-<.又因(1,)x U δ∈,即该邻域以1为中心, δ为半径,所以2εδ=.当0.1ε=时, 0.05δ=;当0.01ε=时, 0.005δ=.3.解: (1)不同. ()f x 的定义域为0x ≠,而()g x 的定义域为0x >. (2) 不同.对应法则不同: ()f x x =,而()g x x =. (3)相同. ()()f x g x ==.(4)不同.对应法则不同: ()sin f x x ∈而()sin g x x =.4.解(1) {}110x x x -≤≤≠且 . (2) {}12x x ≠≠且 . (3) {}24x x ≤≤ . (4) {}30x x x ≤≠且. (5) {}1x x >- . (6) {}0x x ≠.5.解: (0)2f ==,(1)f ==(1)f -==1()f a ==0()f x =0()f x h +=6.解: ()sin 66ππϕ==12,()()sin4442πππϕϕ=-==, (2)0ϕ-=.7.证: 2211251()2()5()()11()()f f t ttt tt=+++=.# 8.证：(1)左边=()()()xyx yF x F y e e eF x y +=⋅==+=右边(2)左边= ()()()x x yyF x e e f x y F y e-==-=右边.#9. 证：(1)左边=()()ln ln ln()()G x G y x y xy G xy +=+===右边(2)左边= ()()ln ln ln()()x xG x G y x y G y y-==-===右边.#10.解(1)偶函数 . (2) 既非奇函数又非偶函数 . (3) 奇函数. (4) 偶函数.(5) 既非奇函数又非偶函数. (6) 既非奇函数又非偶函数. 11.证:(1)设12(),()f x f x 都是偶函数, 12(),()g x g x 都是奇函数.令12()()(),F x f x f x =+12()()(),G x g x g x =+则12()()()F x f x f x -=-+-=12()()()f x f x F x +=,所以()F x 为偶函数.12()()()G x g x g x -=-+-=12()(())g x g x -+-=12(()())g x g x -+=()G x -,所以()G x为奇函数. #12.证: ()12,,0,x x l ∀∈- 不妨设12x x <,,则()12,0,,x x l --∈且12x x ->-,因为()()0,f x l 在内单调更加,所以12()()f x f x ->-.又因为()f x 为奇函数,所以12()()f x f x ->-,即12()()f x f x <.所以()(),0f x l -在内单调更加. #13.解:(1) 周期2T π= . (2) 22T ππ== . (3)不是周期函数 . (4) 21cos 2sin 2xy x -==,22T ππ∴==.14.解(1)由11x y x-=+得11y x y-=+,则11x y x -=+的反函数为11x y x-=+.(2) 由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =,则2sin 3y x =的反函数为1arcsin 32x y =.(3) 由1ln(2)y x =++得2yex e =-,则所求的反函数为12x y e-=-.(4) 由221xxy =+得2log 1yx y=-,则所求的反函数为2log 1x y x=-.15.解(1)复合函数为2()sin y f x x ==,则1()6y f π=2sin 6π==14,2()3y f π=23sin34π== (2) 复合函数为()y f x ==,则1(1)y f ===,2(2)y f ===(3) 复合函数为2()xy f x e ==,则01(0)1y f e ===,12(1)y f e e ===.(4) 复合函数为22()()x x y f x e e ===,则21(1)y f e ==,22(1)y f e -=-=.16.解:此函数为分段函数: 10.15(50)()0.1550(50)(50)x x y x x x ⎧≤⎪=⎨⨯+->⎪⎩为正整数.图形略.17.解:总数为一年期存款为A 时：一年后连本带息共有0.042(10.042)A A A +=+;将(10.042)A +再存一年即两年后连本带息共有2(10.042)(10.042)(10.042)A A ++=+;半年期存款时：半年后连本带息共有(10.02),A +一年后连本带息共有2(10.02)(10.02)(10.02)A A ++=+，一年半后可取出3(10.02)(10.02)(10.0A A +++=+，两年后可取出4(10.02)(10.02)(10.2)A A ++++=+，所以存一年期的定期收益较多，多了24(10.042)(10.02)0.0033A A A +-+=.第二节 数列的极限教材习题1-2答案（上册P27） 1. 解(1)收敛, 1lim lim02n nn n x →∞→∞==. (2) 收敛, 1lim lim (1)0nn n n x n →∞→∞=-=. (3) 收敛, 21lim lim (2)2n n n x n→∞→∞=+=.(4) 收敛, 12lim limlim (1)111n n n n n x n n →∞→∞→∞-==-=++.(5)发散,因为当n 为偶数时, n x =n ,n →∞时, n x →+∞;当n 为奇数时, n x =-n ,n →∞ 时, n x →-∞. 2. 解:1lim limcos 02n n n n x nπ→∞→∞==. 对0,ε∀>要使11cos02n nnπε-≤<,只需使1n ε>,即取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,有0n x ε-<.所以当0.001ε=时, 110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 3.证:(1) 对0,ε∀>要使221100n a nnε-=-=<,只需使21n ε>,即n >.于是对0,ε∀>取N=,当n N >时,都有2100n a n ε-=-<.由数列极限的定义21lim0n n→∞=.#(2)331311221221n n a n n n+-=-<<++ ,要使313212n n ε+-<+,只需1nε<,即1n ε>.于是对0,ε∀>取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,都有313212n n ε+-<+, 由313lim212n n n →∞+∴=+.#(3) 2211n aa nn-==<<故对0,ε∀>1ε<,只需2anε<,即2an ε>.于是对0,ε∀>取2a n ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<,.lim1n n→∞∴=.#(4) 110.9999110n na -=⋅⋅⋅-=n 个,故对0,ε∀>要使1n a ε-<,只需110nε<,即1lgn ε>.于是对0ε∀>(1)ε<,取 1lg n ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,都有,10.99991,n a ε-=⋅⋅⋅-<lim 0.99991n →∞∴⋅⋅⋅=n 个. # 4. 证:lim n n u a →∞= ,∴对0ε∀>,,N Z +∃∈当n N >时, n n u a u a ε-≤-<,∴lim n n u a →∞=.#例如: 若()1nn u =-,则1n u =,lim 1n n u →∞=,而数列{}n u 没有极限.第三节 函数的极限教材习题1-3答案（上册P36）1. 证:(1) ()(31)833f x A x x -=--=- ,要想使33x ε-<,即33x ε-<, 0ε∴∀>,取03εδ=>,当03x δ<-<时, 总有(31)8333,x x δε--=-<=由函数极限的定义3lim (31)8x x →-=.#(2)24()(4)24(2)2x f x A x x x --=--=-+=--+ ,要想使24(4)2x x ε---<+,即(2)x ε--<,0ε∴∀>,取0δε=>,当0(2)x δ<--<时, 总有24(4)24(2)2x x x x ε---=-+=--<+,由函数极限的定义224lim42x x x →--=-+. #2. 证:(1) 333111()222x f x A xx+-=-=,要想使331122x xε+-<,即312xε<,亦即 x >0ε∴∀>,取0M =>,当x M >时,总有333311112222x xMxε+-=<=,由函数极限的定义,3311lim22x x x→∞+=. #(2) ()0f x A-=-≤,0ε-<,ε<,亦即21x ε>,0ε∴∀>,取210M ε=>,当x M >时,0ε<,∴sin limx x →+∞=.#3. 解: 222lim 4422x x x x x →=⇔-=+⋅- ,要想使24x ε-<,即2222221144lim11333x x x x x x x→∞--=⇔-=<+++ 22x x ε+⋅-<,(此时13x <<),亦即52x ε-<25x ε⇒-<,0ε∴∀>,取m in(1,)5εδ=,当02x δ<-<时, 总有24225x x x δε-=+⋅-<=.#若取0001ε=⋅,则0001m in(1,)000025δ⋅==⋅.4. 解: 2222221144lim11333x x x x x x x→∞--=⇔-=<+++ ,要想使22113x x ε--<+,即24xε<⇒x >,0ε∴∀>,取X =,当x X >时,222221444133x x x xXε--=<<=++. # 若取001ε=⋅,则20,X ==即当20x >时,就有22110.013x x --<+.5. 证: ()0,f x A x x -=-= 要想使0,x ε-<即,x ε<0ε∴∀>,取0δε=>,当00x δ<-<时,()()00,f x A f x x x δε-=-=-=<=由函数极限的定义 0lim 0x x →=.#6.解: 0lim ()limlim 11x x x x f x x+++→→→=== ,0lim ()lim lim 11x x x x f x x---→→→===,0lim ()1x f x →∴=.而0lim ()lim lim 11,x x x x x xϕ+++→→→===0lim ()lim lim lim (1)1,x x x x x x x xxϕ----→→→→-===-=-由于lim ()lim ()x x x x ϕϕ-+→→≠,所以0lim ()x x ϕ→不存在.。
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.x趋于无穷大时函数的极限
x趋于无穷大表示自变量的绝对值无限增大,记为x→∞。显然,同 时包含两种情况：当x>0时,记为x→+∞（读作x趋于正无穷大）；当 x＜0时,记为x→-∞（读作x趋于负无穷大）。
图1－14
第一节 函数
④反余切函数y=arccotx，x∈（-∞，∞），y∈（0，π）， 其图像如图1－15所示。
图1－15
2.初等函数
第一节 函数
第二节 极
一 数列极限的定义
极限概念是求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我 国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面 积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。
（1）幂函数y=x μ，μ是常数，μ∈R,其图像如图1-5所示。 （2）指数函数y=a x,a是常数且a>0，a≠1，x∈（-∞，+∞）， 其图像如图1-6所示。
第一节 函数
图1-5
图1-6
第一节 函数
（3）对数函数 y=logax，a是常数且a>0， a≠1，x∈（0，+∞），其 图像如图1-7所示。
f（x±T）=f（x 恒成立,则称f（x）为周期函数,T称为f（x）的周期。
第一节 函数
二 反函数与复合函数
1.反函数
函数f（x）反映了两个变量之间的对应关系,当自变 量在定义域D内取定一个值后,因变量y的值也随之唯一 确定。例如，在自由落体运动中,如果已知物体下落时间 t，要求出下落距离s,则有公式s=12gt 2(t≥0,g为重力 加速度),这里的t是自变量而距离s是因变量。但我们也常 常需要考虑反过来的问题。
图1-9
第一节 函数
③正切函数 y=tanx，k∈Z，x≠kπ+y∈（-∞，+∞），其图 像如图1-10所示。
图1-10
第一节 函数
④余切函数y=cotx，k∈Z，x≠kπ，y∈（-∞，+∞）,其 图像如图1－11所示。
图1－11
第一节 函数
第一节 函数
图1－12
图1－13
第一节 函数
③反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，∞），y∈其图像如图 1－14所示。
第一节 函数
第一节 函数
2.复合函数
在有些实际问题中,有时两个变量之间的依赖关系不 是直接的,而是通过第三个变量联系起来的。
例如，质量为m的物体做自由落体运动时,动能E是时 间t的函数(不考虑空气阻力)。
第一节 函数
第一节 函数
三 初等函数
1.基本初等函数
在中学数学中,我们已经熟悉以下几类函数：幂函数、指数函数、对 数函数、三角函数和反三角函数,将这五类函数统称为基本初等函数。
第一节 函数
定义1－1中函数f(x)的值域可以由定义域D和对应 关系f所确定，因此，定义域D和对应关系f是确定函数的 两个主要因素。由此，我们说某两个函数相同，是指它 们有相同的定义域和相同的对应关系。
第一节 函数
第一节 函数
2.函数的表示法
常用的函数的表示方法主要 有三种：（1）图像法。如图1－ 1所示的曲线就表示了一个函数 y=f（x）。这时直线x=a与曲线 y=f（x）交点P的纵坐标b就是 函数值f（a）,b=f（a）。
第一节 函数
2 设函数f（x）的定义域为D,区间I D,若对于任意的两个自变量x 1,x 2∈I,当x 1<x 2时,总有。如图1－3 和图1－4所示。
第一节 函数
图1－3
图1－4
第一节 函数
3 设函数f（x）的定义域D关于原点对称,若对于任意x∈D,都有 （1）f（x）=f（-x）成立,则称函数f（x 4 设函数f（x）的定义域为D,若存在一个正数T,使得对于任意 x∈D有(x±T)∈D,
图1－1
第一节 函数
（2）列表法。三角 函数表等是最常见的列表 表示的函数。
（3）解析法（公式 法）。其图像如图1－2所 示。
图1－2
第一节 函数
3.函数的特性
1 设函数f（x）的定义域为D,若存在正数M,使得对每一个 x∈D,
f（x）≤M 成立,则称f（x）为上的有界函数,否则,称f（x）为D上的无 界函数。 有界函数的几何意义：若函数f（x）为D上的有界函数,则函 数f（x）的图像完全落在直线y=M与y=-M之间。
第二节 极
二 收敛数列的性质
定理1-1（极限的唯一性） 如果数列xn收敛，那么它的 极限唯一。
定理1-2（收敛数列的有界性） 如果数列xn收敛，那么 数列xn一定有界。
定理1-3（收敛数列与其子数列的关系） 如果数列xn收 敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。
第二节 极
三 函数的极限
高等数学
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性
第五节 闭区间上连续函数的性质
第一节 函数
一 函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使 得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义 在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函 数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0， 称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。
设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1;再作内 接正十二边形，其面积记为A2;再作内接正二十四边形，其面积记 为A3;循此下去，每次边数加倍，一般把内接正6×2n-1 积记为An(n∈N+).这样，就得到一系列内接正多边形的面积。
第二节 极
例如,数列(3)与(4)均为发散数列。因为数列{(-1) n}的每一项 值随着n的改变在－1和1这两个数值上摆动,从而不能无限接近 于某一个确定的数值；数列{n2}由于它的通项n2随着n无限增大, 也在无限制的增大,从而不能无限接近于某一个确定的数值,所以 这两个数列都不收敛。一般地,有如下数列极限的定义。
图1-7
第一节 函数
(4)三角函数。三角函数包 括正弦函数、余弦函数、正切 函数、余切函数、正割函数和 余割函数6种。
①正弦函数y= sin x， x∈（-∞，+∞），y∈［-1， 1］，其图像如图1-8所示。
图1-8
第一节 函数
②余弦函数y=cosx，x∈（-∞，+∞），y∈［-1，1］， 其图像如图1-9所示。