随机信号分析(第3版)课后习题解答

《随机信号分析》课程（32学时）
—— 2007年教学内容建议
1 概率论基础 1.1
2 随机信号
2.1 两条样本函数为：0)(0=t X 、wt t X cos 21)(1=；1)0,(=x f X 、2)4,(=w x f X π；）（0-)2,(x w
x f X δπ
= 2.2 3103532)2,(=++=X E 、）（）（）（5-31
3-312-31)2,(x x x x F X εεε++= 2.3 ）（）（1-2121)21,(x x x F X εε+=、）（）（2-2
1
121)1,(x x x F X εε++=；
）（）（）（）（2-,14
1
1,1412-,411,41)1,21,,(21x x x x x x x x x x F X -++-+++=εεεε
2.4 略
2.5 ）
（）（1-1.09.0)5,(x x x F X εε+=；）（）（y x y x y x F ,11.0,9.0)0025.0,0,,(-+=εε；0因为其概率为0.9；1的概率为1（样本函数），它是可预测的，就是样本函数。

2.6 略 2.7 略 2.8 ）（）（12
1121),(-++=
x x n x f X δδ、
012
1
)1(21)(=⨯+-⨯=
n X E 、
{})()]()([)]()()][()([),(2121221121n n n X n X E n m n X n m n X E n n Cov X X -==--=δ；不可预测
2.9 （2.19）10103523)()(),(2111=⨯==
t t t t Cov σσρ、所以（X,Y ）满足⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛10103;5,2;2,2的高斯分布。

其概率密度函数为：⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⨯--⨯-=⎪⎭⎪
⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⨯----=5)2(5)2)(2(32)2(5exp 215)2(10)2)(2(1010322)2()10/91(21exp 21),(2
2
22y y x x y y x x y x f XY ππ；特征函数为：
⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
++-+=)6)(5)(2(2
1)22(exp ),(21222121v v v v v v j y x XY φ
3 平稳性与功率谱密度
3.1 k
k k u t t u u f ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=)4exp(2*21),,;,,(211π ；
因为k 阶概率密度函数与绝对时间无关，所以为严格平稳过程。

3.2 略
3.3 略
3.4 Y
X t
independen m m t Y E t X E t Y t X E t Z E ==
=))(())(())
()(())((、
)()())
()()()(()(τττττY X t
independen Z R R t Y t X t Y t X E R =
++=
3.5 50
))(2cos 5050())sin(10)sin(10())((000=Θ+-=Θ+Θ+=t E t t E t Y E ωωω、
τ
ωτωτωωωτωτωτωωτωτ0000000002022cos 12502500)2cos 2
1
)424cos(211(2500))(2cos ))((2cos ))((2cos ))((2cos 1(2500))
(sin 100))((sin 100()(+=+Θ+++=Θ+Θ+++Θ++-Θ++-=Θ+Θ++=t E t t t t E t t E R Z 由于其均值为常量，而相关函数与绝对时间无关，所以是广义平稳的随机信号。

3.6 略 3.7 略
3.8 0
)sin ()cos ()sin cos ())((=-=-=t B E t A E t B t A E t X E 、
τ
τττττττττττcos 5)sin )sin(cos )(cos(5sin )sin()(cos )cos()())cos )sin(sin )(cos(sin )sin(cos )cos(())
sin cos ))(sin()cos((()(2
2
22=+++=+++=+++-+++=-+-+=t t t t t t B E t t A E t t t t AB t t B t t A E t B t A t B t A E R AB X 独立
、
)sin ()cos ()sin cos ())((=+=+=t A E t B E t A t B E t Y E 、
τ
τττττττττττcos 5)sin )sin(cos )(cos(5sin )sin()(cos )cos()())cos )sin(sin )(cos(sin )sin(cos )cos(())
sin cos ))(sin()cos((()(2
2
22=+++=+++=+++-+++=++++=t t t t t t A E t t B E t t t t AB t t A t t B E t A t B t A t B E R AB Y 独立
、
τ
τττττττττττsin 5)cos )sin(sin )(cos(5cos )sin()(sin )cos()()cos )sin(sin )cos(sin )sin(cos )cos(())
sin cos ))(sin()cos((()(2
2
22-=+-+=+-+=+-+++-+=++-+=t t t t t t B E t t A E t t B t t A t t AB t t AB E t A t B t B t A E R AB XY 独立
3.9
πτ
ττττττ
2cos )()())()())(()((()(+=+=++++=-e
R R t Y t X t Y t X E R Y X Z 、
πτ
ττττττ
2cos )()())()())(()((()(+=+=-+-+=-e
R R t Y t X t Y t X E R Y X W 、
πτ
ττττττ
2cos )()())()())(()((()(-=-=-+++=-e
R R t Y t X t Y t X E R Y X ZW
3.10 略 3.11 略
3.12 矩阵对称 3.13 略 3.14 略 3.15 可将这个相关函数认为是两个平稳随机信号的相关函数，其中第一部分为非周期分量不分，而后一部分则认为是
周期分量（具有随机相位的正弦信号）部分，其均值为0。

所以整个信号的均值为：
00cos 4))((lim =+=-∞
→πττ
τe
t X E 、5)3cos cos 4(lim 0
2=+=-→πτπτστ
τe
、5))((2
22=+=X
m t X E σ 3.16 略
3.17 略 3.18 0))((2lim ==
-∞→ττσa X e t X E 、2
20
lim ))((X
a X e t X VAR σσττ==-→、
τ
τττρa e R R C C -===
)
0()()0()()(、
a e
a 05.0ln 05.0)(000
-=⇒==-ττρτ、a
d e
a C 1
0==⎰∞-τττ 3.19 τ
τ
τωωωωωω---=−→←+-+=++=e e R S X
FT
X 2
12
1)(112223)(222242、
0)2
1(
))((2=-=--
∞
→τ
τ
τe
e Lim t X E 、2
12)2
1(
20
2
-=
-=--
→τ
τ
τσe
e Lim X 、212))((2
-=t X E
3.20
)3()3(()1
)(2
1)(2(21*4)(3cos cos 4)(2
2πωδπωδππωπωωπτπτττ
++--+-+++=−→
←+=-S e
R FT
3.21 ωωεττ
j S t e R XY FT
XY +=
−→←=-39)()(9)(3、ω
ωωj S S XY YX -==*
39)()(。