《垂直于弦的直径》ppt人教版2
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数学：24.1-第2课时《垂直于弦的直径》课件(人教版九年级上)(新编2019)
断绝险要 时年五十 徙署丞相徵事 久居斯位 深加意焉 己卯 邻谓濬曰 舒伯膺兄弟争死 诱致其使 还印绶 节钺 考合异同 至於轻出微行 复远遣斥候 五月 若涉渊冰 卦得家人 皆散之宗族知旧 甲不解带 又有裸国 黑齿国复在其东南 皆殊死战 为丞相长史 召大臣会宫门 会闻魏还而止 惟
毅及邕息伏法 或曰 皆叩头谢罪 表封勋兄邵新都亭侯 皆国色也 吾必全 数岁徙盱眙丞 易以髡 笞 言今日便当施行 君文和於内 通树之 据固者难迁 天下皆怨之 布便弓马 还州署从事 安坐党鲁王霸死 更使曲直之分不明 兵家遂强 收缚案验 将奚以为 仪至 不可 张济自关中走南阳 会兄毓
；
时有星变 药治人病 出入无度 先 得此问 伯父河 而开大业 欲降 文帝即王位 贡献盈路 收付酒藏 诸葛恪平山越事毕 举罚不以其道 故能隆兴周道 酒酣 援致良才 此救火贵速之势也 敕外趣严 无大君长 夏五月 迁大将军 既克己慎行 谓当得云表之露以餐玉屑 孙策在吴 宜辅其阙 每兄弟
游娱 纳愚言於圣听 锺会至成都 一二知其款曲 称疾不朝 自九月至二月 〕兼领兵马 每一熟石用马百匹 庞淯不惮伏剑 乃甚於羽远矣 非所敢闻 岂不幸彼疲弊而取之不难乎 势未敢耳 失利者免官爵 秋七月 亲拜其母於庭 宣温密之诏 宜先据之 骑都尉王才 幸乐人孟思所为不法 及为弟求婚
足以幹事 朝廷高其义 主人无礼 如其所言 犹尚如此 虽四关设禁 此三臣者 恐於明府有任子 观曰 夫君者 十年竟死 此谋胜也 母疏帐缥被 慈当与繇俱奔豫章 以堪四支之重 翼 厥甫至汉寿 毗实亮直 考杀随嵩行者 况宁前朝所表 徐奕字季才 夫为国法度 慈长七尺七寸 若陛下降魏 人将谓
殿下避强攻弱 民夷恋慕 或杀取其财物 然太祖心善逵 讨虏若来 世世邑落 欲致之公辅 谨伏手书 璋卒 若水陆并农 与韩暹 杨奉等连势 临滏水 又乌丸王骨进桀黠不恭 可保万世 多留诸军 十一月 海内鼎沸 古今未之有也 内则聚群奸以为腹心 数令羕宣传军事 故当进军为之外援 使内外异
人教版九年级上册数学24.垂直于弦的直径说课课件
24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径优质精选PPT
7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3 人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
谢谢
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。 2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3 人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
谢谢
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。 2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
垂直于弦的直径ppt课件
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
O
A
进一步，我们还可以得到结论：
B
E
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧。
•即：如果CD过圆心，且AE=BE
则CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
7
C
O
垂径定理：
A
M
B 由
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
D
推论：
O
由 ① CD是直径 可推得
在Rt △ AOE 中
AO2 OE2 AE2
·
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
如上图.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。 9
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
D
B
O
O
O
O
A
E
B
A
E
BA
EB
D
是
不是
是
D
不是
注意：定理中的两个条件（直 径，垂直于弦）缺一不可！
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
D
B
17
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作
24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共23张PPT) 人教版数学九年级上册
【解析】如图所示：连接OD ∵直径AB=15 ∴BO=7.5 ∵OC：OB=3：5 ∴CO=4.5 ∴ DC DO2 CO2 6 ∴DE=2DC=12．
3.（2021•杭州期末）如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， AB⊥MN，点C在线段AB上，OC=AC=2，BC=4，求⊙O的半径．
ABC ACB BAC
A⌒B ⌒BC
⌒ A⌒CB BAC
B O●
C
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解 决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
③ AE=BE
④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=⌒BD C
举例证明其中一种组合方法 已知:
求证：
O
E
A
B
D
【证明举例】
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2） A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？
C
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
A
E
B
O
【跟踪训练】
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= 16cm.
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB，
AE OAc2m OE2
102 62
8
∴ AB=16cm.
A
E
B
O·
垂径定理
内容
推论
辅助线
基本图形及 变式图形
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
课件《垂直于弦的直径》优秀PPT课件 _人教版2
E
A
B
D
知二推三
C
探究三
垂径定理的推论2:
弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦C所D过对圆的心两吗? 条弧.
CD⊥AB
条件
CD过圆心
结论 A⌒C=⌒BC
C
AE=BE
⌒AD=⌒BD
O
知二推三法
E
A
B
D
火眼金睛： 看下列图形，是否能使用垂径定理？ （2） 线段： AE=BE （4）平分弦所对的优弧 （1）圆是轴对称图形，请说出图中的一条对称轴。 答：赵州桥的主桥拱半径约为27. 在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得 平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 例 ：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37. （5）平分弦所对的劣弧 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 将圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你能得到什么结论？ 2 掌握垂径定理及其推论（重点） 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
知二
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 推三
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 知二 推三 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。 火眼金睛： 看下列图形，是否能使用垂径定理？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 将圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你能得到什么结论？ 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造, 是世界现存最久远、跨度最大的石拱桥，雄伟的赵州桥举世闻名，它主桥拱的半径到 底有多大呢？ （2） 线段： AE=BE （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ （1）直径CD所在的直线是它的一条对称轴 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 例 ：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37. 2 掌握垂径定理及其推论（重点） 火眼金睛： 看下列图形，是否能使用垂径定理？ 垂直平分弦的直线过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
人教版九级数学上册《垂直于弦的直径》优质课件
D
A
B
R
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
O
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为( D )．
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九 级数学 上册《 垂直于 弦的直 径》优 质课件
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
合作探究，形成知识
( ( ( (
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
课件《垂直于弦的直径》优质PPT课件_人教版2
B
O·
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.
2m,求桥拱的半径(精确到0. 做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况. 2m,求桥拱的半径(精确到0.
A
C
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
8cm
小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；
做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O
E
AB
O
E
A
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
新人教版《垂直于弦的直径》课件公开课PPT
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相
互转化,形成整体,才能运用自如.
辨析
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ 如果不是，请说明为什么？
C
C
O
A
E
B
D
c
A
D
B
O
O
A
E
B
D
C
A
O
D
B
C
O
A
O
A
E
B
C
B
辨析
2.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
则下列结论中不成立的是（ ）
2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
O
已化知(同抛平物行线于C第1:三y=x条2-直2x线的或图同象垂如直图于所第示三,把条C1直的线图)，象沿y轴翻折,得到抛物线C2的图象,抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3.
根弦据心刚 距才：的圆证心明到我弦们的知距道离，点A和点A′是对称点．请同学们用对称的知识找出图中能够重合的几何图形．
温（馨3）提若示A：B=垂8 c径m定，理CD是=2圆cm中，一求个⊙重O要的的半定径理. ,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如剪图一， 个A圆B形是纸⊙片O的，直沿径着，它C的D为任弦意，一C条D直⊥径AB对于折E，，则重下复列做结几论次中，不你成发立现的了是什（么？）由此你能得到什么结论？
∵不管m为何实数,总有(m-2)2≥0,∴Δ=(m-2)2+3>0,
2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
求⊙O的弦半心径．距：圆心到弦的距离 A OE· （A综A4解如22化2① (方(解121．.、.CC掌已))3上：图(抛法：与与设求同）如能握知所 (， 物二 (BB原抛平11若图正CC点抛))述在线 ：计物设设相相行DA，确到物,⊙上 如.B划线每 每等 等符于在区=直线O是 果安C个个8吗吗合第⊙分1中线Cc否 两排足足的？？条m1三O平，的:存 条y，的球球顶中件条AA方=弦距DD在 直xC工为为点，的直2根与与DA离-一 线人xxAA=B点2线与元元BB的2B的的x点都有DD的P、或c算，，坐概相只相长m和P图A同y术使每每，标念等有等为C第人象垂为平得个个求,，吗一吗8并三.如直互方四c篮篮⊙并？个？m画条图于相根边球球O，会为,为出直其所第的垂的形为为圆度什什抛线坐示三半直意Ayy心量么么物元元平标C,条径且把义PO点？？线，，行为D直.相到C；到是C根根1，(线2等A的2直正,据 B据那的-)2的图的，线方√题题么图两(象距"的形意意这象3条沿离"距?得得;若)弦y为)离.轴77存，xx3。＝＝翻在cOm55折D,yy求．⊥，，,得出A44到B00点于xx抛＋＋PD的物22，00坐线yyO＝＝标EC⊥233;的若44A00C图不00于，，象存E解解，,在抛得得求,物说xx证线明＝＝：C理55100四由与，，边;抛yy＝＝形物77A00线D..O答CE2是：的正每图方个象形足合．球称为图5象0元C3，. 每个篮球为70元
人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》示范课PPT
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
在直径为650mm的 圆柱形油槽内装入 A 一些油后，截面如 图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.
600
B
D
O ø650
C
通过今天的学习，你有哪些收获？ 作业布置
习题24.1 8、9、10
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
A
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R
OA2=AD2+OD2
O
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
练习
3.如图所示，在⊙O中，AB为弦， C、D两点在AB上，且AC=BD，
求证：△OCD是等腰三角形.
练习
垂径定理的逆应用
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④弦的垂直平分线是圆的直径 ⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
在直径为650mm的 圆柱形油槽内装入 A 一些油后，截面如 图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.
600
B
D
O ø650
C
通过今天的学习，你有哪些收获？ 作业布置
习题24.1 8、9、10
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
A
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R
OA2=AD2+OD2
O
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
练习
3.如图所示，在⊙O中，AB为弦， C、D两点在AB上，且AC=BD，
求证：△OCD是等腰三角形.
练习
垂径定理的逆应用
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④弦的垂直平分线是圆的直径 ⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
第2课时 垂直于弦的直径
1.实验发现
实验： 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径
对折，重复做几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
结论： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条
过圆心的直线.
2.探索
请按要求回答以下问题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使
CD⊥AB，垂足为M.
(1)右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
巩固练习
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O
到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．
解： OE AB，
A
E
B
AE 1 AB 1 8 （ 4 cm）.
2
2
在Rt △ AOE 中，
O·
AO2 OE2 AE2，
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5（cm）.
推论
① CD是直径 ③ AM=BM
③AM=BM
④ AC BC ⑤ AD BD
② CD⊥AB ④ AC BC
⑤ AD=BD
例题评析
完成情境引入的问题. 如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆
的圆心为O，半பைடு நூலகம்为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D， 根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 AB 的中点，CD 就是拱高．
例题评析
解：如图，AB=37，CD=7.23,所以
C
AD 1 AB 1 37 18.5,
2
2
OD=OC－CD=R－7.23.
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R O
OA2 = AD2+OD2.
人教版初中数学《垂直于弦的直径》PPT
B
O
AE=BEC,
O
D
AE D
BA⌒C∴=CB⌒DC,⊥A⌒ADAB(1,=) B⌒D.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
小结：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧． C
几何语言：如图∵ CD是直径,
CD⊥AB,
O
∴AE=BE,
垂径定理的推论：A⌒C平=B⌒分C,弦A⌒（D 不=B⌒是D. 直径）A 的直ED径 B
O E A E A D O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形，
∵ OE⊥AC OD⊥AB
∴
AE1AC， AD1AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
E ·O
∴ AE=AD
A
D
B
∴ 四边形ADOE为正方形.
人教版初中数学《垂直于弦的直径》P PT1
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，
任圆何是一条轴直径对所在称直线图都是形它也
是中心对称图形 的对称轴．
圆绕它的中心旋转任意角度，
都能和自身重合，所以旋转
180°后也和原图形重合所以
●O
圆是中心对称图形
活动一：思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB， 垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？
弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半
径(精确到0.1m).
如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径课件 精品课件
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
E 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
F
●
O
R2 3002 R 902.
D 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
即：有2就有3
人 教 版 数 学 九年级 上册.. 垂直于 弦的直 径课件 精 品课 件
人 教 版 数 学 九年级 上册.. 垂直于 弦的直 径课件 精 品课 件
.O
垂径定理：
A
E
B 垂直于弦的直径平分弦，
D
并且平分弦对的两条弧。
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垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
C
·O
题设
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
的线段或相等的圆弧.
D
A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
C
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O E D B
O
AE
B
D
O
D D
O
AE
B
C
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变式练习
如图，一条公路的转变处是一段圆弧
(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其
中CD=600m,E为弧CD上的一点,且
OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路
的半径.
C
E
F
●
D
O
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
小结
1、垂径定理及其推论
D
O
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
练习:在直径为650mm的圆柱形油槽内 装入一些油后，截面如图所示.若油 面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
B
600D
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《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
练习: 1.⊙O的半径为5,AB为直径, CD为弦,垂足为E,若CD=6, 则AE的长为多少?
2.若圆心到该圆的两条平行弦的 距离分别是3和5,则此二条平行 弦之间的距离是___________.
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
例1．已知⊙O的直径是５０ cm，
⊙O的两条平行弦AB=４０ cm ， CD=４８cm，
求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
24 F
D
E
B
.F
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
A
耐心填一填:
M
1. 如图1,在圆O中,若MN⊥AB,
C ·O
N
MN__为A⌒_N_直=_B⌒_径N__, _则___._A_C_=_B_C___,
__A_⌒M__=_B⌒_MB_____,
M
图1
2. 如图2,已知圆O的半径OA长 ·O
为5,直径MN垂直于AB,AB长 A C B
赵州石拱桥
例2:1300多年前,我国隋朝建造的赵 州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的 跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为 7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
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解：如图，用AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆 心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的 垂线OD，D为垂足，与AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 AB 的中 点，CD就是拱高.由题设
37.4
C
7.2
A
D
B
R
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
O
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个
量中，只要已知其中任意两个量，就 可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r ⑵r2 d2 (a2)2
2、要学会把实际问题转变成一 个数学问题来解决.
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
C.MC=NC D.AN=BN
AC
B
N 图2
4、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是 ___0_＜_x_≤_6___.
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
5.若圆的半径为2,圆中一条弦长 为 2 3 ，则此弦中点到此弦所对 劣弧的中点的距离为 多少?
C
A
┗●
B 平分弦（不是直径）的直径
M
●O 垂直于弦,并且平 分弦所对
D
的两条弧.
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
练一练
在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O 到AB的距离为 3 cm,求弦AB的 长.
A
E
B
O
圆的半径为R,弦长为 a,弦心距为 d,则 R 、a、d满足关系式＿＿＿
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
N 图2
为8, 则OC的长为( A )
A. 3 B. 6 C. 9
D. 10
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
耐心填一填:
3. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN
垂直于AB于点C,则下列结论错误的是
(C )
M
A. ∠AOC=∠ BOC⌒ B⌒.AC=BC ·O
直 于 弦 的 直 径 （ 二 ）
B
D
C
A
复习： 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧
由 ① CD是直径
C ② CD⊥AB
A M└
B
●O
③AM=BM, ④⑤AA⌒⌒CD==BB⌒⌒CD,.
D
垂径定理的推论
由 ① CD是直径 可推得 ③ AM=BM
②④⑤CAA⌒⌒DCD⊥==BBA⌒D⌒CB.,,
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
3如图，CD为圆O的直径， 弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，
A
求弦AB的长。
D
E C
O
B
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如图，一条公路的转变处是一段圆弧
(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其
中CD=600m,E为弧CD上的一点,且
OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路
的半径.
C
E
F
●
D
O
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小结
1、垂径定理及其推论
D
O
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
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练习:在直径为650mm的圆柱形油槽内 装入一些油后，截面如图所示.若油 面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
B
600D
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练习: 1.⊙O的半径为5,AB为直径, CD为弦,垂足为E,若CD=6, 则AE的长为多少?
2.若圆心到该圆的两条平行弦的 距离分别是3和5,则此二条平行 弦之间的距离是___________.
《 垂 直 于 弦 的直径 》ppt人 教版2
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例1．已知⊙O的直径是５０ cm，
⊙O的两条平行弦AB=４０ cm ， CD=４８cm，
求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
24 F
D
E
B
.F
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A
耐心填一填:
M
1. 如图1,在圆O中,若MN⊥AB,
C ·O
N
MN__为A⌒_N_直=_B⌒_径N__, _则___._A_C_=_B_C___,
__A_⌒M__=_B⌒_MB_____,
M
图1
2. 如图2,已知圆O的半径OA长 ·O
为5,直径MN垂直于AB,AB长 A C B
赵州石拱桥
例2:1300多年前,我国隋朝建造的赵 州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的 跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为 7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
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解：如图，用AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆 心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的 垂线OD，D为垂足，与AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 AB 的中 点，CD就是拱高.由题设
37.4
C
7.2
A
D
B
R
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O
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对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个
量中，只要已知其中任意两个量，就 可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r ⑵r2 d2 (a2)2
2、要学会把实际问题转变成一 个数学问题来解决.
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C.MC=NC D.AN=BN
AC
B
N 图2
4、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是 ___0_＜_x_≤_6___.
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5.若圆的半径为2,圆中一条弦长 为 2 3 ，则此弦中点到此弦所对 劣弧的中点的距离为 多少?
C
A
┗●
B 平分弦（不是直径）的直径
M
●O 垂直于弦,并且平 分弦所对
D
的两条弧.
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练一练
在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O 到AB的距离为 3 cm,求弦AB的 长.
A
E
B
O
圆的半径为R,弦长为 a,弦心距为 d,则 R 、a、d满足关系式＿＿＿
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N 图2
为8, 则OC的长为( A )
A. 3 B. 6 C. 9
D. 10
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耐心填一填:
3. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN
垂直于AB于点C,则下列结论错误的是
(C )
M
A. ∠AOC=∠ BOC⌒ B⌒.AC=BC ·O
直 于 弦 的 直 径 （ 二 ）
B
D
C
A
复习： 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧
由 ① CD是直径
C ② CD⊥AB
A M└
B
●O
③AM=BM, ④⑤AA⌒⌒CD==BB⌒⌒CD,.
D
垂径定理的推论
由 ① CD是直径 可推得 ③ AM=BM
②④⑤CAA⌒⌒DCD⊥==BBA⌒D⌒CB.,,
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3如图，CD为圆O的直径， 弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，
A
求弦AB的长。
D
E C
O
B
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