§2-4 离散时间系统的系统函数

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用部分分式法
1 z H z 1 7 3 A2 Res z 1 1 4 3 z z 1 z z 1 4 2 4 z 10 7 4 z z H ( z) 3 3 1 1 z z 2 4 1 根据Roc : z ，查表2-1得 2 10 1 n 7 1 n h(n ) u n 3 2 3 4
zplane(B,A)用来显示离散系统
1 0.8 0.6 0.4
Imaginary Part
B(z)/A(z)的极－零图。 >> b=[1,0];a=[1,-0.9]; >> zplane(b,a) 所得零极点图见右图
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
Y(z)=X(z)H(z)
2
H (e j ) ： 系统的频率响应
是单位圆上的系统函数 是单位抽样响应h(n)的Fourier变换
H (e ) H ( z )
j
z e j
DTFT [h( n )]
二、系统函数的零极点分布对系统特性的影响
时域 x ( n)
k
x(k ) (n k )
Y (Z ) X (Z ) H (Z )
系统函数
1、由系统函数的零极点分布确定单位取样响应
利用H(z)在z平面上的零极点分布
H ( z) K
(1 cm z 1 ) (1 d k z 1 )
k 1 m 1 N
M
Kz ( N M )
(z c
m 1 N k 1
j Im[ z ]
2e
0.2e 4 0.4
j
解：因果系统： z 2
j

6

稳定系统： 0.4 z 1.5
0
1.5 Re[ z ]
1

6
0.2e
j

4
2e
j
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3. 系统函数与差分方程
常系数线性差分方程：
a
k 0
N
k
y (n k ) bm x (n m)
m 0 M k
h( n) y ( n) x ( n) * h( n)
jn

单位冲激响应
频域
X (e
j
)
n
x ( k )e

H (e j )
Z域 X(z)
Y ( e j ) X ( e j ) H ( e j )
频域响应
n
x ( n) Z

－n
H (Z )
M
取z变换
a z
k k 0
N
Y ( z ) bm z X ( z )
m m 0
则系统函数
H ( z) Y ( z) / X ( z)
m 0 N
bm z m ak z k
k 0
M
K
(1 cm z 1 ) (1 d k z 1 )
k 1
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3）因果稳定：Roc：
1 z
H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内
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例：一系统的极点有： 0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j / 6 , 2e j / 6 , 1.5 问什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳定系统
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解：1）对差分方程两边取z变换： 3 1 1 2 1 1 Y ( z) z Y ( z) z Y ( z) X ( z) z X ( z) 4 8 3 系统函数： 1 1 1 1 1 z 1 z Y ( z) 3 3 H ( z) X ( z ) 1 3 z 1 1 z 2 1 1 1 1 1 z 1 z 4 8 2 4 j Im[ z ] 1 1 1 零点：z , 0 极点：z , 3 2 4
则频率响应的 幅度： 幅角：
H (e j ) K

m 1 N
M
m
l
k 1
k
arg[ H (e j )] arg[ K ] m k ( N M )
m 1 k 1
M
N
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Fra Baidu bibliotek
零点位置影响凹谷点的位置与深度
零点在单位圆上，谷点为零 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零
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16
2）LSI系统对正弦序列的稳态响应
x (n ) A cos(0n )
y (n) A H (e
j0
) cos{0n arg[ H ( e
j0
)]}
当输入为正弦序列 输出同频（0 ）的正弦序列 | H (e j ) | 加权 幅度受频率响应幅度 相位为输入相位与系统相位响应之和
M
m
) )
(z d
k
频率响应：
H ( e ) Ke
j
j ( N M ) m 1 N k 1
( e j cm ) ( e j d k )
M
H (e ) e
j
j arg[ H ( e j )]
5
令
j m j cm e cm me d k e j d k lk e jk
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3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应
y ( n ) x ( n ) * h( n )

Y (e j ) X (e j ) H (e j )
1 y (n) 2


H (e j ) X (e j )e j n d
1 其中： x (n ) 2
X (e
2）由于系统为因果稳定系统， 1 故收敛域： z 2
1/ 3
0.5
0.25
Re[ z ]
1
0
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3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)，
1 1 1 1 z z z 3 3 H z 1 1 1 1 1 1 1 z 1 z z z 2 4 2 4 1 z H z A1 A2 3 1 1 1 1 z z z z 2 z 4 2 4 1 z H z 1 10 3 A1 Res z 1 1 2 3 z z 1 z z 1 2 2 4 z


j
)e
j n
d
可看出x(n)可表示成复指数的叠加，即微分增量
1 X (e j )e jn d 的叠加，结合复指数序列响应的 2
性质，可以解释x(n)作用于输出系统的响应式y(n).
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例（Matlab求解）
已知一因果系统 y(n) 0.9 y(n 1) x(n) a.求H(z)并大致画出它的零极点图。 解： y(n) 0.9 y(n 1) x(n) 1 z 0.9 H ( z) 1 1 0.9 z 有一个极点在0.9和一个零点在原点。
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M
m 1 N
例：已知离散LSI系统的差分方程： 3 1 1 y ( n ) y ( n 1) y ( n 2) x ( n ) x ( n 1) 4 8 3 其中：x ( n )为输入，y ( n )为输出。 1）求系统函数，指出系统的零极点； 2）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域； 3）求该因果稳定系统的单位抽样响应。
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3.系统的频率响应的意义
1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：
x(n ) e j n
y (n)
n
h ( m )e
j ( n m )
m


e
j n
m


h(m)e j m
e j n H (e j )
H (e j ) 描述了复指数序列通过LSI系统后复振幅的变化
一、 单位取样响应与系统函数 二、 系统函数的零极点分布对系统特性的影响
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一、单位取样响应与系统函数
LSI系统的系统函数H(z)：
单位抽样响应h(n)的z变换
H ( z ) ZT [h(n )]
其中：y(n)=x(n)*h(n)
n
h(n ) z

n
Y ( z) X ( z)
极点位置影响凸峰的位置和深度
极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷
极点在单位圆外，系统不稳定
2、系统函数的稳定性
1）因果： Rx z 2）稳定： 序列h(n)绝对可和，即
而h(n)的z变换的Roc：
n
h(n ) z
n
h(n )
n


稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续