第2章 电磁场基本方程汇总
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第2章--电磁场基本方程---2
B(z) 0Ia
4π
2π 0
(z2
ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/ 2
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为
圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分 量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
B(0)
ez
0 I
dB (r )
0
4π
Idl (r r r3
r )
体电流产生的磁感应强度
B(r ) 0 J (r) R dV
4π V R3 面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R r y
o
x
B(r ) 0
4π
S
JS
(r ) R3
R
dS
25
电磁场
第二章 电磁场基本方程
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
D
rˆ
q
4r 2
4
电磁场
第二章 电磁场基本方程
电通量为
S
D
ds
q
4r 2
4r 2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。
如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭 面的电通量总和等于此面所包围的总电量
S D ds Q
－－－ 高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出),
r1 R12 r2
o
x
C2
I2dl2
y
安培磁力定律
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )
第2章-电磁场基本方程
ΔV ′→ 0 Δ V ′ dV ′
2
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
3．电流：电荷作定向运动，形成电流，其大小用电流强度来表示。单
位为A(安培)。 I = lim Δ q = d q Δt→0 Δt d t
4．体电流密度
J = aˆ lim ΔI = aˆ dI Δs′→0 ΔS ′ dS ′
4π l ' R2
磁通密度的单位为Wb(韦伯)/m2或T(特斯拉)
考虑到 J dV ′ = I d l′
∫ B(r ) = μ0 J (r') × (r − r')dV ′
4π V | r − r' |3
6
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
10. 磁通连续性原理和磁场强度
∫ B ⋅ dS = 0 → ∇ ⋅ B(r ) = 0 S0
压为U，试推导电容器的电流与电压的关系。
[解] 忽略极板的边缘效应:
电场
E=U , d
D = ε E = ε U(t) d
位移电流密度
Jd
=
∂D ∂t
=
ε
d
( dU dt
)
位移电流
∫ Id =
S Jd
dS
=
ε A0 ( dU ) = C d dt
dU dt
=I
C = ε A0
d
二平板间位移电流等于电路的传导电流
第2章 电磁场基本方程
Fundamental Equations of Electromagnetic Fields
主要内容
• 静态电磁场的基本定律 • 法拉第电磁感应定律和全电流定律 • Maxwell方程组 • 电磁场的边界条件 • 坡印廷定律和坡印廷矢量 • 惟一性定律
2
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
3．电流：电荷作定向运动，形成电流，其大小用电流强度来表示。单
位为A(安培)。 I = lim Δ q = d q Δt→0 Δt d t
4．体电流密度
J = aˆ lim ΔI = aˆ dI Δs′→0 ΔS ′ dS ′
4π l ' R2
磁通密度的单位为Wb(韦伯)/m2或T(特斯拉)
考虑到 J dV ′ = I d l′
∫ B(r ) = μ0 J (r') × (r − r')dV ′
4π V | r − r' |3
6
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
10. 磁通连续性原理和磁场强度
∫ B ⋅ dS = 0 → ∇ ⋅ B(r ) = 0 S0
压为U，试推导电容器的电流与电压的关系。
[解] 忽略极板的边缘效应:
电场
E=U , d
D = ε E = ε U(t) d
位移电流密度
Jd
=
∂D ∂t
=
ε
d
( dU dt
)
位移电流
∫ Id =
S Jd
dS
=
ε A0 ( dU ) = C d dt
dU dt
=I
C = ε A0
d
二平板间位移电流等于电路的传导电流
第2章 电磁场基本方程
Fundamental Equations of Electromagnetic Fields
主要内容
• 静态电磁场的基本定律 • 法拉第电磁感应定律和全电流定律 • Maxwell方程组 • 电磁场的边界条件 • 坡印廷定律和坡印廷矢量 • 惟一性定律
第2章 电磁场基本方程--2009--(3)
分界面上的电荷面密度
r en
媒质1 媒质2
分界面上的电流面密度
10
§2.4 电磁场的边界条件 电磁场
第二章
边界条件的推证
a ) E和H的切向边界条件
由Maxwell方程组的方程(a ′)
媒质1
电磁场基本方程 r r en r H1 Δl
⊗N
r
Δh
媒质2
r H2
∂B ∫l E ⋅ dl = E1 ⋅ Δl＋ E2 ⋅ (−Δl) = E1t Δl − E2t Δl = − ∫ΔS ∂t ⋅ ds = 0
电磁场
第二章 §2.4 电磁场的边界条件 Boundary Conditions of EM Fields
电磁场基本方程
实际应用中，常需要求解麦氏方程组在不同区域的特解，比如微波电路中通 常用到的微带线，它就涉及三种媒质： 介质基片中的媒质、金属导带和空气
ε 0 , μ 0 ,σ 0
ε 1 , μ 1 ,σ
S
ˆ ⋅ (−nΔS ) = ( D1n − D2 n )ΔS = ρ s ΔS
D1n − D2 n = ρ s （不是 v ） ρ s(单位：C/m2)是分界面上自由电荷的面密度
（理想导体电导率σ →∞ ，内部不存在电场，电荷只存在于理想导体表面，形成面电荷）
由Maxwell方程组的方程(d′)
∫ B ⋅ ds = ( B
∫
S
J ⋅dS = −
∫
V
ρdV
2
电磁场
第二章
电磁场基本方程
麦克斯韦方程组的微分形式
⎧ ⎪∇ ⎪ ⎪ ⎨∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎩∇ × H = J + ∂B × E = − ∂t ⋅B = 0 ⋅D = ρ ∂D ∂t
r en
媒质1 媒质2
分界面上的电流面密度
10
§2.4 电磁场的边界条件 电磁场
第二章
边界条件的推证
a ) E和H的切向边界条件
由Maxwell方程组的方程(a ′)
媒质1
电磁场基本方程 r r en r H1 Δl
⊗N
r
Δh
媒质2
r H2
∂B ∫l E ⋅ dl = E1 ⋅ Δl＋ E2 ⋅ (−Δl) = E1t Δl − E2t Δl = − ∫ΔS ∂t ⋅ ds = 0
电磁场
第二章 §2.4 电磁场的边界条件 Boundary Conditions of EM Fields
电磁场基本方程
实际应用中，常需要求解麦氏方程组在不同区域的特解，比如微波电路中通 常用到的微带线，它就涉及三种媒质： 介质基片中的媒质、金属导带和空气
ε 0 , μ 0 ,σ 0
ε 1 , μ 1 ,σ
S
ˆ ⋅ (−nΔS ) = ( D1n − D2 n )ΔS = ρ s ΔS
D1n − D2 n = ρ s （不是 v ） ρ s(单位：C/m2)是分界面上自由电荷的面密度
（理想导体电导率σ →∞ ，内部不存在电场，电荷只存在于理想导体表面，形成面电荷）
由Maxwell方程组的方程(d′)
∫ B ⋅ ds = ( B
∫
S
J ⋅dS = −
∫
V
ρdV
2
电磁场
第二章
电磁场基本方程
麦克斯韦方程组的微分形式
⎧ ⎪∇ ⎪ ⎪ ⎨∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎩∇ × H = J + ∂B × E = − ∂t ⋅B = 0 ⋅D = ρ ∂D ∂t
第二章 电磁场基本方程
s
由斯托克斯定律得
即
l
H dl H ds ( J c J v J d ) ds
s s
H Jc Jv J d＝J J d
E D H J 0 J t t
麦克斯韦 第四方程
或
c B J / 0 E / t
用符号 D 表示球面上的电通量密度，即
q R D 4 R 2 R
于是，通过整个球面的电通量为
e
s
D dS q
电通量密度与电场强度的关系为
D 0 E
若闭合曲面所包围的电荷多于一个以上，则电通量关系应 改写为
e
s
D dS q
并且
电场强度
l
B dl 0 I內i
i
I
与环路成右旋关系的电流取正。
讨论
l
B dl 0 I內i
i
① 磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一
点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。
② 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋
场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。
通常，传导电流与运流电流并不同时存在。
位移电流
电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成
作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定 律可知
q D dS
s
则穿过闭合面S的位移电流为：
dq D id dS J d dS s t s dt
式中位移电流密度
I1dl1 和 I 2 dl2之间的作用力为
0 I1dl1 eR dF21 I 2 dl2 [ ] 2 4 R
由斯托克斯定律得
即
l
H dl H ds ( J c J v J d ) ds
s s
H Jc Jv J d＝J J d
E D H J 0 J t t
麦克斯韦 第四方程
或
c B J / 0 E / t
用符号 D 表示球面上的电通量密度，即
q R D 4 R 2 R
于是，通过整个球面的电通量为
e
s
D dS q
电通量密度与电场强度的关系为
D 0 E
若闭合曲面所包围的电荷多于一个以上，则电通量关系应 改写为
e
s
D dS q
并且
电场强度
l
B dl 0 I內i
i
I
与环路成右旋关系的电流取正。
讨论
l
B dl 0 I內i
i
① 磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一
点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。
② 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋
场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。
通常，传导电流与运流电流并不同时存在。
位移电流
电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成
作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定 律可知
q D dS
s
则穿过闭合面S的位移电流为：
dq D id dS J d dS s t s dt
式中位移电流密度
I1dl1 和 I 2 dl2之间的作用力为
0 I1dl1 eR dF21 I 2 dl2 [ ] 2 4 R
电磁场第二章
单位是库/米3(C/m3)
②电荷面密度: 如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可 认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面
积元ΔS内的电量为Δq，则面密度为
(r ) lim q dq
S 0 S dS
单位是库/米2(C/m2)
第二章 静 电 场
③电荷线密度: 对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其 分布情况。 若线元Δl内的电量为Δq，则线密度为
d
dS cos
R2
dS (r r') r r'3
②若S是封闭曲面, 则对点电荷所在点o´立体角
S
(r
r') dS r r'3
4 0
r '在S内 r '在S外
第二章 静 电 场
2.电场强度的通量：
电场强度通过任一曲面的通量称为电通, 就是电场强 度在曲面S上的面积分, 以 表示,即
2.不同分布的电荷在场点r处的电位
体分布的电荷在场点r处的电位为
(r) 1
40
V
(r ' )
r
1 r'
d V '
线电荷和面电荷的电位表示式与上式相似, 只需将电荷密度和积 分区域作相应的改变。
第二章 静 电 场
对于位于源点r′处的点电荷q, 其在r处产生的电位为
(r)
q
40 r r'
3.静电场的旋度
解: 采用球坐标
由
2
1 r2
d
r
2
dr
d
dr
0
得
r2
d
dr
C1
即
d
dr
C1 r2
电磁场(第二章)电磁场基本方程09-10(1)
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电磁场理论基础
设平板电容器两端加有时变电压U， 例2.2 设平板电容器两端加有时变电压 ，试推 导通过电容器的电流I与 的关系 的关系。 导通过电容器的电流 与U的关系。 电流连续性原理， 解：由电流连续性原理，得 I = Ic = Id = AJ d A为电容器极板面积 Id=AJd 为电容器极板面积
ε为两板间介质的介电常数 ， D=εE 为两板间介质的介电常数 d为两极板间的距离，U=Ed 为两极板间的距离， 为两极板间的距离 C为平板电容器的电容，C=εA/d 为平板电容器的电容， 为平板电容器的电容
返 回
∂D =A ∂t ∂E = Aε ∂t A ∂U =ε d ∂t ∂U =C ∂t
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电磁场理论基础
根据麦克斯韦方程组的两个通量方程， 根据麦克斯韦方程组的两个通量方程，在边界两 侧作一扁平状柱体， 侧作一扁平状柱体， r r D1n − D2 n = ρ s ˆ 即 n ⋅ ( D1 − D2 ) = ρ s r r B1n − B2 n = 0 ˆ 即 n ⋅ ( B1 − B2 ) = 0 r r ∫S D ⋅ d s ≈ D1n ∆ S − D2 n ∆ S = ρ s ∆ S
4 3 4 3 2 2 r ≥ a ： = ρ v ⋅ πa ， D ⋅ 4πr = ρ v ⋅ πa ） Q 即 3 3 r 3 r D r ρv a r ρv a3 r E= = r D= r， ε 0 3ε 0 r 3 3r 3 r r −3 −4 −3 r −3 −3 r ∇ ⋅ ( r r ) = r ∇ ⋅ r + ∇ r ⋅ r = 3 r + ( − 3) r ∇ r ⋅ r −3 −4 ˆ r = 0 = 3r − 3r r ⋅ r
电磁场理论基础
设平板电容器两端加有时变电压U， 例2.2 设平板电容器两端加有时变电压 ，试推 导通过电容器的电流I与 的关系 的关系。 导通过电容器的电流 与U的关系。 电流连续性原理， 解：由电流连续性原理，得 I = Ic = Id = AJ d A为电容器极板面积 Id=AJd 为电容器极板面积
ε为两板间介质的介电常数 ， D=εE 为两板间介质的介电常数 d为两极板间的距离，U=Ed 为两极板间的距离， 为两极板间的距离 C为平板电容器的电容，C=εA/d 为平板电容器的电容， 为平板电容器的电容
返 回
∂D =A ∂t ∂E = Aε ∂t A ∂U =ε d ∂t ∂U =C ∂t
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电磁场理论基础
根据麦克斯韦方程组的两个通量方程， 根据麦克斯韦方程组的两个通量方程，在边界两 侧作一扁平状柱体， 侧作一扁平状柱体， r r D1n − D2 n = ρ s ˆ 即 n ⋅ ( D1 − D2 ) = ρ s r r B1n − B2 n = 0 ˆ 即 n ⋅ ( B1 − B2 ) = 0 r r ∫S D ⋅ d s ≈ D1n ∆ S − D2 n ∆ S = ρ s ∆ S
4 3 4 3 2 2 r ≥ a ： = ρ v ⋅ πa ， D ⋅ 4πr = ρ v ⋅ πa ） Q 即 3 3 r 3 r D r ρv a r ρv a3 r E= = r D= r， ε 0 3ε 0 r 3 3r 3 r r −3 −4 −3 r −3 −3 r ∇ ⋅ ( r r ) = r ∇ ⋅ r + ∇ r ⋅ r = 3 r + ( − 3) r ∇ r ⋅ r −3 −4 ˆ r = 0 = 3r − 3r r ⋅ r
电磁场基本方程
一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。
定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。
当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。
体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。
电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。
若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。
电磁场(第二章)电磁场基本方程09-10(1)
散度定理
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电流连续性方程：
电磁场理论基础
D ( H ) J ( D ) J t t D H J J Jd t D Jd 称 为位 移 电流 密 度。 t D l H d l S ( H ) d s S J t d s
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电磁场理论基础
2.3.2 本构关系和波动方程
B H J E D E 均匀媒质：媒质参数与位置无关。
线性媒质：媒质参数与场强大小无关。 各向同性媒质：媒质参数与场强方向无关。 非色散媒质：媒质参数与场强频率无关。否则为 色散媒质。 对于简单媒质， H E E H J t t E v H 0
返 回
B 0
散度定理
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电磁场理论基础
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2.2.1 法拉第电磁感应定律
d m e l E d l dt m S B d S 代表回路所交链的磁通量。 用l E d l 代表回路所感应的电动势。
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ε为两板间介质的介电常数 ， D=εE d为两极板间的距离，U=Ed
C为平板电容器的电容，C=εA/d
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电磁场理论基础
§2.3 麦克斯韦方程组
B d s （a）法拉第定律 l E d l S t B E 。 t 时变磁场将激发电场。 D d s （b）全电流定律 l H d l S J t D H J 。 t 电流和时变电场都会激发磁场。
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电流连续性方程：
电磁场理论基础
D ( H ) J ( D ) J t t D H J J Jd t D Jd 称 为位 移 电流 密 度。 t D l H d l S ( H ) d s S J t d s
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电磁场理论基础
2.3.2 本构关系和波动方程
B H J E D E 均匀媒质：媒质参数与位置无关。
线性媒质：媒质参数与场强大小无关。 各向同性媒质：媒质参数与场强方向无关。 非色散媒质：媒质参数与场强频率无关。否则为 色散媒质。 对于简单媒质， H E E H J t t E v H 0
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B 0
散度定理
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电磁场理论基础
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2.2.1 法拉第电磁感应定律
d m e l E d l dt m S B d S 代表回路所交链的磁通量。 用l E d l 代表回路所感应的电动势。
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ε为两板间介质的介电常数 ， D=εE d为两极板间的距离，U=Ed
C为平板电容器的电容，C=εA/d
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电磁场理论基础
§2.3 麦克斯韦方程组
B d s （a）法拉第定律 l E d l S t B E 。 t 时变磁场将激发电场。 D d s （b）全电流定律 l H d l S J t D H J 。 t 电流和时变电场都会激发磁场。
电磁场的基本规律—麦克斯韦方程组及物理意义
H
ey
kEm
cos(t
kz)
D E
D ex Em cos(t kz)
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D
代入式
ex ey ez
H x
y
z
ex
H y z
ex
k 2Em
sin(t
kz)
Hx Hy Hz
D t
ex
Dx t
ex Em sin(t kz)
由
H D
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
2
2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
E
J
D
t
B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁感线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
t
k 2 2
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
5
3 媒质的本构关系
各向同性线性媒质的本构关系为
D E B H J E
代入麦克斯韦方程组中，有
限定形式的麦克斯韦方程
H
E
(E )
t
E
(H )
t
(H ) 0
(E)
（均匀媒质）
H E
E H
t H 0
在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密 度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形 成电磁振荡并传播，这就是电磁波。
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
4
在无源空间中，两个旋度方程分别为
电磁场中的基本方程.ppt
ˆ I d l (' I d l ' r ) 0 F 2 l l ' 4 r
式中, r是电流元I′dl′至Idl的距离, 真空的磁导率: 是由dl′指向dl的单位矢量, μ0是
7
ˆ r
4 10 H /m 0
F d l B I
l
ˆ I I ' d l ' r ' d l ' r B 4 r 4 r
若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的, 则所 包围的总电量为
Q vdv
V
D d v d v
V Vv
上式对不同的V都应成立, 因此两边被积函数必定相等, 于是有
D v
2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度
图 2-2 两个载流回路间的作用力
F E (V / m) q
由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为
ˆ E r
q 4 0 r
2
(2-4)
2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
除电场强度 E 外 , 描述电场的另一个基本量是电通量密度 D,
又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:
D E ( C / m )
J是电流密度即电流的体密度, 它的方向就是它所在点上正电荷
流动的方向, 其大小就是在垂直于该方向的单位面积上, 每单位 时间内通过的电荷量, 单位为A/m2。因此, 若体积中各处都有电 荷流动, 则通过某封闭面S的总电流为 的电荷量-dQ/dt。 每单位时间流出 S面的电荷量 , 应等于S面内每单位时间所减少 。 Jd s I A
故称之为位移电流密度( displacement current density)Jd, 即
电磁场基本方程
（1）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。
（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于E
的面，使其成为闭合面。
（4）分别求出
D ds
s
，从而求得 D 及 E 。
qi
S内
16
高等教育出版社出版
2.1.3 电流密度，电荷守恒定律
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即
E
EdS S
4 r2E
01o 43Vr0d3V
E 0r ,Do0r
a
r
3o
3
高等教育出版社出版
13
例2 如图所示，同轴线的内外导体半径分别为a 和b。在内外导体间加电压U，则内导体通过的 电流为I，外导体返回的电流为-I。
a)设内外导体上单位长度的带电量分别为
作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与 D相平行，因而没有通量
穿过，不必考虑。
于是
sD d sD ˆ2l ll
得
D ˆ l , 2
E D ˆ l
ab
2
14
高等教育出版社出版
b) UlEd la b2 l d2 l ln b a 故
利用斯托克斯定理 E dS E dl
S
C
导出： E0
表明静电场是无旋场。
静电场的基本性质 （1）静电场是由通量源、不是 由旋涡源产生的场； （2）静电场是有源无旋场。
高等教育出版社出版
12
例1 求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已
知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。
(完整word版)电磁场复习要点(word文档良心出品)
电磁场复习要点第一章 矢量分析一、重要公式、概念、结论1. 梯度、散度、旋度在直角坐标系下的计算公式。
梯度：x y z u u u u x y z∂∂∂∇=++∂∂∂e e e 散度：y x zA A A x y z∂∂∂∇⋅=++∂∂∂A旋度： 2. 两个重要的恒等式： ()0u ∇⨯∇=，()0∇⋅∇⨯=A第二章 电磁场的基本规律 一、重要公式、概念、结论1．电场和磁场是产生电磁场的源量。
2．从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为极化、磁化和传导三种现象。
3. 静电场的基本方程：s lD D ds QE E dl ρ∇•=•=∇⨯=•=⎰⎰ 表明：静电场是有散无旋场。
电解质的本构关系： 0r D E E εεε==xyzy y z x z x x y z x y zA A A A A A x y z y z z x x y A A A ∂∂⎫⎫⎛⎛∂∂∂∂∂∂∂⎫⎛∇⨯==-+-+- ⎪⎪⎪ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎝⎭⎭e e e A e e e4. 恒定磁场的基本方程：l sH J H dl I B B ds ∇⨯=•=∇•=•=⎰⎰ 磁介质的本构关系：0r B H H μμμ==5. 相同场源条件下，均匀电介质中的电场强度为真空中电场强度值的倍r1ε。
6. 相同场源条件下，均匀磁介质中的磁感应强度是真空中磁感应强度的r μ倍。
7. 电场强度的单位是V/m ；磁感应强度B 的单位是T （特斯拉），或Wb/m 2 8. 电磁感应定律表明：变化的磁场可以激发电场。
9. 全电流定律表明：变化的电场也可激发磁场。
10. 理解麦克斯韦方程组：微分形式： 积分形式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=•=•∇=•=•∇•∂∂-=•∂∂-=⨯∇•∂∂+=•∂∂+=⨯∇ss l s l s s d B B Q s d D D s d t B l d E t B E s d tD J l d H t D J H 0)(ρ本构关系： E J HB EDσμε===二、计算。
第二章电磁场
4π r r
3
其中 0 为真空的磁导率， r 和 r ' 分别为电流元 I dl 和 I 'dl ' 的位矢。
第二章
电磁场的基本方程
电流之间的磁相互作用通过磁场传递。电流在其周围空 间产生磁场，磁场的基本性质是对位于其中的电流和运动
电荷有作用力。引入磁感应强度 B 描写磁场的这一基本性
质，将电流元 I dl 在磁场中的受力写为 dF = I dl×B 将上式与安培定律对比,可得电流元 I' dl' 在 r 处产生的 磁感应强度为
电磁场的基本方程
2.2.2 稳恒磁场的基本实验定律和定理
1. 安培定律 毕奥—萨伐尔定律
安培定律给出真空中两个电流元之间磁相互作用的规律： 回路 C 上的电流元 I dl 受到来自 C' 上电流元 I ' dl ' 的磁力为
dF
0 I d l [ I d l ( r r )]
第二章
电磁场的基本方程
2.1 电荷 电流
一切电、磁现象均起源于电荷、电流 。
2.1.1 电荷 电荷密度
电子和质子是自然界带有最小电荷量的粒子，电子的电 荷量 e= –1.6021019C，质子的电荷量为 –e =+1.6021019 C。 任何其它微粒所带的电荷量 q 都是电子或质子电量的整 数倍 —— 电荷的量子化 。 宏观电现象中，电荷的量子性表现不明显，可以认为电 荷是连续分布。
无论是位移极化还是取向极化，极化现象的特征都是单位 体积介质内分子的电偶极矩矢量和不为零。为描述介质极化的 状态，引入极化强度矢量 P： p
P lim
ΔV 0
V
第二章
电磁场的基本方程
3
其中 0 为真空的磁导率， r 和 r ' 分别为电流元 I dl 和 I 'dl ' 的位矢。
第二章
电磁场的基本方程
电流之间的磁相互作用通过磁场传递。电流在其周围空 间产生磁场，磁场的基本性质是对位于其中的电流和运动
电荷有作用力。引入磁感应强度 B 描写磁场的这一基本性
质，将电流元 I dl 在磁场中的受力写为 dF = I dl×B 将上式与安培定律对比,可得电流元 I' dl' 在 r 处产生的 磁感应强度为
电磁场的基本方程
2.2.2 稳恒磁场的基本实验定律和定理
1. 安培定律 毕奥—萨伐尔定律
安培定律给出真空中两个电流元之间磁相互作用的规律： 回路 C 上的电流元 I dl 受到来自 C' 上电流元 I ' dl ' 的磁力为
dF
0 I d l [ I d l ( r r )]
第二章
电磁场的基本方程
2.1 电荷 电流
一切电、磁现象均起源于电荷、电流 。
2.1.1 电荷 电荷密度
电子和质子是自然界带有最小电荷量的粒子，电子的电 荷量 e= –1.6021019C，质子的电荷量为 –e =+1.6021019 C。 任何其它微粒所带的电荷量 q 都是电子或质子电量的整 数倍 —— 电荷的量子化 。 宏观电现象中，电荷的量子性表现不明显，可以认为电 荷是连续分布。
无论是位移极化还是取向极化，极化现象的特征都是单位 体积介质内分子的电偶极矩矢量和不为零。为描述介质极化的 状态，引入极化强度矢量 P： p
P lim
ΔV 0
V
第二章
电磁场的基本方程
第二章-电磁场的基本方程汇总
图 2-1 两点电荷间的作用力
式中, K是比例常数, r是F两v点电rˆK荷间qr的1q2距2 离, rˆ 是从q1指向q2的单位
矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。
在国际单位制中, 库仑定律表达为
v F
rˆ
q1q2
40r 2
(N
)
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电
2)
ISSJvJv((rvrv))gcdosvs
S
ds
Jv(rv)gn)ds
n)
Jv(rv)
S
2、面电流密度 Surface Electronic current density
❖当电荷只在一v个薄层内流动时，形成的电流为面电流。 ❖面电流密度 J s 定义：
电流在曲面S上流动，在垂直于
电流方向取一线元 l ，若通过 线元的电流为 I ，则定义
❖4、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和 线电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必 须进行矢量积分
二、电场强度
定义：单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强
度，以E 表示。
v E
lim
v F
q0 q
式中q 为试验电荷的电量，F 为电荷q 受到的作用力。
说明：❖1）对q取极限是避免引入试验电荷影响原电场； ❖2）电场强度的方向与电场力的方向一致； ❖3）电场强度的大小与试验电荷q的电量无关。 ❖4) 电场的单位：牛顿/库仑(N/C)
❖体电流：电荷v在一定体积空间内流动所形成的电流
❖设ev体j正电方电流向荷密上沿度取ev一Jj 面方定元向义流：S动，，若则在在垂t 直时
evj
式中, K是比例常数, r是F两v点电rˆK荷间qr的1q2距2 离, rˆ 是从q1指向q2的单位
矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。
在国际单位制中, 库仑定律表达为
v F
rˆ
q1q2
40r 2
(N
)
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电
2)
ISSJvJv((rvrv))gcdosvs
S
ds
Jv(rv)gn)ds
n)
Jv(rv)
S
2、面电流密度 Surface Electronic current density
❖当电荷只在一v个薄层内流动时，形成的电流为面电流。 ❖面电流密度 J s 定义：
电流在曲面S上流动，在垂直于
电流方向取一线元 l ，若通过 线元的电流为 I ，则定义
❖4、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和 线电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必 须进行矢量积分
二、电场强度
定义：单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强
度，以E 表示。
v E
lim
v F
q0 q
式中q 为试验电荷的电量，F 为电荷q 受到的作用力。
说明：❖1）对q取极限是避免引入试验电荷影响原电场； ❖2）电场强度的方向与电场力的方向一致； ❖3）电场强度的大小与试验电荷q的电量无关。 ❖4) 电场的单位：牛顿/库仑(N/C)
❖体电流：电荷v在一定体积空间内流动所形成的电流
❖设ev体j正电方电流向荷密上沿度取ev一Jj 面方定元向义流：S动，，若则在在垂t 直时
evj
电磁场第2-2章
第2章 电磁场基本方程
式(2-1-13)称为媒质的本构关系，式中ε 是介电常数，单位是
法拉每米(F/m)； εr是相对介电常数； ε0是真空的介电常数， 其取值为
1 0 109 8.854 1012 (F/m) (2-1-14) 36π 式中μ是磁导率，单位是亨利每米(H/m); μr是相对磁导率; μ0
id d D dS D dD S dt dt dt
揭示：位移电流
同样会产生磁 场。实质：变 化的电场也会 产生磁场。
则位移电流密度定义为：
Jd
dD dE dt dt
第2章 电磁场基本方程
2、电磁感应定律（实验定律）
电磁感应现象：当穿过线圈所包围面积的磁通量随时间变
化时，线圈内会产生感应电动势。它的大小等于磁通量随
分别成功地进行了无线电报传送实验，开创了人类无
线电应用的新纪元。
第2章 电磁场基本方程
应用矢量分析中的散度定理和旋度定理，即
s
A dS AdV
V
l
A dl ( A) dS
s
可得麦克斯韦方程组的微分形式。
第2章 电磁场基本方程
2.1.2 麦克斯韦方程组的微分形式
D H J t B E t
第2章 电磁场基本方程
把方程（1）、（2）结合起来便得出如下结论：时变
磁场将激发时变电场，而时变电场又将激发时变磁场， 电场和磁场互为激发源，相互激发（预言电磁波的存 在） 。 1887年由德国年轻学者赫兹的实验所证实电磁波的存 在。 1895年意大利工程师马可尼和俄罗斯物理学家波波夫
内部的电荷密度就衰减的很小，可近似为零。
第2章 电磁场基本方程
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ll
得 D ˆ l , E D ˆ l a b
2
2
b) U E dl b l d l ln b 故 E ˆ U
l
a 2
2 a
ln
b a
10
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处：
EM
U
a ln
b a
c) EM最大值发生于
dEM da
的电荷，它们是相互独立的.但是时变的电场和磁
场之间是相互关联的。这首先由英国迈克尔·法拉
第在1831年的实验中发现。
Michael Faraday
法拉第电磁感应定律： dm dt
（1791－1867）
E dl 回路所感应的电动势 l
m
B ds
S
回路所交链的磁通量
电场强度沿任一闭合路径的线积分等于该路径所交链的磁通量时 13
静电场：
积分形式
微分形式
特点
(1) E dl 0 l
E 0
——静电场的环路定律
无旋场（保守场， 位场）
(2)
Dds Q
S
即
——高斯定理
D v
or E v
有散场，通量 源是电荷
4
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields
Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields
恒定电流的磁场：
积分形式
微分形式
特点
(1) H dl I l ——安培环路定律
H J
有旋场，旋涡源 是电流
(2) B ds 0 S ——磁通连续性原理
B 0 or H 0
无散场（管形 场）
第2章 电磁场基本方程
Fundamental Equations of Electromagnetic Fields
电磁学三大基本实验定律 (1)库仑(Coulumb)定律 (2)安培(Ampere)定律 (3)法拉第(Faraday)电磁感应定律
1831年法拉第发现了电磁感应现象，导致发电机的发明 和人类电气时代的到来.
压最大？
9
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
[解] a) 介质层中的电场都沿径向 ˆ ，垂直于内外导体表面，
其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径 长1
的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，
但是它们与 D相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。
于是
D
s
dsΒιβλιοθήκη Dˆ 2lB
S ( E) ds S t ds
因S是任意的，从而有
E B 意义：随时间变化的磁场将激发电场
U (a ln
b a
)2
(ln
b a
1)
0
得 ln b 1 b e
a
a
故 a b 1.8 0.662cm e 2.718
11
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
高斯定理解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。
（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线 nˆ E的面，
体电流密度 A m2
(不是 A！)m3
7
图2.1-4 电流密度的定义
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
三、欧姆定律、电荷守恒定律 欧姆定律的微分形式，本构关系
J E
欧姆定律
U RI
电流连续性方程
J • ds dQ d
s
dt dt
vvdv
v
v t
dv
• J v
t
8
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields
一、基本定理
库仑定律
F
Rˆk
q1q2 R2
1 R
1 R2
Rˆ
E
Rˆk
q1 R2
E
k
q1
q1
R 4R
3
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields
1864年麦克斯韦创立了普遍的电磁场方程组—麦克斯韦 方程组,它是宏观电磁现象的基本规律，是本书学习的核心.
1
第2章 电磁场基本方程
主要内容
❖ 静态电磁场的基本定律 ❖ 法拉第电磁感应定律和全电流定律 ❖ Maxwell方程组 ❖ 电磁场的边界条件 ❖ 坡印廷定理和坡印廷矢量
2
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
静电场有散无旋，其通量源是静止电荷；恒定磁场有旋无散，其 旋涡源是电流。它们互不相关。
6
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
二、基本场矢量
•电场强度 E (V / m)
•电通（量）密度
D (C / m2 )：D E
•磁场强度 H A m
•磁通（量）密度
B (Wb / m2 )：B H
体电荷密度 v C m3
例2.1－2 如图2.1-3所示，同轴线的内外导体
半径分别为a和b。在内外导体间加
电压U，则内导体通过的电流为I，
外导体返回的电流为-I。
图2.1-3 同轴线
a)设内外导体上单位长度的带电量分别为 l和， l
求内外导体间的 D及；E
b)用电压U来表示，则 E=？其最大值 E=M ？
c)若给定b=1.8cm，应如何选择a以使用同轴线承受的耐
dF
F
l
B
Idl 4
Idl
l 4
I
l 4
I dl R2
I dl
R2
dl Rˆ
R2
安培定律
Rˆ
Rˆ
Idl Jdsdl
Jdv
Jr
B
dv
JRr4
1 R
v
R
Jr
1 Jr
R
B
4
v
Jr Rˆ
R2
dv
5
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
间变化率的负值
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
引起磁通变化的原因分为二类：
• 回路不变，磁场随时间变化
＝－d dt
s
B t
d称s 为感生电动势，如变压器
• 磁场不变，回路切割磁力线情形有变
＝－d
dt
lv
B
dl 称为动生电动势，如发电机
应用Stokes定理，如果回路是静止的(右边第二项为零)，则
使其成为闭合面。
sD ds
（4）分别求出
，从而求得 D 及 E。
qi
S内
12
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Laws of Electromagnetic Induction and the Total Current Law
一、法拉第电磁感应定律
问题引入： 静电场和静磁场的场源分别是静电荷和等速运动