用改进和拓展后的范成法铣磨凸凹非球面的原理和精度分析

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高必烈
(中国科学院国家天文台南京天文光学技术研究所，江苏南京210042)1引言
用靠模方法铣磨非球面面型，精度和速度都很差。

传统的范成法虽然铣磨效率高、速度快，但只能铣磨出球面，而不能铣磨出非球面。

本文提出了一种改进和拓展了的范成法。

基于范成法的原理，借助于现代计算机控制的高精度数控技术，就可以快速、高效、高精度地铣磨出非球面的面型。

2传统铣磨大口径非球面的方法及优缺点
传统的铣磨方法是利用金刚石的平行砂轮和靠模样板铣磨非球面，金刚石砂轮的端面可以是平的，也可以是圆弧的，靠模上端面安装一个滚轮，滚轮下安装平行砂轮部套。

此时该部套的Z 方向位置由滚轮随其在靠模上的升降而确定，该部套X 方向的运动是通过横梁上的丝杆来带动。

由于砂轮与玻璃采用点接触，因而与范成法利用一个圆环面铣削相比效率要低得多。

由于拖挂了一套东西，
砂轮与玻璃的接触点和滚轮与靠模的接触点在X 方向有一个偏差距离ΔL ，这在安装靠模时可以事先预置。

因为即使平行砂轮的端面是平的，在使用了很短的时间后，其侧面也会变成圆弧，而圆弧在铣磨凸凹面时，实际上是使用圆弧的不同部位，这样无论是X 方向还是Z 方向都会产生偏差。

再考虑到靠模的安装误差等，
铣磨出来的玻璃面形偏离标准非球面的误差会更大，严重的时候达到1mm 左右。

如果将靠模换成计算机控制，仍然用平行砂轮，上述的两个缺点（速度和精度）仍然存在。

虽然可以修正圆弧不同部位的铣磨效应,但效率问题仍然无法解决。

3经典的范成法
范成法的原理是用一个球冠（碗状砂轮的端面），
去斜截被加工面。

在旋转的过程中，许多个斜截面的包络面就是所要开的球面。

利用碗状砂轮端面成型球面的方法叫范成法。

它的最大优点就是用一个环面，而不是一个点去铣磨，因而效率要高得多，其计算公式为
sin α=ρ/(R ±r )或α=arcsin ρ/(R ±r ),（1）
式中α为磨轮轴线倾角，2ρ为磨轮中径，一般取工件直径的70%左右，
R 为被加工工件的曲率半径，r 为磨轮端部刃口圆弦半径。

式中凸面取“+”号，凹面取“-”号。

图1所示是铣磨的包络线形状图和用范成法铣磨凸凹球面的原理图。

经典范成法只能加工出最大直径为砂轮直径1倍的工件，而且只能铣磨出凸、凹球面。

如何用小砂轮加工出更大尺寸的球面，如何用范成法加工出非球面，以及进一步用小砂轮铣磨出更大尺寸的非球面，是粗磨光学加工所面临的问题。

4用范成法和精密数控机床铣磨大尺寸凸、
凹球面和凹非球面
由于机床的制造精度和数控技术的提高，采用范成法，用较小的碗状砂轮去开大尺寸工件的球面便成为可能。

如图2所示，只要砂轮的倾斜轴G 点始终运动在以所开球面的球心为圆心的圆弧上，倾斜轴线GA 的延长线始终过所开球面的球心，则所开出来的就是一个球面。

因此就要求G 点的位置在XZ 平面内能精确地移动，砂轮的倾斜轴线GA 可以精确地偏转，砂轮的半中径ρ相对于球心的半张角α始终保持不变。

此时可以精确地计算出砂轮磨头的倾斜轴G 点的XZ 坐标和倾斜轴GA 的倾斜角β，同时还要通过机械和电控使砂轮磨头精确地运动到位。

潘君骅院士在20世纪80年代用逐次逼近和运
中图分类号：TB133
doi:10.3788/LOP20094612.0023
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动的范成法来加工凹二次非球面，并推导出相关的数学公式[1]，得出：对于凹二次非球面，因为面上各点的切圆半径在给定的镜面口径范围内是单调变化的，所以总可以找到所包络的球面，因而可以用拓展范成法去实现。

对于二次非球面，其曲率半径从镜面中心到边缘是逐步变大的，所以铣磨凹二次曲面的方法是，先开顶点的曲率半径，而后随着切点远离镜面中心逐步增大所开球面的曲率半径。

也就是说，对于远离中心的带区，是用逐渐变大的球面半径来一步步逼近。

实现的步骤是，从顶点往外，逐步增大曲率半径，每开一个球面后提起磨头，转一点角度，在X方向前进一点，再往下落一点。

如此逐步循环，直到镜面的边缘。

此方法可以用于凹二次非球面，但不能用于凸二次非球面。

因为铣磨凹二次非球面是逐步开到所需要的位置，也就是应去除的玻璃尚残留在镜坯上；而对于凸二次非球面，无论是从中间往边缘铣，还是从边缘往中间铣，它都会铣去应保留的玻璃,而铣去的玻璃是不可能再恢复的，所以此方法不可能用于凸二次非球面。

5拓展范成法铣磨大尺寸凹非球面主镜用高精度的计算机控制的磨镜机（特别是倾斜角度的精度）综合第3，第4节的方法，可以实现用小尺寸的砂轮加工出大口径的凹二次非球面。

数控非球面铣磨机不存在加工过头的问题，根据步长的不同，会残留不同的误差。

图3是加工步长为200mm时的示意图。

凹镜面的口径为4m，顶点曲率半径8m，圆锥曲线常数为-1.2，砂轮外径为250mm，砂轮刃的半径为2.5mm。

黄线是磨头的倾斜中心G点的运动轨迹；蓝线是磨头GA的位置和倾斜角度；红线是铣磨出来的面形轨迹；棕线是凹双曲线的轨迹。

此时其最大残留误差在0.2mm以下，在步长缩短为10mm时，最大残留误差为0.02~0.03mm；当步长为1mm时，残留误差仅为4~5m m，若再采用砂轮刃，误差将小于0.1m m。

图4所示的是磨头倾斜轴心G点沿X方向的步长分别为1mm和10mm时，砂轮倾斜轴线GA的角度在每步之间的变化值。

从图4（a）可以看出，在步长为1mm时，倾斜轴的偏转角度理论值只稍大于20″，为了保证精度，磨头的机械和电控精度就必须在秒级，例如不大于5″~7″，这个要求远远高于主动抛光盘对主轴倾斜的精度要求（1′）。

由图4（b）可以看出，当步长为10mm时，砂轮的倾斜轴线的角度在每步之间的变化值为4′左右，对倾斜轴的偏转角度精度要求是1′。

但是它对其机械强度的要求，又要大于对主动抛光盘的倾斜轴要求，这点是需要注意的。

考虑到加工和机床制造、价格和性能等因素，此例中步长取10mm就可以了，这样可以大大降低制造的难度和成本，虽然残留的误差大一些（0.02~0.03mm），但是可以利用砂轮刃将误差降低到0.1m m以下。

即使步长为200mm，也可以利用砂轮刃，同时也不会降低最后加工出的镜坯的精度。

具体采用多大的步长在实际操作时还可以根据实际情况进一步讨论。

图2铣磨凸凹大球面的原理图图3拓展的范成法铣磨大口径凹非球面示意图
图1经典范成法原理图24
激光与光电子学进展2009.12
www 中国光学期刊网:图5所示的是砂轮轴线的倾斜角度b 在每步之间的变化值，图6所示的是砂轮的中径对切圆心的半张角a 在每步之间的变化值，图7所示的是切圆半径R 在每步之间的变化值。

图4到图7都是根据口径为4m ，顶点曲率半径8m ，圆锥曲线常数为-1.2的凹非球面，且砂轮外径为250mm ，砂轮刃的小切削半径为2.5mm 的条件下计算的。

6铣磨凸二次非球面的疑难和解决方法
和铣磨凹二次非球面相反，采用拓展的范成法加工凸二次非球面所出现的问题是会铣去该有的镜坯玻璃（与标准曲面相比较）。

砂轮中径越大，这种情况越严重。

图8是解决方法的示意图。

按照拓展的范成法，根据实际的加工步骤，对于凸镜面是从边缘往中心铣。

这里取砂轮的外侧G 点为基准点，
图8（a ）是用拓展的范成法铣削时砂轮二刃在G 点切圆上的情况，很显然砂轮将切入双曲线内。

如果将砂轮围绕G 点顺时针方向转动一定角度，使砂轮的内外刃都与双曲线相切,如图8（b ）所示，则砂轮铣削出来的球冠的曲率半径将小于G 点切圆的曲率半径，同时也小于其左边双曲线切点的曲率半径，而大于其右边双曲线切点的曲率半径。

利用此方法，即使砂轮切入双曲线，残留误差也在0.05mm 以下，完全符合下一道切削工序的要求。

图9是用这种方法铣削凸双曲面的示意图，凸双曲面口径为1.2m ，曲率半径为2.8m ，圆锥曲线常数为-3.24，
砂轮外径为250mm,砂轮刃部半径为图5砂轮轴线的倾斜角度b
图6砂轮的中径对切圆心的半张角a
图7砂轮切圆半径的变化图
图4砂轮轴线倾斜的角度差
25
2.5mm。

红线是砂轮的轨迹，棕线是实际的双曲线，只要砂轮的倾斜点G移动3次，改变倾斜角3次，就可以完成这道工序的粗磨，需要进一步修改的误差量也很小，之后再用砂轮的小圆弧刃切销，残留误
差将在0.1m m以下。

7砂轮圆弧刃的切削方法
采用砂轮的小圆弧刃切削时，砂轮轴线GA的倾斜角无需变动，但要考虑从镜面的中心到边缘时，砂轮的小圆弧刃是用其不同的部位切削出双曲线，在此考虑下确定G点的位置。

这样切削出来的镜坯面型与所要的双曲面相比较，理论上误差为零。

图10和图11分别是凸、凹双曲面毛坯经用此法切削后的面型与理论值的比较图，从图10和图11中可以看出，理论值与实际值的曲线几乎重叠。

实际上镜坯的面型误差取决于磨镜机上X轴和Z轴的走动精度，此精度相比于GA轴的倾斜精度要容易实现得多。

图10和图11中棕色线是切削后所得非球面的曲线，蓝线为砂轮轴上G点的运动轨迹。

图11中的黑线表示的是预先将砂轮倾斜一个角度（20°）后，在砂轮走到临近镜坯边缘时，砂轮刃底端的连线。

因为在镜坯的最边缘，其法线与圆锥曲线母线（旋转轴）之间的角度为13°，所以这样可以保证在砂轮从镜坯的中心移动到边缘的过程中，砂轮不参与磨削的那一端，永远不会接触镜坯。

8结论
由分析可以知道，在现在的大型数控龙门式的磨镜机上，安装一个可以精确水平和垂直移动并可以精确倾斜的粗磨头，在精确的数控控制下，就可以用小的碗状砂轮，用范成法原理，高效、快速地直接铣磨出所要求的大凸、凹非球面。

收稿日期:2009-06-30;收到修改稿日期:2009-07-21
作者简介:高必烈(1947-)，男,研究员,主要从事大口径非球面光学工艺与检测的研究。

E-mail:blgao@
图9铣磨的计算实例
图10在凸非球面上切削
图11在凹非球面上切削
参考文献
1潘君骅，王建国.用铣磨法加工二次非球面的数学原理[J].光学学报,1984,4(3):252~256
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激光与光电子学进展2009.12。