用改进和拓展后的范成法铣磨凸凹非球面的原理和精度分析

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高必烈

(中国科学院国家天文台南京天文光学技术研究所，江苏南京210042)1引言

用靠模方法铣磨非球面面型，精度和速度都很差。传统的范成法虽然铣磨效率高、速度快，但只能铣磨出球面，而不能铣磨出非球面。本文提出了一种改进和拓展了的范成法。基于范成法的原理，借助于现代计算机控制的高精度数控技术，就可以快速、高效、高精度地铣磨出非球面的面型。

2传统铣磨大口径非球面的方法及优缺点

传统的铣磨方法是利用金刚石的平行砂轮和靠模样板铣磨非球面，金刚石砂轮的端面可以是平的，也可以是圆弧的，靠模上端面安装一个滚轮，滚轮下安装平行砂轮部套。

此时该部套的Z 方向位置由滚轮随其在靠模上的升降而确定，该部套X 方向的运动是通过横梁上的丝杆来带动。由于砂轮与玻璃采用点接触，因而与范成法利用一个圆环面铣削相比效率要低得多。由于拖挂了一套东西，

砂轮与玻璃的接触点和滚轮与靠模的接触点在X 方向有一个偏差距离ΔL ，这在安装靠模时可以事先预置。因为即使平行砂轮的端面是平的，在使用了很短的时间后，其侧面也会变成圆弧，而圆弧在铣磨凸凹面时，实际上是使用圆弧的不同部位，这样无论是X 方向还是Z 方向都会产生偏差。再考虑到靠模的安装误差等，

铣磨出来的玻璃面形偏离标准非球面的误差会更大，严重的时候达到1mm 左右。如果将靠模换成计算机控制，仍然用平行砂轮，上述的两个缺点（速度和精度）仍然存在。虽然可以修正圆弧不同部位的铣磨效应,但效率问题仍然无法解决。

3经典的范成法

范成法的原理是用一个球冠（碗状砂轮的端面），

去斜截被加工面。在旋转的过程中，许多个斜截面的包络面就是所要开的球面。利用碗状砂轮端面成型球面的方法叫范成法。它的最大优点就是用一个环面，而不是一个点去铣磨，因而效率要高得多，其计算公式为

sin α=ρ/(R ±r )或α=arcsin ρ/(R ±r ),（1）

式中α为磨轮轴线倾角，2ρ为磨轮中径，一般取工件直径的70%左右，

R 为被加工工件的曲率半径，r 为磨轮端部刃口圆弦半径。式中凸面取“+”号，凹面取“-”号。

图1所示是铣磨的包络线形状图和用范成法铣磨凸凹球面的原理图。经典范成法只能加工出最大直径为砂轮直径1倍的工件，而且只能铣磨出凸、凹球面。如何用小砂轮加工出更大尺寸的球面，如何用范成法加工出非球面，以及进一步用小砂轮铣磨出更大尺寸的非球面，是粗磨光学加工所面临的问题。

4用范成法和精密数控机床铣磨大尺寸凸、

凹球面和凹非球面

由于机床的制造精度和数控技术的提高，采用范成法，用较小的碗状砂轮去开大尺寸工件的球面便成为可能。如图2所示，只要砂轮的倾斜轴G 点始终运动在以所开球面的球心为圆心的圆弧上，倾斜轴线GA 的延长线始终过所开球面的球心，则所开出来的就是一个球面。因此就要求G 点的位置在XZ 平面内能精确地移动，砂轮的倾斜轴线GA 可以精确地偏转，砂轮的半中径ρ相对于球心的半张角α始终保持不变。此时可以精确地计算出砂轮磨头的倾斜轴G 点的XZ 坐标和倾斜轴GA 的倾斜角β，同时还要通过机械和电控使砂轮磨头精确地运动到位。

潘君骅院士在20世纪80年代用逐次逼近和运

中图分类号：TB133

doi:10.3788/LOP20094612.0023

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动的范成法来加工凹二次非球面，并推导出相关的数学公式[1]，得出：对于凹二次非球面，因为面上各点的切圆半径在给定的镜面口径范围内是单调变化的，所以总可以找到所包络的球面，因而可以用拓展范成法去实现。对于二次非球面，其曲率半径从镜面中心到边缘是逐步变大的，所以铣磨凹二次曲面的方法是，先开顶点的曲率半径，而后随着切点远离镜面中心逐步增大所开球面的曲率半径。也就是说，对于远离中心的带区，是用逐渐变大的球面半径来一步步逼近。实现的步骤是，从顶点往外，逐步增大曲率半径，每开一个球面后提起磨头，转一点角度，在X方向前进一点，再往下落一点。如此逐步循环，直到镜面的边缘。

此方法可以用于凹二次非球面，但不能用于凸二次非球面。因为铣磨凹二次非球面是逐步开到所需要的位置，也就是应去除的玻璃尚残留在镜坯上；而对于凸二次非球面，无论是从中间往边缘铣，还是从边缘往中间铣，它都会铣去应保留的玻璃,而铣去的玻璃是不可能再恢复的，所以此方法不可能用于凸二次非球面。

5拓展范成法铣磨大尺寸凹非球面主镜用高精度的计算机控制的磨镜机（特别是倾斜角度的精度）综合第3，第4节的方法，可以实现用小尺寸的砂轮加工出大口径的凹二次非球面。数控非球面铣磨机不存在加工过头的问题，根据步长的不同，会残留不同的误差。图3是加工步长为200mm时的示意图。凹镜面的口径为4m，顶点曲率半径8m，圆锥曲线常数为-1.2，砂轮外径为250mm，砂轮刃的半径为2.5mm。黄线是磨头的倾斜中心G点的运动轨迹；蓝线是磨头GA的位置和倾斜角度；红线是铣磨出来的面形轨迹；棕线是凹双曲线的轨迹。此时其最大残留误差在0.2mm以下，在步长缩短为10mm时，最大残留误差为0.02~0.03mm；当步长为1mm时，残留误差仅为4~5m m，若再采用砂轮刃，误差将小于0.1m m。

图4所示的是磨头倾斜轴心G点沿X方向的步长分别为1mm和10mm时，砂轮倾斜轴线GA的角度在每步之间的变化值。从图4（a）可以看出，在步长为1mm时，倾斜轴的偏转角度理论值只稍大于20″，为了保证精度，磨头的机械和电控精度就必须在秒级，例如不大于5″~7″，这个要求远远高于主动抛光盘对主轴倾斜的精度要求（1′）。由图4（b）可以看出，当步长为10mm时，砂轮的倾斜轴线的角度在每步之间的变化值为4′左右，对倾斜轴的偏转角度精度要求是1′。但是它对其机械强度的要求，又要大于对主动抛光盘的倾斜轴要求，这点是需要注意的。考虑到加工和机床制造、价格和性能等因素，此例中步长取10mm就可以了，这样可以大大降低制造的难度和成本，虽然残留的误差大一些（0.02~0.03mm），但是可以利用砂轮刃将误差降低到0.1m m以下。即使步长为200mm，也可以利用砂轮刃，同时也不会降低最后加工出的镜坯的精度。具体采用多大的步长在实际操作时还可以根据实际情况进一步讨论。

图2铣磨凸凹大球面的原理图图3拓展的范成法铣磨大口径凹非球面示意图

图1经典范成法原理图24

激光与光电子学进展2009.12