湘西自治州2017届高三第一次质量检测数学试题(理)含答案

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湖南省湘西土家族苗族自治州2024高三冲刺(高考数学)人教版质量检测(评估卷)完整试卷

湖南省湘西土家族苗族自治州2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若集合，集合，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，，若对，，使不等式成立，则实数的取值范围为（）.A．B．C．D．第(3)题某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）51535？140由表格可得y关于x的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为（）A．105B．104C．103D．102第(4)题设全集，则（）A．B．C．D．第(5)题已知某曲线的参数方程是（为参数），若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（）A．B．C．D．第(6)题抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（）A．8B．6C．5D．9第(7)题在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的体积为（）A．B．C．D．第(8)题在复平面内，复数，对应的点分别为，，则=（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则下列说法中正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减C．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D．是函数图象的一个对称中心第(2)题已知直线：与圆：，若存在点，过点向圆引切线，切点为，，使得，则可能的取值为（）A．2B．0C．D．第(3)题若复数满足，则下列命题正确的有（）A．的虚部是－1B ．C ．D ．是方程的一个根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为_________．第(2)题“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，c （即，，），延长线段CA 至点，使得，以此类推得到点，，，和，那么这六点共圆，此圆称为康威圆．若，，，则往此康威圆内投掷一点，该点落在内的概率为______．第(3)题若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题等差数列不是常数列，且，若构成等比数列.（1）求；（2）求数列前n 项和第(2)题如图1，在矩形中，分别为线段的中点，沿把折起，使得，如图2所示，分别为线段的中点，(1)求证：平面平而；(2)求二面角的余弦值．第(3)题数列中，（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求；（Ⅱ）求数列的前n 项和．第(4)题如图,已知外接圆的圆心O 为坐标原点,且O 在内部,.(1)求,求;(2)求面积的最大值.第(5)题在中，内角所对的边分别为，，，已知(1)求角的大小；(2)已知，的面积为6，求：①边长的值；②的值.。

湖南省湘西土家族苗族自治州(新版)2024高考数学部编版真题(自测卷)完整试卷

湖南省湘西土家族苗族自治州（新版）2024高考数学部编版真题(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数的虚部为（）A．B．1C．D．第(2)题从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（）A．B．C．D．第(3)题如图，在正四棱锥中，，点，分别是，上靠近点的三等分点，点，分别是，的中点，，分别在，上，且，，若在平面内存在一点，使得平面，成立，则（）A．B．C．D．第(4)题设命题：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”，那么，甲是乙的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．即非充分又非必要条件第(5)题为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（）A．300B．360C．400D．480第(6)题天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（）A．0.12B．0.42C．0.58D．0.82第(7)题下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则下列式子正确的是（）A．B．C．D．第(2)题牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．是等比数列D．第(3)题在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7．现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则（）A．事件与事件相互独立B．事件与事件互斥C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题（几何证明选讲选做题）如图，是的直径，分别切于，若，则=_________．第(2)题若有整数零点，则____________.第(3)题在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（1）若，求的极值；（2）证明：当时，．第(2)题从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为.①直接写出，，的值；②求与的关系式，并求出.第(3)题给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数拐点.已知.（1）求证：函数的拐点在直线上；（2）时，讨论的极值点的个数.第(4)题已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点．(1)求；(2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．第(5)题已知函数（其中）．(1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象；(2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值．。

高三数学第一次质量检测试卷理试题

卜人入州八九几市潮王学校湘西自治州2021届高三教学质量统一检测试卷数学〔理工农医类〕本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部，一共6页.时量120分钟.总分值是150分.一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1．设集合{}{}1,012>=>-=x x B x x A ，那么B A ⋂等于A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x x D ．}11|{-<>x x x 或２.:“,R x ∈∀x 2cos ≤x 2cos 〞的否认为A ．,R x ∈∀x 2cos x 2cos >B ．,R x ∈∃x 2cos x 2cos > C ．,R x ∈∀x 2cos <x 2cos D ．,R x ∈∃x 2cos ≤x 2cos３．向量b a x c x b a //),3,(),,2(),2,1(若-==-=，那么||c 等于A ．10B ．10C ．5D ．5４.设计一个计算131197531⨯⨯⨯⨯⨯⨯的算法，图1给出了程序的一局部.在以下选项里面，在横线①上不．能填入的数是 A ．13 B ．5.13C ．14D ．5.14５.图2A ．π++36B ．18C ．π++3218D ．6．实数),(,2|1|)3()1(,22y x P y x y x y x 则点满足条件++=-+-的运动轨迹是A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆7.8)2(x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为A ．1-B ．0C ．1D ．28．记实数n x x x ,,21中的最小数为},,m in{21n x x x ，设函数=)(x f)0}(sin 1,sin 1min{>-+ωωωx x ，假设()f x 的最小正周期为1，那么ω的值是A ．21 B ．1C ．2π D ．π二、填空题：本大题一一共7小题，每一小题5分，一共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9．i 是虚数单位，复数31ii+-=_______________. 10．等差数列{}n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，那么此数列前20项的和等于．11.根据HY 道路交通平安法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml 〔不含80〕之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml 〔含80〕以上时，属醉酒驾车．据法制晚报报道，2011年2月15日至2 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车一共28800人，如图3是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进展检测所得结果的频率分布直方图，那么属于醉酒驾车的人数约为______________．12．如图4，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2x y =图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，那么该点落入E 中的概率为___________.13．如图5，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.假设PB=1，PD=3那么BCAD的酒精含量频率组距20 30 40 50 60 70 80 90 100(mg/100ml)图3图4值是.14．设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩〔θ为参数〕，直线l 的方程为320x y -+=，那么曲线C上到直线l 间隔为71010的点的个数为______________．15．M 是曲线x a x x y )1(21ln 2-++=上的任一点，假设曲线在M 点处的切线的倾斜角是均不小于4π的锐角，那么实数a 的取值范围是______________.三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 16．〔本小题总分值是12分〕a、b、c分别是ABC ∆的三个内角A、B、C所对的边，假设ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值. 17．〔本小题总分值是12分〕某休闲会馆拟举行“五一〞庆贺活动，每位交30元的入场费，可参加一次抽奖活动.抽奖活动规那么是：从一个装有分值分别为6,5,4,3,2,1的六个一样小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：假设抽得两球的分值之和为12分，那么获得价值为m 元的礼品；假设抽得两球的分值之和为11分或者10分，那么获得价值为100元的礼品；假设抽得两球的分值之和低于10分，那么不获奖. 〔1〕求每位会员获奖的概率；〔2〕假设这次活动会馆既不赔钱也不HY(支出费用只考虑礼品支出费，其它支出费不计)，那么m 应为多少元？18．〔本小题总分值是12分〕如图6，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，2=AB ，1=AF ，M 是线段EF 的中点.图5(1)求证：AM ∥平面BDE ； (2)在线段AC 上是否存在一点P ，使直线PF 与AD 所成角为︒60？证明你的结论.19．〔本小题总分值是13分〕如图7，定点(1,0)E -，(1,0)F ，动点A 满足4=AE，线段AF 的垂直平分线交AE 于点M. 〔1〕求点M 的轨迹1C 的方程；〔2〕抛物线2C ：24y x =与1C 在第一象限交于点P ，直线PF 交抛物线于另一个点Q ，求抛物线的POQ 弧上的点R 到直线PQ 的间隔的最大值.20．〔本小题总分值是13分〕数列{a n }满足,021=a a a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m 〔1〕求a 3，a 5；〔2〕设n c ＝(a n+1－a n )1-n q(q ≠0，*∈N n )，求数列{}n c 的前n 项和n S .21．〔本小题总分值是13分〕函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数．〔1〕假设()ln ()f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调增区间；〔2〕假设()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意12,(0,2]x x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--，求a的取值范围．湘西自治州2021届高三教学质量统一检测试卷数学〔理工农医类〕参考答案一、选择题M F EDCBA图6图71---4ABDA5----8CABD 二、填空题9．i 21+10.1801320131314.２15.(,2]-∞三、解答题16、解：23sin 21==∆A bc S ABC，2360sin 221=︒⋅∴b ，得1=b……6分由360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a得32=a，∴3=a ∴3=a ，1=b ………12分17、解：〔1〕两次抽取的球的分值构成的有序数对一共有36对，其中分值之和为12的有1对，分值之和为11的有两对，分值之和为10的有3对，所以每位会员获奖的概率为6136321=++=p ．…………………………………………4分〔2〕设每位抽奖后，休闲会馆的获利的元数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为m -30、70-、30．…………………………5分,65)30()70(1)30(=-=--=-==m P P P ξξξ…………………8分那么会馆获利的期望为365803065)70(365)30(361m m E -=⨯+-⨯+-⋅=ξ．假设这次活动会馆既不赔钱也不HY ，那么ξE =0，即036580=-m，所以，580m=.…………………………………………11分答：〔1〕每位会员获奖的概率为61；〔2〕m 应为580元．……………12分18、解:方法一：(1)记AC 与BD 的交点为O ,连接OE , ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，QPA BCDEFM ∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM ∥OE ………4分∵⊂OE 平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM∥平面BDE .……………6分〔2〕设CP t =〔02t ≤≤〕,作PQ AB ⊥于Q ，那么PQ ∥AD ， ∵PQ AB ⊥，PQ AF ⊥，ABAF A =，∴PQ ⊥平面ABF ， QF ⊂平面ABF ，∴PQ QF ⊥.在Rt PQF ∆中，60FPQ ∠=︒，2PF PQ =.………………9分∵PAQ ∆为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF ， ∴),2(2221)2(2t t -⋅=+-1t ∴=或者3t =(舍去)． ∴点P 是AC 的中点.…………………………12分方法二：〔1〕建立如下列图的空间直角坐标系.设NBD AC = ，连接NE ，那么点N 、E 的坐标分别是〔)0,22,22、(0,0,1),∴NE =()1,22,22--,又点A 、M的坐标分别是〔022，，〕、〔)1,22,22，∴AM =〔)1,22,22--∴NE =AM 且NE 与AM 不一共线，∴NE ∥AM.……………………………4分又∵⊂NE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF .…………6分〔2〕设(,,0)P t t (02)t ≤≤，得(2,2,1)PF t t =--，∴(0,2,0)DA =，…8分又∵PF 和AD 所成的角是60︒.21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒∴t t t ，解得22=t 或者223=t 〔舍去〕，即点P 是AC 的中点.…………………12分19.〔1〕依题意有｜ME|+｜MF|＝｜ME|+｜MA| ＝｜AE|＝4>｜EF|＝2∴点M 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆。

2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学(理科)答案 (校对版)

肇庆市中小学教学质量评估 2018届高中毕业班第一次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13． 0.8413 14． 120- 15． 22π+ 16． 1700三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）满意度评分的众数=6070652+= （2分）因为()()0.010.02100.30.5,0.010.020.03100.60.5+⨯=<++⨯=>，所以满意度评分的中位数在[60,70)之间，设中位数为a ，则()600.030.50.3a -⨯=-，得66.7a ≈ （5分）（Ⅱ）（9分）()22802430101610.03 6.63540403446K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，（11分）所以有99.9%的把握认为用户满意度与地区有关. （12分）（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取VD 的中点F ，连接,EF AF . （1分）在VCD ∆中，EF 是中位线，所以1//2EF CD ，（2分）又1//2AB CD ，所以//EF AB ，（3分）所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF . （4分）又,BE VAD AF VAD ⊄⊂面面，所以//BE VAD 面. （6分）（Ⅱ）因为//,AB CD CD VD ⊥，所以AB VD ⊥，（8分）又因为AB VA ⊥，VA VD V =，,VA VD 都在VAD 面内，所以AB VAD ⊥面. （10分）又AB ABCD ⊂面，所以面ABCD ⊥VAD 面. （12分）（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“小王恰好抽奖3次停止”为事件A ，则()1123223515C C A P A A ==. （4分）（2）X 可取200，300，400，500 （5分）()2225120010A P X A ===，()()1123223513005C C A P X P A A ====，（7分） ()21332345340010C C A P A ==，()3143245525005C C A P A ==. （9分） X 的分布列如下表200300400500400105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （12分）（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取AD 的中点E ，连接,SE BE . （1分）因为SA SD =，所以AD SE ⊥. （2分）在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，所以ABD ∆是等边三角形，所以AD BE ⊥. （3分）又因为,,SEBE E SE SBE BE SBE =⊂⊂面面，所以AD SBE ⊥面. （5分）因为BS SBE ⊂面，所以AD BS ⊥. （6分）（Ⅱ）因为ABD ∆和ASD ∆是等边三角形，经计算，22SE BE ==. （7分）由（Ⅰ）知，SEB ∠是二面角S AD B --的平面角，（8分）222cos 27SE BE SB SEB SE SB +-∠==-，（11分）所以二面角S AD B --的余弦值为. （12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt BEC ∆中，03cos302CE CB ==，12AE AC CE =-=，03sin 30BE CB ==由tan BEBAC AE∠==，得060BAC ∠= 0000180603090ABC ∠=--=，即BC AB ⊥. （1分）又因为PAB ABC ⊥面面，PABABC AB =面面，BC ABC ⊂面所以BC PAB ⊥面，所以BC PA ⊥ （3分）由BE AC ⊥，同理可得BE PA ⊥，又BEBC B =，所以PA ABC ⊥面. （4分）（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则10,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0C ，()0,0,1P，3,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,1CP =-. （5分）设(),,n x y z =是面PBC 的一个法向量，则00BC n PC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30220y y z ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，方程组的一组解为12x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即()3,1,2n = （7分）设()01CF CP λλ=≤≤则AF AC AP AC λλ-=-，即()1AF AP AC λλ=+-=()022,λλ-，，30,2,2EF AF AE λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（8分）依题意有385cos ,68EF n EF n EF n==，得1=10λ或11=10λ（舍去）（10分）则有410,,510F ⎛⎫⎪⎝⎭，即三棱锥F CBE -的高为110，（11分） 113132210F CBE V -=⨯⨯=（12分）（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）24cos ,4cos ρθρρθ=∴=，（1分）由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=. （3分）所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （4分）（Ⅱ）把 1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y x +=，整理得26cos 50t t α-+= （5分）设其两根分别为 12,t t ，则12126cos ,5,t t t t α+==（6分）12PQ t t ∴=-===（7分）得cos 2α=±，566ππα=或，（9分）所以直线l 的斜率为（10分）（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当2x ≥时，125,x x ++-≤ ∴3x ≤，∴23x ≤≤；（1分）当12x -<<时，125,x x +-+≤∴12x -<<；（2分）当1x ≤-时，125,x x ---+≤∴2x ≥-，∴21x -≤≤- （3分）综上所述，23x -≤≤，即不等式()5f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤. （4分）（Ⅱ）当[]0,2x ∈时，()123f x x x =+-+=，（5分）()22f x x x m ≥-++ ，即232x x m ≥-++，即2230x x m --+≥. （6分）也就是 ()2120x m --+≥，在[]0,2x ∈恒成立，（7分）当1x =时，()212x m --+取得最小值2m -，（8分）由20m -≥，得2m ≤，即m 的取值范围是{|2}m m ≤. （10分）。

湖南省湘西自治州高三数学第一次质量检测试卷文

湘西自治州2011届高三第一次质量检测试卷数学（文史类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．复数z 满足方程：(2)z z i =+，则z =A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --２．函数2log )(2-=x x f 的定义域是A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．),4(+∞D ．),4[+∞３．用0.618法寻找某试验的最优加入量时，若当前存优范围是［628，774］，好点是718，则此时要做试验的加入点值是 A ．628+774 B ．628+0.618x(774—628) C ．628+774-718 D ．2x718—774 ４．如图表示一个几何体的三视图及相应数据，则该几何体的体积是A.348π+B.344π+ C .π48+ D. 310π５．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为A B ．10 C ．9 D ．5+６．如图,已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是椭圆12222=+by a x 的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为A B ．1) C 1 D ．2７．函数xx y ||lg =的图象大致是８．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则OAB∆的外接圆方程是 A ．22(2)(1)5x y -+-= B ．22(4)(2)20x y -+-= C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(4)(2)20x y +++=二、填空题：本大题7个小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．设集合A=｛1,2｝，B=｛1,2,3｝，C=｛2,3,4｝则 =C B A ）（． 10．命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是：． 11．在(0,2)π内,使sin cos x x >成立的x 的取值范围是． 12．向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 且,b a ±≠则b a +与b a -的夹角为____________．13．图l 是某县参加2011年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1A 、2A 、…、m A (如2A 表示身高(单位：cm )在[150，155)内的学生人数)，如图２是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～190cm (含160cm ，不含190cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是．14．一笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则先出笼的两只中一只是白兔而另一只是灰兔的概率是 .15．对于任意两个实数a,b 定义运算“*”如下：aa ba b ba b≤⎧*=⎨>⎩, 则5*6= ，函数2()[(6)(215)]f x x x x =*-*+的最大值为．三、解答题：本大题6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和ΔABC 的面积．17．(本题满分12分)先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．（Ⅰ）求点),(y x P 在直线1-=x y 上的概率；（Ⅱ）求点),(y x P 满足x y 42<的概率．18．(本题满分12分)如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，090=∠PAD ，且G F E 2,AD PA 、、==分别是线段CD PD PA 、、的中点。

湖南省湘西土家族苗族自治州2024届高三考前模拟(一)数学试题

湖南省湘西土家族苗族自治州2024届高三考前模拟（一）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-3．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}5．若复数()()31z i i =-+，则z =（） A ．22 B ．25 C ．10D ．206．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π7．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A 2?B 10C 10D ．228．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（） A ．48B ．36C ．42D ．319．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A ．-1B ．1C ．0D ．210．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（） A ．2B ．32C ．3D ．411．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交12．已知集合{}2(,)|1A x y y x ==-，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(全优试卷)湖南省湘西州高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

2017年湖南省湘西州高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x |y=lg （x 2+4x ﹣12）}，B={x |﹣3＜x ＜4}，则A ∩B 等于（）A ．（﹣3，﹣2）B ．（﹣3，2）C ．（2，4）D ．（﹣2，4）2．复数z=的实部为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．1、D ．03．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为（） A ．a=45，c=15 B ．a=40，c=20 C ．a=35，c=25 D ．a=30，c=30 4．已知函数f （x ）=cos （ωx ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f （x ）的图象（）A ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向左平移个单位而得B ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位而得C ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向左平移个单位而得D ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位而得5．执行如图的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为（）A．10 B．15 C．18 D．216．在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2，且+2=0，则•等于（）A．18 B．9 C．﹣8 D．﹣67．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．18．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．189．若tan cos=sin﹣msin，则实数m的值为（）A．2B．C．2 D．310．已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A．B．1 C．2 D．312．已知函数f（x）=ae x﹣2x﹣2a，且a∈[1，2]，设函数f（x）在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2ln2]B．[﹣2，﹣]C．[﹣2ln2，﹣1]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（1﹣）5的展开式中常数项为．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n+1+a（n∈N+）（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（1﹣an）log3（a n2•a n+1），求的前n项和为T n．18．（12分）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点．（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；（2）若AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．20．（12分）已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＞1解集；（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．2017年湖南省湘西州高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2） C．（2，4）D．（﹣2，4）【考点】交集及其运算．【分析】求对数函数的定义域得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}={x|x2+4x﹣12＞0}={x|x＜﹣6或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．复数z=的实部为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1、 D．0【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=的实部为0．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X 与Y有关系的可能性最大的一组为（） A ．a=45，c=15 B．a=40，c=20 C ．a=35，c=25 D ．a=30，c=30【考点】独立性检验的应用．【分析】根据题意，a 、c 相差越大，与相差就越大，由此得出X 与Y 有关系的可能性越大．【解答】解：根据2×2列联表与独立性检验的应用问题，当与相差越大，X 与Y 有关系的可能性越大；即a 、c 相差越大，与相差越大；故选：A ．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题目．4．已知函数f （x ）=cos （ωx ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f （x ）的图象（）A ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向左平移个单位而得B ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位而得C ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向左平移个单位而得D ．可由函数g （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位而得【考点】余弦函数的图象．【分析】根据函数f （x ）的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．【解答】解：函数f （x ）=cos （ωx ﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，即T=，∴ω=2，则f（x）=cos（2x﹣）的图象可有函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用．属于基础题．5．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．6．在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2，且+2=0，则•等于（）A．18 B．9 C．﹣8 D．﹣6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出角B的大小，然后根据直角三角形的性质得到CD，再数量积公式计算可得．【解答】解：由题意，如图：因为2×sin30°=3=AB，所以∠C=90°，因为+2=0，则AD=2，BD=1，则BC=，所以tan∠BCD=，所以∠BCD=30°，所以∠DCA=30°，得到CD=2，所以•=2×2×cos150°=﹣6．故选：D．【点评】本题考查了平面图形中向量的数量积的计算；充分利用平面图形的性质是解答的前提．7．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：3（x﹣a）+2（y+1）=3x+2y+2﹣3a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a，经过A时，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查目标函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是长方体和三棱柱的组合体，结合图中数据求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是上部为长方体，下部为三棱柱的组合体，画出几何体的直观图如图所示，根据图中数据，计算其体积为V组合体=V三棱柱+V长方体=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力和体积公式的应用问题，是基础题．9．若tan cos=sin﹣msin，则实数m的值为（）A．2B．C．2 D．3【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用“切化弦”的思想，在结合二倍角即可求解．【解答】解：由tan cos=sin﹣msin，可得：sin cos=cos sin﹣msin cos，⇔sin cos（）=cos sin（）﹣msin cos，⇔sin2=cos2﹣sin，⇔，∴m=故选：A．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和“切化弦”的思想，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．10．已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先求出不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的解集，再以长度为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，log3x+1≥1且log2x﹣（log4x﹣1）≤，或0＜log3x+1＜1且log2x+2（log4x﹣1）≤，解得1≤x≤2或＜x＜1，∴原不等式的解集为（，2]．则所求概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确求出不等式的解集是关键．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，|MF|=x0+．利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，可得|MA|=2（x0﹣），利用=2，求出x0，p，即可求出|AF|．【解答】解：由题意，|MF|=x0+．∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，∴|MA|=2（x0﹣），∵=2，∴|MF|=|MA|，∴x0=p，∴2p2=8，∴p=2，∴|AF|=1．故选B．【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=ae x﹣2x﹣2a，且a∈[1，2]，设函数f（x）在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2ln2]B．[﹣2，﹣]C．[﹣2ln2，﹣1]D．[﹣1，﹣]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】构造函数g（a），根据a的范围，求出f（x）的最大值，设为M（x），求出M（x）的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：构造函数g（a）=（e x﹣2）a﹣2x是关于a的一次函数，∵x∈[0，ln2]，∴e x﹣2＜0，即y=g（a）是减函数，∵a∈[1，2]，∴f（x）max=2（e x﹣2）﹣2x，设M（x）=2（e x﹣2）﹣2x，则M′（x）=2e x﹣2，∵x∈[0，ln2]，∴M′（x）≥0，则M（x）在[0，ln2]上递增，∴M（x）min=M（0）=2，M（x）max=M（ln2）=﹣2ln2，m的取值范围是[﹣2，﹣2ln2]，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项为43．【考点】二项式系数的性质．==（﹣2）k，【分析】（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1令﹣=0，或﹣1，解得k即可得出．==（﹣2）k，【解答】解：（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1令﹣=0，或﹣1，解得k=0，或2．∴（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项=3+=43．故答案为：43．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则b=•2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，则b=•2a，即b=a，c===a，则e==，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面几何的性质，以及双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2=4，代入“三斜求积”公式即可计算得解．【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA，可得：ac=4，由于（a+c）2=12+b2，可得：a2+c2﹣b2=4，可得：==．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连结AC、BD，交于点O，当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，从而F∈AA1，进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角，由△C1A1F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，则=，∵A1C1=2AO=AB=2，AE=，∴A1F=，∴AF=，∴tan==．∴CF与平面ABCD所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）（2017•邵阳二模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n+1+a （n∈N+）（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（1﹣an）log3（a n2•a n+1），求的前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）等比数列{a n}满足6S n=3n+1+a（n∈N+），n=1时，6a1=9+a；n≥2），可得a n=3n﹣1，n=1时也成立，于是1×6=9+a，解得a．时，6a n=6（S n﹣S n﹣1（2）由（1）代入可得b n=（1+3n）=（3n+1）（3n﹣2），因此=．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}满足6S n=3n+1+a（n∈N+），n=1时，6a1=9+a；n≥2时，6a n=6（S n﹣S n）=3n+1+a﹣（3n+a）=2×3n．﹣1∴a n=3n﹣1，n=1时也成立，∴1×6=9+a，解得a=﹣3．∴a n=3n﹣1．（2）b n=（1﹣an）log3（a n2•a n+1）=（1+3n）=（3n+1）（3n﹣2），∴=．的前n 项和为T n=+…+==．【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式、数列递推关系、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•邵阳二模）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165，180）学生的人数，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设高一女学生人数为x ，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则=，解得x ．（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．可得样本中该校学生身高在[165，180）的概率=．即估计该校学生身高在[165，180）的概率．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．即可得出X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则=，解得x=300．因此高一女学生人数为300．（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．∴样本中该校学生身高在[165，180）的概率==．估计该校学生身高在[165，180）的概率=．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．∴P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）==．∴X的分布列为：∴E（X）=0++=．【点评】本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•湘西州一模）在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点．（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；（2）若AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB的中点F，连结EF，A1F，推导出FA1∥BB1，EF∥CB，由此能证明平面A1EF∥平面BB1C1C．（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F，∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1，∵A1B1∥AB，∴FA1∥BB1，∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥CB，∵EF∩FA1=F，∴平面A1EF∥平面BB1C1C．解：（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），∴E（，﹣，0），=（0，﹣1，1），=（，﹣，0），设平面A1BE的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，1），平面ABA1的法向量=（1，0，0），设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为．【点评】本题考查面面的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2017•邵阳二模）已知右焦点为F2（c，0）的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；（2）线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围．【解答】解：（1）∵椭圆C过点（1，），∴+=1，①…（1分）∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，…（2分）∴，②…（3分）由①②得a=2，b=，…∴椭圆C的方程为…（2）依题意，直线l过点（，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+…（7分）联立方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0（6分）设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则∴y1+y2=﹣，（7分）∴y0=﹣，x0=，∴k=，（9分）①当m=0时，k=0；（10分）②当m≠0时，k=，∵|4m+|=4|m|+≥8，∴0＜|k|≤，∴﹣≤k≤且k≠0．（11分）综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣≤k≤．…（12分）【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线间的关系，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．21．（12分）（2017•邵阳二模）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求函数h（x）的定义域，求出函数h（x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得．【解答】解：（1）函数h（x）=x﹣alnx+的定义域为（0，+∞），h′（x）=1﹣﹣=，①当1+a≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上是增函数；②当1+a＞0，即a＞﹣1时，x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，h′（x）＞0；故h（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数；（2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]，①当a≤﹣1时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；②当﹣1＜a≤0时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；③当0＜a≤e﹣1时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解；④当e﹣1＜a时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（e）=e﹣a+＜0，解得，a＞；综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•湖北模拟）在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a．【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B（2，2）．∴圆C1的圆心为（1，1），半径为，∴圆C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，将代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，∴ρ=2sin（）．（2）∵圆C2的参数方程为（θ是参数），∴圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2．∴圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为|a|，∵圆C1与圆C2外切，∴2=+|a|，解得a=±．【点评】本题考查了圆的极坐标方程与普通方程的互化，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•邵阳二模）设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＞1解集；（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．（2）根据题意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，从而求得m的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离，而0对应点到﹣2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|．利用绝对值的意义可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值为3+4=7，∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，m的范围为[﹣6，8]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的能成立问题，属于中档题．。

湖南省湘西土家族苗族自治州2025届高三一诊考试数学试卷含解析

湖南省湘西土家族苗族自治州2025届高三一诊考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（）A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -2．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（） A ．2B ．1C ．3D ．23．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b4．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（）A ．98B ．78C ．12D ．62565．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（） A ．0.02sin 360000y t = B ．0.03sin180000y t = C ．0.02sin181800y t=D ．0.05sin 540000y t =6．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A ．16B ．15C ．14D ．127．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为22y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或58．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（）A ．{}012,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12, 9．函数的定义域为（）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-11．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（） A ．1log log b ab aa b a b >>>B ．1log log a bb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>> D ．1log log a bb aa b a b >>> 12．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省2017届高三十二校联考第一次考试(理数)(含答案)word版

湖南省2017届高三·十二校联考第一次考试理科数学试卷总分：150分时量：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.若复数a －i2＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则a 的值为A.－2B.12C.－12D.22.“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车.据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为A.2160B.2880C.4320D.86404.若下列程序框图中输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于A.720B.360C.240D.120 5.已知{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝1，则a 6－a 5的值为 A.0 B.18 C.96 D.6006.设双曲线M ：x 2a2－y 2＝1，点C (0,1)，若直线212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)交双曲线的两渐近线于点A 、B ，且BC ＝2AC ，则双曲线的离心率为A.52 B.103C. 5D.10 7.已知a ＝∫π0(si n t －cos t )d t ，则(x －1ax)6的展开式中的常数项为A.20B.－20C.52D.－528.设点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ＝m AB ＋n AC (m ，n ∈R)，则(m ＋1)2＋(n －1)2的取值范围是A.(0,2)B.(0,5)C.(1,2)D.(1,5).9.在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数.为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是.10.某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号，若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是.11.如下图，AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，已知BC＝1，AB＝3，则AD ＝.12.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.则用个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.13.在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-11yyxyx表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＋f(x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(log18125)＝.15.已知函数f(x)＝(x2－x－1a)e ax(a≠0).(1)曲线y＝f(x)在点A(0，f(0))处的切线方程为；(2)当a>0时，若不等式f(x)＋3a≥0对x∈[－3a，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，m ＝(cos A ，cos C )， n ＝(3c －2b ，3a )且m ⊥n . (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积.2011年1月，某校就如何落实“湖南省教育厅《关于停止普通高中学校组织三年级学生节假日补课的通知》”，举办了一次座谈会，共邀请50名代表参加，他们分别是家长20人，学生15人，教师15人.(1)从这50名代表中随机选出2名首先发言，问这2人是教师的概率是多少？(2)从这50名代表中随机选出3名谈假期安排，若选出3名代表是学生或家长，求恰有1人是家长的概率是多少？(3)若随机选出的2名代表是学生或家长，求其中是家长的人数为ξ的分布列和数学期望.如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1P＝λA1B1(λ∈R).(1)证明：PN⊥AM；(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；(3)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置.19.(本小题满分13分)[来源:GksTk]随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q 型车、R 型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q 型车的销量为a 辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q 型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R 型车前n 个月的销售总量T n 大致满足关系式：T n ＝228a (1.012n－1)(n ≤24，n ∈N *).(1)求Q 型车前n 个月的销售总量S n 的表达式；(2)比较两款车前n 个月的销售总量S n 与T n 的大小关系；(3)试问从第几个月开始Q 型车的月销售量小于R 型车月销售量的20%，并说明理由.(参考数据：54.5828≈1.09，lg1.09lg1.01≈8.66)已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切.过点P (－4,0)作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足|PA |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线的方程； (2)求双曲线G 的方程；(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴.如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程.已知常数a 为正实数，曲线C n ：y ＝nx 在其上一点P n (x n ，y n )的切线l n 总经过定点(－a,0)(n ∈N *). (1)求证：点列：P 1，P 2，…，P n 在同一直线上； (2)求证：∑=<<+ni in y an 12)1ln( (n ∈N *).。

湖南省湘西土家族苗族自治州2024高三冲刺(高考数学)人教版质量检测(自测卷)完整试卷

湖南省湘西土家族苗族自治州2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若集合，，则（）A ．B ．C．D ．第(2)题函数的值域为（）A ．B ．C ．D ．第(3)题是的共轭复数，若，，（为虚数单位），则（）A ．B ．C ．D ．第(4)题已知等比数列的前n 项和为，，，则（）A ．B ．C ．D ．第(5)题已知双曲线，，为的左、右焦点，，直线与的一支交于点，且，则的离心率最大值为（）A ．B．2C ．D ．第(6)题已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第(7)题已知四棱锥的底面ABCD 为梯形，，，，，为正三角形，平面平面ABCD ，E ，F 分别为PA ，PB 的中点，则（）A ．平面PADB ．PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为C ．D ．四棱锥的体积为第(8)题如图，在正三棱柱中已知，D 在棱上，且，若AD 与平面所成的角为，则（）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（）.A．样本在区间内的频数为18B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策C．样本的中位数小于350万元D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）第(2)题如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（）A．平面B．平面截正方体所得的截面面积为C．点Q的轨迹长度为D．能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为第(3)题如图，正方形的边长为，、分别为边、上的动点，，则（）A．若，则的周长最大值为B．若，则的面积最大值为C．若的周长为定值，则的大小为D．若的周长为定值，则长度的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量的数学期望__________.第(2)题已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则______；满足的最小值为______．第(3)题已知函数，圆的方程为，若在圆内部恰好包含了函数的三个极值点，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题函数，（1）判断时，的零点个数，并加以说明；（2）正项数列满足，，①判断数列的单调性并加以证明.②证明：第(2)题已知是偶函数，.（1）求的值，并判断函数在上的单调性，说明理由；（2）设，若函数与的图像有且仅有一个交点，求实数的取值范围；（3）定义在上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于1的自然数都成立，则称函数为“上的函数”（其中，）.试判断函数是否为“上的函数”，若是，则求出的最小值；若不是，则说明理由.（注：）.第(3)题乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”(1)逐个无放回取两个球，记事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判断事件A与事件B是否相互独立；(2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望．第(4)题因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．(1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．第(5)题已知等差数列的前项和为，，公差为.（1）若，求数列的通项公式；（2）是否存在，使成立？若存在，试找出所有满足条件的，的值，并求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.。

湖南省湘西自治州2024-2025学年高三上学期州自检数学试卷含答案

绝密★启用前高三数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1{2,1,0,1},|22x A B x 禳镲=--=£睚镲铪，则A B = （）A.{}1-B.{2,1}-- C.{1}D.{1,0,1}-【答案】B 【解析】【分析】根据条件求出集合B ，计算A B ⋂.【详解】由题意得，{}{}1|221x B x x x -=≤=≤-，∵{2,1,0,1}A =--，∴{2,}1A B ⋂=--.故选：B.2.若复数z 满足1i 12iz=-+，则z =（）A.1i -+B.13i+ C.1i+ D.3i+【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得答案.【详解】若复数z 满足1i 12iz=-+，则()()1i 12i 12i i 23i z =-+=+-+=+.故选：D.3.已知()2e cos e x x xf x a=+是偶函数，则a =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数的定义及性质直接判断.【详解】由()22e cos e cos e e x xx x x f x x a a==⋅++，设()2e e xx g x a =+，则()()cos f x g x x =⋅且cos y x =为偶函数，所以()2e e xx g x a=+为偶函数，所以()2e 1e g a =+，()12e 1e g a ---=+，且()()11g g =-，即122e e e e a a--=++，化简可得()()21e 10a --=，解得1a =，故选：C.4.,,A B C 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且A 大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（）A.18种B.21种C.24种D.36种【答案】C 【解析】【分析】按分步乘法计数原理，首先选一人去A 大学，然后将剩余的三位同学分为两组2，1，再分配到,B C 两所学校即可求解.【详解】第一步选一人去A 大学，则有14C 4=（种），第二步将剩余的三位同学以一组两人，一组一人进行分组，然后分配到,B C 两所学校，则有2232C A 6=（种），则不同的报名方法共有4624⨯=（种），故选：C.5.已知,,a b c 均为单位向量，且2ππ,,3,3a b a b c 〈〈+〉=〉=r r r r r ，则||()a b c t t ++∈R r r r的最小值为（）A.34B.2C.94D.32【答案】B 【解析】【分析】利用向量的模的计算可得||a t b c ++=r r r，结合二次函数可求最小值.【详解】因为,,a b c均为单位向量，且且2ππ,,3,3a b a b c 〈〈+〉=〉=r r r r r ，所以1||a b +====r r，||a b c t ++==r r r2==≥==，当12t =-时，()a b tc t ++∈R 的最小值为32.故选：B.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202220242026,,8-S S S 成等差数列，2514,,a a a 成等比数列，则30S =（）A.900B.600C.450D.300【答案】A 【解析】【分析】由题意可得20242026202228S S S -+=，25214a a a = ，求得首项与公差，可求30S .【详解】等差数列的公差为d ，因为202220242026,,8-S S S 成等差数列，所以20242026202228S S S -+=，所以20242022202620248S S S S -=--，所以20242023202620258a a a a +=+-，所以48d =，2=d ，又因为2514,,a a a 成等比数列，所以25214a a a = ，所以2111(42)(2)(132)a a a +⨯=++⨯ ，解得1116642852a a +=+，解得11a =，所以3030(301)30129002S -=⨯+⨯=.故选：A.7.已知函数24()sin cos (0)ωωω=+>f x x x 的最小正周期为10，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.58B.34C.78D.1【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简()f x ，从而利用余弦函数的周期公式求得ω，进而代入52x =即可得解.【详解】()22422()sin cos sin 1sin f x x x x xωωωω=+=+-()2242221313sin sin 1sin 12sin 2444x x x xωωωω⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭()21311317cos 2cos 41cos 44442488x x x ωωω=+=⨯++=+，又()f x 的最小正周期为10，所以2π104T ω==，解得π20ω=，则()1π7cos 858f x x =+，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1π577cos 85288⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭.故选：C.8.过抛物线22y x =上一动点P 作圆222:(4)-+=C x y r （r 为常数且*r ∈N ）的两条切线，切点分别为A ，B ，若AB PC ⋅的最小值是r =（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】设00(,)P x y ，利用圆的切线性质，借助图形的面积把AB PC ⋅表示为0x 的函数，再求出函数的最小值即可.【详解】设00(,)P x y ，则2002y x =，圆C 的圆心(4,0)C ，半径为r ，由,PA PB 切圆C 于点,A B ，得,,PC AB PA AC PB BC ⊥⊥⊥，则24222PAC PACB AB PC S S PA AC ⋅===⋅== 四边形2r ==当且仅当03x =时，等号成立，可知AB PC ⋅的最小值为2=整理可得427120r r -+=，解得24r =或23r =，且*r ∈N ，所以24r =，即2r =.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将AB PC ⋅转化为2PACB S 四边形，根据面积结合几何性质求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量()2~1,X N σ，记(1),(13)>-=<<=P X a P X b ，则（）A .(3)<=P X aB.12a b -=C.(21)2()-=E X E X D.(21)4()D X D X -=【答案】ABD 【解析】【分析】根据正态分布的性质判断AB ；根据期望和方差的性质判断CD.【详解】由题意可知：1μ=，且132-+=μ，可得(3)(1)P X P X a <=>-=，故A 正确；且1(13)(11)(1)2P X P X P X <<=-<<=>--，即12b a =-，所以12a b -=，故B 正确；根据期望和方差的性质可知：(21)2()1-=-E X E X ，(21)4()D X D X -=，故C 错误，D 正确；故选：ABD.10.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形B.点G 到平面AEF 的距离为定值C.若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则G 为棱11B C 的中点D.直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用空间向量推得1,,,A E D G 四点共面，结合面面平行的性质定理判断C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D ，从而得解.【详解】对于A ，连接DF ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以//,EF BC EF BC =，//,AD BC AD BC =，所以//,EF AD EF AD =，则平面AEF 与平面AEFD 为同一平面，所以平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面AEFD ，为四边形，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以11//B C EF ，又EF ⊂平面AEF ，11B C ⊄平面AEF ，所以11//B C 平面AEF ，又点G 是棱11B C 上的一个动点，所以点G 到平面AEF 的距离为定值，故B 正确；对于C ，连接111,,,AD D G GE BC ，因为11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，所以1,,,A E D G 四点共面，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ADD A 平面11BCC B ，又平面11ADD A ⋂平面11AEGD AD =，平面11BCC B 平面1AEGD GE =，所以1//AD GE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，则1//GE BC ，因为E 为棱1BB 的中点，所以G 为棱11B C 的中点，故C 正确；对于D ，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102C G x x =≤≤，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2A E F G x ，所以()()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AE EF AG x ==-=-，设平面AEF 的法向量为 ǡ ǡ ，则2020AE n b c EF n a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则0,2a c ==-，故()0,1,2n =-，设直线AG 与平面AEF 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,AG n AG n AG nθ⋅=〈〉==，因为02x ≤≤，所以()2024x ≤-≤，则≤≤所以15101510=≤≤=，所以直线AG 与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为,1510⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.11.已知正项数列{}n a 满足21135+-=-n n n a a a 且4311110---=a ka ka ，则下列说法正确的（）A.若32k =，则20243a = B.若20243a =，则32k =C.若83k =，则211+=n a a D.若211+=n a a ，则83k =或32【答案】AC 【解析】【分析】代入32k =，由因式分解解出12a =，再由递推关系确定数列的性质可得A 正确；代入83k =，由因式分解解出13a =，再由递推关系确定数列的性质可得C 正确；举反例设正项数列为常数列，利用求根公式求出1a 可得D 错误；分20232a =或7讨论，当20237a =时由求根公式求出n a ，再结合二次函数的性质判断为递减数列，可得B 错误；【详解】对于A ，若32k =，则43111331022a a a ---=，即()()()211112220a a a ++-=，因为0n a >，所以12a =，因为21135+-=-n n n a a a ，所以12221121335325a a a --===-⨯-，同理22322131235335a a a --===-⨯-，L 即数列为奇数项为2，偶数项为3的数列，（也称为不动点数列）所以20243a =，故A 正确；对于C ，若83k =，则43111881033a a a ---=，即()()()211113130a a a ++-=，因为0n a >，所以13a =，或113a =-（舍去）由A 选项的解析可得232,3,a a == ，即数列为奇数项为3，偶数项为2的数列，所以211+=n a a ，故C 正确；对于D ，假设正项数列为常数列，则21135n n n n a a a a +-==-，即20251n n a a -+=，解得5174n a ±=，又4311110---=a ka ka ，即()()22111110a a ka +--=，即21110a ka --=，取15174a +=代入上式，此时k 为无理数，当154a +=，满足211+=n a a ，此时32k ≠且k ≠83，故D 错误；对于B ，若20243a =，由20232024202231335a a a -==-，即2202320239140a a -+=，解得20232a =或7，当20232a =时，由A 解析可得，此时正项数列为不动点的奇偶常数列，此时32k =；当20237a =时，由21135+-=-n n n a a a 变形为1125103n n n n a a a a ++-+-=，解得13nn a a +=±不妨取13n n a a +=+，若0∆>，则1n n a a +>，现在考虑2119204n n a a ++∆=-+，由二次函数关系可得开口向上，对称轴为109，当17n a +≥时，判别式恒大于零，所以1n n a a +>，所以正项数列为递减数列，此时1a 要大于2或3，此时32k ≠，故B 错误故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，其一是能由已知递推关系发现数列为不动点型数列，（不要尝试去求解数列的通项，因为二次幂型递推关系可能有两个通项，难以判断），然后由选项入手可解决ACD ，其二时能发现数列为递减数列可判断B 选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()()ln f x x a x =+的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为3，则实数a =________．【答案】2【解析】【分析】对函数()()ln f x x a x =+求导，利用导数的几何意义可得(1)3f '=即可求得实数a 的值.【详解】由()ln x af x x x+'=+，则1(1)ln1131af a +'=+=+=，解得2a =，故答案为：2.13.已知AB ⊂平面,AC α⊥平面,,α⊥BD AB BD 与平面α所成的角为30︒，且C ，D 两点在平面α的同一侧，2,3BD AB AC ===，则CD =________．【答案】【解析】【分析】过点D 作1DD ⊥平面α，由线面角定义可知1=30DBD ∠︒，则1=60BDD ∠︒，进一步可得,120CA BD <>=︒ .由图可得CD CA AB BD =++，再利用模长的定义求值即可.【详解】由AC ⊥平面α，AB ⊂平面α，可知AC AB ⊥，过点D 作1DD ⊥平面α，1D 为垂足，连接1BD ，则1DBD ∠为与α所成的角，即130DBD ∠︒＝，所以160BDD ∠︒＝，因为AC ⊥平面α，1DD ⊥平面α，所以1//AC DD ，所以,60CA DB =︒ ，所以,120CA BD <>=︒.又CD CA AB BD =++ ，所以22()CD CA AB BD =++222222CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅ ，因为,BD AB AC AB ⊥⊥，所以0,0BD AB AC AB ⋅=⋅=，故22222CD CA AB BD CA BD =+++⋅ 222322232cos120=+++⨯⨯⨯︒11=，所以CD =CD ..14.已知实数x ，y 满足2332log log 1log 1log 4423,3233++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xxyyx y ，则xy=________．【答案】3【解析】【分析】设23log ,log x t y s ==，利用同构结合二次方程的解可得331223s t⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可求x y 的值.【详解】设23log ,log x t y s ==，则2,3t s x y ==，故11114423,3233t t s s t s ++++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11114423,3233s t st t s ++++⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到：223333231,2312222ttss⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故33,22st⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为方程2231a a ⨯+⨯=的正根，故331223st⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故t s =，故233tx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：3.【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理,四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知11n n S a +=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前20项和20T ．【答案】（1）12n n a -=；（2）104137+.【解析】【分析】（1）根据1(2)n n n a S S n -=-≥得等比数列公比为2，结合条件计算1a 的值，得到{}n a 的通项公式.（2）由（1）计算n b ，利用分组求和的方法得出数列{}n b 的前20项和.【小问1详解】当2n ≥时，111(1)(1)n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---=-，∴12(2)n n a a n +=≥，∴等比数列{}n a 的公比2q =.当1n =时，由11n n S a +=-得121a a =-，即1121a a =-，解得11a =，∴1112n n n a a q--==.【小问2详解】由题意得，当n 为奇数时，12n n n b a -==，当n 为偶数时，112211111(log 2log 2(1)(1)211n n n n n n n b -+==-×-+-+=，∴100241810135191(14)12222(41)143b b b b ´-++++=+++==´-- ，2462011111111(1)()()()2335571921b b b b 轾++++=´-+-+-++-犏犏臌 1110(1)22121=´-=，∴20123201351924620()()T b b b b b b b b b b b b =++++=+++++++++ 101011041(41)32137=-+=+.16.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22cos cos 2cos +=c C B b C a ．（1）求C ；（2）若223cos cos cos =++-C A B a b ab，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）根据条件，边转角得到2cos (sin cos sin cos )sin C C B B C A +=，再利用正弦的和角公式得到1cos 2C =，即可求角；（2）利用（1）中结果及条件，结合正弦定理，得到2sin sin 1R A B =，再利用三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】由22cos cos 2cos +=c C B b C a ，得到22sin cos cos 2sin cos sin C C B B C A +=，即2cos (sin cos sin cos )sin C C B B C A +=，得到2cos sin()sin C B C A +=，又sin()sin(π)sin B C A A +=-=，(0,π)A ∈，所以1cos 2C =，又(0,π)C ∈，得到π3C =.【小问2详解】由（1）知π3C =，因为223cos cos cos =++-C A B a b ab又222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，所以23cos cos cos cos[π()]cos cos cos()cos cos C A B A B A B A B A B c=+=-++=-++cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B =-++=，即23sin sin A B c=，又由正正弦定理得2sin 32c R C ==，即c =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，所以2sin sin 1R A B =，所以ABC V的面积为21sin sin )(2sin )sin sin 244S ab C R A R B A B =====17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面,ABCD ABC是边长为2AD =，23ADC ∠=π．（1）证明：平面PCD ⊥平面PBC ；（2）若平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为217，求PC 的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到2DC =，从而得到DC CB ⊥，利用线面垂直的性质得到PC CB ⊥，进而得到⊥BC 面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，设PC a =，求出平面PAD 与平面PBC 的法向量，利用面面角的向量法，得217=，即可求解.【小问1详解】在ADC△中，2AD=，AC=，23ADC∠=π，由余弦定理2222cosAC DA DC DA DC ADC=+-⋅∠，得到2280DC DC+-=，解得2DC=，所以2DA DC==，得到π6DCA∠=，又π3ACB∠=，所以π2DCB∠=，即DC CB⊥，又PC⊥平面ABCD，CB⊂面ABCD，所以PC CB⊥，又PC DC C⋂=，,PC DC⊂面PCD，所以⊥BC面PCD，又⊂BC面PBC，所以平面PCD⊥平面PBC.【小问2详解】以,,CD CB CP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PC a=，因为2DC=，BC=，π3ACB∠=，则(0,0,0),(2,0,0),(0,(3,(0,0,)C D B A P a，则(2,0,)DA DP a==-，设平面PAD的一个法向量为(,,)n x y z=，则n DPn DA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到20xx az⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x a=，得到3,23y a z=-=，即3(,,2)3n a a= ，易知平面PBC的一个法向量为(1,0,0)m=，设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，则21cos cos,7n mn mn mθ⋅====⋅，整理得到24a=，解得2a=，所以2PC=.18.已知双曲线C 的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 ǡh ，()4,3B -两点．（1）求C 的方程；（2）设P ，M ，N 三点在C 的右支上，BM AP ∥，AN BP ∥，证明：（ⅰ）存在常数λ，满足O M OP N O λ+=；（ⅱ）MNP 的面积为定值．【答案】（1）22143x y -=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）设C 的方程为221mx ny -=，其中0mn <．由C 过A ，B 两点，代入解得14m =，13n =即可.（2）（ⅰ）设 h ǡ h ， ǡ ， ǡ ，其中0i x >，223412i i x y -=，0,1,2i =．因为//BM AP ，所以直线BM 的斜率为0102y k x =+，方程为()134y k x -=+．联立()2211,4334x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=+⎩结合韦达定理得到00122x y x =+，100322y x y =+．同理00222x y x =-，200322y x y =-+．再结合向量运算即可解决.（ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解.【小问1详解】设C 的方程为221mx ny -=，其中0mn <．由C 过A ，B 两点，故41m =，1691m n -=，解得14m =，13n =．因此C 的方程为22143x y -=．【小问2详解】（ⅰ）设 h ǡ h ， ǡ ， ǡ ，其中0i x >，223412i i x y -=，i ＝0，1，2．因为//BM AP ，所以直线BM 的斜率为0102y k x =+，方程为()134y k x -=+．由()22114334x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=+⎩，得()()()22211113484344330k x k k x k ⎡⎤--+-++=⎣⎦，所以()()211214433434k x k ⎡⎤-++⎣⎦-=-，()()()22200001112221001624212216241234324y y x x k k x k x y ++++++==-+-()()()()22000000012424212222122x y x x x y x -++++==++．因此()()()00011100000224334332232222y x y y k x y x y x ++=++=+=+-+=++．同理可得直线AN 的斜率为02034y k x -=+，直线AN 的方程为()22y k x =+．由()2221432x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()()2222222341616120k x k x k ---+=，所以()222221612234k x k -+-=-，2222200000022222200008(3)6(4)6848()16886343(4)4(3)24(1)y x x y x y k x k x y x y -++++-++===-+--++222200000000006814(34)48()2224(1)x y x y x y x y x y ++-+-==-++，因此00000222000(3)(222)2(3)(3)(2)2(3)44y x y y y y k x y x x --+-+=+==--++00003326(4)222y x x y =---=-+．则()004,44OM ON x y OP +== ，即存在4λ=，满足O M OP N O λ+= ．（ⅱ）由（ⅰ），直线MN 的方程为()00003224x y y x x y -=-，所以点P 到直线MN 的距离1d =而4MN y ==所以MNP △的面积1162S d MN ==为定值．【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线．本题第（1）小问设问基础，但需要注意所设方程的形式；第（2）（ⅰ）小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考验学生的代数基本功和计算能力，区分度较大．19.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m ，n ，我们定义函数()f x 在0x =处的[,]m n 阶帕德近似为011()1m m nn a a x a x R x b x b x +++=+++ ，该函数满足()()(0)(0),(0)(0),(0)(0),,(0)(0)m n m n f R f R f R f R ++''''''====L ．注：[][](3)()(1)()(),()(),,()()-''''''''⎡⎤===⎣⎦n n f x f x f x f x f x f x L ．设函数()x f x e =在0x =处的[0,1]阶帕德近似为()R x ．（1）求()R x 的解析式；（2）证明：当1x <时，()()≤f x R x ；（3）设函数21()e 1=--+xg x x kx ，若0x =是()g x 的极大值点，求k 的取值范围．【答案】（1）1()1R x x=-；（2）证明见解析；（3）12k <.【解析】【分析】（1）由题意设()1aR x bx=+，结合帕德近似的定义及导数运算求参数，即可得解析式；（2）构造()()(1)e ()x f x h x x R x ==-且1x <，利用导数研究其单调性并判断()h x 与1的大小关系，即可证结论；（3）利用定义求()xf x e =在0x =处的[0,2]阶帕德近似函数01212()1a R x b x b x =++，并研究1()()()f x k x R x =的极值确定12k =为界点，再讨论12k >、102k <<、0k <并结合导数判断0x =是否为()g x 的极大值，即可求范围.【小问1详解】由题意，可设()1aR x bx=+，且(0)(0)f R =，则1a =，而()e x f x '=，2()(1)abR x bx '=-+，且(0)(0)f R ''=，则11ab b b -=-=⇒=-，所以1()1R x x=-.【小问2详解】当1x <时，恒有()0,1()0R x f x >>>，令()()(1)e ()x f x h x x R x ==-，且1x <，则()e x h x x '=-，当0x <时，()0h x '>，即()h x 在(,0)-∞上递增；当01x <<时，()0h x '<，即()h x 在(0,1)上递减；所以()(0)1h x h ≤=，故()()≤f x R x ，得证.【小问3详解】令()x f x e =在0x =处的[0,2]阶帕德近似为01212()1a R x b x b x =++，由(0)(0)f R =，则01a =，故12121()1R x b x b x =++，由12122122()(1)b b x R x b x b x +'=-++，()e xf x '=，而1(0)(0)R f ''=，则1111b b -=⇒=-，所以2122212()(1)b x R x x b x -'=-+，故2222212322(1)2(12)()(1)b x b x b x R x x b x --++-''=-+，由()e x f x ''=，而1(0)(0)R f =''''，则2212212b b -+=⇒=，综上，121()12R x x x =-+，且R x ∈，令221()(1)1()(1)e e 0()22x x f x x x k x x R x -+==-+=⋅>，则2e ()02xx k x '=≥恒成立，所以()k x 在R 上递增，即(0)1k =，故(,0)x ∈-∞时0()1k x <<，(0,)x ∈+∞时()1k x >，所以(,0)x ∈-∞时1()()f x R x <，(0,)x ∈+∞时1()()f x R x >，此时，12k =时0x =不是()g x 极值点；以12k =为界，讨论如下：由连续函数2()()e ()[(21)1]e x x m m x k x x x kx x k -+'=⇒=+-，当12k >，则1()[(2)]e x m x x x k k'=+-，而120k ->，在1(2,0)k-上()0m x '<，()m x 递减，在(0,)+∞上()0m x '>，()m x 递增，则1())(0m m x ≥=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1xg x g x kx =-≥=-+恒成立，0x =是极小值点；当102k <<，则1()[(2)]e x m x x x k k '=+-，而120k-<，在(,0)-∞上()0m x '>，()m x 递增，在1(0,2)k-上()0m x '<，()m x 递减，则()(0)1m x m ≤=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1xg x g x kx =-≤=-+恒成立，0x =为极大值点；当0k =，有()e x m x x '=-，在(,0)-∞上()0m x '>，()m x 递增，在(0,1)上()0m x '<，()m x 递减，则()(0)1m x m ≤=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1xg x g x kx =-≤=-+恒成立，0x =为极大值点；当0k <，则1()[(2x m x x x k k '=+-，而120k ->，在1(2,0)k -上()0m x '>，()m x 递增，在(0,)+∞上()0m x '<，()m x 递减，则()(0)1m x m ≤=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1x g x g x kx =-≤=-+恒成立，0x =为极大值点；综上，12k <.【点睛】关键点点睛：第三问，利用帕德近似及导数知识确定12k =为界点，再讨论参数并利用导数研究2()()e 1x x x kx m -+=单调性，及与1的大小关系为关键.。

湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学(理)试题(解析版)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2{|230}B x x x =-->，则AB =（） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,2]- C ．(,2](3,)-∞+∞ D ．[2,1)-- 【答案】C【解析】试题分析：2{|230}(,1)(3,)B x x x =-->=-∞-+∞U ，所以AB =(,2](3,)-∞+∞，选C.考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.设复数z 满足(12)2z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为（）A ．1B ．3【答案】A考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．cos y x =B ．||1y x =-+C ．||2x y =D ． 12log y x =【答案】B考点：函数性质4.已知某三角函数的部分图象如图1所示，则它的解析式可能是（）A ．sin()4y x π=+B ．3sin(2)4y x π=+C. cos()4y x π=+ D ．3cos(2)4y x π=+ 【答案】C【解析】试题分析：31,21444T A T πππω==-⇒=⇒=,所以3333sin()12()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ+=-⇒+=+∈⇒=+∈ 所以它的解析式可能是3sin(2)cos()44y x k x πππ=++=+，选C. 考点：三角函数解析式【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.5.某程序框图如图2所示，若3n =，01a =，12a =，23,a =32a =-，2x =.则该程序运行后输出的值为（）A ．1B ．0 C.-1 D ．2【答案】A考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.在等差数列{}n a 中，45a =，711a =.设(1)n n n b a =-g ，则数列{}n b 的前100项之和100S 为（）A ．-200B ．-100 C.200 D ．100【答案】D考点：等差数列通项，分组求和【方法点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.7.已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为（）A ．8B ．7 C.233 D ．223 【答案】B【解析】试题分析：截去的两个三棱锥的高为2，底分别为腰为1的等腰直角三角形以及直角边为1和2的直角三角形，所以几何体的体积为32111122121273232-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，选B. 考点：三视图【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．8.已知约束条件400x k x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为（）A ．0B ．1 C.1或3 D ．3【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个等腰直角三角形，面积为1(2)2(2)1,(2)12k k k k ⨯-⨯-=<⇒=，选B. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.如图4，ABC ∆中的阴影部分是由曲线2y x =与直线20x y -+=所围成，向ABC ∆内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A ．732B ．932 C. 716 D ．916【答案】D考点：定积分，几何概型概率【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -关于直线0bx cy +=的对称点M 在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A ．B D 【答案】C考点：椭圆定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.已知,A B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），120AOB ∠=，点C 是线段AB 上不与A B 、重合的动点.MN 是圆O 的一条直径，则CM CN uuu r uuu r g 的取值范围是（）A ．3[,0)4-B ．[1,1)- C. 1[,1)2- D ．[1,0)- 【答案】A【解析】试题分析：222()()()()1CM CN CO OM CO ON CO OM CO OM CO OM CO =++=+-=-=-uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r g g g ,而1||[,)[,1)2O AB CO d OA -∈=uu u r ,所以CM CN uuu r uuu r g 的取值范围是3[,0)4-，选A. 考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12.若函数()f x 在区间A 上，对a b c A ∀∈，，，()f a ，()f b ，()f c 为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21[,]e e上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（） A ．212(,)e e e + B ．2(,)e +∞ C. 1(,)e+∞ D ．22(,)e e ++∞ 【答案】D考点：利用导数求函数最值【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学(理)试题 Word版含答案

S (n) 3n 2 .设点 A 是 T ( n) 4n 5
直线 BC 外一点，点 P 是直线 BC 上一点，且 AP __________.

a1 a4 AB AC ，则实数的值为 b3
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
4( x 1) 2 x
1 2) ，„„„„„„2 分 x 1 1 1 易证 h( x) 4( x 2) 在 [ ,1] 上单调递减，在 [1, 2] 上单调递增，且 h( ) h(2) ， x 4 4 1 ∴ h( x) min h(1) 16 ， h( x) max h( ) 25 ，„„„„„„3 分 4 1 ∴当 a 1 时， F ( x) min log a 16 ，由 log a 16 2 ，解得 a （舍去）„„„„„„4 4 log a 4( x
17.（本小题满分 10 分）设集合 A { y | y x 2 x 1, 0 x 3} ，集合 B {x | x (2m 1) x m(m 1) 0} .已
2 2
知命题 p : x A ，命题 q : x B ，且命题 p 是命题 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围. 18. （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 3 cos 2 x 2sin x cos x 3 sin 2 x . （I）求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数 f ( x) 在区间 [0, 19. （本小题满分 12 分）已知数列 {an } 的首项 a1 1 ，且 an 1
∴ sin(2 x
2 k 2 x

湖南省湘西土家族苗族自治州(新版)2024高考数学统编版质量检测(备考卷)完整试卷

湖南省湘西土家族苗族自治州（新版）2024高考数学统编版质量检测(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(3)题方程的解集是（）A．B．C．D．第(4)题如果，记为区间内的所有整数．例如，如果，则；如果，则或3；如果，则不存在．已知，则（）A．36B．35C．34D．33第(5)题（）A．B．C．D．第(6)题若存在使成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(7)题的值是A．B．1C．D．2第(8)题直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数z满足，则下列说法中正确的是（）A．复数z的模为B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限C．复数z的共轭复数为D．第(2)题若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（）A．B．C．0D．1第(3)题下列关于函数的说法正确的是（）A．在区间上单调递增B．最小正周期是C ．图象关于点成中心对称D．图象关于直线对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.第(2)题若将逐项展开得，则出现的概率为，x出现的概率为，如果将逐项展开，那么出现的概率为．第(3)题已知集合，，则=_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.第(2)题如图所示，在中，点在线段上，，，，.（1）求的值；（2）判断是否为等腰三角形.第(3)题已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线过点，且倾斜角为，圆的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆的普通方程和直线的参数方程；（Ⅱ）设直线与圆交于M、N两点，求|PM||PN|的值．第(4)题设，均为正数，且，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.第(5)题已知椭圆，若下列四点_________中恰有三点在椭圆C上.①；②.(1)从①②中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C的标准方程；(2)在（1）的条件下，设直线l不经过点且与椭圆C相交于A，B两点，直线与直线的斜率之和为1，过坐标原点O作，垂足为D（若直线l过原点O，则垂足D视作与原点O重合），证明：存在定点Q，使得为定值.。