惟一性定理

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

前言 (1)

1预备知识 (1)

2存在的唯一性定理 (2)

2.1一阶微分方程的存在唯一性定理 (2)

2.2相关证明的命题 (3)

2.3附注 (5)

2.4一阶隐函数的解的存在唯一性 (6)

2.5近似计算和误差估计 (6)

参考文献 (7)

解的存在唯一定理与逐步逼近法

摘 要：一阶微分方程的解的存在定理肯定了方程的解在一定条件下的存在性与唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的意义.另一方面，由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有实际意义.

关 键 字：利普希茨条件；利普希茨常数；解的存在唯一性定理；逐步逼近法

The existence of the solution only gradually

approximation theorem and gradually approximation

method

Abstract: the theorem of the existence and the uniqueness of the solutions of an order ordinary differential equation approve the existence and uniqueness of the solution of equation .It is the most basic theorems of the ordinary differential equation. On the other hand, because the method to seek the exact solutions is few in number, it has practical significance.

Key-Words: Lipschitz condition; Lipschitz constant; the theorem of the existence and uniqueness of solutions; Step-by-step method.

引言:

实际问题中所需要的往往是要求满足某初值条件的解，因此初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一？而解的存在唯一性定理正是解决此类问题的理论基础，因此，解的存在唯一性定理具有一定的实际意义.

1. 预备知识

函数(,)f x y 称为在R 上关于y 满足利普希茨条件,如果存在常数0L >,使不等式

1

2

1

2

(,)(,)f x y f x y L y y -≤-

对所有1

2

(,),(,)x y x y R ∈都成立,L 称为利普希茨常数.

2. 存在的唯一性定理

2.1 一阶微分方程的存在唯一性定理 首先考虑导数已解出的一阶微分方程

(,)dy

f x y dx

=, (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域

:,R x x a y y b -≤-≤ (1.2)

上的连续函数.

定理1 如果(,)f x y 在矩形域R 上连续且关于y 满足利普希茨条件,则方程

(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义域区间0

x x h -≤上,连续且满足初始条件

()x y ϕ=, (1.3)

这里()min(,

),max (,).x y R

b

h a M f x y M

∈== 我们采用皮卡逐步逼近法证明定理.为了简单起见,只就区间0

x x x h ≤≤+进行讨论,对于0

x h x x -≤≤的讨论完全一样.

现在先简单叙述一下运用逐步逼近法证明的主要思想.首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程

(,)x

x y y f x y dx =+⎰

的连续接，在证明积分方程的解的存在唯一性.

任取一连续函数0

()x ϕ代入上面积分方程右端的y ,就得到函数

1

()(,())x

x

x y x x dx ϕϕ=+⎰,

显然1

()x ϕ也是连续函数.如果1

()()x x ϕϕ=,那么0

()x ϕ就是积分方程的解.否则，

我们又把1

()x ϕ代入积分方程右端的y ,得到

2

1

()(,())x

x

x y x x dx ϕϕ=+⎰.

如果2

1

()()x x ϕϕ=,那么1

()x ϕ就是这个方程的解.否则,我们连续这个步骤.一般地

作函数

1

()(,())x

n

n x

x y f x x dx ϕϕ-=+⎰ (1.4)

这样就得到连续函数序列

1

(),(),...,(),...n

x x x ϕϕϕ

如果1

()()n n

x x ϕϕ+=,那么()n

x ϕ就是积分方程的解.如果始终不发生这样的情况,我

们可以证明上面的函数序列有一个极限函数()x ϕ,即

lim ()()n n

x x ϕϕ→∞

=

存在,因而对(1.4)取极限时,就得到

1

lim ()lim (,())x

n n n

n x x y f x x dx ϕϕ→∞

→∞

-=+⎰

1

lim (,())x

n n x

y f x x dx ϕ

→∞-=+

⎰

(,())x

x

y f x x d x ϕ=+

⎰

,

即

()(,())x

x

x y f x x dx ϕϕ=+⎰,

这就是说,()x ϕ是积分方程的解.这一步一步地求出方程的解地方法就成为逐步逼近法.由(1.4)确定的函数()n

x ϕ称为初值问题(1.1),(1.3)的第n 次近似值.在定

理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的.

2.2 相关证明的命题

命题1 设()y x ϕ=是方程(1.1)的定义在区间0

x x x h ≤≤+上,满足初值条

件

()x y ϕ=

的解，则()y x ϕ=是积分方程

(,)x

x y y f x y dx =+⎰,00

x x x h ≤≤+ (3.5)

的定义于0

x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.

证明 因为()y x ϕ=是方程(1.1)的解,故有